統(tǒng)計問題
1．（2024·天津河?xùn)|·一模）根據(jù)《中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定：血液酒精濃度在（含80）以上時，屬醉酒駕車，處十五日以下拘留和三個月以上六個月以下暫扣駕駛證，并處500元以上2000元以下罰款，某地統(tǒng)計了近五年來查處的酒后駕車和醉酒駕車共200人，如圖，這是對這200人酒后駕車血液中酒精含量進(jìn)行檢測所得結(jié)果的頻率分布直方圖，下列說法正確的是（ ）

A．在酒后駕車的駕駛?cè)酥凶砭岂{車比例不高因此危害不大
B．在頻率分布直方圖中每個柱的高度代表區(qū)間內(nèi)人數(shù)的頻率
C．根據(jù)頻率分布直方圖可知200人中醉酒駕車的約有30人
D．這200人酒后駕車血液中酒精含量的平均值約為
【答案】C
【分析】利用頻率分布直方圖的實際意義，對各選項逐一分析判斷即可得解.
【詳解】對于A，不管酒駕的比例高不高，其危害都大，故A錯誤；
對于B，在頻率分布直方圖中，每個柱的高度代表區(qū)間內(nèi)的頻率/組距這一數(shù)值，故B錯誤；
對于C，血液酒精濃度在（含80）以上時，屬醉酒駕車，
所以這200人中醉酒駕車的約有，故C正確；
對于D，這200人酒后駕車血液中酒精含量的平均值約為
，故D錯誤.
故選：C.
2．（2023·天津河北·一模）已知甲乙兩組數(shù)據(jù)分別為和，則下列說法中不正確的是（ ）
A．甲組數(shù)據(jù)中第70百分位數(shù)為23B．甲乙兩組數(shù)據(jù)的極差相同
C．乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為25.5D．甲乙兩組數(shù)據(jù)的方差相同
【答案】A
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義可得甲組數(shù)據(jù)中第70百分位數(shù)為24；計算可知兩組數(shù)據(jù)的極差都為5；由中位數(shù)定義可求出乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為25.5；利用方差公式計算可求得甲乙兩組數(shù)據(jù)的方差均為.
【詳解】對于A，每組數(shù)據(jù)為6個，因為，
所以甲組數(shù)據(jù)中第70百分位數(shù)為第5個數(shù)，即為24，所以A錯誤；
對于B，甲組數(shù)據(jù)的極差為，乙組數(shù)據(jù)的極差為，即B正確；
對于C，乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為第三個數(shù)和第四個數(shù)的平均數(shù)，即，所以C正確；
對于D，易知甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為22.5，
則甲組數(shù)據(jù)的方差為；
乙組數(shù)據(jù)的方差為；
因此甲乙兩組數(shù)據(jù)的方差相同，即D正確.
故選：A
3．（2024·天津和平·一模）某市為了減少水資源浪費，計劃對居民生活用水實施階梯水價制度，為確定一個比較合理的標(biāo)準(zhǔn)，從該市隨機(jī)調(diào)查了100位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖，則以下四個說法正確的個數(shù)為（ ）

①估計居民月均用水量低于的概率為0.25；②估計居民月均用水量的中位數(shù)約為；③該市有40萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于的人數(shù)為6萬；④根據(jù)這100位居民的用水量，采用樣本量按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，抽取了容量為20人的樣本，則在用水量區(qū)間中應(yīng)抽取4人.
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】由頻率分布直方圖求頻率判斷①，結(jié)合直方圖中位數(shù)的求法計算中位數(shù)，即可判斷②；用頻率估計總體即可判斷③，結(jié)合分層抽樣的概念即可判斷④.
【詳解】由頻率分布直方圖可知，居民月均用水量低于的概率為，故①正確；
前三組的頻率之和為，而前四組頻率之和為，故中位數(shù)位于，由，可以估計居民月均用水量的中位數(shù)約為，②正確；
估計萬居民中月均用水量不低于的人數(shù)為，③正確；
根據(jù)用水量對這位居民進(jìn)行分層，用分層抽樣的方法抽取人，則在用水量中應(yīng)抽取人，④正確.
故選：D
回歸分析
4．（2024·天津紅橋·一模）某中學(xué)有學(xué)生近600人，要求學(xué)生在每天上午7：30之前進(jìn)校，現(xiàn)有一個調(diào)查小組調(diào)查某天7：00~7：30進(jìn)校人數(shù)的情況，得到如下表格（其中縱坐標(biāo)表示第分鐘至第分鐘到校人數(shù)，，，如當(dāng)時，縱坐標(biāo)表示在7：08~7：09這一分鐘內(nèi)進(jìn)校的人數(shù)為4人）.根據(jù)調(diào)查所得數(shù)據(jù)，甲同學(xué)得到的回歸方程是（圖中的實線表示），乙同學(xué)得到的回歸方程是（圖中的虛線表示），則下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．7：00~7：30內(nèi)，每分鐘的進(jìn)校人數(shù)與相應(yīng)時間呈正相關(guān)
B．乙同學(xué)的回歸方程擬合效果更好
C．根據(jù)甲同學(xué)得到的回歸方程可知該校當(dāng)天7：09~7：10這一分鐘內(nèi)的進(jìn)校人數(shù)一定是9人
D．該校超過半數(shù)的學(xué)生都選擇在規(guī)定到校時間的前5分鐘內(nèi)進(jìn)校
【答案】C
【分析】對于A，根據(jù)散點圖判斷；對于B，由圖象結(jié)合函數(shù)的圖象特征判斷；對于C，由回歸方程得到的只能是估計值判斷；對于D，根據(jù)統(tǒng)計表判斷.
【詳解】對于A，根據(jù)散點圖知，7：00～7：30內(nèi)，每分鐘的進(jìn)校人數(shù)與相應(yīng)時間呈正相關(guān)，故A正確；
對于B，由圖知，曲線的擬合效果更好，故乙同學(xué)的回歸方程擬合效果更好，故B正確；
對于C，表格中并未給出對應(yīng)的值，而由甲的回歸方程得到的只能是估計值，不一定就是實際值，故C錯誤；
對于D，全校學(xué)生近600人，從表格中的數(shù)據(jù)知，7：26～7：30進(jìn)校的人數(shù)超過300，故D正確，
故選：C．
5．（2024·天津河西·一模）隨著居民家庭收入的不斷提高，人們對居住條件的改善的需求也在逐漸升溫．某城市統(tǒng)計了最近5個月的房屋交易量，如下表所示：
若與滿足一元線性回歸模型，且經(jīng)驗回歸方程為，則下列說法錯誤的是（ ）
A．根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，變量與正相關(guān)
B．經(jīng)驗回歸方程中
C．可以預(yù)測時房屋交易量約為（萬套）
D．時，殘差為
【答案】D
【分析】首先求出、，根據(jù)回歸方程必過樣本中心點求出參數(shù)，從而得到回歸方程，再一一判斷即可.
【詳解】對于B，依題意，，
所以，解得，所以，故B正確；
對于A，因為經(jīng)驗回歸方程，，
所以變量與正相關(guān)，故A正確；
對于C，當(dāng)時，，
所以可以預(yù)測時房屋交易量約為（萬套），故C正確；
對于D，當(dāng)時，，
所以時，殘差為，故D錯誤.
故選：D
6．（2024·天津·一模）已知變量x和y滿足經(jīng)驗回歸方程，且變量x和y之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，則下列說法錯誤的是（ ）
A．變量x和y呈負(fù)相關(guān)B．當(dāng)時，
C．D．該經(jīng)驗回歸直線必過點
【答案】C
【分析】對A：借助回歸方程的斜率即可得；對B：將代入方程計算即可得；對C、D：借助線性回歸方程必過點計算即可得.
【詳解】對A：由可得，故變量x和y呈負(fù)相關(guān)，故A正確；
對B：當(dāng)時，，故B正確；
對C：由表可得，，
故，解得，故C錯誤；
對D：由，，故D正確.
故選：C.
統(tǒng)計、統(tǒng)計案例、概率綜合問題
7．（2024·天津·一模）下列說法正確的是（ ）
A．一組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為17；
B．根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可判斷與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05；
C．兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于0；
D．若隨機(jī)變量滿足，則．
【答案】B
【分析】A選項，由百分位數(shù)的定義得到答案；B選項，，得到結(jié)論；C選項，由相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)得到C錯誤；D選項，由方差的性質(zhì)得到D錯誤.
【詳解】A選項，，故從小到大排列，第8個數(shù)和第9個數(shù)的平均數(shù)作為第80百分位數(shù)，
即，A錯誤；
B選項，由于，得到與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05，B正確；
C選項，兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，C錯誤；
D選項，若隨機(jī)變量滿足，則，D錯誤.
故選：B
8．（2024·天津十二區(qū)·一模）下列結(jié)論中，錯誤的是（ ）
A．?dāng)?shù)據(jù)4，1，6，2，9，5，8的第60百分位數(shù)為6
B．若隨機(jī)變量，則
C．已知經(jīng)驗回歸方程為，且，則
D．根據(jù)分類變量與成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可判斷與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001
【答案】D
【分析】
A選項，將數(shù)據(jù)排序后，根據(jù)百分位數(shù)的定義得到答案；B選項，由正態(tài)分布的對稱性得到答案；C選項，將樣本中心點代入回歸方程，求出；D選項，由得到D錯誤.
【詳解】A選項，數(shù)據(jù)4，1，6，2，9，5，8排序后得到1，2，4，5，6，8，9，
，故選取第5個數(shù)據(jù)作為第60百分位數(shù)，即為6，A正確；
B選項，因為，根據(jù)對稱性可知，
故，B正確；
C選項，已知經(jīng)驗回歸方程為，且，則，
解得，C正確；
D選項，，故不能得到此結(jié)論，D錯誤
故選：D
9．（2024·天津部分·一模）下列說法不正確的是（ ）
A．甲、乙、丙三種個體按的比例分層抽樣調(diào)查，若抽取的甲種個體數(shù)為9，則樣本容量為18
B．設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，.…，的方差為32
C．在一個列聯(lián)表中，計算得到的值，則的值越接近1，可以判斷兩個變量相關(guān)的把握性越大
D．已知隨機(jī)變量，且，則
【答案】C
【分析】
根據(jù)比例分層抽樣的性質(zhì)可得樣本容量，故可判斷A的正誤，根據(jù)兩類數(shù)據(jù)之間的關(guān)系結(jié)合方差公式可判斷B的正誤，根據(jù)的意義可判斷C的正誤，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可計算的值，故可判斷D的正誤.
【詳解】對于A：設(shè)樣本容量為，則，故，故A正確.
對于B：設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，…，的均值為，
則數(shù)據(jù)，，.…，的均值為，
故數(shù)據(jù)，，.…，的方差為：
，
故B正確.
對于C：越大，可以判斷兩個變量相關(guān)的把握性越大，越小則把握性越小，故C錯誤.
對于D：由正態(tài)分布的對稱性可得：
，
故D正確.
故選：C.
排列計數(shù)問題
10．（2024·天津十二區(qū)·一模）回文聯(lián)是我國對聯(lián)中的一種．用回文形式寫成的對聯(lián)，既可順讀，也可倒讀．不僅意思不變，而且頗具趣味．相傳，清代北京城里有一家飯館叫“天然居”，曾有一副有名的回文聯(lián)：“客上天然居，居然天上客；人過大佛寺，寺佛大過人．”在數(shù)學(xué)中也有這樣一類順讀與倒讀都是同一個數(shù)的自然數(shù)，稱之為“回文數(shù)”．如44，585，2662等；那么用數(shù)字1，2，3，4，5，6可以組成4位“回文數(shù)”的個數(shù)為（ ）
A．30B．36C．360D．1296
【答案】B
【分析】依據(jù)回文數(shù)對稱的特征，可知有兩種情況：在6個數(shù)字中任取1個，在6個數(shù)字中任取2個排列，由分類計數(shù)原理可得結(jié)果.
【詳解】由題意知：組成4位“回文數(shù)” ，由對稱性可知，只需確定后兩位數(shù)字即可.
可分為以下兩種情況：
當(dāng)后兩位數(shù)字重復(fù)時，即由一個數(shù)組成回文數(shù)，在6個數(shù)字中任取1個，則有種；
當(dāng)后兩位數(shù)字不同時，在6個數(shù)字中任取2個，按不同順序排列，有種.
綜上，用數(shù)字1，2，3，4，5，6可以組成4位“回文數(shù)”的個數(shù)為：.
故選：B.
求二項展開式的指定項（系數(shù)）
11．（2024·天津十二區(qū)·一模）在的展開式中，的系數(shù)是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)二項式定理求出的通項，求出的值即可得結(jié)果.
【詳解】由二項式定理知的展開式的通項為：
，
令，解得，
所以的系數(shù)是，
故答案為：.
12．（2024·天津紅橋·一模）已知二項式，則其展開式中含的項的系數(shù)為 ．
【答案】
【分析】求出展開式得通項，再令的指數(shù)等于，即可得解.
【詳解】展開式的通項為，
令，得，
所以含的項的系數(shù)為.
故答案為：.
13．（2024·天津河?xùn)|·一模）在的二項展開式中，常數(shù)項是 ．（用數(shù)字作答）
【答案】
【分析】求出的二項展開式的通式即可求解.
【詳解】因為的二項展開式的通式為，
令，所以，所以常數(shù)項是.
故答案為：.
14．（2024·天津·一模）在的展開式中，的系數(shù)為 .（結(jié)果用數(shù)字表示）
【答案】
【分析】借助二項式展開式的通項公式計算即可得.
【詳解】對，有，
令，解得，有.
故答案為：.
15．（2024·天津河西·一模）展開式中的系數(shù)為 ．
【答案】
【分析】把按照二項式定理展開，可得的展開式中的系數(shù)．
【詳解】解：，
故它的展開式中的系數(shù)為，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
16．（2024·天津和平·一模）在的二項展開式中，的系數(shù)為 （請用數(shù)字作答）.
【答案】
【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式求解.
【詳解】二項展開式通項為，
令，解得,
所以，
故答案為：
17．（2023·天津河北·一模）若的展開式中常數(shù)項為，則 .
【答案】
【分析】對于二項式問題先寫出通項公式，再根據(jù)常數(shù)項的次數(shù)為得的值，代入得到常數(shù)項.
【詳解】通項公式，
令，解得，得，所以常數(shù)項，
故答案為：.
二項式系數(shù)的性質(zhì)
18．（2024·天津十二區(qū)·一模）設(shè)的展開式的二項式系數(shù)和為64，則展開式中常數(shù)項為 .
【答案】
【詳解】試題分析：由二項式系數(shù)的性質(zhì)，可得，解可得，；
的展開式為，
令，可得，則展開式中常數(shù)項為15．
故答案為：15.
19．（2024·天津·一模）已知，則 ．（用數(shù)字作答）
【答案】
【分析】根據(jù)條件，兩邊求導(dǎo)得到，再取，即可求出結(jié)果.
【詳解】因為，
兩邊求導(dǎo)可得，
令，得到，即，
故答案為：.
根據(jù)二項展開式系數(shù)求參數(shù)
20．（2024·天津南開·一模）若的展開式中的系數(shù)為，則實數(shù)的值為 .
【答案】
【分析】法一：可使用二項式展開式的通項公式，通過已知條件，使用待定系數(shù)法，求解出參數(shù)的值；
法二：可以將此二項式看成6個這樣的式子乘在一起，兩項和看看怎樣組合，能得到，即可完成等量關(guān)系的建立，從而完成參數(shù)的求解.
【詳解】法一：展開式第項
時，，，，.
故答案為：2.
法二：展開式中，要想湊出，必須取三次方，也取三次方，于是算下系數(shù)就有，.
故答案為：2.
互斥事件、獨立事件的概率計算
21．（2024·天津河?xùn)|·一模）某地區(qū)人群中各種血型的人所占比例如表1所示，已知同種血型的人可以輸血，O型血可以輸給任何一種血型的人，任何人的血都可以輸給AB型血的人，其他不同血型的人不能互相輸血，小明是B型血，因病需要輸血，任找一個人，其血可以輸給小明的概率為 ；任找兩個人，則小明有血可以輸?shù)母怕蕿? ．
【答案】 0.7 0.91
【分析】根據(jù)互斥事件的概率加法公式即可求解空1，根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式即可求空2.
【詳解】由于小明是B型血，所以可以血型為O,B的可以給小明輸血，故概率為，
小明是B型血，兩個人都不可以給小明輸血的概率為，
所以任找兩個人，則小明有血可以輸?shù)母怕蕿椋?br>故答案為：0.7；0.91
22．（2024·天津紅橋·一模）甲?乙兩位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計贏2局者勝，分出勝負(fù)即停止比賽.已知甲每局贏的概率為，每局比賽的結(jié)果相互獨立.本次比賽到第3局才分出勝負(fù)的概率為 ，本次比賽甲獲勝的概率為 .
【答案】 / /
【分析】空1：根據(jù)獨立事件的乘法公式求解本次比賽到第3局才分出勝負(fù)的概率；
空2：利用獨立事件的乘法公式和互斥事件概率加法公式求解甲獲勝的概率即可.
【詳解】到第3局才分出勝負(fù)，則前兩局甲?乙各贏一局，其概率為.
若甲獲勝，分2種情況：①甲連贏2局，其概率為，
②前兩局甲?乙各贏一局，第三局甲贏，其概率為.
故甲獲勝的概率為.
故答案為：，
條件概率的計算
23．（2024·天津·一模）甲和乙兩個箱子中各裝有4個大小相同的小球，其中甲箱中有2個紅球、2個白球，乙箱中有3個紅球、1個白球，從甲箱中隨機(jī)抽出2個球，在已知抽到白球的條件下，則2個球都是白球的概率為 ；擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點數(shù)小于等于2，就從甲箱子中隨機(jī)抽出1個球；如果點數(shù)大于等于3，就從乙箱子中隨機(jī)抽出1個球，則抽到紅球的概率為 .
【答案】
【分析】利用條件概率公式摸出的2個球是白球的概率；利用全概率公式求紅球的概率.
【詳解】記事件表示“抽出的2個球中有白球”，事件表示“兩個都是白球”，
則，
故；
即從甲箱中隨機(jī)抽出2個球，在已知抽到白球的條件下，則2個球都是白球的概率為；
設(shè)事件表示“從乙箱中抽球”，則事件表示“從甲箱中抽球”，事件表示“抽到紅球”，則，
所以,
即抽到紅球的概率是.
故答案為：；
24．（2023·天津河北·一模）已知某地區(qū)煙民的肺癌發(fā)病率為，先用低劑量藥物進(jìn)行肺癌?查，檢查結(jié)果分陽性和陰性，陽性被認(rèn)為是患病，陰性被認(rèn)為是無病.醫(yī)學(xué)研究表明，化驗結(jié)果是存在錯誤的，化驗的準(zhǔn)確率為，即患有肺癌的人其化驗結(jié)果呈陽性，而沒有患肺癌的人其化驗結(jié)果呈陰性.則該地區(qū)煙民沒有患肺癌且被檢測出陽性的概率為 ；現(xiàn)某煙民的檢驗結(jié)果為陽性，請問他患肺癌的概率為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，由乘法公式即可求得該地區(qū)煙民沒有患肺癌且被檢測出陽性的概率；再利用貝葉斯公式即可求得某煙民的檢驗結(jié)果為陽性，其患肺癌的概率.
【詳解】因為某地區(qū)煙民的肺癌發(fā)病率為，沒有患肺癌的人其化驗結(jié)果呈陰性，
則該地區(qū)煙民沒有患肺癌且被檢測出陽性的概率為；
設(shè)事件表示某地區(qū)煙民患癌，則，，
設(shè)事件表示檢驗結(jié)果為陽性，
則，，
所以某煙民的檢驗結(jié)果為陽性的概率為：
，
所以某煙民的檢驗結(jié)果為陽性，其患肺癌的概率為
.
故答案為：；
25．（2024·天津十二區(qū)·一模）天津相聲文化是天津具有代表性的地域文化符號，天津話妙趣橫生，天津相聲精彩紛呈，是最具特色的旅游亮點之一.某位北京游客經(jīng)常來天津聽相聲，每次從北京出發(fā)來天津乘坐高鐵和大巴的概率分別為0.6和0.4，高鐵和大巴準(zhǔn)點到達(dá)的概率分別為0.9和0.8，則他準(zhǔn)點到達(dá)天津的概率是 （分?jǐn)?shù)作答）.若他已準(zhǔn)點抵達(dá)天津，則此次來天津乘坐高鐵準(zhǔn)點到達(dá)比乘坐大巴準(zhǔn)點到達(dá)的概率高 （分?jǐn)?shù)作答）.
【答案】
【分析】根據(jù)互斥事件的概率公式，求得他準(zhǔn)點到達(dá)天津的概率，再結(jié)合條件概率的計算公式，即可求解.
【詳解】設(shè)事件為他準(zhǔn)點到達(dá)天津，事件為他乘坐高鐵到達(dá)天津，事件為他乘坐大巴到達(dá)天津，
若他乘坐高鐵，且正點到達(dá)天津的概率為；
若他乘坐大巴，且正點到達(dá)天津的概率為；
則，且,
所以乘坐高鐵準(zhǔn)點到達(dá)比乘坐大巴準(zhǔn)點到達(dá)的概率高.
故答案為：，
26．（2024·天津·一模）設(shè)某學(xué)校有甲、乙兩個校區(qū)和兩個食堂，并且住在甲、乙兩個校區(qū)的學(xué)生比例分別為和；在某次調(diào)查中發(fā)現(xiàn)住在甲校區(qū)的學(xué)生在食堂吃飯的概率為，而住在乙校區(qū)的學(xué)生在食堂吃飯的概率為，則任意調(diào)查一位同學(xué)是在食堂吃飯的概率為 ．如果該同學(xué)在食堂吃飯，則他是住在甲校區(qū)的概率為 ．（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）
【答案】
【分析】根據(jù)條件，結(jié)合全概率公式，以及條件概率公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】記為事件“該同學(xué)住在甲校區(qū)”，為事件“該同學(xué)在食堂吃飯”，
則，，
故，
如果該同學(xué)在食堂吃飯，則他是住在甲校區(qū)的概率為，
故答案為：；.
27．（2024·天津南開·一模）已知編號為1，2，3的三個盒子，其中1號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；2號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；3號盒子內(nèi)裝有三個1號球，兩個2號球，若第一次先從1號盒子內(nèi)隨機(jī)抽取1個球，將取出的球放入與球同編號的盒子中，第二次從該盒子中任取一個球，則在第一次抽到2號球的條件下，第二次抽到1號球的概率為 ，第二次抽到3號球的概率為
【答案】 /0.5
【分析】根據(jù)題意，先求出在第一次抽到2號球的條件下，第二次抽到1號球的概率；記第一次抽到第i號球的事件分別為，記第二次在第i號盒內(nèi)抽到3號球的事件分別為，第二次抽到3號球為事件，再利用全概率公式求解即可.
【詳解】根據(jù)題意，在第一次抽到2號球的條件下，第二次抽到1號球的概率為.
記第一次抽到第i號球的事件分別為，
則有，，
記第二次在第i號盒內(nèi)抽到3號球的事件分別為，
則，，，
記第二次抽到3號球為事件，
.
所以第二次抽到3號球的概率為.
故答案為：；.
28．（2024·天津·一模）假設(shè)某市場供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占60%，乙廠產(chǎn)品占40%，甲廠產(chǎn)品的合格率為85%，乙廠產(chǎn)品的合格率為80%，在該市場中購買甲廠的兩個燈泡，則恰有一個是合格品的概率為 ；若在該市場中隨機(jī)購買一個燈泡，則這個燈泡是合格品的概率為 .
【答案】 / /
【分析】借助獨立重復(fù)事件的概率公式與全概率公式計算即可得.
【詳解】在該市場中購買甲廠的兩個燈泡，則恰有一個是合格品的概率為：
，
在該市場中隨機(jī)購買一個燈泡，則這個燈泡是合格品的概率為：
.
故答案為：；.
隨機(jī)變量的分布列、期望
29．（2024·天津南開·一模）已知隨機(jī)變量，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可得，即可根據(jù)二項分布的期望公式求解.
【詳解】由以及可得，
由于，故，，
故選：D
30．（2024·天津和平·一模）為深入學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，推動全市黨員干部群眾用好“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)平臺，某單位組織“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”知識競賽，競賽共有10道題目，隨機(jī)抽取3道讓參賽者回答，規(guī)定參賽者至少要答對其中2道才能通過初試.已知某參賽黨員甲只能答對其中的6道，那么黨員甲抽到能答對題目數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為 ；黨員甲能通過初試的概率為 .
【答案】
【分析】求出隨機(jī)變量的各個取值的概率，求期望，據(jù)此求即可.
【詳解】由題意，的可能取值為，
則，，
，，
所以；
黨員甲能通過初試的概率為.
故答案為：；
31．（2024·天津河西·一模）舉重比賽的規(guī)則是：挑戰(zhàn)某一個重量，每位選手可以試舉三次，若三次均未成功則挑戰(zhàn)失敗；若有一次舉起該重量，則無需再舉，視為挑戰(zhàn)成功，已知甲選手每次能舉起該重量的概率是，且每次試舉相互獨立，互不影響，設(shè)試舉的次數(shù)為隨機(jī)變量，則的數(shù)學(xué)期望 ；已知甲選手挑戰(zhàn)成功，則甲是第二次舉起該重量的概率是 ．
【答案】
【分析】記“第次舉起該重量”分別為事件， “甲選手挑戰(zhàn)成功”為事件，依題意的可能取值為、、，求出所對應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望，再由條件概率的概率公式求出.
【詳解】依題意隨機(jī)變量的可能取值為、、，則；；
，
所以隨機(jī)變量的概率分布為
所以隨機(jī)變量的期望為.
記“第次舉起該重量”分別為事件， “甲選手挑戰(zhàn)成功”為事件，
則，
,
所以，
所以甲選手挑戰(zhàn)成功，則甲是第二次舉起該重量的概率為.
故答案為：；
1
5
9
15
19
21
24
27
28
29
30
1
3
4
4
11
21
36
66
94
101
106
時間
1
2
3
4
5
交易量（萬套）
0.8
1.0
1.2
1.5
6
8
10
12
7
4
3
血型
A
B
AB
O
該血型的人占比
1
2
3

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