復(fù)數(shù)的運算
1．（2024天津紅橋·一模）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) ．
【答案】/
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則計算出答案.
【詳解】.
故答案為：
2．（2024·天津河?xùn)|·一模）是復(fù)數(shù)單位，化簡的結(jié)果為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算即可求解.
【詳解】，
故答案為：
3．（2024·天津·一模）已知是虛數(shù)單位，化簡的結(jié)果為 .
【答案】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算計算即可.
【詳解】.
故答案為：.
4．（2024·天津河北·一模）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法、加減法運算求解．
【詳解】由題意，．
故答案為：．
復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的運算
5．（2024天津十二區(qū)·一模）i是虛數(shù)單位，則，則的值為 ．
【答案】
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則化簡得到，求出.
【詳解】由題意得，即，
，
故，
故答案為：
6．（2024·天津南開·一模）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的虛部為
【答案】
【分析】首先將題中所給的式子進行化簡，求得復(fù)數(shù)得代數(shù)形式，從而得到其虛部.
【詳解】.
所以復(fù)數(shù)的虛部為.
故答案為：.
復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的運算
7．（2024·天津·一模）若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由復(fù)數(shù)的除法運算法則以及復(fù)數(shù)的模的概念即可得到結(jié)果.
【詳解】，
，
故選：B.
8．（2024天津河西·一模）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) .
【答案】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，即可求解.
【詳解】解：，
故答案為：
9．（2024天津部分·一模）設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足.則 .
【答案】
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求出，再由復(fù)數(shù)模的意義計算得解.
【詳解】由，得，
所以.
故答案為：
10．（2024·天津和平·一模）i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)則 .
【答案】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算及模的定義求解即可.
【詳解】，
故答案為：
向量數(shù)量積的計算
11．（2024·天津河?xùn)|·一模）已知，如圖所示，點為中點，點滿足，記，用表示 ；當(dāng)時 ．

【答案】 3
【分析】根據(jù)平面向量的線性運算計算即可得；利用轉(zhuǎn)化法求.
【詳解】,
由題意，為等腰三角形，則，，
所以
.
故答案為：；3
數(shù)量積的最值、范圍問題
12．（2024·天津南開·一模）平面四邊形ABCD中，，E為BC的中點，用和表示 ；若，則的最小值為
【答案】
【分析】由向量的加減法運算求解第一個空，利用平面向量定理結(jié)合數(shù)量積運算律求解第二個空.
【詳解】因為，故；
為等邊三角形，
則
，
若，則D在以E為圓心的圓上且在直線AC的左側(cè)部分運動，方可取到最小，
，易知時取得最小值，
故的最小值為.
故答案為：；.
13．（2024·天津河西·一模）在中，D是AC邊的中點，，，，則 ；設(shè)M為平面上一點，且，其中，則的最小值為 ．
【答案】 4
【分析】以為基底，由，求出；建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算把表示為關(guān)于的函數(shù)，由二次函數(shù)性質(zhì)求最小值.
【詳解】中，D是AC邊的中點，，，
，
解得，即；
中，，，，
以為坐標(biāo)原點，為軸，點在第一象限，建立如圖所示為平面直角坐標(biāo)系，

則有，設(shè)
由，得，
解得，，即，
則有，，
，
則有時，有最小值.
故答案為： 4；.
14．（2024·天津和平·一模）青花瓷，常簡稱青花，代表了我國古代勞動人民智慧的結(jié)晶，是中國瓷器的主流品種之一.圖一是一個由波濤紋和葡萄紋構(gòu)成的正六邊形青花瓷盤，已知圖二中正六邊形的邊長為，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為，若點在正六邊形的邊上運動，動點在圓上運動且關(guān)于圓心對稱.（i）請用表示 ；（ii）請寫出的取值范圍 .
【答案】
【分析】（i）根據(jù)向量線性運算可直接得到結(jié)果；
（ii）根據(jù)向量線性運算、數(shù)量積運算性質(zhì)，可將所求數(shù)量積轉(zhuǎn)化為；根據(jù)正六邊形性質(zhì)可求得的范圍，由此可得結(jié)果.
【詳解】（i）在圓上運動且關(guān)于圓心對稱，為中點，；
（ii）；
當(dāng)為正六邊形頂點時，取得最大值；當(dāng)與正六邊形的邊垂直時，取得最小值；
六邊形為正六邊形，為正三角形，；
作，則為中點，；
，即的取值范圍為.
故答案為：；.
15．（2024·天津·一模）在中，，則 ；若點為所在平面內(nèi)的動點，且滿足，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】借助模長與數(shù)量積的關(guān)系即可得，取中點，借助向量的線性運算可得，逐項計算即可得其取值范圍.
【詳解】，
故，
，
取中點，則，
，，
故，
故.
故答案為：；.
向量模的最值、范圍問題
16．（2024天津紅橋·一模）如圖，在平行四邊形中，，為的中點，為線段上一點，且滿足，則 ；若的面積為，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】設(shè)，由平面向量線性運算及基本定理可得，由結(jié)合基本不等式可得的最小值.
【詳解】由題意，設(shè)，
則，
所以，所以，所以；
所以，
由的面積為，得到，得到，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以的最小值為．
故答案為：；.
17．（2024·天津·一模）已知平行四邊形的面積為，，且.若F為線段上的動點，且，則實數(shù)的值為 ；的最小值為 .
【答案】 /0.5 5
【分析】根據(jù)題意，利用平面向量的線性運算即可求出第一空，建立平面直角坐標(biāo)系，依據(jù)條件建立方程，結(jié)合基本不等式求解第二空即可.
【詳解】
因為所以即
又所以，
由共線，則，解得
作，以為原點建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)且，則，而的面積為，
則，故，
則，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，
故答案為：；5.
18．（2024天津部分·一模）在矩形中，是平面內(nèi)的一點，且，則 ；是平面內(nèi)的動點，且，若，則的最小值為 .
【答案】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面向量的線性運算易得的坐標(biāo)表示，進而可求；由條件得到，從而得到點的軌跡，再利用平面向量的線性運算將所求轉(zhuǎn)化為點到與的距離之和，故而利用點到圓上的點的最小值即可求得的最小值.
【詳解】依題意，構(gòu)建以為原點，為軸的直角坐標(biāo)系，
所以，則
又，故，
所以；
由知，
所以在以為直徑的圓上，為圓心，不妨設(shè)，則，
因為，
所以，
故可轉(zhuǎn)化為點到與的距離之和，
又，則在直線上，即對應(yīng)線段，
所以要求，只需求的最小值即可，
而關(guān)于對稱點為，
故，此時，即，
所以的最小值為.
故答案為：；.
.
角的（函數(shù)值）最值、范圍問題
19．（2024·天津·一模）在平行四邊形中，是線段的中點，點滿足，若設(shè)，，則可用表示為 ；點是線段上一點，且，若，則的最大值為 .
【答案】
【分析】由向量的線性運算，可將可用，表示出來；再由，可得，從而得，代入向量夾角公式，利用基本不等式求得最值．
【詳解】由，可得，
則
；
由，可得，
則，
由，可得，
即，
整理得，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
則的最大值為．
故答案為：；．

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