一、必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件
在一定條件下：
= 1 \* GB3 ①必然要發(fā)生的事件叫必然事件；
= 2 \* GB3 ②一定不發(fā)生的事件叫不可能事件；
= 3 \* GB3 ③可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機(jī)事件。
二、概率
在相同條件下，做次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，事件A發(fā)生次，測得A發(fā)生的頻率為，當(dāng)很大時(shí)，A發(fā)生的頻率總是在某個(gè)常數(shù)附近擺動，隨著的增加，擺動幅度越來越小，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做A的概率，記作。對于必然事件A，；對于不可能事件A，=0.
三、基本事件和基本事件空間
在一次實(shí)驗(yàn)中，不可能再分的事件稱為基本事件，所有基本事件組成的集合稱為基本事件空間。
四、古典概型
條件：1、基本事件空間含有限個(gè)基本事件 2、每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同

五、互斥事件的概率
1、互斥事件
在一次實(shí)驗(yàn)中不能同時(shí)發(fā)生的事件稱為互斥事件。事件A與事件B互斥，則 。
2、對立事件
事件A,B互斥，且其中必有一個(gè)發(fā)生，稱事件A,B對立，記作或..
3、互斥事件與對立事件的聯(lián)系
對立事件必是互斥事件，即“事件A，B對立”是”事件A，B互斥“的充分不必要條件。
六、條件概率與獨(dú)立事件
（1）在事件A發(fā)生的條件下，時(shí)間B發(fā)生的概率叫做A發(fā)生時(shí)B發(fā)生的條件概率，記作 ，條件概率公式為 。
（2）若，即,稱與為相互獨(dú)立事件。 與相互獨(dú)立，即發(fā)生與否對的發(fā)生與否無影響，反之亦然。即相互獨(dú)立，則有公式。
（3）在次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，事件發(fā)生次的概率記作，記在其中一次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率為 ，則 .
【典型例題】
例1．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）有兩個(gè)事件，事件拋擲一枚均勻的骰子，朝上的面點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)；事件人中至少有人生日相同.下列說法正確的是（ ）
A．事件、都是隨機(jī)事件B．事件、都是必然事件
C．事件是隨機(jī)事件，事件是必然事件D．事件是必然事件，事件是隨機(jī)事件
例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某同學(xué)做立定投籃訓(xùn)練，共兩場，第一場投籃20次的命中率為80%，第二場投籃30次的命中率為70%，則該同學(xué)這兩場投籃的命中率為（ ）
A．72%B．74%C．75%D．76%
例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）袋子里有3個(gè)白球，4個(gè)黑球，5個(gè)紅球，某人一次抽取3個(gè)球，若每個(gè)球被抽到的機(jī)會均等，則此人抽到的球顏色互異的概率是（ ）
A．B．C．D．
例4．（2021·河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測）陜西省西安市周至縣的旅游景點(diǎn)樓觀臺，號稱“天下第一福地”，是我國著名的道教勝跡，古代圣哲老子曾在此著《道德經(jīng)》五千言．景區(qū)內(nèi)有一處景點(diǎn)建筑，是按古典著作《連山易》中記載的金、木、水、火、土之間相生相克的關(guān)系，如圖所示，現(xiàn)從五種不同屬性的物質(zhì)中任取兩種，則取出的兩種物質(zhì)恰好是相克關(guān)系的概率為
A．B．C．D．
（多選題）例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列四個(gè)命題錯誤的是（ ）
A．對立事件一定是互斥事件
B．若，為兩個(gè)事件，則
C．若事件，，彼此互斥，則
D．若事件，滿足，則A，是對立事件
例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球和4個(gè)黑球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球.設(shè)ξ為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，則P(ξ＝2)＝________.
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列事件中，隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)為（ ）
①物體在只受重力的作用下會自由下落；②方程x2＋2x＋8＝0有兩個(gè)實(shí)根；③某信息臺每天的某段時(shí)間收到信息咨詢的請求次數(shù)超過10次；④下周六會下雨.
A．1B．2
C．3D．4
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））在對口扶貧工作中，某單位扶貧工作組4人幫扶到戶3戶貧困戶，每名工作組成員幫扶一戶，每戶至少一人，則扶貧工作組組長甲被分到第一戶的概率為（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）在12本書中，有10本語文書，2本英語書，從中任意抽取3本的必然事件是（ ）
A．3本都是語文書B．至少有一本是英語書
C．3本都是英語書D．至少有一本是語文書
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一個(gè)人有把鑰匙，其中只有一把可以打開房門，他隨意的進(jìn)行試開，若試開過的鑰匙放在一邊，試開次數(shù)為隨機(jī)變量，則
A．B．C．D．
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某同學(xué)做立定投籃訓(xùn)練，共場，每場投籃次數(shù)和命中的次數(shù)如表中記錄板所示．
根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)信息，該同學(xué)場投籃的命中率約為（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某人進(jìn)行打靶練習(xí)，共射擊10次，其中有2次中10環(huán)，3次中9環(huán)，4次中8環(huán)，1次未中靶，則此人中靶的頻率是（ ）
A．0.2B．0.4C．0.5D．0.9
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè)“三件產(chǎn)品全不是次品”，“三件產(chǎn)品全是次品”，“三件產(chǎn)品不全是次品”，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．A與B互斥且為對立事件B．B與C互斥且為對立事件
C．A與C存在有包含關(guān)系D．A與C不是對立事件
8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，若事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”，“向上的點(diǎn)數(shù)為”，“向上的點(diǎn)數(shù)為或”，則有（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在一個(gè)擲骰子的試驗(yàn)中，事件A表示“向上的面小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件B表示“向上的面小于4的點(diǎn)出現(xiàn)”，則在一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率為（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示“向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“向上的點(diǎn)數(shù)不超過3”，則P(A∪B)=（ ）
A．B．C．D．1
11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)達(dá)，電子支付變得愈發(fā)流行，若電子支付只包含微信支付和支付寶支付兩種.若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為
A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
12．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為，和棋的概率為，則乙獲勝的概率為（ ）
A．B．C．D．
13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若隨機(jī)事件，互斥，，發(fā)生的概率均不等于0，且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一人打靶中連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．至多有一次中靶B．兩次都中靶
C．兩次都不中靶D．只有一次中靶
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）把語文、數(shù)學(xué)、英語三本學(xué)習(xí)書隨機(jī)地分給甲、乙、丙三位同學(xué)，每人一本，則事件A：“甲分得語文書”，事件B：“乙分得數(shù)學(xué)書”，事件C：“丙分得英語書”，則下列說法正確的是（ ）
A．A與B是不可能事件B．A＋B＋C是必然事件
C．A與B不是互斥事件D．B與C既是互斥事件也是對立事件
16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在某次圍棋比賽中，甲、乙兩人進(jìn)入最后決賽.比賽取三局二勝制，即先勝兩局的一方獲得比賽冠軍，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽甲勝乙的概率都為，且各局比賽的勝負(fù)互不影響，在甲已經(jīng)先勝一局的情況下，甲獲得冠軍的概率為（ ）
A．B．C．D．
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知從甲袋內(nèi)摸出1個(gè)紅球的概率是，從乙袋內(nèi)摸出1個(gè)紅球的概率是，從兩袋內(nèi)各摸出1個(gè)球，則2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球的概率是（ ）
A．B．C．D．
18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）國慶節(jié)放假，甲回老家過節(jié)的概率為，乙、丙回老家過節(jié)的概率分別為，.假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少1人回老家過節(jié)的概率為（ ）
A．B．C．D．
19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，則（ ）
A．B．C．D．
20．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）對關(guān)于的一元二次方程，通過擲骰子確定其中的系數(shù)，第一次出現(xiàn)的數(shù)作為，第二次出現(xiàn)的數(shù)作為（一顆骰子有6個(gè)面，分別刻有1、2，3、4、5、6六個(gè)數(shù)，每次擾擲，各數(shù)出現(xiàn)的可能性相同），那么，這個(gè)方程有解的概率是（ ）
A．B．C．D．
21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一個(gè)袋子中裝有大小形狀完全相同的個(gè)白球和個(gè)黑球，從中一次摸出個(gè)球，則摸出白球個(gè)數(shù)多于黑球個(gè)數(shù)的概率為（ ）
A．B．C．D．
22．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））不透明袋子里有大小完全相同的10只小球，其中4只藍(lán)色6只紅色，小朋友花花想從袋子里取到一只紅色小球，第一次從袋子里隨機(jī)取出一只小球，卻是藍(lán)色，不放回，再取第二次.則小朋友花花第二次取到紅色小球的概率是（ ）
A．B．C．D．
23．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））中國古典戲曲四大名著是《牡丹亭》《西廂記》《桃花扇》和《長生殿》，它們是中國古典文化藝術(shù)的瑰寶.某戲曲學(xué)院圖書館藏有上述四部戲曲名著各10本，由于該戲曲學(xué)院的部分學(xué)生對《牡丹亭》這部戲曲產(chǎn)生了濃厚的興趣，該戲曲學(xué)院圖書館決定購買一批《牡丹亭》戲曲書籍(其他三部數(shù)量保持不變)若干本.若要保證購買后在該戲曲學(xué)院圖書館所藏有的這四大戲曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戲曲書籍的概率不小于0.6，則該戲曲學(xué)院圖書館需至少購買《牡丹亭》戲曲書籍（ ）
A．25本B．30本C．35本D．40本
24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（骰子的六個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個(gè)點(diǎn)）一次，觀察擲出向上的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件為擲出向上為偶數(shù)點(diǎn)，事件為擲出向上為3點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立且沒有平局，則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進(jìn)行了三局的概率為（ ）
A．B．
C．D．
26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)歷年的氣象數(shù)據(jù)，某市5月份發(fā)生中度霧霾的概率為0.25，刮四級以上大風(fēng)的概率為0.4，既發(fā)生中度霧霾又刮四級以上大風(fēng)的概率為0.2.則在發(fā)生中度霧霾的情況下，刮四級以上大風(fēng)的概率為（ ）
A．0.8B．0.625C．0.5D．0.1
27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠、紫五只杯子，將它們疊成一疊，則在黃色杯子和綠色杯子相鄰的條件下，黃色杯子和紅色杯子也相鄰的概率為（ ）
A．B．C．D．
28．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））從一副52張的撲克牌（不含大小王）中隨機(jī)抽取一張，設(shè)事件為“抽到黑色牌”，事件為“抽到黑桃牌”，事件為“抽到”，則（ ）
A．事件與事件相互獨(dú)立，事件與事件相互獨(dú)立
B．事件與事件相互獨(dú)立，事件與事件不相互獨(dú)立
C．事件與事件不相互獨(dú)立，事件與事件相互獨(dú)立
D．事件與事件不相互獨(dú)立，事件與事件不相互獨(dú)立
29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）袋內(nèi)有3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”記為B，否則記為C，那么事件A與B，A與C間的關(guān)系是（ ）
A．A與B，A與C均相互獨(dú)立
B．A與B相互獨(dú)立，A與C互斥
C．A與B，A與C均互斥
D．A與B互斥，A與C相互獨(dú)立
30．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））某工廠生產(chǎn)一批醫(yī)療器械的零件，每件零件生產(chǎn)成型后，得到合格零件的概率為0.7，得到的不合格零件可以進(jìn)行一次技術(shù)精加工，技術(shù)精加工后得到合格零件的概率是0.3，而此時(shí)得到的不合格零件將不能再加工，只能成為廢品，則生產(chǎn)時(shí)得到合格零件的概率是（ ）
A．0.49B．0.73C．0.79.D．0.91
31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）擲一枚硬幣兩次，記事件“第一次出現(xiàn)正面”，“第二次出現(xiàn)反面”，則有
A．與相互獨(dú)立B．
C．與互斥D．
32．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一臺機(jī)床有的時(shí)間加工零件A，其余時(shí)間加工零件B.加工零件A時(shí)，停機(jī)的概率為，加工零件B時(shí)，停機(jī)的概率是，則這臺機(jī)床停機(jī)的概率為（ ）
A．B．
C．D．
33．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一只不透明的口袋內(nèi)裝有5個(gè)小球，其中3個(gè)白球?2個(gè)黑球.現(xiàn)有放回地從袋中依次摸出1個(gè)球，則前三次摸出的球均為白球的概率是（ ）.
A．B．C．D．
34．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某大學(xué)選拔新生進(jìn)“籃球”“電子競技”“國學(xué)”三個(gè)社團(tuán)，據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，新生是否通過考核選拔進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)相互獨(dú)立某新生參加社團(tuán)時(shí)，假設(shè)他通過考核選拔進(jìn)入該校的“籃球”“電子競技”“國學(xué)”三個(gè)社團(tuán)的概率依次為m，，n，已知三個(gè)社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為，至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為，則（ ）
A．B．C．D．
35．（2022·全國·高三專題練習(xí)）箱子里有5個(gè)黑球，4個(gè)白球，每次隨機(jī)取出一個(gè)球，若取出黑球，則放回箱中，重新取球；若取出白球，則停止取球．那么在第4次取球之后停止的概率為( )
A．B．C．D．
二、多選題
36．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列說法錯誤的是（ ）
A．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于該隨機(jī)事件發(fā)生的概率
B．某種福利彩票的中獎概率為，買1000張這種彩票一定能中獎
C．連續(xù)100次擲一枚硬幣，結(jié)果出現(xiàn)了49次反面，則擲一枚硬幣出現(xiàn)反面的概率為
D．某市氣象臺預(yù)報(bào)“明天本市降水概率為70%”，指的是：該市氣象臺專家中，有70%認(rèn)為明天會降水，30%認(rèn)為明天不會降水
37．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)A，B是兩個(gè)事件，且B發(fā)生A必定發(fā)生，，，給出下列各式，其中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
38．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）設(shè)，，為三個(gè)事件，下列各式意義表述正確的是（ ）
A．表示事件不發(fā)生且事件和事件同時(shí)發(fā)生
B．表示事件，，中至少有一個(gè)沒發(fā)生
C．表示事件，至少有一個(gè)發(fā)生
D．表示事件，，恰有一個(gè)發(fā)生
39．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別為隨機(jī)事件A，B的對立事件，，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．若A，B獨(dú)立，則
D．若A，B互斥，則
40．（2022·全國·高三專題練習(xí)）為慶祝建黨100周年，謳歌中華民族實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增進(jìn)全體黨員干部職工對黨史知識的了解，某單位組織開展黨史知識競賽活動，以支部為單位參加比賽，某支部在5道黨史題中(有3道選擇題和道填空題)，不放回地依次隨機(jī)抽取道題作答，設(shè)事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第次抽到選擇題”，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
三、雙空題
41．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在一只袋子中裝有7個(gè)紅玻璃球，3個(gè)綠玻璃球．從中無放回地任意抽取兩次，每次只取一個(gè)，取得兩個(gè)紅玻璃球的概率為，取得兩個(gè)綠玻璃球的概率為，則取得兩個(gè)同顏色的玻璃球的概率為________；至少取得一個(gè)紅玻璃球的概率為________．
42．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某射擊運(yùn)動員每次擊中目標(biāo)的概率為，現(xiàn)連續(xù)射擊兩次．
（1）已知第一次擊中，則第二次擊中的概率是_________ ；
（2）在僅擊中一次的條件下，第二次擊中的概率是_________ ．
四、填空題
43．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）給出下列4個(gè)說法：
①現(xiàn)有一批產(chǎn)品，次品率為0.05，則從中選取200件，必有10件是次品；
②做100次拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果有51次出現(xiàn)正面向上，因此，出現(xiàn)正面向上的概率是；
③拋擲一枚骰子100次，有18次出現(xiàn)1點(diǎn)，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是；
④隨機(jī)事件的概率一定等于這個(gè)事件發(fā)生的頻率．
其中正確的說法是________．(填序號)
44．（2022·全國·高三專題練習(xí)）從某自動包裝機(jī)包裝的食品中，隨機(jī)抽取20袋，測得各袋的質(zhì)量（單位：g）分別為：492，496，494，495，498，497，503，506，508，507，497，501，502，504，496，492，496，500，501，499.根據(jù)抽測結(jié)果估計(jì)該自動包裝機(jī)包裝的袋裝食品質(zhì)量在497.5～501.5 g之間的概率為_______.
45．（2022·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有，兩隊(duì)參加關(guān)于“十九大”的知識問答競賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問題，答對者為本隊(duì)贏1分，答錯得0分.隊(duì)中每人答對的概率均為，隊(duì)中每人答對的概率分別為，，，且各答題人答題正確與否之間互無影響.若事件表示“隊(duì)得2分”，事件表示“隊(duì)得1分”，則___________.
46．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，這四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的0.20，0.25，0.3，0.25，這四條流水線的合格率依次為，，，，現(xiàn)在從出廠產(chǎn)品中任取一件，則恰好抽到不合格的概率是___________.
47．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）祖沖之是我國南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家．他一生鉆研自然科學(xué)，其主要貢獻(xiàn)在數(shù)學(xué)、天文歷法和機(jī)械制造三方面，特別是在探索圓周率的精確度上，首次將“”精確到小數(shù)點(diǎn)后第七位，即＝3.1415926…，在此基礎(chǔ)上，我們從“圓周率”第三到第八位有效數(shù)字中隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)字a，b，則事件“”的概率為_______．
48．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）袋子中有3個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中1個(gè)紅球，2個(gè)黑球，現(xiàn)隨機(jī)從中不放回地依次摸出2個(gè)球，則第二次摸到紅球的概率為_________________．
49．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）盒中有3張分別標(biāo)有1,2,3的卡片．從盒中隨機(jī)抽取一張記下號碼后放回，再隨機(jī)抽取一張記下號碼，則兩次抽取的卡片號碼中至少有一個(gè)為偶數(shù)的概率為__________．
50．（2022·全國·模擬預(yù)測）2021年5月15日，天問一號探測器在火星烏托邦平原南部預(yù)選著陸區(qū)著陸，我國首次火星探測任務(wù)著陸火星取得成功，極大地鼓舞了天文愛好者探索宇宙奧秘的熱情.某校航天科技小組決定從甲、乙等6名同學(xué)中選出4名同學(xué)參加市舉行的“我愛火星”知識競賽，已知甲被選出，則乙也被選出的概率為______.
51．（2022·全國·高三專題練習(xí)）拋擲骰子2次，每次結(jié)果用表示，其中，分別表示第一次?第二次骰子朝上的點(diǎn)數(shù).若設(shè)，，則______.
第一場
第二場
第三場
投籃次數(shù)
投中次數(shù)

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