1．下列各式中，最簡二次根式是（ ）
A．B．C．D．
2．在下列調(diào)查中，適宜采用普查的是（ ）
A．調(diào)查《新聞聯(lián)播》欄目的收視率
B．調(diào)查蒲城縣中小學生心理健康情況
C．調(diào)查某市居民線上支付和現(xiàn)金支付的占比情況
D．調(diào)查某神舟號火箭的零件安全情況
3．下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．的平方根是B．
C．D．的算術(shù)平方根是a
4．下列等式變形正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，
5．如圖，的直徑平分弦（不是直徑）．若，則（ ）
A．B．C．D．
6．如圖所示的圖形是某個幾何體的展開圖，該幾何體是（ ）
A．圓錐B．圓柱C．三棱柱D．四棱柱
7．若一個正邊形的每個外角為，則這個正邊形的邊數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于，兩點.當時，的取值范圍是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
9．估計的值應該在（ ）
A．3和4之間B．4和5之間C．5和6之間D．6和7之間
10．如圖所示，在矩形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，的三個頂點都在格點上，則的值為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題（本大題共6小題）
11．若，則 ．
12．已知一個山坡的坡度為，則山坡的坡角為 ．
13．若，是一元二次方程的兩個根，則 ．
14．如圖，點在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點，的面積為2，則的值為 ．
15．在平面直角坐標系中，若將二次函數(shù)的圖象向上平移4個單位長度，則所得新函數(shù)的圖象與軸兩交點之間的距離是 ．
16．如圖，是的一條弦，點是上一動點，且，點，分別是，的中點，直線與交于，兩點，若的半徑是，則的最大值是 ．
三、解答題（本大題共9小題）
17．計算：；
18．先化簡，再求值:，其中.
19．如圖，在中，，．
(1)求的度數(shù)；
(2)分別以，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，，作直線，交于點，連接，則的度數(shù)為______，并說明理由．
20．“閱讀新時代，書香滿宜昌”．在“全民閱讀月”活動中，某校提供了四類適合學生閱讀的書籍：A文學類，B科幻類，C漫畫類，D數(shù)理類．為了解學生閱讀興趣，學校隨機抽取了部分學生進行調(diào)查（每位學生僅選一類）．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，整理后得到下列不完整的圖表：

(1)本次抽查的學生人數(shù)是_________，統(tǒng)計表中的_________；
(2)在扇形統(tǒng)計圖中，“C漫畫類”對應的圓心角的度數(shù)是_________；
(3)若該校共有1200名學生，請你估計該校學生選擇“D數(shù)理類”書籍的學生人數(shù)；
(4)學校決定成立“文學”“科幻”“漫畫”“數(shù)理”四個閱讀社團．若小文、小明隨機選取四個社團中的一個，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求他們選擇同一社團的概率．
21．如圖，在中，于點，點在的延長線上，且，連接．
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)連接，若，，，求的長．
22．推進中國式現(xiàn)代化，必須堅持不懈夯實農(nóng)業(yè)基礎，推進鄉(xiāng)村全面振興．某合作社著力發(fā)展鄉(xiāng)村水果網(wǎng)絡銷售，在水果收獲的季節(jié)，該合作社用17500元從農(nóng)戶處購進A，B兩種水果共進行銷售，其中A種水果收購單價10元/，B種水果收購單價15元/．
(1)求A，B兩種水果各購進多少千克；
(2)已知A種水果運輸和倉儲過程中質(zhì)量損失，若合作社計劃A種水果至少要獲得的利潤，不計其他費用，求A種水果的最低銷售單價．
23．如圖，已知是的直徑．點C在上，過點C的直線與的延長線交于點P，，．

(1)求證，是的切線；
(2)求證：；
(3)點M是的中點，交于點N．若，求的值．
24．我們將拋物線（，且）與拋物線稱為“美好拋物線”．例如：拋物線與拋物線就是一組“美好拋物線”．根據(jù)該約定，解答下列問題：
(1)已知拋物線，直接寫出其“美好拋物線”的解析式；
(2)若拋物線的頂點在其“美好拋物線”的圖象上，拋物線的圖象是否經(jīng)過某兩個定點？若經(jīng)過某兩個定點，求出這兩個定點的坐標；否則，請說明理由；
(3)在同一平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，其“美好拋物線”與軸交于點（在上方）．小明發(fā)現(xiàn)無論，為何值時，兩拋物線始終有一交點在與軸垂直的某一固定直線上運動．若是以為斜邊的等腰直角三角形，當時，求拋物線截軸得到的線段長度的取值范圍．
25．如圖，四邊形為的內(nèi)接四邊形，對角線為直徑，過點作于點，交于點．
(1)若，求的度數(shù)；
(2)連接，若，求的值；
(3)在（2）的條件下，
①記，，的面積分別為，，，若，求的正切值；
②若，交于點，，試用含的式子表示．
參考答案
1．【答案】C
【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念判斷即可．
【詳解】解：A、不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；
B、不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；
C、是最簡二次根式，故此選項符合題意；
D、=，不是最簡二次根式，故此選項符合題意；
故此題答案為C．
2．【答案】D
【分析】根據(jù)全面調(diào)查和抽樣調(diào)查的意義，對選項逐個分析判斷即可．
【詳解】解：A、調(diào)查《新聞聯(lián)播》欄目的收視率適合采用抽樣調(diào)查，不符合題意；
B、調(diào)查蒲城縣中小學生心理健康情況適合采用抽樣調(diào)查，不符合題意；
C、調(diào)查某市居民線上支付和現(xiàn)金支付的占比情況適合采用抽樣調(diào)查，不符合題意；
D、調(diào)查某神舟號火箭的零件安全情況適合采用全面調(diào)查，符合題意；
故此題答案為D．
3．【答案】C
【分析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根及立方根逐項計算即可．
【詳解】解：，即3的平方根是，故A錯誤；
，故B錯誤；
，故C正確；
的算術(shù)平方根是，而不是a，故D錯誤.
故此題答案為C．
4．【答案】C
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐項分析即可．
【詳解】解：A. 若，則，故不正確；
B. 若，則，故不正確；
C. 若，則，正確；
D. 若，，故不正確；
故此題答案為C．
5．【答案】C
【分析】先由垂徑定理得到，由得到，進而可求出的度數(shù)．
【詳解】解：如圖
∵直徑平分弦，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
故此題答案為C．
6．【答案】C
【分析】將幾何體折疊后即可判斷.
【詳解】由題中展開圖折疊回去即為三棱柱.
故此題答案為C.
7．【答案】B
【詳解】∵一個正邊形的每一個外角都是，
∴，
故此題答案為．
8．【答案】D
【分析】根據(jù)圖像中一次函數(shù)與反比例函數(shù)的分布即可求出取值范圍．
【詳解】解：由圖像知，當或時，一次函數(shù)的圖像在反比例函數(shù)的圖像上方，
即，
故此題答案為D．
9．【答案】B
【詳解】解：，
∵，
∴，
即的值在4和5之間．
故此題答案為B．
10．【答案】B
【分析】作交于，由題意可得，，，再由正切的定義計算即可得解．
【詳解】解：如圖，作交于，
，
由題意可得：，，，
∴，
故此題答案為B．
11．【答案】
【分析】根據(jù)解分式方程的步驟去分母，再解整式方程，檢驗即可得解．
【詳解】解：∵，
∴，
解得：，
當時，，
∴
12．【答案】
【分析】根據(jù)坡度等于坡角的正切即可求解．
【詳解】解：設坡角為，
由題意得，，
．
13．【答案】
【分析】對于一元二次方程，兩根和有這樣的關系：，，按題意代入即可．
【詳解】解： 對于，系數(shù)為1，為3，
，是一元二次方程的兩個根，
．
14．【答案】
【分析】由題意得出，再結(jié)合反比例函數(shù)圖象位于第一、三象限即可得出的值．
【詳解】解：∵ 軸于點，的面積為2，
∴，
解得：，
∵反比例函數(shù)圖象位于第一、三象限，
∴
15．【答案】
【分析】先求出平移后的解析式，再令，求出與軸的交點的橫坐標，求差即可得解．
【詳解】解：將二次函數(shù)的圖象向上平移4個單位長度，得到得解析式為，
令，
解得：，，
∴所得新函數(shù)的圖象與軸兩交點之間的距離是
16．【答案】/
【分析】作直徑，連接，由角的性質(zhì)得，由三角形中位線定理得到，因此當是圓直徑時，有最大值，即可得到答案．
【詳解】解：作直徑，連接，
，
，，
，
點E，F(xiàn)分別是，的中點，
是的中位線，
，
，
當長最大時，有最大值，
當是圓直徑時，最大，
的最大值是
17．【答案】
【分析】先計算特殊角的三角函數(shù)值、算術(shù)平方根、零指數(shù)冪、絕對值，再計算乘法，最后計算加減即可得解．
【詳解】解：
．
18．【答案】
【分析】先算括號里面的，再算除法，最后把x的值代入進行計算即可．
【詳解】解：原式
，

當時,原式
19．【答案】(1)
(2)，理由見解析
【分析】（1）由題意可得，再由勾股定理逆定理得出為直角三角形，且，即可得解；
（2）解直角三角形可得，由作圖可得垂直平分，可得，由直角三角形的性質(zhì)可得，從而得出，再由三角形外角的定義及性質(zhì)計算即可得解．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴為直角三角形，且；
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
由作圖可得垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．【答案】(1)80，32
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用A文學類的人數(shù)除以對應的百分比即可得到本次抽查的學生人數(shù)，用抽查總?cè)藬?shù)乘以B科幻類的百分比即可得到m的值；
（2）用乘以“C漫畫類”對應的百分比即可得到“C漫畫類”對應的圓心角的度數(shù)；
（3）用該校共有學生數(shù)乘以抽查學生中選擇“D數(shù)理類”書籍的學生的百分比即可得到該校學生選擇“D數(shù)理類”書籍的學生人數(shù)；
（4）畫出樹狀圖，找到等可能情況總數(shù)和小文、小明選擇同一社團的情況數(shù)，利用概率公式求解即可．
【詳解】（1）解：由題意得，本次抽查的學生人數(shù)是（人），
統(tǒng)計表中的，
故答案為：80，32
（2）在扇形統(tǒng)計圖中，“C漫畫類”對應的圓心角的度數(shù)是：
，
故答案為：
（3）由題意得，（人），
即估計該校學生選擇“D數(shù)理類”書籍的學生為人；
（4）樹狀圖如下：

從樹狀圖可看出共有16種等可能的情況，小文、小明選擇同一社團的情況數(shù)共有4種，
∴P（小文、小明選擇同一社團）．
21．【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)和平行四邊形的性質(zhì)即可得出且，證得四邊形是平行四邊形，再根據(jù)即可證得四邊形是矩形；
（2）根據(jù)題干條件可求得，再根據(jù)勾股定理即可求得的長．
【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，即，
且，
四邊形是平行四邊形，
，
，
四邊形是矩形．
（2）解：連接，
在中，，，
，
，
在中，，，
．
22．【答案】(1)A種水果購進1000千克，B種水果購進500千克;
(2)A種水果的最低銷售單價為元/
【詳解】（1）解：設A種水果購進x千克， B種水果購進y千克，
根據(jù)題意有，
解得，
∴A種水果購進1000千克，B種水果購進500千克.
（2）設A種水果的銷售單價為元/，
根據(jù)題意有，
解得，
故A種水果的最低銷售單價為元/.
23．【答案】(1)證明過程見詳解
(2)證明過程見詳解
(3)18
【分析】(1) 已知C在圓上，故只需證明與垂直即可；根據(jù)圓周角定理，易得，即；故是的切線；
(2)是直徑；故只需證明與半徑相等即可；
(3)連接，，由圓周角定理可得，進而可得，故；代入數(shù)據(jù)可得．
【詳解】（1）證明：，
，
又，，
，
又是的直徑，
，
，即，
是的半徑，
是的切線；
（2）證明：，
，
，
又，，
，
，
；
（3）解：連接，，
點是的中點，
，
，
，
，
，
，
，
，
又是的直徑，，
，，
，
，
．
24．【答案】(1)
(2)經(jīng)過兩個定點，，
(3)拋物線截軸得到的線段長度的取值范圍為
【分析】（1）根據(jù)“美好拋物線”的定義即可解答；
（2）求出拋物線的頂點坐標為，由“美好拋物線”的定義可得，的解析式為，將代入得出 ，則的解析式為：，令，解得或，即可得解；
（3）求出，由“美好拋物線”的定義可得，的解析式為，從而可得，進而可得，聯(lián)立可得，求出或，即點的橫坐標為，推出，由等腰直角三角形的性質(zhì)并結(jié)合題意可得，且，推出，，結(jié)合題意求出，由的解析式為，設其和軸交點的橫坐標分別為、，則，，求出，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．
【詳解】（1）解：由“美好拋物線”的定義可得：“美好拋物線”的解析式為；
（2）解：經(jīng)過兩個頂點，理由如下：
∵，
∴拋物線的頂點坐標為，
由“美好拋物線”的定義可得，的解析式為：，
將代入得：，
解得：，
∴的解析式為：，
令，
解得：或，
則兩個定點的坐標為，；
（3）解：在中，當時，，即，
由“美好拋物線”的定義可得，的解析式為：，
當時，，即，
∵在上方，
∴，
聯(lián)立可得：，
解得：或，
∵小明發(fā)現(xiàn)無論，為何值時，兩拋物線始終有一交點在與軸垂直的某一固定直線上運動，
∴點的橫坐標為，
當時，，即，
∵是以為斜邊的等腰直角三角形，
∴，且，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
的解析式為：，
設其和軸交點的橫坐標分別為、，則，，
∴，
∵的對稱軸為直線，
故當時，隨著的增大而增大，當時，的值最大，為，
當時，的值最小，為，
即，
∴拋物線截軸得到的線段長度的取值范圍為．
25．【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）由圓周角定理可得，由同角的余角相等可得，再由同弧對的圓周角相等即可得解；
（2）證明，得出，設，則，，求出，即可得解；
（3）①由題意可得，，，結(jié)合，得出，證明，得出，推出，由平行線的性質(zhì)可得，得出四邊形是矩形，由矩形的性質(zhì)可得，最后由正切的定義即可得解；
②作交于，則，，，從而可得，，，求出，，進而表示出，再由平行線分線段成比例定理可得，由余弦的定義計算即可得解．
【詳解】（1）解：∵為的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，即；
（2）解：由（1）可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴設，則，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①∵，，的面積分別為，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴在中，；
②如圖，作交于，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
在中，，
由（2）可得：，
∴，即．書籍類別
學生人數(shù)
A文學類
24
B科幻類
m
C漫畫類
16
D數(shù)理類
8

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