一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）
1. 我國航天領(lǐng)域發(fā)展迅速，從“天宮一號”到“天和”核心艙的發(fā)射，正式邁入“空間站時代”．下列與中國航天相關(guān)的圖標中可以看作是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知雙曲線經(jīng)過點，下列各點也在該雙曲線上的是（ ）
A B. C. D.
3. 如圖，，分別交、于點E、F，平分交于點G，，則（ ）
A. B. C. D.
4. 如圖，與是位似圖形，點為位似中心，且，則（ ）
A. B. C. D.
5. 已知實數(shù)．則實數(shù)m的值應(yīng)在（ ）
A. 1與2之間B. 2與3之間C. 3與4之間D. 4與5之間
6. 如圖，圖1有4顆星，圖2有6顆星，圖3有9顆星，……，按照此規(guī)律圖10星星顆數(shù)為（ ）
A. 55B. 58C. 65D. 69
7. 如圖，在平面直角坐標系中，繞旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)后得到，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標是（ ）

A. B. C. D.
8. 已知的圖象如圖，則和的圖象為（ ）
A. B. C. D.
9. 如圖，是半圓的直徑，是的中點，連接交于點，為的中點，若，則的長為（ ）
A B. C. D.
10. 已知、、、均為常數(shù)，、均為非零常數(shù)，若有兩個整式，，下列結(jié)論中，正確個數(shù)為（ ）
①當為關(guān)于的三次三項式時，則；
②當多項式乘積不含時，則；
③；
④當能被整除時，；
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、填空題：（本大題6個小題，每小題5分，共30分）
11. 若，則＝_____．
12. 四張相同的卡片上分別寫有數(shù)字，，2，3，將卡片的背面向上洗勻后從中任意抽1張，并將卡片上數(shù)字記為k，再從余下的卡片中任意抽1張，并將卡片上數(shù)字記為b，則一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限的概率為________．
13. 如圖，正方形邊長為3，分別以，為圓心，，為半徑畫弧，分別交于點，點，則陰影部分的面積為__．
14. 若關(guān)于的一元一次不等式組至少有3個整數(shù)解，且關(guān)于的分式方程有非正整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是______．
15. 在矩形中，沿對角線將矩形折疊，頂點落在點處，，，在上取點，使得，并延長交于點，則______．
16. 如圖，矩形中，，，以為圓心，為半徑畫弧交于點，為上一動點，連接，．，分別為，的中點，連接，為的中點，連接．當與相切時，__；在點運動過程中，的最小值為__．
三、解答題：（本大題8個小題，每題10分，共80分）
17. 計算：
（1）；
（2）．
18. “發(fā)展科學(xué)技術(shù)，迎接美好未來”，重慶實驗外國語學(xué)校在校開展了科技文化知識競賽，現(xiàn)從七年級和八年級參加競賽的學(xué)生中各隨機抽取了10名學(xué)生的成績進行整理、描述和分析（單位：分，滿分100分，成績均不低于70分，90分及90分以上為優(yōu)秀），并將學(xué)生競賽成績分為A、B、C三個等級：A：，B：，C：．
下面給出了部分信息：
抽取的七年級10名學(xué)生的競賽成績?yōu)椋?5，76，84，84，84，86，86，94，95，96；
抽取的八年級10名學(xué)生的競賽成績在B等級的為：81，83，84，88，88．
兩個年級抽取的學(xué)生成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如表所示：
抽取的八年級學(xué)生競賽成績扇形統(tǒng)計圖如圖所示．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）填空：_____，_____，_____度；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為哪個年級的成績更好？請說明理由（一條理由即可）
（3）若八年級共有500名學(xué)生參賽，請你估計八年級參賽學(xué)生中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)．
19. 如圖，在中，，平分，是的外角．
（1）用尺規(guī)完成作圖：作的角平分線，過點C作，垂足為E；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）小敏作完圖后，發(fā)現(xiàn)四邊形是矩形，請幫助她完成下列推理過程：
∵平分，平分，
∴，．
∴①________．
又∵，平分，
∴②________（三線合一）．
∴．
又∵，
∴③________．
∴四邊形是矩形（三個角是直角的四邊形是矩形）．
（3）小敏在完成證明后進一步思考，得到結(jié)論：當?shù)妊鼭M足________時，矩形是正方形
20. 為做好消毒工作，某學(xué)校購入了一批洗手液與消毒液．購買洗手液花費800元，購買消毒液花費400元，購買消毒液瓶數(shù)恰好是洗手液瓶數(shù)的，每瓶消毒液的價格比每瓶洗手液的價格低4元．
（1）求一瓶洗手液的價格與一瓶消毒液的價格分別是多少元？
（2）學(xué)校決定再次購入一批同樣品牌的洗手液與消毒液，購買洗手液的數(shù)量與第一次相同，購買消毒液的瓶數(shù)比第一次的購入量多瓶，此時洗手液與消毒液雙雙漲價，每瓶洗手液的價格比第一次的價格高元，每瓶消毒液的價格比第一次的價格高元，最終第二次購買洗手液與消毒液的總費用只比第一次購買洗手液與消毒液的總費用多元，求的值．
21. 如圖，為正方形中邊上一點，，．動點P，Q同時從點B出發(fā)，以相同的速度分別沿，向點A，點C移動，連接，，．設(shè)點P運動的路程為x，的面積為，的面積為．
（1）分別寫出，關(guān)于x的函數(shù)解析式及x的取值范圍；
（2）在給定的平面直角坐標系中畫出，的函數(shù)圖象，并分別寫出，的一條性質(zhì)；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出時，x的取值范圍．
22. 如圖，A，B兩地的直線距離為，但因湖水相隔，不能直接到達．從A到B有兩條路可走．線路1：從；線路2：從．從地圖上可得到以下數(shù)據(jù)：點C位于A的正北方向，且在B的北偏西的方向；點D在A的東南方向，且位于B的南偏西方向．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，．）
（1）求的長度；（保留1位小數(shù)）
（2）通過計算說明，線路1和線路2，那條線路更短．
23. 如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)交于點和點．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）點為直線下方拋物線上一動點，軸交于點，，垂足為，求的最大值，及此時點的坐標；
（3）將二次函數(shù)圖象向某個方向平移，平移后（2）中求得的點的對應(yīng)點為，且新拋物線與軸交于兩點（點在點的左側(cè)），交軸于點．為新拋物線位于第四象限上的一動點，過作軸，垂足為，連接，．若，直接寫出新拋物線的解析式和點的坐標．
24. 如圖三角形中，點D在線段上，點E在線段上，連接、交于點F．
（1）如圖1，，，平分．若．求的長．
（2）如圖2，是等邊三角形．延長至點，連接，連接交于點．若，．猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系并證明．
（3）如圖3，，，且，，．點、是平面內(nèi)直線上方的動點且總有，．若，直接寫出當線段取得最小值時的面積．
2024-2025學(xué)年重慶市江北區(qū)魯能巴蜀中學(xué)九年級（下）
開學(xué)數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）
1. 我國航天領(lǐng)域發(fā)展迅速，從“天宮一號”到“天和”核心艙的發(fā)射，正式邁入“空間站時代”．下列與中國航天相關(guān)的圖標中可以看作是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查中心對稱圖形的識別，根據(jù)中心對稱圖形的定義，逐一進行判斷即可，中心對稱圖形的關(guān)鍵是確定對稱中心．
【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，不符合題意；
B、不是中心對稱圖形，不符合題意；
C、是中心對稱圖形，符合題意；
D、不是中心對稱圖形，不符合題意；
故選C．
2. 已知雙曲線經(jīng)過點，下列各點也在該雙曲線上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了求反比例函數(shù)的解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式，據(jù)此逐項判斷即可得．
【詳解】解：將點代入雙曲線得：，
則．
A、當時，，則點不在該雙曲線上，此項不符合題意；
B、當時，，則點在該雙曲線上，此項符合題意；
C、當時，，則點不在該雙曲線上，此項不符合題意；
D、當時，，則點不在該雙曲線上，此項不符合題意；
故選：B．
3. 如圖，，分別交、于點E、F，平分交于點G，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查平行線的性質(zhì)及角平分線有關(guān)計算，先求解，根據(jù)平分，得到，結(jié)合得到．
【詳解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故選：B．
4. 如圖，與是位似圖形，點為位似中心，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查位似圖形，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．分析已知和所求，根據(jù)，可得，由與是以點O為位似中心的位似圖形，即可得它們的位似比為；根據(jù)位似圖形的性質(zhì)可得與的比應(yīng)等于位似比的平方，即可解答．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵與是以點O為位似中心的位似圖形，
∴，
∴．
故選：D
5. 已知實數(shù)．則實數(shù)m的值應(yīng)在（ ）
A. 1與2之間B. 2與3之間C. 3與4之間D. 4與5之間
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的混合運算，實數(shù)的估算，掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．先化簡實數(shù)，再估算出，即可得出實數(shù)m的值的范圍．
【詳解】解：，且，
，
，
實數(shù)m的值應(yīng)在2與3之間，
故選：B．
6. 如圖，圖1有4顆星，圖2有6顆星，圖3有9顆星，……，按照此規(guī)律圖10的星星顆數(shù)為（ ）
A. 55B. 58C. 65D. 69
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了圖形的變化類—規(guī)律型，根據(jù)題目總結(jié)出圖形的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)題意得出圖形中的數(shù)量的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：根據(jù)題意得，圖1有顆星，
圖2有顆星，
圖3有顆星，
圖10有顆星，
故選：B ．
7. 如圖，在平面直角坐標系中，繞旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)后得到，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了中心對稱圖形、點坐標與圖形，熟練掌握旋轉(zhuǎn)中心一定在任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線上是解題關(guān)鍵．找出線段和的垂直平分線的交點即可得．
【詳解】解：由題意可知，線段和的垂直平分線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心．
∵如圖，線段的垂直平分線為直線，線段的垂直平分線是邊長為3的正方形的一條對角線所在直線，其與軸的交點為，

∴旋轉(zhuǎn)中心的坐標是，
故選：B．
8. 已知的圖象如圖，則和的圖象為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象可以得到a＜0，b＞0，c＜0，由此可以判定y=ax+b經(jīng)過一、二、四象限，雙曲線在二、四象限．
【詳解】根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象，
可得a＜0，b＞0，c＜0，
∴y=ax+b過一、二、四象限，
雙曲線在二、四象限，
∴C是正確的．
故選C．
【點睛】此題考查一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)中系數(shù)及常數(shù)項與圖象位置之間關(guān)系．
9. 如圖，是半圓的直徑，是的中點，連接交于點，為的中點，若，則的長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】連接，交于．根據(jù)垂徑定理可得、，從而得是△的中位線，利用三角形的中位線定理得；通過線段的中點得，結(jié)合圓周角定理推論的，可證得，利用全等三角形的性質(zhì)得，進而即可解答．
【詳解】解：如圖，連接，交于，
是的中點，
，，
，，
是的中位線，
，
為的中點，
，
是半圓的直徑，
，
在△和△中，
，
。
，
，
，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了垂徑定理，三角形中位線的定義和定理，圓周角定理的推論，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題關(guān)鍵．
10. 已知、、、均為常數(shù)，、均為非零常數(shù)，若有兩個整式，，下列結(jié)論中，正確個數(shù)為（ ）
①當為關(guān)于的三次三項式時，則；
②當多項式乘積不含時，則；
③；
④當能被整除時，；
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了整式的混合運算，一元二次方程的解，正確化簡計算是解題的關(guān)鍵．
先求出，，，，即可判斷③，然后計算，，根據(jù)題意即可求解，即可判斷①②；由于，能被整除，則是方程的一個根，代入即可得到．
【詳解】解：
，
，
解得，，，，
①，
為關(guān)于的三次三項式，
或，
或，
故結(jié)論①錯誤，不符合題意；
②
，
多項式乘積不含時，
，
，
故結(jié)論②錯誤，不符合題意；
③，，，
，
故結(jié)論③錯誤，不符合題意；
④，能被整除，
是方程的一個根，
，
即，
故結(jié)論④正確，符合題意，
綜上所述，有1個結(jié)論正確，
故選：D．
二、填空題：（本大題6個小題，每小題5分，共30分）
11. 若，則＝_____．
【答案】4
【解析】
【分析】設(shè)，則a=2k，b=3k，再代入式子中即可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，則a=2k，b=3k，
===4
故答案為4
【點睛】此題考查了比例的基本性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.
12. 四張相同的卡片上分別寫有數(shù)字，，2，3，將卡片的背面向上洗勻后從中任意抽1張，并將卡片上數(shù)字記為k，再從余下的卡片中任意抽1張，并將卡片上數(shù)字記為b，則一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限的概率為________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，列表法或畫樹狀圖法求概率，掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限去，確定，，再畫樹狀圖求概率即可．
【詳解】解：一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，
，，
畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，共有12種情況，其中滿足條件的情況有4種，
即一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限的概率為，
故答案為： ．
13. 如圖，正方形的邊長為3，分別以，為圓心，，為半徑畫弧，分別交于點，點，則陰影部分的面積為__．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查的是正方形的性質(zhì)，扇形面積的計算，根據(jù)陰影部分的面積為正方形的面積減去兩個扇形的面積可得答案.
【詳解】解：四邊形正方形，
，，
陰影部分的面積．
故答案為：
14. 若關(guān)于的一元一次不等式組至少有3個整數(shù)解，且關(guān)于的分式方程有非正整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了分式方程的解和一元一次不等式組的整數(shù)解，掌握分式方程的解的步驟和一元一次不等式組的整數(shù)解的定義是關(guān)鍵．根據(jù)分式方程的解的步驟和一元一次不等式組的整數(shù)解的定義進行解答．
【詳解】解：解不等式組，
可得，
不等式組至少有3個整數(shù)解，
，
，
解分式方程，
解得，
又分式方程有非正整數(shù)解，
，且，
且，
且，
滿足條件的整數(shù)的值為：，，，0，2，
滿足條件的整數(shù)的值為：．
故答案為：．
15. 在矩形中，沿對角線將矩形折疊，頂點落在點處，，，在上取點，使得，并延長交于點，則______．
【答案】
【解析】
【分析】由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得，利用勾股定理求出，證明得，代入數(shù)據(jù)求出 ，進而可求出．
【詳解】解：如圖，設(shè)、交于點，
∵四邊形是矩形，
∴，，，
∴，，
由折疊的性質(zhì)得：，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等角對等邊等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
16. 如圖，矩形中，，，以為圓心，為半徑畫弧交于點，為上一動點，連接，．，分別為，的中點，連接，為的中點，連接．當與相切時，__；在點運動過程中，的最小值為__．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】連接并且延長交于點，連接，利用切線的性質(zhì)結(jié)合勾股定理可求得；證明，，推出，利用，即可求解．
【詳解】解：連接并且延長交于點，連接，
四邊形是矩形，，，
，，
當與相切時，則，
，
，
，分別為，的中點，為的中點，
∴，，，
，，
，
，，
，點為的中點，
連接，取的中點，的中點，連接，，則，，，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值為，
故答案為：，．
【點睛】此題重點考查矩形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、兩點之間線段最短等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
三、解答題：（本大題8個小題，每題10分，共80分）
17. 計算：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查了利用因式分解法解一元二次方程和整式的混合運算、分式的混合運算和化簡求值，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．
（1）先把整體移項后，提取公因式即可得方程的解；
（2）先通分進行分式的加減法運算后，再進行分式的除法運算即可．
【小問1詳解】
解：
移項，得：，
因式分解，得：，
或，
，．
【小問2詳解】
解：
18. “發(fā)展科學(xué)技術(shù)，迎接美好未來”，重慶實驗外國語學(xué)校在校開展了科技文化知識競賽，現(xiàn)從七年級和八年級參加競賽的學(xué)生中各隨機抽取了10名學(xué)生的成績進行整理、描述和分析（單位：分，滿分100分，成績均不低于70分，90分及90分以上為優(yōu)秀），并將學(xué)生競賽成績分為A、B、C三個等級：A：，B：，C：．
下面給出了部分信息：
抽取的七年級10名學(xué)生的競賽成績?yōu)椋?5，76，84，84，84，86，86，94，95，96；
抽取的八年級10名學(xué)生的競賽成績在B等級的為：81，83，84，88，88．
兩個年級抽取的學(xué)生成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如表所示：
抽取的八年級學(xué)生競賽成績扇形統(tǒng)計圖如圖所示．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）填空：_____，_____，_____度；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為哪個年級的成績更好？請說明理由（一條理由即可）
（3）若八年級共有500名學(xué)生參賽，請你估計八年級參賽學(xué)生中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)．
【答案】（1）；，；
（2）八年級的成績更好，理由見解析；
（3）150人
【解析】
【分析】本題考查了中位數(shù)、眾數(shù)的定義和意義，扇形統(tǒng)計圖，利用樣本估計總體．
（1）根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的定義，可求出、的值，用八年級C等級人數(shù)所占百分比，可求出；
（2）根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的意義分析即可；
（3）用八年級參賽學(xué)生總?cè)藬?shù)乘以樣本中成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生所占百分比求解即可．
【小問1詳解】
解：由扇形統(tǒng)計圖可知，八年級A等級人數(shù)為人，
八年級10名學(xué)生的競賽成績中位數(shù)為第五、六名學(xué)生的成績，
；
七年級10名學(xué)生的競賽成績中分出現(xiàn)了三次，次數(shù)最后，
；
八年級C等級人數(shù)為，
，
故答案為：；，；
【小問2詳解】
解：八年級的成績更好，
理由：因為七、八年級學(xué)生的競賽成績的平均數(shù)相同，但是八年級學(xué)生的中位數(shù)和眾數(shù)均高于七年級，所以八年級的成績更好；
【小問3詳解】
解：人，
答：估計八年級參賽學(xué)生中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為人．
19. 如圖，在中，，平分，是的外角．
（1）用尺規(guī)完成作圖：作的角平分線，過點C作，垂足為E；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）小敏作完圖后，發(fā)現(xiàn)四邊形是矩形，請幫助她完成下列推理過程：
∵平分，平分，
∴，．
∴①________．
又∵，平分，
∴②________（三線合一）．
∴．
又∵，
∴③________．
∴四邊形是矩形（三個角是直角的四邊形是矩形）．
（3）小敏在完成證明后進一步思考，得到結(jié)論：當?shù)妊鼭M足________時，矩形是正方形
【答案】（1）見解析 （2）見解析
（3）或或
【解析】
【分析】本題考查尺規(guī)作圖—作垂線，作角平分線，矩形的判定，正方形的判定：
（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線，做垂線的方法作圖即可；
（2）根據(jù)平角和角平分線的定義，三線合一，垂直的定義，進行作答即可；
（3）根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形，進行判斷即可．
【小問1詳解】
解：（1）由題意，作圖如下：
【小問2詳解】
∵平分，平分，
∴，．
∴．
又∵，平分，
∴（三線合一）．
∴．
又∵，
∴．
∴四邊形是矩形（三個角是直角的四邊形是矩形）．
【小問3詳解】
當或或時，矩形是正方形；
當時，則：，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴矩形是正方形．
20. 為做好消毒工作，某學(xué)校購入了一批洗手液與消毒液．購買洗手液花費800元，購買消毒液花費400元，購買的消毒液瓶數(shù)恰好是洗手液瓶數(shù)的，每瓶消毒液的價格比每瓶洗手液的價格低4元．
（1）求一瓶洗手液的價格與一瓶消毒液的價格分別是多少元？
（2）學(xué)校決定再次購入一批同樣品牌的洗手液與消毒液，購買洗手液的數(shù)量與第一次相同，購買消毒液的瓶數(shù)比第一次的購入量多瓶，此時洗手液與消毒液雙雙漲價，每瓶洗手液的價格比第一次的價格高元，每瓶消毒液的價格比第一次的價格高元，最終第二次購買洗手液與消毒液的總費用只比第一次購買洗手液與消毒液的總費用多元，求的值．
【答案】（1）一瓶洗手液的價格為20元，一瓶消毒液的價格是16元
（2）的值為12
【解析】
【分析】本題考查一元一次方程和分式方程的實際應(yīng)用．根據(jù)題意找準等量關(guān)系，列出相應(yīng)方程是解答本題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)一瓶洗手液的價格為元，則一瓶消毒液的價格是元，根據(jù)題意可列出關(guān)于的分式方程，求出即可求解．
（2）先求出第二次購買洗手液的數(shù)量為瓶，第二次購買消毒液的數(shù)量為瓶，每瓶洗手液的價格為元，每瓶消毒液的價格為元，再結(jié)合題意列出關(guān)于的一元一次方程，解出即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)一瓶洗手液的價格為元，則一瓶消毒液的價格是元，
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗原方程得解，
∴一瓶消毒液的價格是元，
∴一瓶洗手液的價格為20元，則一瓶消毒液的價格是16元．
【小問2詳解】
解：根據(jù)題意得：第二次購買洗手液的數(shù)量為瓶，第二次購買消毒液的數(shù)量為瓶，
每瓶洗手液的價格為元，每瓶消毒液的價格為元，
根據(jù)題意可列等式：，
解得，（不符合題意舍去），
∴的值為12．
21. 如圖，為正方形中邊上一點，，．動點P，Q同時從點B出發(fā)，以相同的速度分別沿，向點A，點C移動，連接，，．設(shè)點P運動的路程為x，的面積為，的面積為．
（1）分別寫出，關(guān)于x函數(shù)解析式及x的取值范圍；
（2）在給定的平面直角坐標系中畫出，的函數(shù)圖象，并分別寫出，的一條性質(zhì)；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出時，x的取值范圍．
【答案】（1），
（2）圖象見解析，性質(zhì)：當時，隨x的增大而增大，當時，隨x的增大而減小
（3）
【解析】
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的面積公式，二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意求得函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，求得，，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象，根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象即可得到不等式的解集．
【小問1詳解】
解：∵四邊形是正方形，
∴，
∴，，
∴，
；
【小問2詳解】
解：畫
列表：
描點，連線得，如圖：
畫
列表：
描點，連線得，如圖；
性質(zhì)：當時，隨x的增大而增大，當時，隨x的增大而減?。?br>【小問3詳解】
解：由函數(shù)圖象知，當時，x的取值范圍為．
22. 如圖，A，B兩地的直線距離為，但因湖水相隔，不能直接到達．從A到B有兩條路可走．線路1：從；線路2：從．從地圖上可得到以下數(shù)據(jù)：點C位于A的正北方向，且在B的北偏西的方向；點D在A的東南方向，且位于B的南偏西方向．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，．）
（1）求的長度；（保留1位小數(shù)）
（2）通過計算說明，線路1和線路2，那條線路更短．
【答案】（1）
（2）線路2比線路1短，見解析
【解析】
【分析】（1）過點D作，垂足為E．解直角三角形即可．
（2）解直角三角形后比較大小解答即可．
本題考查了解直角三角形，方向角，熟練掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：過點D作，垂足為E．
∴．
∵，，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴，．
∴．
故的長為．
【小問2詳解】
解：由（1）可得，在中，
，
即．
在中，，
即．
，
即．
線路1：；
線路2：．
∵，
∴線路2更短．
故線路2比線路1短．
23. 如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)交于點和點．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）點為直線下方拋物線上一動點，軸交于點，，垂足為，求的最大值，及此時點的坐標；
（3）將二次函數(shù)圖象向某個方向平移，平移后（2）中求得的點的對應(yīng)點為，且新拋物線與軸交于兩點（點在點的左側(cè)），交軸于點．為新拋物線位于第四象限上的一動點，過作軸，垂足為，連接，．若，直接寫出新拋物線的解析式和點的坐標．
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，先得到，把點，代入二次函數(shù)解析式，運用待定系數(shù)法即可求解；
（2）如圖所示，設(shè)直線分別與軸交于點，可得是等腰直角三角形，則有，由平行線的性質(zhì)可得是等腰直角三角形，，設(shè)，則，則，所以，當時，有最大值，最大值為，由此即可求解；
（3）根據(jù)題意可得，圖象向左平移2個單位，向下平移2個單位，則得到平移后二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)與坐標軸的交點可得，，如圖所示，設(shè)與軸交于點，可得，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得，則可得點坐標，聯(lián)立直線與二次函數(shù)可得點的坐標，由此即可求解．
【小問1詳解】
解：把點代入一次函數(shù)得，，
∴，
把點，代入二次函數(shù)解析式得，
，
解得，，
∴二次函數(shù)解析式為；
【小問2詳解】
解：如圖所示，設(shè)直線分別與軸交于點，
當時，，當時，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵軸，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵點為直線下方拋物線上一動點，
∴設(shè)，則，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴當時，有最大值，最大值為，
∴，
∴；
【小問3詳解】
解：∵點經(jīng)過平移得到，
∴圖象向左平移2個單位，向下平移2個單位，
∴二次函數(shù)平移后二次函數(shù)解析式為，
當時，，則，
當時，，
解得，，
∴，
如圖所示，設(shè)與軸交于點，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
在中，，即，
解得，，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
解得，，
∴直線的解析式為，
∴，
解得，，（另一組解不合題意，舍去）
∵點在第四象限，
∴．
【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求解析式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正弦值的計算與運用，二次函數(shù)與直線的交點解一元二次方程，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識的綜合，掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)，等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
24. 如圖三角形中，點D在線段上，點E在線段上，連接、交于點F．
（1）如圖1，，，平分．若．求的長．
（2）如圖2，是等邊三角形．延長至點，連接，連接交于點．若，．猜想、、之間數(shù)量關(guān)系并證明．
（3）如圖3，，，且，，．點、是平面內(nèi)直線上方的動點且總有，．若，直接寫出當線段取得最小值時的面積．
【答案】（1）
（2），證明見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）過點作于點，易得，，則可得，則可求出；
（2）在上取點，使得，連接，在上截取，證明是等邊三角形，利用手拉手證明，再證為等邊三角形，利用手拉手證明，再證，得，即可證明；
（3）先通過計算求出， ，，利用，得出點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓在上方部分，利用，得出點的軌跡為以為圓心，為半徑長的圓在上方部分，將沿直線翻折，得到，證明，由勾股定理求出是定值，由，且當、、依次共線時，取最小值，此時取最小值，當取最小值時，過點作于點，證明，則，求出即可．
【小問1詳解】
解：如圖，過點作于點，
，
，
，
∵平分，
，
∵，
，，
，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：猜想：，證明如下：
在上取點，使得，連接，在上截取，
∵是等邊三角形，
∴，，
設(shè)，則，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴為等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小問3詳解】
解：由，設(shè)，，
∵，，，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴，
解得：，
∴，，
構(gòu)造的外接圓，
由，
則所對圓心角為，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴點和點重合，
∴的外接圓圓心即為點，
∴點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓在上方部分，
∵，
∴如圖，點的軌跡為以為圓心，為半徑長的圓在上方部分，
設(shè)，
∴，
∴，
如圖，將沿直線翻折，得到，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，是定值，
由，且當、、依次共線時，取最小值，
由，
則當、、依次共線時，取最小值，
當取最小值時，如圖，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
過點作于點，連接，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵，
∴．
【點睛】本題考查三角形綜合，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與形狀，等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
學(xué)生
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
七年級
86
85
b
八年級
86
a
88
學(xué)生
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
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