TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc153451810" PAGEREF _Tc153451810 \h 2
\l "_Tc153451811" PAGEREF _Tc153451811 \h 3
\l "_Tc153451812" PAGEREF _Tc153451812 \h 3
\l "_Tc153451813" PAGEREF _Tc153451813 \h 6
\l "_Tc153451814" PAGEREF _Tc153451814 \h 12
\l "_Tc153451815" 考點一：函數(shù)零點問題之分段分析法模型 PAGEREF _Tc153451815 \h 12
\l "_Tc153451816" 考點二：函數(shù)嵌套問題 PAGEREF _Tc153451816 \h 14
\l "_Tc153451817" 考點三：函數(shù)整數(shù)解問題 PAGEREF _Tc153451817 \h 17
\l "_Tc153451818" 考點四：唯一零點求值問題 PAGEREF _Tc153451818 \h 20
\l "_Tc153451819" 考點五：等高線問題 PAGEREF _Tc153451819 \h 22
\l "_Tc153451820" 考點六：分段函數(shù)零點問題 PAGEREF _Tc153451820 \h 25
\l "_Tc153451821" 考點七：函數(shù)對稱問題 PAGEREF _Tc153451821 \h 29
\l "_Tc153451822" 考點八：零點嵌套問題 PAGEREF _Tc153451822 \h 31
\l "_Tc153451823" 考點九：函數(shù)零點問題之三變量問題 PAGEREF _Tc153451823 \h 34
\l "_Tc153451824" 考點十：倍值函數(shù) PAGEREF _Tc153451824 \h 36
\l "_Tc153451825" 考點十一：函數(shù)不動點問題 PAGEREF _Tc153451825 \h 38
\l "_Tc153451826" 考點十二：函數(shù)的旋轉問題 PAGEREF _Tc153451826 \h 40
\l "_Tc153451827" 考點十三：構造函數(shù)解不等式 PAGEREF _Tc153451827 \h 42
\l "_Tc153451829" 考點十四：導數(shù)中的距離問題 PAGEREF _Tc153451829 \h 45
\l "_Tc153451831" 考點十五：導數(shù)的同構思想 PAGEREF _Tc153451831 \h 49
\l "_Tc153451832" 考點十六：不等式恒成立之分離參數(shù)、分離函數(shù)、放縮法 PAGEREF _Tc153451832 \h 51
\l "_Tc153451833" 考點十七：三次函數(shù)問題 PAGEREF _Tc153451833 \h 54
\l "_Tc153451834" 考點十八：切線條數(shù)、公切線、切線重合與垂直問題 PAGEREF _Tc153451834 \h 56
\l "_Tc153451835" 考點十九：任意存在性問題 PAGEREF _Tc153451835 \h 62
\l "_Tc153451836" 考點二十：雙參數(shù)最值問題 PAGEREF _Tc153451836 \h 65
\l "_Tc153451837" 考點二十一：切線斜率與割線斜率 PAGEREF _Tc153451837 \h 67
\l "_Tc153451838" 考點二十二：最大值的最小值問題（平口單峰函數(shù)、鉛錘距離） PAGEREF _Tc153451838 \h 69
\l "_Tc153451839" 考點二十三：兩邊夾問題和零點相同問題 PAGEREF _Tc153451839 \h 72
\l "_Tc153451840" 考點二十四：函數(shù)的伸縮變換問題 PAGEREF _Tc153451840 \h 74
\l "_Tc153451841" 考點二十五：V型函數(shù)和平底函數(shù) PAGEREF _Tc153451841 \h 76
\l "_Tc153451842" 考點二十六：曼哈頓距離與折線距離 PAGEREF _Tc153451842 \h 78
有關函數(shù)與導數(shù)常見經(jīng)典壓軸小題的高考試題，考查重點是零點、不等式、恒成立等問題，通常與函數(shù)性質、解析式、圖像等均相關，需要考生具有邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算核心素養(yǎng). 同時，對于實際問題，需要考生具有數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模核心素養(yǎng).

1、求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現(xiàn)的形式時，應從內到外依次求值；當給出函數(shù)值求自變量的值時，先假設所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記要代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應段自變量的取值范圍．
2、含有抽象函數(shù)的分段函數(shù)，在處理時首先要明確目標，即讓自變量向有具體解析式的部分靠攏，其次要理解抽象函數(shù)的含義和作用（或者對函數(shù)圖象的影響）．
3、含分段函數(shù)的不等式在處理上通常有兩種方法：一種是利用代數(shù)手段，通過對進行分類討論將不等式轉變?yōu)榫唧w的不等式求解；另一種是通過作出分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結合，利用圖象的特點解不等式．
4、分段函數(shù)零點的求解與判斷方法：
（1）直接法：直接根據(jù)題設條件構造關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成球函數(shù)值域的問題加以解決；
（3）數(shù)形結合法：先將解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解．
5、動態(tài)二次函數(shù)中靜態(tài)的值：
解決這類問題主要考慮二次函數(shù)的有關性質及式子變形，注意二次函數(shù)的系數(shù)、圖象的開口、對稱軸是否存在不變的性質，二次函數(shù)的圖象是否過定點，從而簡化解題．
6、動態(tài)二次函數(shù)零點個數(shù)和分布問題：
通常轉化為相應二次函數(shù)的圖象與軸交點的個數(shù)問題，結合二次函數(shù)的圖象，通過對稱軸，根的判別式，相應區(qū)間端點函數(shù)值等來考慮．
7、求二次函數(shù)最值問題，應結合二次函數(shù)的圖象求解，有三種常見類型：
（1）對稱軸變動，區(qū)間固定；
（2）對稱軸固定，區(qū)間變動；
（3）對稱軸變動，區(qū)間也變動．
這時要討論對稱軸何時在區(qū)間之內，何時在區(qū)間之外．討論的目的是確定對稱軸和區(qū)間的關系，明確函數(shù)的單調情況，從而確定函數(shù)的最值．
8、由于三次函數(shù)的導函數(shù)為我們最熟悉的二次函數(shù)，所以基本的研究思路是：借助導函數(shù)的圖象來研究原函數(shù)的圖象．如借助導函數(shù)的正負研究原函數(shù)的單調性；借助導函數(shù)的（變號）零點研究原函數(shù)的極值點（最值點）；綜合借助導函數(shù)的圖象畫出原函數(shù)的圖象并研究原函數(shù)的零點…
具體來說，對于三次函數(shù)，其導函數(shù)為，根的判別式．
（1）當時，恒成立，三次函數(shù)在上為增函數(shù)，沒有極值點，有且只有一個零點；
（2）當時，有兩根，，不妨設，則，可得三次函數(shù)在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，則，分別為三次函數(shù)的兩個不相等的極值點，那么：
① 若，則有且只有個零點；
② 若，則有個零點；
③ 若，則有個零點．
特別地，若三次函數(shù)存在極值點，且，則地解析式為．
同理，對于三次函數(shù)，其性質也可類比得到．
9、由于三次函數(shù)的導函數(shù)為二次函數(shù)，其圖象變化規(guī)律具有對稱性，所以三次函數(shù)圖象也應當具有對稱性，其圖象對稱中心應當為點，此結論可以由對稱性的定義加以證明．事實上，該圖象對稱中心的橫坐標正是三次函數(shù)導函數(shù)的極值點．
10、對于三次函數(shù)圖象的切線問題，和一般函數(shù)的研究方法相同．導數(shù)的幾何意義就是求圖象在該店處切線的斜率，利用導數(shù)研究函數(shù)的切線問題，要區(qū)分“在”與“過”的不同，如果是過某一點，一定要設切點坐標，然后根據(jù)具體的條件得到方程，然后解出參數(shù)即可．
11、恒成立（或存在性）問題常常運用分離參數(shù)法，轉化為求具體函數(shù)的最值問題．
12、如果無法分離參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進行分類討論，利用函數(shù)性質求解，常見的是利用函數(shù)單調性求解函數(shù)的最大、最小值．
13、當不能用分離參數(shù)法或借助于分類討論解決問題時，還可以考慮利用函數(shù)圖象來求解，即利用數(shù)形結合思想解決恒成立（或存在性）問題，此時應先構造函數(shù)，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)圖象之間的關系，得出答案或列出條件，求出參數(shù)的范圍．
14、兩類零點問題的不同處理方法
利用零點存在性定理的條件為函數(shù)圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且．．
①直接法：判斷-一個零點時，若函數(shù)為單調函數(shù)，則只需取值證明．
②分類討論法：判斷幾個零點時，需要先結合單調性，確定分類討論的標準，再利用零點存在性定理，在每個單調區(qū)間內取值證明．
15、利用導數(shù)研究方程根（函數(shù)零點）的技巧
（1）研究方程根的情況，可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最大值、最小值、變化趨勢等．
（2）根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標明函數(shù)極（最）值的位置．
（3）利用數(shù)形結合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn)．
16、已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的常用方法
（1）分離參數(shù)法：首先分離出參數(shù)，然后利用求導的方法求出構造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．
（2）分類討論法：結合單調性，先確定參數(shù)分類的標準，在每個小范圍內研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍．
1．（2021?新高考Ⅰ）若過點可以作曲線的兩條切線，則
A．B．C．D．
2．（2021?乙卷）設，若為函數(shù)的極大值點，則
A．B．C．D．
3．（多選題）（2023?新高考Ⅱ）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則
A．B．C．D．
4．（多選題）（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)，則
A．有兩個極值點
B．有三個零點
C．點是曲線的對稱中心
D．直線是曲線的切線
5．（2022?新高考Ⅰ）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則的取值范圍是 ，， ．
6．（2021?新高考Ⅱ）已知函數(shù)，，，函數(shù)的圖象在點，和點，的兩條切線互相垂直，且分別交軸于，兩點，則的取值范圍是 ．
7．（2023?乙卷）設，若函數(shù)在上單調遞增，則的取值范圍是 ．
8．（2022?乙卷）已知和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點．若，則的取值范圍是 ．
9．（2022?新高考Ⅱ）曲線過坐標原點的兩條切線的方程為 ， ．
10．（2022?上海）已知函數(shù)為定義域為的奇函數(shù)，其圖像關于對稱，且當，時，，若將方程的正實數(shù)根從小到大依次記為，，，，，則 ．
考點一：函數(shù)零點問題之分段分析法模型
例1．（2023·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)至少存在一個零點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
例3．（2023·全國·高三校聯(lián)考專題練習）已知函數(shù)的圖象上存在三個不同點，且這三個點關于原點的對稱點在函數(shù)的圖象上，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
考點二：函數(shù)嵌套問題
例4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，設關于的方程有個不同的實數(shù)解，則的所有可能的值為
A．B．或C．或D．或或
例5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，設關于的方程有個不同的實數(shù)解，則的所有可能的值為（ ）
A．3B．4C．2或3或4或5D．2或3或4或5或6
例6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，設關于的方程有個不同的實數(shù)解，則的所有可能的值為（ ）
A．3B．1或3C．4或6D．3或4或6
考點三：函數(shù)整數(shù)解問題
例7．（2023·福建龍巖·高三上杭一中校考階段練習）若函數(shù)沒有零點，則整數(shù)的最大值是（ ）
A．3B．2C．1D．0
例8．（2023·福建泉州·高三泉州五中?？迹╆P于的不等式的解集中有且僅有兩個大于2的整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
例9．（2023·全國·高三專題練習）已知關于的不等式有且僅有兩個正整數(shù)解（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
考點四：唯一零點求值問題
例10．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)有唯一零點，則負實數(shù)
A．B．C．D．或
例11．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則正實數(shù)的值為（ ）
A．B．C．1D．2
例12．（2023春·遼寧·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)的值為（ ）
A．或B．1或C．或D．或1
例13．（2023春·福建泉州·高三福建省德化第一中學?？奸_學考試）已知函數(shù)有唯一零點，則（ ）
A．B．C．D．1
考點五：等高線問題
例14．（2023·全國·高三專題練習）已知定義域為的函數(shù)的圖象關于對稱，當時，，若方程有四個不等實根，，，時，都有成立，則實數(shù)的最小值為（ ）
A．B．C．D．
例15．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），若關于的方程恰有三個不等實根，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
例16．（2023·吉林長春·東北師大附中?？寄M預測）已知函數(shù)，（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），若關于x的方程恰有三個不同的零點，且，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
考點六：分段函數(shù)零點問題
例17．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù) ，若函數(shù)在內恰有5個零點，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例18．（2023·全國·高三專題練習）已知定義在上的函數(shù)若函數(shù)恰有2個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
例19．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
考點七：函數(shù)對稱問題
例20．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
例21．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知函數(shù)f（x）＝x2＋ex－ （x

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