直線與圓相交問題
1．（2023·天津河北·一模）直線將圓分成兩段圓弧，則較短圓弧與較長圓弧的弧長之比為 .
【答案】
【分析】首先假設(shè)直線與圓的兩個交點為，圓心為，，利用已知求得，再用兩段圓弧的弧長之比等于兩段弧長所對的圓心角的弧度數(shù)之比即可求得兩段圓弧的弧長之比.
【詳解】設(shè)直線與圓的兩個交點為，圓心為，，
∵圓心到直線的距離，
∴，
，
∴，
∴，
所以兩段圓弧的弧長之比等于兩段弧長所對的圓心角的弧度數(shù)之比為.
故答案為：.
2．（2024·天津南開·一模）直線被圓截得的弦長的最小值為
【答案】
【分析】求得圓的圓心和半徑，求得直線恒過的定點，可得經(jīng)過點與線段垂直的弦的長度最短，由勾股定理計算即可．
【詳解】直線恒過定點，
而圓的圓心為，半徑為2，
可得在圓內(nèi)，經(jīng)過點與線段垂直的弦的長度最短，
此時弦長為．
故答案為：．
3．（2024·天津·一模）已知過點的直線與圓相交于，兩點，若，則直線的方程為 .
【答案】或
【分析】分直線斜率不存在與斜率存在的情況，設(shè)出直線方程進(jìn)行討論，結(jié)合點到直線的距離公式算出弦心距，結(jié)合勾股定理計算即可得.
【詳解】當(dāng)直線斜率不存在時，直線為，
則有，即，
則，符合題意；
當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線為，即，
由可得圓心為，半徑為，
則圓心到直線的距離為，
則有，即，
即，即.
故答案為：或.
4．（2024·天津部分·一模）設(shè)圓：上有且僅有兩個點到直線的距離等于,則圓半徑的取值范圍是 .
【答案】
【分析】
計算圓心到直線的距離為，根據(jù)條件得到，解得答案.
【詳解】
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
圓心到直線的距離，
因為圓上恰有相異兩點到直線的距離等于，
所以，
即，所以.
故答案為：
直線與圓相切問題
5．（2024·天津河?xùn)|·一模）已知過點的直線（不過原點）與圓相切，且在軸、軸上的截距相等，則的值為 .
【答案】18
【分析】確定直線的方程，根據(jù)直線和圓相切可得圓心到直線的距離等于半徑，列式求解，即得答案.
【詳解】由題意知過點的直線（不過原點）在軸、軸上的截距相等，
設(shè)該直線方程為，將代入得，即直線方程為，
由于該直線與相切，圓心為，半徑為，
故，
故答案為：18
圓與圓相切、直線被圓截得弦長問題
6．（2024·天津·一模）已知圓與圓外切，此時直線被圓所截的弦長為 .
【答案】
【分析】根據(jù)兩圓外切，圓心距離等于半徑之和，可得，接著計算到直線的距離，最后根據(jù)圓的弦長公式計算可得結(jié)果.
【詳解】由得，
將化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得，，
因為兩圓外切，所以，即，解得.
到直線的距離，如下圖：

則直線被圓所截的弦長.
故答案為：.
雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)
7．（2024·天津河西·一模）已知雙曲線C：（，）的焦距為，左、右焦點分別為、，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A、B兩點，點C在x軸上，，平分，則雙曲線C的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)可知，再根據(jù)角平分線定理及雙曲線定義得是等邊三角形，根據(jù)邊的關(guān)系利用余弦定理即可得結(jié)果.
【詳解】因為，所以，所以，
所以，又，
所以，
又平分，由角平分線定理可知，，
所以，所以，
由雙曲線定義知，
所以，，
所以，，，故是等邊三角形，
所以，在中，
，
化簡得：，所以，
雙曲線C的方程為，
故選：A.

【點睛】方法點睛：根據(jù)向量共線，角平分線定理及雙曲線定義，結(jié)合余弦定理可解此題.
8．（2023·天津河北·一模）過雙曲線的右焦點作漸近線的垂線，垂足為交另一條漸近線于點，且點在點之間，若，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)漸近線的傾斜角為，則，由點到直線的距離和雙曲線的性質(zhì)得到，再由題中幾何關(guān)系得到，解方程即可求出.
【詳解】
設(shè)漸近線的傾斜角為，則，
又到漸近線的距離為，
又，所以，
所以，所以，
所以，
即，解得，
所以雙曲線的漸近線方程為，
故選：B.
9．（2024·天津南開·一模）已知O為坐標(biāo)原點，雙曲線C：的左、右焦點分別是，離心率為，點P是C的右支上異于頂點的一點，過作的平分線的垂線，垂足是M，，則點P到C的兩條漸近線距離之積為（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【分析】延長，交于點,由已知是的平分線，且，所以得到等腰三角形，所以,且點是中點，結(jié)合原點是中點，由中位線結(jié)合雙曲線定義得到，進(jìn)而求出；最后距離之積利用點到直線距離公式計算即可.
【詳解】如圖，延長，交于點,由已知是的平分線，且，
所以,且點是中點.
由原點是中點，可得，又，
所以，又離心率為，，.
設(shè)點，所以，即，
所以點P到兩條漸近線距離之積為： .
故選：B.

【點睛】結(jié)論點睛：本題利用三線合一結(jié)合中位線、雙曲線定義得出是關(guān)鍵，這個具有一般性，可以作為相應(yīng)的二級結(jié)論，最后雙曲線上點到兩條漸近線距離之積也具有一般性.
10.（2024·天津和平·一模）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為點，過坐標(biāo)原點的直線與C交于A，B兩點，，的面積為，且，若雙曲線C的實軸長為4，則雙曲線C的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)雙曲線的定義及對稱性求出，，由余弦定理解三角形可得，即可得解.
【詳解】如圖，

由及雙曲線、直線的對稱性可知，，
則由雙曲線定義可知，
所以，，
所以，
解得，
因為，所以，
所以，
由余弦定理可知，
所以，，
所以雙曲線方程為：
故選：C
圓與拋物線綜合問題
11．（2024·天津紅橋·一模）已知直線與圓相切，交曲線于點，若是坐標(biāo)原點，則以為圓心，以為半徑的圓與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相交B．內(nèi)含C．外離D．外切
【答案】C
【分析】根據(jù)點到直線的距離求得，再聯(lián)立直線與拋物線方程得點坐標(biāo)及圓方程，再考慮圓心距即可.
【詳解】根據(jù)，解得，
結(jié)合拋物線的對稱性，只需考慮的情形，
聯(lián)立解得或
所以，解得，
此時點，圓的方程為，
因為圓和圓的圓心距，
所以兩圓外離．同理當(dāng)時，兩圓也外離．
故選：C．
12．（2024·天津和平·一模）圓與拋物線的準(zhǔn)線相交于，兩點.若，則拋物線的焦點坐標(biāo)為 .
【答案】
【分析】根據(jù)弦長為，利用垂徑定理可得，進(jìn)而可得焦點坐標(biāo)為.
【詳解】
如圖，拋物線的準(zhǔn)線方程為，
圓即，圓心坐標(biāo)為，半徑為，
由垂徑定理可得，即，
得或（舍去），故拋物線的方程為，焦點坐標(biāo)為.
故答案為：
13．（2024·天津河西·一模）已知拋物線上的點P到拋物線的焦點F的距離為6，則以線段PF的中點為圓心，為直徑的圓被x軸截得的弦長為 ．
【答案】4
【分析】首先利用拋物線定義確定P點坐標(biāo)，進(jìn)而可得以的中點為圓心，長度為直徑的圓的方程，再代入計算可得弦長.
【詳解】拋物線的焦點，準(zhǔn)線為，
由題意得，結(jié)合拋物線定義知P點到準(zhǔn)線的距離為6，

則，
代入橫坐標(biāo)可得，即，
所以的中點坐標(biāo)為或，
，
所以以的中點為圓心，長度為直徑的圓的方程為或，
圓心到軸距離為，所以與截得的弦長為，
故答案為：4.
14．（2024·天津十二區(qū)·一模）已知拋物線的焦點為，以點為圓心的圓與直線相切于點，則 .
【答案】
【分析】
由題意可得直線與直線垂直，進(jìn)而可得出答案.
【詳解】，
因為以點為圓心的圓與直線相切于點，
所以直線與直線垂直，
則，解得.
故答案為：.
圓與雙曲線綜合問題
15．（2024·天津·一模）過雙曲線的左焦點作圓的切線，切點為，直線交直線于點．若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】取右焦點，連接、，作于點，由題意結(jié)合幾何性質(zhì)可得相應(yīng)的邊長及角度間的關(guān)系，借助余弦定理列出與、、有關(guān)齊次式，計算即可得.
【詳解】取右焦點，連接、，作于點，
由為圓的切線，故，又，
為中點，故為中點，又，故為中點，
，則，
，則，
，由直線為雙曲線的漸近線，
故有，則，
在中，由余弦定理可得，
則，即，
即，化簡得，即，
故.
故選：D.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查雙曲線離心率的求法，關(guān)鍵點在于借助題目所給條件，從幾何的角度構(gòu)造輔助線，得到新的長度關(guān)系與角度關(guān)系，從而結(jié)合題意構(gòu)造相應(yīng)與、、有關(guān)齊次式，得到離心率.
16．（2024·天津·一模）以雙曲線的右頂點為圓心，焦點到漸近線的距離為半徑的圓交拋物線于A，B兩點.已知，則拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為（ ）
A．或4B．C．或4D．4
【答案】A
【分析】先求出雙曲線的頂點坐標(biāo)，焦點坐標(biāo)及漸近線方程，進(jìn)而可求得圓的方程，根據(jù)圓與雙曲線都關(guān)于軸對稱，則兩點關(guān)于軸對稱，從而可求得點的坐標(biāo)，代入拋物線方程即可得解.
【詳解】雙曲線的右頂點坐標(biāo)為，焦點為，
漸近線方程為，即，
焦點到漸近線的距離為，
所以題中圓的方程為，
因為圓和雙曲線的圖象都關(guān)于軸對稱，
所以兩點關(guān)于軸對稱，
不妨設(shè)點在第一象限，設(shè)，則，
則，所以，
因為點在圓上，
所以，解得或，
所以或，
當(dāng)，則，解得，
當(dāng)，則，解得，
綜上所述，拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為或4.

故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)圓與雙曲線都關(guān)于軸對稱，得出兩點關(guān)于軸對稱，求得點的坐標(biāo)，是解決本題的關(guān)鍵.
17．（2024·天津部分·一模）如圖，已知雙曲線的左?右焦點分別為，，過的直線與分別在第一?二象限交于兩點，內(nèi)切圓半徑為，若，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)雙曲線定義和幾何性質(zhì)，結(jié)合圓的切線長定理與余弦定理即可求解.
【詳解】
設(shè)，內(nèi)切圓圓心為，內(nèi)切圓在上的切點分別為，
則，
由及雙曲線的定義可知，，
故四邊形是正方形，
得，于是，
故，所以，
于是，在中，
由余弦定理可得，
從而，所以.
故選：D.
雙曲線、拋物線綜合問題
18．（2024·天津河?xùn)|·一模）已知等軸雙曲線的漸近線與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點，拋物線焦點為，的面積為4，則的長度為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)雙曲線與拋物線的幾何性質(zhì)，聯(lián)立方程組，求得的坐標(biāo)，結(jié)合題意，列出方程求得，進(jìn)而求得長度，得到答案.
【詳解】由題意，等軸雙曲線的漸近線方程為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，
聯(lián)立方程組，解得，可得，同理可得，
因為的面積為4，可得，解得，
則.
故選：D.

19．（2024·天津·一模）已知雙曲線與拋物線，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的焦點，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為點，延長與拋物線相交于點，若，則雙曲線的離心率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)向量關(guān)系可得，進(jìn)而可得，，利用三角形相似可得，將其代入拋物線方程即可求解.
【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，
拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的焦點，
，
又到的距離，即，
，，
，則，
，得，
過作軸，則，
故，
因此
由于在拋物線上，所以即，
，故，
故．
故選：C．
20．（2024·天津紅橋·一模）已知雙曲線與拋物線的一個交點為為拋物線的焦點，若，則雙曲線的漸近線方程為 ．
【答案】
【分析】設(shè)，根據(jù)條件，利用拋物線的定義得到，進(jìn)而得到，代入雙曲線方程中，可得，即可求出結(jié)果.
【詳解】因為拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，
因為，所以，得到，所以，
又在雙曲線上，所以，得到，
故雙曲線為，其漸近線方程為.
故答案為：.
直線與橢圓：求參數(shù)、斜率
21．（2024·天津·一模）已知橢圓的右頂點為，下頂點為，橢圓的離心率為，且．
(1)求橢圓的方程；
(2)已知點在橢圓上（異于橢圓的頂點），點滿足（為坐標(biāo)原點），直線與以為圓心的圓相切于點，且為中點，求直線斜率．
【答案】(1)
(2)或.
【分析】
（1）根據(jù)題意列出關(guān)于的方程組，求出，從而可求出橢圓的方程；
（2）根據(jù)題意設(shè)直線為，代入橢圓方程化簡求出點的橫坐標(biāo)，再由為中點，可表示出點的坐標(biāo)，由求出點的坐標(biāo)，再由直線與以為圓心的圓相切于點，可得可求出的值.
【詳解】（1）由題意得，解得，
所以橢圓的方程為；
（2）因為橢圓的右頂點為，下頂點為，所以，
因為點在橢圓上（異于橢圓的頂點），所以直線的斜率存在且不為零，
所以設(shè)直線為，
由，得，
因為，所以，
因為為中點，所以，
所以，所以，
因為，，所以，
因為直線與以為圓心的圓相切于點，
所以，即，
整理得，解得或，
所以直線斜率為或.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線的方程，代入橢圓方程可表示出的坐標(biāo)，從而可表示出點的坐標(biāo)，再結(jié)合圓的知識列方程可求得結(jié)果，考查計算能力，屬于中檔題.
22．（2024·天津河?xùn)|·一模）已知橢圓的離心率為，點到橢圓右焦點距離等于焦距.
(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點斜率為的直線與橢圓交于兩點，且與軸交于點，線段的垂直平分線與軸，軸分別交于點，點為坐標(biāo)原點，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)兩點距離和離心率求解，即可求解橢圓方程；
（2）設(shè)方程，與橢圓聯(lián)立，韋達(dá)定理，求出中垂線方程，進(jìn)而求得點的坐標(biāo)，利用面積關(guān)系列式求解即可.
【詳解】（1）由已知，解得，又，所以，
由，所以，所以橢圓方程為；
（2）設(shè)所在直線方程為，
聯(lián)立得，
得到，，所以，
記的中點為，則，所以中垂線，
所以，，所以，
又，則，
因為，所以，解為或（舍），解得.
23．（2024·天津河西·一模）已知橢圓的上、下頂點為、，左焦點為，定點，．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點作斜率為（）的直線交橢圓于另一點，直線與軸交于點（在，之間），直線與軸交于點，若，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）依題意可得為、的中點，即可求出、，再求出，即可得到橢圓方程；
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出，，從而表示出的方程，即可得到，再求出，最后由三角形的面積得到，從而得到關(guān)于的方程，解得即可.
【詳解】（1）由題意，，則為、的中點，
所以，，
，，即，
，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)直線的方程為，
與橢圓的方程聯(lián)立，，整理得，
，
所以，
直線與相交于點，令，
所以直線的斜率為，
直線的方程為，
令，，
由，
又，
，
，即，
所以，
所以，
所以，解得或，
所以的值為或.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是推導(dǎo)出，從而得到.
直線與橢圓：證明定值（關(guān)系）
24．（2024·天津部分·一模）已知橢圓的離心率為分別為橢圓的左，右頂點和坐標(biāo)原點，點為橢圓上異于的一動點，面積的最大值為.
(1)求的方程；
(2)過橢圓的右焦點的直線與交于兩點，記的面積為，過線段的中點作直線的垂線，垂足為，設(shè)直線的斜率分別為.
①求的取值范圍；
②求證：為定值.
【答案】(1)
(2)①；②證明見解析
【分析】
（1）根據(jù)離心率以及面積的最大值，構(gòu)造方程解方程可得的方程為；
（2）①聯(lián)立橢圓與直線方程得出的面積的表達(dá)式，利用對勾函數(shù)單調(diào)性即可求得的取值范圍為；
②利用中點坐標(biāo)公式求得，得出斜率表達(dá)式即可得，可得為定值.
【詳解】（1）由題意知，解得，
所以的方程為；
（2）①易知，
設(shè)直線方程為，如下圖所示：
聯(lián)立，消去可得，
所以，
且，
可得，
令，
可得，由對勾函數(shù)性質(zhì)可得在時單調(diào)遞增；
所以可得；
即的取值范圍為.
②易知，
可得；
所以
；
因此為定值.
25．（2024·天津和平·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的左焦點為點F，離心率為，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)不過原點O且斜率為的直線l與橢圓C交于不同的兩點P，Q，線段PQ的中點為T，直線OT與橢圓C交于兩點M，N，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，求得的值，即可求解；
（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，求得，得到，再由的方程為，聯(lián)立方程組，求得，進(jìn)而求得，再由弦長公式，求得，結(jié)合，即可得證.
【詳解】（1）解：由橢圓的離心率為，且過點F且與x軸垂直的直線截得的線段長為，
可得 ，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）證明：設(shè)直線所在的直線方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
所以，解得，
設(shè)，則，
所以，則，即，
所以的方程為，
聯(lián)立，解得或，所以，
則，
又由
，
又因為的中點，
可得，
所以.

26．（2024·天津·一模）已知橢圓過點，焦距是短半軸長的倍，
(1)求橢圓的方程；
(2)點是橢圓上的三個不同點，線段交軸于點異于坐標(biāo)原點，且總有的面積與的面積相等，直線分別交軸于點兩點，求的值.
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根據(jù)題目條件得到方程組，求出，得到橢圓方程；
（2）分析出兩點關(guān)于軸對稱，設(shè)出直線，故，聯(lián)立直線與橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出，求出，得到.
【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意知，解得，
橢圓的方程；
（2）因為的面積與的面積總相等，故為的中點，
結(jié)合對稱性可知兩點關(guān)于軸對稱，
由題意直線斜率存在且不為0，并且縱截距不為0，
設(shè)直線，故，
，化簡得，
由得，，
設(shè)，則，
則，
直線，令得，
，
所以.
【點睛】方法點睛：定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；
（2）直接推理計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.
直線與橢圓：直線過定點問題
27．（2023·天津河北·一模）設(shè)橢圓的離心率等于，拋物線的焦點是橢圓的一個頂點，分別是橢圓的左右頂點.
(1)求橢圓的方程；
(2)動點為橢圓上異于的兩點，設(shè)直線的斜率分別為，且，求證：直線經(jīng)過定點.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由拋物線的方程可得焦點F的坐標(biāo)，由橢圓的離心率的值和它的一個頂點，可得a、b的值，即可求出橢圓的方程
（2）設(shè)直線AP的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得P的坐標(biāo)，同理可得Q的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線PQ的方程，可證得直線經(jīng)過定點
【詳解】（1）的焦點的坐標(biāo)，由，，
，得，
橢圓的方程為.
（2），
由題意可知，直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線的斜率，
直線的方程為，
聯(lián)立消去，
得.
直線過點，
.
代入，得，
.
同理：直線的方程為，
聯(lián)立消去，
得.
直線過點，
.
代入，得，
.
若，即
直線的斜率
，
直線的方程為，
令，解得，
直線過定點.
若，此時，直線也過點.
直線過定點.
28．（2024·天津紅橋·一模）已知橢圓過點，且橢圓的離心率為 .
(1)求橢圓的方程；
(2)若動點在直線上，過作直線交橢圓于兩點，且為線段的中點，再過作直線，證明：直線l恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由點在橢圓上，代入橢圓的方程，再由橢圓的離心率為，求得的值，即可求解；
（2）設(shè)，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)點的橫坐標(biāo)求得，結(jié)合，得到，得出直線過定點；當(dāng)直線的斜率不存在時，得到直線為軸，進(jìn)而得到結(jié)論.
【詳解】（1）因為點在橢圓上，可得，解得，
又因為橢圓的離心率為，所以，所以，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題意，可設(shè)，且，
①當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組，
整理得，
則，
所以，
因為為的中點，所以，即，
所以，經(jīng)檢驗，此時，
因為，所以，所以直線的方程為，
即，所以直線恒過定點.
②當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，
此時直線為軸，也過點.
綜上所述，直線恒過定點.

【點睛】方法點睛：解答圓錐曲線的定點、定值問題的策略：
1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點問題的思路：①引進(jìn)動點的坐標(biāo)或動直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到過定點的曲線之間的關(guān)系，得到關(guān)于與的等式，再研究變化量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，得出定點的坐標(biāo)；
2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據(jù)動點或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).
29．（2024·天津·一模）已知橢圓的右焦點為，左、右頂點分別為，，離心率為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.
(1)求橢圓的方程；
(2)若為直線上一動點，且直線，分別與橢圓交于，兩點（異于，兩點），證明：直線恒過一定點.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）依題意可得、，即可求出、、，從而得到橢圓方程；
（2）設(shè)，直線的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元，列出韋達(dá)定理，由三點共線得到，，從而得到，再代入韋達(dá)定理整理得到，從而求出的值，即可求出直線過定點坐標(biāo).
【詳解】（1）設(shè)，由，解得，
所以，又，，解得，，，
所以橢圓方程為.
（2）由（1）可得，，設(shè)，
設(shè)直線的方程為，，，
由，整理得，
所以，即，
所以，，
因為、、三點共線，、、三點共線，
所以，，
所以，即，
所以，
即，
所以，
整理得，
因為當(dāng)變化時，上式恒成立，
所以，解得，
所以直線的方程為，令，則，所以直線過定點.
【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.
直線與橢圓：存在性問題
30．（2024·天津南開·一模）已知橢圓C：的一個焦點與拋物線的焦點F重合，拋物線的準(zhǔn)線被C截得的線段長為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點F作直線l交C于A，B兩點，試問：在x軸上是否存在一個定點M，使為定值？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)M存在，其坐標(biāo)為
【分析】（1）由拋物線方程可得焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，進(jìn)而可得橢圓的焦點坐標(biāo)以及長半軸a與短半軸b之間的等量關(guān)系，則橢圓方程可求；
（2）分直線l斜率為0和不為0兩種情況討論，通過聯(lián)立直線方程與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行化簡即可求得定值.
【詳解】（1）拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，由題意得，
解得，所以橢圓C的方程為.
（2）假設(shè)存在符合條件的點，設(shè)，
則，，
①當(dāng)直線l的斜率不為0時，設(shè)直線l的方程為，
由，得，則，
所以，
因此，若對于任意的t值，上式為定值，
則，解得，此時，為定值.
②當(dāng)直線l的斜率為0時，
綜合①②知，符合條件的點M存在，其坐標(biāo)為.

【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點．

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