一、基本概念
平面內到定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）叫圓.
二、基本性質、定理與公式
1.圓的四種方程
（1）圓的標準方程：，圓心坐標為(a,b)，半徑為
（2）圓的一般方程：，圓心坐標為，半徑
（3）圓的直徑式方程：若，則以線段AB為直徑的圓的方程是
（4）圓的參數方程：
①的參數方程為（為參數）；
②的參數方程為（為參數）.
注 對于圓的最值問題，往往可以利用圓的參數方程將動點的坐標設為（為參數，(a,b)為圓心，r為半徑），以減少變量的個數，建立三角函數式，從而把代數問題轉化為三角問題，然后利用正弦型或余弦型函數的有界性求解最值.
2.點與圓的位置關系判斷
（1）點與圓的位置關系：
①點P在圓外；
②點P在圓上；
③點P在圓內.
（2）點與圓的位置關系：
①點P在圓外；
②點P在圓上；
點P在圓內.
三、直線與圓的位置關系
直線與圓的位置關系有3種，相離，相切和相交
直線與圓的位置關系判斷
1.幾何法（圓心到直線的距離和半徑關系）
圓心到直線的距離，則：
則直線與圓相交，交于兩點，；
直線與圓相切；
直線與圓相離
2.代數方法（幾何問題轉化為代數問題即交點個數問題轉化為方程根個數）
由 ，消元得到一元二次方程，判別式為，則：
則直線與圓相交；
直線與圓相切；
直線與圓相離.
五、兩圓位置關系的判斷
用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關系確定，具體是：
設兩圓的半徑分別是，（不妨設），且兩圓的圓心距為，則：
則兩圓相交；
兩圓外切；
兩圓相離
兩圓內切；
兩圓內含（時兩圓為同心圓）
【典型例題】
例1．（2022·全國·高三專題練習（文））已知圓C的圓心在直線上，且與直線相切于點，則圓C方程為（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2022·全國·高三專題練習）點在圓上，點在圓上，則（ ）
A．的最小值為
B．兩圓公切線有兩條
C．兩個圓心所在的直線斜率為
D．兩個圓相交弦所在直線的方程為
例3．（2022·全國·高三專題練習）求圓心在直線上，且過兩圓，
交點的圓的方程．
例4．（2021·湖南·攸縣第三中學高三階段練習）已知圓的方程：.
（1）求的取值范圍；
（2）當圓過A(1，1)時，求直線被圓所截得的弦的長.
例5．（2020·江蘇·高三專題練習）的三個頂點的坐標是求它的外接圓的方程．
例6．（2020·全國·高三專題練習）已知圓C：（x+2）2+y2＝5，直線l：mx﹣y+1+2m＝0，m∈R.
（1）判斷直線與圓的位置關系，并說明理由；
（2）若直線與圓交于兩點，求弦AB的中點M的軌跡方程.
例7．（2021·全國·高三專題練習（理））已知點，點在圓上運動.
（1）求過點且被圓截得的弦長為的直線方程；
（2）求的最值.
例8．（2021·遼寧·沈陽二中高三階段練習）已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
（1）求兩圓公共弦所在直線的方程；
（2）求經過兩圓交點且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程.
例9．（2021·全國·高三專題練習）求與圓切于點，且過點的圓的方程.
例10．（2021·全國·高三專題練習（理））已知點，動點滿足.
（1）求點的軌跡的方程；
（2）求經過點以及曲線與交點的圓的方程.
【技能提升訓練】
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習（理））己知圓C經過A（5，2）， B（－1，4）兩點，圓心在x軸上，則圓C的方程是（ ）
A．（x－2）2+y2= 13B．（x+2）2+y2= 17
C．（x+1）2 +y2= 40D．（x－1）2 +y2 = 20
2．（2021·新疆昌吉·高三階段練習（理））圓關于直線對稱的圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全國·高三專題練習（理））若圓的半徑為，圓心在第一象限，且與直線和軸都相切，則該圓的標準方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·全國·高三專題練習）過點，，且圓心在直線上的圓的方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·全國·高三專題練習）以點為圓心，且與直線相切的圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·全國·高三專題練習）圓與圓的位置關系為（ ）
A．內含B．外離C．相交D．相切
7．（2022·全國·高三專題練習）若直線與圓相切，則的值為（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·全國·高三專題練習）直線與軸，軸分別交于點，，以線段為直徑的圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022·全國·高三專題練習）與圓的公切線有（ ）
A．1條B．2條
C．3條D．4條
10．（2022·全國·高三專題練習）圓的圓心到直線的距離為1，則
A．B．C．D．2
11．（2022·全國·高三專題練習）若方程表示圓，則實數m的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·江蘇·高三專題練習）若點在圓的外部，則實數的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
13．（2022·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，四點坐標分別為，若它們都在同一個圓周上，則a的值為（ ）
A．0B．1C．2D．
14．（2022·全國·高三專題練習（文））圓心在軸上，且過點的圓與軸相切，則該圓的方程是（ ）
A．B．
C．D．
15．（2022·全國·高三專題練習）已知直線，若圓上存在兩點，關于直線對稱，則的值為（ ）
A．B．
C．D．
16．（2022·全國·高三專題練習）直線與圓的位置關系是（ ）
A．相離B．相交C．相切D．不確定
17．（2022·全國·高三專題練習）若過點有兩條直線與圓相切，則實數的取值范圍是
A．B．C．D．
18．（2021·全國·高三階段練習（文））已知點在圓上運動，點在直線上運動，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
19．（2021·全國·高三專題練習（理））已知圓上的點到直線的距離的最大值是，最小值是，則（ ）
A．B．C．D．
20．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）為任意實數時，直線被圓截得的弦長是
A．8B．4C．2D．與有關的值
21．（2022·全國·高三專題練習）已知點A的坐標是（-1，0），點M滿足|MA|=2，那么M點的軌跡方程是（ ）
A．x2+y2+2x-3=0B．x2+y2-2x-3=0C．x2+y2+2y-3=0D．x2+y2-2y-3=0
22．（2022·全國·高三專題練習（文））已知點，點，動點滿足（為坐標原點），過點的直線被動點的軌跡曲線截得的所有弦中最短弦所在的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
23．（2022·全國·高三專題練習）圓到直線的距離為的點有（ ）
A．個B．個
C．個D．個
24．（2022·全國·高三專題練習）直線：與圓：的位置關系是（ ）
A．相交B．相切C．相離D．不確定
25．（2022·全國·高三專題練習）過點的直線l與圓相切，則直線l的方程是（ ）
A．或B．
C．或D．
26．（2022·全國·高三專題練習）已知圓與直線切于點，則直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
27．（2022·全國·高三專題練習）過點作圓的兩條切線，切點分別為，，則
A．B．C．D．
28．（2022·全國·高三專題練習）已知，直線，為上一個動點，過點作的切線，切點為，則的最小值為（ ）
A．1B．C．2D．
29．（2021·江西·高三階段練習（文））已知圓О的方程為，過圓О外一點作圓O的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，則直線AB的方程為（ ）
A．B．
C．D．
30．（2022·全國·高三專題練習）過點作直線與圓相切于、兩點，則直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
31．（2021·江蘇常州·一模）過圓：外一點作圓的切線，切點分別為、，則（ ）
A．2B．C．D．3
32．（2022·全國·高三專題練習）已知直線與圓相切，則m的值為（ ）
A．3或B．1或
C．0或4D．或0
33．（2022·河北張家口·高三期末）直線與圓交于、兩點，則（ ）
A．B．C．D．
34．（2022·全國·高三專題練習）若點為圓的弦的中點，則弦所在直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
35．（2019·天津·耀華中學高三階段練習）已知圓：和直線：；若直線與圓相交于，兩點，的面積為2，則值為（ ）
A．-1或3B．1或5C．-1或-5D．2或6
36．（2022·全國·高三專題練習）圓C1：(x-2)2+(y-4)2＝9與圓C2：(x-5)2+y2＝16的公切線條數為（ ）
A．1B．2C．3D．4
37．（2021·全國·高二課時練習）圓心在直線x﹣y﹣4＝0上，且經過兩圓x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交點的圓的方程為（ ）
A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0
C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0
38．（2022·全國·高三專題練習）若圓與圓外切，則（ ）
A．B．C．D．
39．（2022·全國·高三專題練習）圓與圓公共弦所在直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
40．（2022·全國·高三專題練習）圓：與圓：交于、兩點，則（ ）
A．6B．5C．D．
41．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知圓上到直線的距離等于1的點恰有3個，則實數的值為
A．或B．C．D．或
42．（2022·全國·高三專題練習（理））已知圓上有且只有兩個點到直線的距離等于，則實數的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
43．（2022·全國·高三專題練習）若圓：上有四個不同的點到直線：的距離為2，則的取值不可能是（ ）
A．-15B．13C．15D．0
44．（2022·全國·高三專題練習（文））若圓上有且僅有兩個點到直線的距離等于2，則實數a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
45．（2022·全國·高三專題練習）已知圓的一般方程為，則下列說法正確的是（ ）
A．圓的圓心為B．圓的半徑為5
C．圓被軸截得的弦長為6D．圓被軸截得的弦長為6
46．（2022·全國·高三專題練習）已知，M為圓上的動點，則線段的長可能為（ ）
A．3B．5C．7D．9
47．（2022·全國·高三專題練習）若P是圓上任一點，則點P到直線的距離可以為（ ）
A．2B．4C．6D．8
48．（2022·全國·高三專題練習）圓與圓有且僅有兩條公切線，實數的值可以取（ ）
A．B．C．D．
49．（2022·全國·高三專題練習）已知圓，圓，則下列是圓與圓的公切線的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
三、雙空題
50．（2022·全國·高三專題練習）已知方程為，則圓心坐標為________，圓半徑為__________．
四、填空題
51．（2022·全國·高三專題練習）已知圓心在第一象限的圓經過點，圓心在直線上，且半徑為5，則此圓的標準方程為___________．
52．（2022·全國·高三專題練習）已知圓C和直線相切于點，且經過點，則圓C的方程為___________.
53．（2022·全國·高三專題練習）圓關于點中心對稱的圓的方程為___________.
54．（2022·全國·高三專題練習）已知三個點，，，則的外接圓的圓心坐標是___________.
55．（2022·上海·高三專題練習）若圓關于直線對稱，則該圓的半徑為__________
56．（2022·全國·高三專題練習）兩圓x2＋y2－6x＋6y－48＝0與x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切線的條數是________．
57．（2022·全國·高三專題練習）已知直線l：kx﹣y﹣2k+2＝0與圓C：x2+y2﹣2x﹣6y+6＝0相交于A，B兩點，則|AB|的最小值為______________．
58．（2022·全國·高三專題練習）已知圓上一定點，為圓上的動點，則線段中點的軌跡方程為______________．
59．（2022·全國·高三專題練習）已知圓，則直線和圓的位置關系為___________.
60．（2022·全國·高三專題練習）已知圓O：則，過點作圓的切線，則切線的方程為___________.
61．（2021·江蘇省如皋中學高三開學考試）已知點Q是直線：上的動點，過點Q作圓：的切線，切點分別為A，B，則切點弦AB所在直線恒過定點___________.
62．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）若斜率為的直線與軸交于點，與圓相切于點，則____________．
63．（2022·全國·高三專題練習）已知直線x－y＋8＝0和圓x2＋y2＝25相交于A，B兩點，則|AB|＝__________.
64．（2022·全國·高三專題練習）若圓被直線所截得的弦長為，則實數的值是______．
65．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知直線與圓相交于A?B兩點，且，則直線l的傾斜角為___________.
66．（2022·全國·高三專題練習）已知過點且斜率為k的直線l，與圓C：交于M，N兩點，若弦的長是2，則k的值是________．
67．（2022·全國·高三專題練習）已知圓截直線所得弦長是，則的值為______．
68．（2021·河北秦皇島·二模）已知直線與圓相交于A，B兩點，則面積為___________.
五、解答題
69．（2021·山東·鄒平市第一中學模擬預測）已知直線經過兩條直線和的交點，且與直線垂直．
（1）求直線的一般式方程；
（2）若圓的圓心為點，直線被該圓所截得的弦長為，求圓的標準方程．
70．（2020·西藏·林芝市第二高級中學高三階段練習（文））已知圓心為C（4，3）的圓經過原點O．
（1）求圓C的方程；
（2）設直線3x﹣4y+15＝0與圓C交于A，B兩點，求△ABC的面積．
71．（2021·山西·天鎮(zhèn)縣實驗中學高二期中）已知圓和圓.
（1）試判斷兩圓的位置關系；
（2）求公共弦所在直線的方程；
（3）求公共弦的長度.

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