江蘇省徐州市第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高二（樹人班）上學(xué)期9月期初調(diào)研數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

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一、單選
1. 對任意的實(shí)數(shù)，直線與圓的位置關(guān)系一定是
A. 相離B. 相切
C. 相交但直線不過圓心D. 相交且直線過圓心
【答案】C
【解析】
【詳解】試題分析：過定點(diǎn)，點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交但不過圓心.
考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系.
【方法點(diǎn)睛】直線與圓的位置關(guān)系
（1）直線與圓的位置關(guān)系有三種:相切 、 相交 、 相離 ．
（2）判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的有兩種方法
①代數(shù)法:把直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組，消去x或y整理成一元二次方程后，計(jì)算判別式
②幾何法:利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關(guān)系:．
2. 方程所表示的圓的最大面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】對方程配方整理，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求的取值范圍，以及半徑的最大值，即可得結(jié)果.
【詳解】由題意整理可得：，
則，解得，
且圓的半徑，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
即圓的半徑最大值為3，所以圓的最大面積為.
故選：B.
3. 圓與直線相交所得弦長為（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】代入弦長公式，即可求解.
【詳解】圓心到直線的距離，
所以弦長.
故選：C
4. 直線與曲線恰有1個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】畫出直線與曲線的圖象，數(shù)形結(jié)合可得答案.
【詳解】曲線，整理得，畫出直線與曲線的圖象，
當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，
則圓心到直線距離為，
可得（正根舍去），
當(dāng)直線過時(shí)，，
如圖，直線與曲線恰有1個(gè)交點(diǎn)，則或.
故選：D.
5. 圓的所有經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的弦中最短弦長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用配方法化簡圓的方程，結(jié)合垂徑定理與勾股定理，可得答案.
【詳解】由，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，如下圖：
圖中，，為圓的圓心，為直線與圓的交點(diǎn)，
易知為所有經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的弦中最短弦，.
故選：B.
6. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為2，那么直線的斜率的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，求出點(diǎn)的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合求得直線的斜率范圍.
【詳解】設(shè)動點(diǎn)Mx,y，則，
化簡得，
所以點(diǎn)的軌跡為圓，
如圖，過點(diǎn)作圓的切線，連接，則，，
所以，同理，
則直線的斜率范圍為.
故選：C.

7. 已知曲線，則的最大值，最小值分別為（ ）
A. ＋2，－2B. ＋2，
C. ，－2D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可得曲線表示的圖形為以為圓心，2為半徑的半圓，表示半圓上的動點(diǎn)與點(diǎn)的距離，作出圖象，結(jié)合圖象求解即可．
詳解】由，可知，，
且有，表示的圖形為以為圓心，2為半徑的半圓，如圖所示：

又因?yàn)楸硎景雸A上的動點(diǎn)與點(diǎn)的距離，
又因?yàn)椋?br>所以的最小值為，
當(dāng)動點(diǎn)與圖中點(diǎn)重合時(shí)，取最大值，
故選：C．
8. 已知圓上的所有點(diǎn)都在第二象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后可得圓心及其半徑，結(jié)合圓的性質(zhì)與第二象限的點(diǎn)的性質(zhì)計(jì)算即可得解.
【詳解】由化簡可得，
則該圓圓心為，半徑為，
由題意可得a3，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：A.
二、多選
9. 已知圓C：及點(diǎn)，則下列說法中正確的是（ ）
A. 圓心C的坐標(biāo)為
B. 點(diǎn)Q在圓C外
C. 若點(diǎn)在圓C上，則直線PQ的斜率為
D. 若M是圓C上任一點(diǎn)，則的取值范圍為
【答案】BD
【解析】
【分析】A.將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程求解；B.利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷；C.根據(jù)若點(diǎn)在圓C上，求得m，從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用斜率公式求解；D．由的取值范圍為求解；
【詳解】圓C：的標(biāo)準(zhǔn)方程為
所以圓心坐標(biāo)為，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以點(diǎn)Q在圓C外，故B正確；
若點(diǎn)在圓C上，則，解得，則，所以直線PQ的斜率為，故C錯(cuò)誤；
，，因?yàn)镸是圓C上任一點(diǎn)，所以的取值范圍為，即，故D正確；
故選：BD
10. 已知圓，直線.則以下命題正確的有（ ）
A. 直線l恒過定點(diǎn)B. y軸被圓C截得的弦長為
C. 直線l與圓C恒相交D. 直線l被圓C截得弦長最長時(shí)，直線的方程為
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)直線方程求出定點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷選項(xiàng)A；求出圓和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷選項(xiàng)B；利用定點(diǎn)和圓的位置關(guān)系即可判斷選項(xiàng)C；當(dāng)弦長最長時(shí)，直線過圓心從而判斷選項(xiàng)D.
【詳解】對于A，直線，即，
由，解得，故直線過定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
對于B, 圓，當(dāng)時(shí)，，故y軸被圓C截得的弦長為，故B錯(cuò)誤；
對于C，直線過定點(diǎn)，,故點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線l與圓C恒相交，故C正確；
對于D，當(dāng)直線l被圓C截得弦長最長時(shí)，直線過圓心，則，解得，
故直線方程為：，即，故D正確.
故選：CD
11. 已知直線，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 存在m的值，使得與 不互相垂直
B. 和分別過定點(diǎn)0,2和
C. 存在m的值，使得和關(guān)于直線對稱
D. 若和交于點(diǎn)M，則OM最大值是3
【答案】BC
【解析】
【分析】利用直線的一般式方程即可判斷選項(xiàng)AB;根據(jù)直線對稱點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，即可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)，從而確定點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，從而求出最值，判斷選項(xiàng)D.
【詳解】對于A，因?yàn)?，故無論取何值，與 都互相垂直，故A錯(cuò)誤；
對于B，直線，當(dāng)時(shí)，恒成立，故過定點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，恒成立，故過定點(diǎn)B-2,0，故B正確；
對于C，在上任取點(diǎn)，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為，
代入的方程得：，當(dāng)時(shí)，方程恒成立，
故存在，使得和關(guān)于直線x+y=0對稱，故C正確；
對于D，由選項(xiàng)AB知，,故點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓(除原點(diǎn)外），
故圓心為，半徑,
故的最大值為,故D錯(cuò)誤.
故選：BC
三、填空
12. 已知點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)M滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算分析可知點(diǎn)的軌跡為以O(shè)0,0圓心，半徑的圓，即圓與圓有公共點(diǎn)，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系分析求解.
【詳解】由題意可知：圓的圓心，半徑，
則，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，
可得，則，
可知點(diǎn)的軌跡為以O(shè)0,0圓心，半徑的圓，
由題意可知：圓與圓有公共點(diǎn)，則，
即，解得，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：.
13. 已知點(diǎn)，，平面內(nèi)的動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡形成的圖形周長是______．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)平面內(nèi)的動點(diǎn)Px,y，根據(jù)列式可得點(diǎn)的軌跡是為圓心，半徑為的圓，即可求解周長.
【詳解】設(shè)平面內(nèi)的動點(diǎn)Px,y，由得，
所以，
化簡得，整理得，
所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，
所以周長是.
故答案為：.
14. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程是____．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)點(diǎn)，借助兩點(diǎn)間距離公式代入計(jì)算即可得.
【詳解】設(shè)，則有，
化簡得，即點(diǎn)的軌跡方程是.
故答案為：.
四、解答
15. 已知直線：，：，其中為實(shí)數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求直線，之間的距離；
（2）當(dāng)時(shí)，求過直線，的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根據(jù)兩直線平行的公式計(jì)算出，再由兩直線間的距離公式求解即可；
（2）求出兩直線的交點(diǎn)，再利用點(diǎn)斜式求解即可.
【小問1詳解】
由得，解得，
此時(shí)直線：，：，不重合，
則直線，之間的距離為；
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，：，
聯(lián)立，解得，
又直線斜率為，
故過直線，的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程為，
即.
16. 已知 的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為．
（1）求頂點(diǎn)的坐標(biāo).
（2）求直線的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)互相垂直兩直線斜率的關(guān)系，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，通過解方程組進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合直線點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
邊上的高所在直線方程為，
，且，即，
的頂點(diǎn)，直線方程;，
即與聯(lián)立，，
解得：，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；
【小問2詳解】
所在直線方程為，設(shè)點(diǎn)，
是中點(diǎn)，，，
在所在直線方程為上，
,解得：,，
的方程為：，即.
17. 討論方程＋表示的曲線.
【答案】答案見詳解
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓定義討論判斷.
【詳解】表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
所以表示點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之和，
當(dāng)時(shí)，方程表示的曲線是橢圓；
當(dāng)時(shí)，方程表示的曲線是線段；
當(dāng)時(shí)，方程表示的曲線是不存在.
18. 已知的頂點(diǎn)，直角頂點(diǎn)為，頂點(diǎn)在y軸上；
（1）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求外接圓的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)列方程，解方程即可得到點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)直角三角形外接圓的特點(diǎn)，得到圓心坐標(biāo)和半徑，然后寫方程即可.
【小問1詳解】
設(shè)點(diǎn)，由題意：，，所以，
解得，所以點(diǎn).
【小問2詳解】
因?yàn)榈男边叺闹悬c(diǎn)為圓心，
所以圓心的坐標(biāo)為，，
所以圓心的方程為.
19. 已知圓C過兩點(diǎn)，，且圓心C在直線上．
（1）求圓C的方程；
（2）過點(diǎn)作圓C切線，求切線方程．
【答案】（1）．（或標(biāo)準(zhǔn)形式）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，求出的中垂線方程，與直線聯(lián)立，可得圓心的坐標(biāo)，求出圓的半徑，即可得答案；
（2）分切線斜率存在與不存在兩種情況討論，求出切線的方程，綜合可得答案．
【小問1詳解】
解：根據(jù)題意，因?yàn)閳A過兩點(diǎn)，，
設(shè)的中點(diǎn)為，則，
因?yàn)?，所以的中垂線方程為，即
又因?yàn)閳A心在直線上，聯(lián)立，解得，所以圓心，半徑，故圓的方程為，
【小問2詳解】
解：當(dāng)過點(diǎn)P的切線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線與圓C相切
當(dāng)過點(diǎn)P的切線斜率k存在時(shí)，設(shè)切線方程為即（*）
由圓心C到切線的距離，可得
將代入（*），得切線方程為
綜上，所求切線方程為或