2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-圓的方程-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．圓心為(2,1)且和x軸相切的圓的方程是( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x－2)2＋(y－1)2＝5D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
2．設(shè)a∈R，則“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲線是圓”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
3．若x2＋y2＝8，則2x＋y的最大值為( )
A．8 B．4
C．2eq \r(10) D．5
4．已知圓C：(x－eq \r(3))2＋(y－1)2＝1和兩點(diǎn)A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則t的取值范圍是( )
A．(0,2] B．[1,2]
C．[2,3] D．[1,3]
5．點(diǎn)M為圓C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1上任意一點(diǎn)，直線(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ過定點(diǎn)P，則|MP|的最大值為( )
A．2eq \r(3)B．eq \r(13)
C．2eq \r(3)＋1D．eq \r(13)＋1
6．(多選)已知圓x2＋y2－4x－1＝0，則下列關(guān)于該圓說法正確的有( )
A．關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱
B．關(guān)于直線y＝0對稱
C．關(guān)于直線x＋3y－2＝0對稱
D．關(guān)于直線x－y＋2＝0對稱
7．(多選)已知圓C關(guān)于y軸對稱，經(jīng)過點(diǎn)(1,0)且被x軸分成兩段，弧長比為1∶2，則圓C可能的方程為( )
A．x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(\r(3),3)))2＝eq \f(4,3)B．x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(3),3)))2＝eq \f(4,3)
C．(x－eq \r(3))2＋y2＝eq \f(4,3)D．(x＋eq \r(3))2＋y2＝eq \f(4,3)
8．已知三個(gè)點(diǎn)A(0,0)，B(2,0)，C(4，2)，則△ABC的外接圓的圓心坐標(biāo)是________．
9．已知點(diǎn)P為圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0上任意一點(diǎn)，A，B為直線3x＋4y＋5＝0上的兩動(dòng)點(diǎn)，且|AB|＝2，則△ABP的面積的取值范圍是________．
10．已知以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A(－1,0)和B(3,4)，線段AB的垂直平分線交圓P于點(diǎn)C和D，且|CD|＝4eq \r(10)．
(1)求直線CD的方程；
(2)求圓P的方程．
11．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．若已知△ABC的頂點(diǎn)A(－4,0)，B(0,4)，其歐拉線方程為x－y＋2＝0，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)可以是( )
A．(1,3)B．(3,1)
C．(－2,0)D．(0，－2)
12．寫出一個(gè)關(guān)于直線x＋y－1＝0對稱的圓的方程____________．
13．已知A(－2,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|＝2|MB|，則點(diǎn)M的軌跡方程是____________________；又若eq \(MA,\s\up7(―→))·eq \(MB,\s\up7(―→))＝0，此時(shí)△MAB的面積為________．
14．已知點(diǎn)P(2,2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)M的軌跡方程；
(2)當(dāng)|OP|＝|OM|時(shí)，求l的方程及△POM的面積．
15．(多選)設(shè)有一組圓Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命題正確的是( )
A．不論k如何變化，圓心C始終在一條直線上
B．所有圓Ck均不經(jīng)過點(diǎn)(3,0)
C．經(jīng)過點(diǎn)(2,2)的圓Ck有且只有一個(gè)
D．所有圓的面積均為4π
16．已知曲線T：F(x，y)＝0，對坐標(biāo)平面上任意一點(diǎn)P(x，y)，定義F[P]＝F(x，y)，若兩點(diǎn)P，Q滿足F[P]·F[Q]>0，稱點(diǎn)P，Q在曲線T同側(cè)；F[P]·F[Q]0}的面積．
課時(shí)過關(guān)檢測(四十八)
圓的方程【解析版】
1．圓心為(2,1)且和x軸相切的圓的方程是( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x－2)2＋(y－1)2＝5D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
解析：A 圓心為(2,1)且和x軸相切的圓，它的半徑為1，故它的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1，故選A．
2．設(shè)a∈R，則“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲線是圓”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
解析：A 方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲線是圓，則有D2＋E2－4F＝a2＋4－8＞0，解得a＞2或a＜－2，則“a＞2”是“a＞2或a＜－2”的充分不必要條件，所以“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲線是圓”的充分不必要條件．故選A．
3．若x2＋y2＝8，則2x＋y的最大值為( )
A．8 B．4
C．2eq \r(10) D．5
解析：C 設(shè)2x＋y＝t，則y＝t－2x，當(dāng)直線y＝t－2x與x2＋y2＝8相切時(shí)，t取到最值，所以eq \f(|t|,\r(5))≤2eq \r(2)，解得－2eq \r(10)≤t≤2eq \r(10)，所以2x＋y的最大值為2eq \r(10)，故選C．
4．已知圓C：(x－eq \r(3))2＋(y－1)2＝1和兩點(diǎn)A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則t的取值范圍是( )
A．(0,2] B．[1,2]
C．[2,3] D．[1,3]
解析：D 圓C：(x－eq \r(3))2＋(y－1)2＝1的圓心C(eq \r(3)，1)，半徑為1，因?yàn)閳A心C到O(0,0)的距離為2，所以圓C上的點(diǎn)到O(0,0)的距離最大值為3，最小值為1，又因?yàn)椤螦PB＝90°，則以AB為直徑的圓和圓C有交點(diǎn)，可得|PO|＝eq \f(1,2)|AB|＝t，所以有1≤t≤3，故選D．
5．點(diǎn)M為圓C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1上任意一點(diǎn)，直線(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ過定點(diǎn)P，則|MP|的最大值為( )
A．2eq \r(3)B．eq \r(13)
C．2eq \r(3)＋1D．eq \r(13)＋1
解析：D 整理直線方程得：(x＋y－2)＋(3x＋2y－5)λ＝0，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2＝0，,3x＋2y－5＝0))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))∴P(1,1)，由圓的方程知圓心C(－2，－1)，半徑r＝1，∴|MP|max＝|CP|＋r＝eq \r(?－2－1?2＋?－1－1?2)＋1＝eq \r(13)＋1．故選D．
6．(多選)已知圓x2＋y2－4x－1＝0，則下列關(guān)于該圓說法正確的有( )
A．關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱
B．關(guān)于直線y＝0對稱
C．關(guān)于直線x＋3y－2＝0對稱
D．關(guān)于直線x－y＋2＝0對稱
解析：ABC x2＋y2－4x－1＝0?(x－2)2＋y2＝5，所以圓心的坐標(biāo)為(2,0)，半徑為eq \r(5)．A項(xiàng)，圓是關(guān)于圓心對稱的中心對稱圖形，而點(diǎn)(2,0)是圓心，所以本選項(xiàng)正確；B項(xiàng)，圓是關(guān)于直徑所在直線對稱的軸對稱圖形，直線y＝0過圓心，所以本選項(xiàng)正確；C項(xiàng)，圓是關(guān)于直徑所在直線對稱的軸對稱圖形，直線x＋3y－2＝0過圓心，所以本選項(xiàng)正確；D項(xiàng)，圓是關(guān)于直徑所在直線對稱的軸對稱圖形，直線x－y＋2＝0不過圓心，所以本選項(xiàng)不正確．故選A、B、C．
7．(多選)已知圓C關(guān)于y軸對稱，經(jīng)過點(diǎn)(1,0)且被x軸分成兩段，弧長比為1∶2，則圓C可能的方程為( )
A．x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(\r(3),3)))2＝eq \f(4,3)B．x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(3),3)))2＝eq \f(4,3)
C．(x－eq \r(3))2＋y2＝eq \f(4,3)D．(x＋eq \r(3))2＋y2＝eq \f(4,3)
解析：AB 由題意知圓心在y軸上，且被x軸所分劣弧所對圓心角為eq \f(2π,3)，設(shè)圓心C(0，a), 半徑為r，則rsineq \f(π,3)＝1，rcseq \f(π,3)＝|a|，解得r＝eq \f(2,\r(3))，即r2＝eq \f(4,3)，|a|＝eq \f(\r(3),3)，即a＝±eq \f(\r(3),3)，故圓C的方程為x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y±\f(\r(3),3)))2＝eq \f(4,3)．
8．已知三個(gè)點(diǎn)A(0,0)，B(2,0)，C(4，2)，則△ABC的外接圓的圓心坐標(biāo)是________．
解析：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,4＋2D＋F＝0，,20＋4D＋2E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝－6，,F＝0，))所以圓的方程為x2－2x＋y2－6y＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝10，所以圓心坐標(biāo)為(1,3)．
答案：(1,3)
9．已知點(diǎn)P為圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0上任意一點(diǎn)，A，B為直線3x＋4y＋5＝0上的兩動(dòng)點(diǎn)，且|AB|＝2，則△ABP的面積的取值范圍是________．
解析：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4，圓心C(2，1)，半徑r＝2，圓心C到直線3x＋4y＋5＝0的距離d＝eq \f(|6＋4＋5|,\r(32＋42))＝3，設(shè)P到直線AB的距離為h，則S△ABP＝eq \f(1,2)·|AB|·h＝h，∵d－r≤h≤d＋r，∴1≤h≤5，∴S△ABP∈[1,5]，即△ABP的面積的取值范圍為[1,5]．
答案：[1,5]
10．已知以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A(－1,0)和B(3,4)，線段AB的垂直平分線交圓P于點(diǎn)C和D，且|CD|＝4eq \r(10)．
(1)求直線CD的方程；
(2)求圓P的方程．
解：(1)直線AB的斜率k＝1，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)．
所以直線CD的方程為y－2＝－(x－1)，
即x＋y－3＝0．
(2)設(shè)圓心P(a，b)，則由點(diǎn)P在CD上得a＋b－3＝0．①
又直徑|CD|＝4eq \r(10)，
所以|PA|＝2eq \r(10)．
所以(a＋1)2＋b2＝40．②
由①②解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝6))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝－2，))
所以圓心P(－3,6)或P(5，－2)，
所以圓P的方程為(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40．
11．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．若已知△ABC的頂點(diǎn)A(－4,0)，B(0,4)，其歐拉線方程為x－y＋2＝0，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)可以是( )
A．(1,3)B．(3,1)
C．(－2,0)D．(0，－2)
解析：D ∵A(－4,0)，B(0,4)，∴AB的垂直平分線方程為x＋y＝0，又外心在歐拉線x－y＋2＝0上，聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,x－y＋2＝0，))解得三角形ABC的外心為G(－1,1)，又r＝|GA|＝eq \r(?－1＋4?2＋?1－0?2)＝eq \r(10)，∴△ABC外接圓的方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝10．設(shè)C(x，y)，則三角形ABC的重心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x－4,3)，\f(y＋4,3)))在歐拉線上，即eq \f(x－4,3)－eq \f(y＋4,3)＋2＝0．整理得x－y－2＝0．聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(?x＋1?2＋?y－1?2＝10，,x－y－2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝0.))∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)可以是(0，－2)．故選D．
12．寫出一個(gè)關(guān)于直線x＋y－1＝0對稱的圓的方程____________．
解析：設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a，b)，因?yàn)閳AC關(guān)于x＋y－1＝0對稱，所以C(a，b)在直線x＋y－1＝0上，則a＋b－1＝0，取a＝1?b＝0，設(shè)圓的半徑為1，則圓的方程(x－1)2＋y2＝1．
答案：(x－1)2＋y2＝1(答案不唯一)
13．已知A(－2,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|＝2|MB|，則點(diǎn)M的軌跡方程是____________________；又若eq \(MA,\s\up7(―→))·eq \(MB,\s\up7(―→))＝0，此時(shí)△MAB的面積為________．
解析：設(shè)M(x，y)，由|MA|＝2|MB|，得eq \r(?x＋2?2＋y2)＝2eq \r(?x－2?2＋y2)，整理得3x2＋3y2－20x＋12＝0．以AB為直徑的圓的方程為x2＋y2＝4，聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x2＋3y2－20x＋12＝0，,x2＋y2＝4，))解得|y|＝eq \f(8,5)．即M點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值為eq \f(8,5)．此時(shí)△MAB的面積為S＝eq \f(1,2)×4×eq \f(8,5)＝eq \f(16,5)．
答案：3x2＋3y2－20x＋12＝0 eq \f(16,5)
14．已知點(diǎn)P(2,2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)M的軌跡方程；
(2)當(dāng)|OP|＝|OM|時(shí)，求l的方程及△POM的面積．
解：圓C：x2＋(y－4)2＝42，故圓心為C(0,4)，半徑為4．(1)當(dāng)C，M，P三點(diǎn)均不重合時(shí)，∠CMP＝90°，所以點(diǎn)M的軌跡是以線段PC為直徑的圓(除去點(diǎn)P，C)，線段PC中點(diǎn)為(1,3)，eq \f(1,2)|PC|＝eq \f(1,2)eq \r(?2－0?2＋?2－4?2)＝eq \r(2)，故M的軌跡方程為(x－1)2＋(y－3)2＝2(x≠2，且y≠2或x≠0，且y≠4)．當(dāng)C，M，P三點(diǎn)中有重合的情形時(shí)，易求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,2)或(0,4)．綜上可知，點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)圓，軌跡方程為(x－1)2＋(y－3)2＝2．
(2)由(1)可知點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)N(1,3)為圓心，eq \r(2)為半徑的圓．
法一(幾何法)：由于|OP|＝|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上．又P在圓N上，從而ON⊥PM．因?yàn)镺N的斜率為3，所以直線l的斜率為－eq \f(1,3)，故直線l的方程為y＝－eq \f(1,3)x＋eq \f(8,3)，即x＋3y－8＝0．又易得|OM|＝|OP|＝2eq \r(2)，點(diǎn)O到直線l的距離為eq \f(8,\r(12＋32))＝eq \f(4\r(10),5)，|PM|＝ 2eq \r(?2\r(2)?2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(10),5)))2)＝eq \f(4\r(10),5)，所以△POM的面積為eq \f(1,2)×eq \f(4\r(10),5)×eq \f(4\r(10),5)＝eq \f(16,5)．
法二(代數(shù)法)：設(shè)M(x，y)，由|OM|＝|OP|＝2eq \r(2)得x2＋y2＝8，
聯(lián)立方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝8， ①,?x－1?2＋?y－3?2＝2， ②))
①－②得直線l方程為x＋3y－8＝0，將x＝8－3y代入①得5y2－24y＋28＝0，解得y1＝eq \f(14,5)，y2＝2．從而x1＝－eq \f(2,5)，x2＝2．所以M點(diǎn)坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,5)，\f(14,5)))，
|PM|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(2,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(14,5)))2)＝eq \f(4\r(10),5)．
又點(diǎn)O到l距離d＝eq \f(8,\r(12＋32))＝eq \f(4\r(10),5)，
所以△POM的面積S＝eq \f(1,2)|PM|·d
＝eq \f(1,2)×eq \f(4\r(10),5)×eq \f(4\r(10),5)＝eq \f(16,5)．
15．(多選)設(shè)有一組圓Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命題正確的是( )
A．不論k如何變化，圓心C始終在一條直線上
B．所有圓Ck均不經(jīng)過點(diǎn)(3,0)
C．經(jīng)過點(diǎn)(2,2)的圓Ck有且只有一個(gè)
D．所有圓的面積均為4π
解析：ABD 圓心坐標(biāo)為(k，k)，在直線y＝x上，A正確；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化簡得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0無實(shí)數(shù)根，B正確；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化簡得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有兩不等實(shí)根，∴經(jīng)過點(diǎn)(2,2)的圓Ck有兩個(gè)，C錯(cuò)誤；由圓的半徑為2，得圓的面積為4π，D正確．故選A、B、D．
16．已知曲線T：F(x，y)＝0，對坐標(biāo)平面上任意一點(diǎn)P(x，y)，定義F[P]＝F(x，y)，若兩點(diǎn)P，Q滿足F[P]·F[Q]>0，稱點(diǎn)P，Q在曲線T同側(cè)；F[P]·F[Q]0}的面積．
解：(1)由題意，顯然直線l斜率存在，設(shè)方程為y＝kx，則F(x，y)＝kx－y＝0，
因?yàn)锳(－1,1)，B(2,3)，線段AB上所有點(diǎn)都在直線l同側(cè)，
則F[A]·F[B]＝(－k－1)(2k－3)>0，
解得－1

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