一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.
1. 已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（ ）
A. B.
C. D.
2. 設(shè)函數(shù) ，的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A B. C. 和D.
3. 已知是圓上的兩個(gè)相異的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列選項(xiàng)中，p是q的充要條件的是（ ）
A. p：或，q：兩條直線與平行
B. p：直線與曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
C. 在圓外部，
D. p：直線與圓相離，
5. 設(shè)為雙曲線的右焦點(diǎn)，，分別為的兩條漸近線的傾斜角，已知點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為1，且滿足，則雙曲線的焦距為（ ）
A. B. 2C. D. 4
6. 已知是遞增的等比數(shù)列，若，則當(dāng)取得最小值時(shí)，（ ）
A.
B. 1
C. 4
D. 16
7. 函數(shù)在處有極值10，則為（ ）
A. B. 15C. 或15D. 不存在
8. 已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)，在雙曲線右支上存在點(diǎn)，使得成等比數(shù)列，則雙曲線離心率取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 設(shè)是兩個(gè)非零向量，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 在方向上的投影向量的模為
10. 已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則（ ）
A. 有2個(gè)極值點(diǎn)
B. 有3個(gè)零點(diǎn)
C. 只可能在或者時(shí)取得最小值
D. 對(duì)，恒成立
11. “出租車幾何”或“曼哈頓距離”（Manhattan Distance）是由十九世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，是種被使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語(yǔ)．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，對(duì)于任意兩點(diǎn)、，定義它們之間的“歐幾里得距離”，“曼哈頓距離”為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)，則為定值
B. 對(duì)于平面上任意一點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
C. 對(duì)于平面上任意三點(diǎn)、、，都有
D. 若、為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則最大值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12. 等比數(shù)列中，且，，成等差數(shù)列，則________．（結(jié)果可用冪表示）
13. 已知函數(shù)在處取得極小值，則__________．
14. 如圖所示，正八面體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)為正八面體內(nèi)(含表面)的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為________
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 為了解某地小學(xué)生對(duì)中國(guó)古代四大名著內(nèi)容的熟悉情況，從各名著中分別選取了“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”“大鬧天宮”4個(gè)經(jīng)典故事，進(jìn)行尋找經(jīng)典故事出處的答題游戲（不同的經(jīng)典故事不能搭配同一本名著）.規(guī)定：每答對(duì)1個(gè)經(jīng)典故事的出處，可獲得10分.
（1）小王同學(xué)的答題情況如圖所示，
①求小王同學(xué)的得分；
②老師指出了小王同學(xué)答錯(cuò)的試題，并要求他重新作答錯(cuò)誤試題，求小王同學(xué)避開此次錯(cuò)誤答案后隨機(jī)作答并全部答對(duì)的概率
（2）小李同學(xué)將這4個(gè)經(jīng)典故事與四大名著隨機(jī)地搭配進(jìn)行答題，記他的得分為X，求X的分布列與期望.
16. 平面內(nèi)，已知，，且．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程．
（2）已知橢圓的離心率為，過(guò)E上任意一點(diǎn)M可作出橢圓的兩條相互垂直的切線為切點(diǎn)．若延長(zhǎng)與曲線E交于另一點(diǎn)D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率存在，分別設(shè)為，，證明：為定值．
17. 已知數(shù)列滿足.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
18. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，證明：；
（2）若在區(qū)間上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
19. 如圖所示，由橢圓（）和拋物線（）組合成曲線，若與存在共同焦點(diǎn)，由圖形特點(diǎn)，它們形狀像收回四條腿的七星瓢蟲，這里稱曲線為“七星瓢蟲曲線”.特別地，若橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、半焦距成等差數(shù)列，則稱其為“等差橢圓”.
（1）求“等差橢圓”離心率；
（2）在“七星瓢蟲曲線”中，若“等差橢圓”，且.
（ⅰ）求與和都相切直線的方程；
（ⅱ）直線（），且l與相交所得弦的中點(diǎn)為M，與相交所得弦的中點(diǎn)為N，證明：直線OM，ON（O為原點(diǎn)）的斜率之積為定值.
吉安縣立中學(xué)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高二2月重點(diǎn)班檢測(cè)
數(shù)學(xué)
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.
1. 已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程.
【詳解】由題可得，
則，
故切點(diǎn)為，切線在該點(diǎn)處的斜率為，
故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.
故選：A.
2. 設(shè)函數(shù) ，的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A. B. C. 和D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再解不等式即得單調(diào)遞減區(qū)間.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，
由，即，解得或，
所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和.
故選：C
3. 已知是圓上的兩個(gè)相異的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量關(guān)系得到、坐標(biāo)與坐標(biāo)的關(guān)系，然后結(jié)合已知條件以及、在圓上的條件，進(jìn)而求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.
【詳解】設(shè)，因?yàn)?，，，所?
根據(jù)向量相等的性質(zhì)，可得，進(jìn)一步整理得到.
將展開可得.
因?yàn)?，在圓上，所以，，
又已知，即.
將上述值代入可得：.
由可得.
又因?yàn)?，所以，可?
動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，
故選：C.
4. 下列選項(xiàng)中，p是q的充要條件的是（ ）
A. p：或，q：兩條直線與平行
B. p：直線與曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
C. 在圓外部，
D. p：直線與圓相離，
【答案】B
【解析】
【分析】充要條件是指p可以推出q，q也可以推出p，需要根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)中p和q的關(guān)系進(jìn)行分析判斷.
【詳解】對(duì)于A，若兩條直線與平行，
所以，解得或，但是當(dāng)時(shí)，兩直線重合，
所以，則p是q的必要不充分條件，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，可得，，
所以，
表示圓心為，半徑的圓的上半部分，如圖所示：
直線恒過(guò)點(diǎn)，一般式為，
因?yàn)橹本€與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
所以圓心到直線的距離小于半徑，即，解得，
當(dāng)時(shí)，左邊圓上的端點(diǎn)為，此時(shí)斜率為，
所以，
所以p是q的充要條件，故B正確；
對(duì)于C， 圓半徑，
即，所以，
因?yàn)樵趫A外部，
所以，解得，
綜上，所以p是q的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，圓化為標(biāo)準(zhǔn)式為：，
圓心為，半徑為，
若直線與圓相離，
則圓心到直線的距離為，
兩邊平方化簡(jiǎn)得，綜上，
所以p是q的充分不必要條件，故D錯(cuò)誤；
故選：B.
5. 設(shè)為雙曲線的右焦點(diǎn)，，分別為的兩條漸近線的傾斜角，已知點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為1，且滿足，則雙曲線的焦距為（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】先根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求出焦點(diǎn)到漸近線的距離，再結(jié)合漸近線傾斜角的關(guān)系求出，進(jìn)而求出，，的關(guān)系，最后求出雙曲線的焦距.
【詳解】雙曲線，其漸近線方程為，不妨設(shè)，.
右焦點(diǎn)到漸近線（不妨取這條）的距離為.
根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，則，已知點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為，所以.
因?yàn)?，分別為的兩條漸近線的傾斜角，且，又，所以，解得. 可得，即，解得.
可得，所以. 雙曲線的焦距為.
故選：D.
6. 已知是遞增的等比數(shù)列，若，則當(dāng)取得最小值時(shí)，（ ）
A.
B. 1
C. 4
D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】由已知得，有，，及，則取得最小值等價(jià)于函數(shù)取得最小值，利用導(dǎo)數(shù)法得時(shí)，取得最小值，即可求解.
【詳解】設(shè)的公比為q，由得，，故，
又因?yàn)槭沁f增的數(shù)列，所以，
因?yàn)?，所以取得最小值等價(jià)于函數(shù)取得最小值，
求導(dǎo)得，
令得，令得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí).
故選：D
7. 函數(shù)在處有極值10，則為（ ）
A. B. 15C. 或15D. 不存在
【答案】B
【解析】
【分析】依據(jù)函數(shù)極值的定義列方程組即可求得的值.
【詳解】由，得
則，解之得或
當(dāng)時(shí)，，
則在定義域上單調(diào)遞增，在處無(wú)極值，不符合題意，舍去.
當(dāng)時(shí)，，
則在處取極小值10，符合題意.
則
故選：B
8. 已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)，在雙曲線右支上存在點(diǎn)，使得成等比數(shù)列，則雙曲線離心率取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，則得，由和可推得為關(guān)于的方程的兩根，求得，（*），在中，利用余弦定理得，將（*）代入化簡(jiǎn)得，根據(jù)，可得，即，解不等式可得.
【詳解】
如圖，不妨設(shè)，
由題意，，
則，即①，
又，即②，
由①，② 可知，可看成關(guān)于的方程的兩根，
則，故得，（*）.
在中，因，
運(yùn)用余弦定理，由可得：，
化簡(jiǎn)得：，
將（*）代入整理得：，
化簡(jiǎn)得：，即，
由圖可得，則有，
即得：，也即，
分解因式得：，
即，
因，解得.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：選設(shè)未知數(shù)后，通過(guò)變形后求得，是關(guān)鍵，再利用余弦定理建立方程，結(jié)合圖形得將其化成關(guān)于的齊次不等式，求解即得.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 設(shè)是兩個(gè)非零向量，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 在方向上的投影向量的模為
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)于A，根據(jù)條件，利用數(shù)量積的定義，即可判斷正誤；對(duì)于B，利用向量相等的條件，即可求解；對(duì)于C，根據(jù)條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律，可得，即可求解；對(duì)于D，利用投向量及模長(zhǎng)的定義，即可求解.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由可知，當(dāng)時(shí)，，所以．所以選項(xiàng)A正確，
對(duì)于選項(xiàng)B，由可知，與共線，不一定是．所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)C，由，得，即，所以，所以選項(xiàng)C正確，
對(duì)于選項(xiàng)D，由投影向量定義可知，在方向上的投影向量為，
所以其模長(zhǎng)為，故選項(xiàng)D正確．
故選：ACD．
10. 已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則（ ）
A. 有2個(gè)極值點(diǎn)
B. 有3個(gè)零點(diǎn)
C. 只可能在或者時(shí)取得最小值
D. 對(duì)，恒成立
【答案】ACD
【解析】
【分析】由導(dǎo)函數(shù)的解析式可得其奇偶性，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)可得新函數(shù)的單調(diào)性，從而可得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，進(jìn)而可得原函數(shù)的單調(diào)性，由此可得答案.
【詳解】由，易知為奇函數(shù)，令，
當(dāng)時(shí)，，，故在上單調(diào)遞增，
，顯然函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，易知函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，
由在區(qū)間上，，在上，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
同理可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由，則易知定義域?yàn)椋?br>所以可導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>所以函數(shù)存在個(gè)極值點(diǎn)：，
由函數(shù)為奇函數(shù)，則存在個(gè)零點(diǎn)：，
故A正確，B錯(cuò)誤，C正確，D正確．
故選：ACD．
11. “出租車幾何”或“曼哈頓距離”（Manhattan Distance）是由十九世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，是種被使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語(yǔ)．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，對(duì)于任意兩點(diǎn)、，定義它們之間的“歐幾里得距離”，“曼哈頓距離”為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)，則為定值
B. 對(duì)于平面上任意一點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
C. 對(duì)于平面上任意三點(diǎn)、、，都有
D. 若、為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則最大值為
【答案】AC
【解析】
【分析】利用題中定理可判斷A選項(xiàng)；作出點(diǎn)的軌跡圖形，求其周長(zhǎng)可判斷B選項(xiàng)；利用絕對(duì)值三角不等式可判斷C選項(xiàng)；設(shè)點(diǎn)、，不妨設(shè)，，利用輔助角公式結(jié)合正弦型函數(shù)的有界性可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)，
則，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，則，
當(dāng)，時(shí)，則；當(dāng)，時(shí)，則；
當(dāng)，時(shí)，則；當(dāng)，時(shí)，則.
作出點(diǎn)的軌跡如下圖所示：
由圖可知，點(diǎn)的軌跡是邊長(zhǎng)為的正方形，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)、、，
由絕對(duì)值三角不等式可得，
同理可得，
所以，，即，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)、，
不妨設(shè)，，
則
，其中為銳角，且，
取，，等號(hào)成立，D錯(cuò).
故選：AC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12. 等比數(shù)列中，且，，成等差數(shù)列，則________．（結(jié)果可用冪表示）
【答案】1或
【解析】
【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)列方程，然后結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解方程，最后求即可.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由題意得，
因?yàn)?，所以，解得或?br>所以或.
故答案為：1或.
13. 已知函數(shù)在處取得極小值，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】由題意可得，求出的值，再檢驗(yàn)是否為極小值點(diǎn)即可.
【詳解】由，又函數(shù)處取得極小值，
則，解得，或，
當(dāng)時(shí)，，
令，則，或，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則處取得極小值，
故時(shí)符合題意；
當(dāng)時(shí)，，
令，則，或，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則處取得極大值，
故時(shí)不符合題意.
故答案為：.
14. 如圖所示，正八面體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)為正八面體內(nèi)(含表面)的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為________
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)交于點(diǎn)，，分析可知可知點(diǎn)的軌跡是過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的平面，建系，設(shè)點(diǎn)，可得，進(jìn)而確定截面的形狀，整理可得，分析長(zhǎng)度的最值即可得解.
【詳解】設(shè)交于點(diǎn)，且，的中點(diǎn)為，
因?yàn)?br>，
則，即，
可知點(diǎn)的軌跡是過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的平面，
如圖，以為坐標(biāo)運(yùn)算，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)點(diǎn)，則，
可得，可得，
直線上的點(diǎn)滿足，結(jié)合可得，
可知直線與平面的交點(diǎn)為，
同理可得：平面與直線的交點(diǎn)依次為
，
又因?yàn)椋?br>注意到，則，
即，可知平面，
當(dāng)點(diǎn)為與平面的交點(diǎn)時(shí)，取到最小值，
可設(shè)，
可得，結(jié)合可得，即，
則，所以取到最小值，
檢驗(yàn)可知：當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，取到最大值，
所以取到最大值；
綜上所述：的取值范圍為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于利用空間向量求平面上的點(diǎn)滿足的關(guān)系式，進(jìn)而確定平面與正八面體的棱的交點(diǎn)，進(jìn)而分析求解.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 為了解某地小學(xué)生對(duì)中國(guó)古代四大名著內(nèi)容的熟悉情況，從各名著中分別選取了“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”“大鬧天宮”4個(gè)經(jīng)典故事，進(jìn)行尋找經(jīng)典故事出處的答題游戲（不同的經(jīng)典故事不能搭配同一本名著）.規(guī)定：每答對(duì)1個(gè)經(jīng)典故事的出處，可獲得10分.
（1）小王同學(xué)的答題情況如圖所示，
①求小王同學(xué)的得分；
②老師指出了小王同學(xué)答錯(cuò)的試題，并要求他重新作答錯(cuò)誤試題，求小王同學(xué)避開此次錯(cuò)誤答案后隨機(jī)作答并全部答對(duì)的概率
（2）小李同學(xué)將這4個(gè)經(jīng)典故事與四大名著隨機(jī)地搭配進(jìn)行答題，記他的得分為X，求X的分布列與期望.
【答案】（1）①10分；②.
（2）分布列見解析，10
【解析】
【分析】（1）①由圖易得小王同學(xué)的得分；②針對(duì)錯(cuò)誤試題進(jìn)行分析后，列出所有可能的2種情況，故可得小王全部答對(duì)的概率；
（2）由題意，的所有取值可能為0，10，20，40，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，求出期望即可.
【小問1詳解】
①由圖可知，小王同學(xué)答對(duì)1道試題，故他的得分為10分.
②經(jīng)過(guò)老師的指出可知，“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”對(duì)應(yīng)的出處錯(cuò)誤，針對(duì)錯(cuò)誤試題進(jìn)行分析后，給出的答案可能為{（草船借箭，三國(guó)演義），（黛玉葬花，紅樓夢(mèng)），（武松打虎，水滸傳）}，{（草船借箭，水滸傳），（黛玉葬花，三國(guó)演義），（武松打虎，紅樓夢(mèng)）}，共2種情況，
其中錯(cuò)誤試題全部答對(duì)的情況為{（草船借箭，三國(guó)演義），（黛玉葬花，紅樓夢(mèng)），（武松打虎，水滸傳）}，故所求的概率為.
【小問2詳解】
由題可知，的所有取值可能為0，10，20，40.
，，，\\
.
X的分布列為：
故.
16 平面內(nèi)，已知，，且．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程．
（2）已知橢圓的離心率為，過(guò)E上任意一點(diǎn)M可作出橢圓的兩條相互垂直的切線為切點(diǎn)．若延長(zhǎng)與曲線E交于另一點(diǎn)D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率存在，分別設(shè)為，，證明：為定值．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合題意計(jì)算可得；
（2）由橢圓的性質(zhì)求出橢圓的方程，再設(shè)切線的方程為，分別聯(lián)立直線與橢圓表示出和直線與圓方程得到韋達(dá)定理，再表示出斜率關(guān)系即可；當(dāng)切線的斜率不存在或?yàn)榱銜r(shí)，根據(jù)對(duì)稱性可得.
【小問1詳解】
設(shè)，則由，可得，
整理得，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為．
【小問2詳解】

過(guò)E上任意一點(diǎn)M可作出橢圓的兩條相互垂直的切線，
易知點(diǎn)在E上，所以．
又橢圓C的離心率，故，
所以，．故橢圓C的方程為．
當(dāng)切線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)切線的方程為，
則由消去y得關(guān)于x的方程，
由，得，
由消去y得關(guān)于x的方程，
．
設(shè)，，則，，
則
，
又，所以．
當(dāng)切線的斜率不存在或?yàn)榱銜r(shí)，根據(jù)對(duì)稱性不妨取，，
則，則成立．綜上，為定值．
17. 已知數(shù)列滿足.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推式即可求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（2）利用錯(cuò)位相減求和法求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，，
故.
時(shí)，上式亦成立.
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
所以
兩式相減得：，
所以：.
18. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，證明：；
（2）若在區(qū)間上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）要證明不等式，只需證明當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，即可證明；
（2）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，討論a的取值范圍，結(jié)合零點(diǎn)存在定理說(shuō)明導(dǎo)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，即可求解.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，.
要證，只需證：當(dāng)時(shí)，.
令，則.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，即時(shí)，，得證.
【小問2詳解】
，
令，
①當(dāng)時(shí)，上無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意；
②當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，且.
取，其中.
顯然，，
則.
由根的存在性定理可知，存在唯一的，使得.
當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即.
此時(shí)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，滿足題意.
綜上，.
19. 如圖所示，由橢圓（）和拋物線（）組合成曲線，若與存在共同焦點(diǎn)，由圖形特點(diǎn)，它們的形狀像收回四條腿的七星瓢蟲，這里稱曲線為“七星瓢蟲曲線”.特別地，若橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、半焦距成等差數(shù)列，則稱其為“等差橢圓”.
（1）求“等差橢圓”的離心率；
（2）在“七星瓢蟲曲線”中，若是“等差橢圓”，且.
（?。┣笈c和都相切的直線的方程；
（ⅱ）直線（），且l與相交所得弦的中點(diǎn)為M，與相交所得弦的中點(diǎn)為N，證明：直線OM，ON（O為原點(diǎn)）的斜率之積為定值.
【答案】（1）；
（2）（i）或；（ii）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差橢圓定義，結(jié)合構(gòu)造齊次式即可得解；
（2）（?。┰O(shè)切線方程，分別聯(lián)立橢圓方程和拋物線方程，利用判別式求解即可；（ⅱ）利用點(diǎn)差法求，利用韋達(dá)定理求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后可解.
【小問1詳解】
設(shè)橢圓的半焦距為c，
因?yàn)殚L(zhǎng)半軸、短半軸、半焦距成等差數(shù)列，所以，
又，所以，則，
兩邊同時(shí)除以，得，解得（舍去）.
所以“等差橢圓”的離心率為.
【小問2詳解】
（?。┙猓喝羰恰暗炔顧E圓”，且，
則由，得，則，，解得.
故，.
易知與和都相切直線斜率存在且不為0，設(shè)方程為：.
聯(lián)立消去y得，
則，得；①
聯(lián)立消去得，
則，得，②
聯(lián)立①②，解得或
故和都相切的直線方程為或.
（ⅱ）證明：設(shè)l與相交于，，
線段CD的中點(diǎn)，則，，
兩式相減，得，
所以，即，
由已知，，所以，
即，則
聯(lián)立得，
又，則，
故，
所以中點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得，
所以，為N定值.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于靈活利用點(diǎn)差法求出，降低計(jì)算量，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和韋達(dá)定理求點(diǎn)N坐標(biāo)即可得解.
X
0
10
20
40
P

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