一、選擇題
1．已知數(shù)列滿足，，則( )
A.B.C.D.
答案：C
解析：依題意，，所以
.故選C.
2．某塔一共有13層，總高約55.9米，從下到上每層高度依次排列構成等差數(shù)列，第5層與第7層的高度之和為8.8米，則第5層的高度為( )
A.4.3米B.4.4米C.4.5米D.4.6米
答案：C
解析：解法一：設該塔從下到上每層高度依次排列構成等差數(shù)列，且數(shù)列的公差為d，前n項和為，則，解得，，所以，故選C.
解法二：由題知，，則，得.又，所以，故選C.
3．某家庭打算為子女儲備“教育基金”，計劃從2023年開始，每年年初存入一筆專用存款，使這筆存款到2029年年底連本帶息共有40萬元收益.如果每年的存款數(shù)額相同，依年利率并按復利計算，則每年應該存入約( )
（參考數(shù)據(jù)：，）
A.5.3萬元
B.4.6萬元
C.7.8萬元
D.6萬元
答案：A
解析：設每年存入x萬元，則2023年年初存入的錢到2029年年底本利和為，2024年年初存入的錢到2029年年底本利和為，……，2029年年初存入的錢到2029年年底本利和為，則，即，解得.
4．已知數(shù)列滿足，，則的前100項和為( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：因為，，所以，所以數(shù)列是以8為首項，2為公比的等比數(shù)列，則，即.設的前n項和為，則，兩式相減，得，所以，.
5．我國古代數(shù)學著作中有一問題：“今有垣厚十六尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，問幾何日相逢？”意思是：今有土墻厚16尺，兩鼠從墻兩側(cè)同時打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞長度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞長度是前一天的一半，問兩鼠相逢需要的天數(shù)最少為( )
A.3B.4C.5D.6
答案：C
解析：設大鼠第n天打洞尺，小鼠第n天打洞尺，其中，則數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，，
數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，.
設數(shù)列的前n項和為，則.
所以數(shù)列單調(diào)遞增，由于，故兩鼠相遇至少需要5天.故選C.
二、多項選擇題
6．在流行病學中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù).初始感染者傳染個人為第一輪傳染，第一輪被傳染的個人每人再傳染個人為第二輪傳染，…….假設某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天，初始感染者為1人，則( )
A.第三輪被傳染人數(shù)為16
B.三輪后感染人數(shù)累計為80
C.每一輪被傳染的人數(shù)組成一個等比數(shù)列
D.感染人數(shù)累計達到1000大約需要35天
答案：CD
解析：由題意，設第n輪被傳染的人數(shù)為，前n輪被傳染人數(shù)為，則數(shù)列是首項，公比的等比數(shù)列，故C正確；
所以，當時，，故A錯誤；
三輪后感染人數(shù)累計為，故B錯誤；
當時，，當時，由，故D正確.故選CD.
7．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，，設第n層有個球，從上往下n層球的總數(shù)為，則( )
A.
B.
C.
D.
答案：BC
解析：依題意有，，，……，，累加可得，又滿足上式，所以，，故A錯誤；因為，，，，，所以，故B正確；因為，所以，故C正確；，故D錯誤.
三、填空題
8．數(shù)列的前n項和為__________.
答案：
解析：由題意，可得，①
所以，②
①-②，可得，因此.
9．“物不知數(shù)”是中國古代著名算題，原載于《孫子算經(jīng)》：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二.問物幾何？”宋代數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中系統(tǒng)地敘述了解法，并稱之為大衍求一術，也稱作中國剩余定理.已知一個數(shù)被3除余2，被5除余3，被7除余2，則在不超過2030的正整數(shù)中，所有滿足條件的數(shù)的和為__________.
答案：20410
解析：由題意可知，一個數(shù)被3除余2，被5除余3，被7除余2，則這個正整數(shù)的最小值為23.因為3，5，7的最小公倍數(shù)為105，所以滿足被3除余2，被5除余3，被7除余2的數(shù)構成以23為首項，105為公差的等差數(shù)列，設該數(shù)列為，則，由，可得，所以n的最大值為20.所以滿足條件的這些整數(shù)之和為.
四、解答題
10．已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）已知，求數(shù)列的前n項和.
答案：（1）
（2）
解析：（1）由得.
因為，，
所以，兩式相減并化簡得，
所以，兩式相減得，
所以數(shù)列為等差數(shù)列.
當時，，所以.
設等差數(shù)列的公差為d，因為，所以，
所以.
（2）因為，所以，所以，
則，，
所以，
所以.

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