一、單選題
1．（2024·全國）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（均在之間，單位：kg）并部分整理下表
據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)論中正確的是（ ）
A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg
B．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%
C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間
D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間
2．（2024·全國）甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·北京）的二項展開式中的系數(shù)為（ ）
A．15B．6C．D．
4．（2024·天津）下列圖中，相關(guān)性系數(shù)最大的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
5．（2024·全國）為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區(qū)以往的畝收入服從正態(tài)分布，假設(shè)推動出口后的畝收入服從正態(tài)分布，則（ ）（若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，）
A．B．
C．D．
三、填空題
6．（2024·全國）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為 .
7．（2024·全國）在如圖的4×4方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有 種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是 ．
8．（2024·全國）的展開式中，各項系數(shù)的最大值是 ．
9．（2024·全國）有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中不放回地隨機(jī)抽取3次，每次取1個球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則與差的絕對值不超過的概率是 ．
10．（2024·天津）五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.（1）甲選到的概率為 ；已知乙選了活動，他再選擇活動的概率為 ．
11．（2024·上海）在的二項展開式中，若各項系數(shù)和為32，則項的系數(shù)為 ．
12．（2024·上海）某校舉辦科學(xué)競技比賽，有3種題庫，題庫有5000道題，題庫有4000道題，題庫有3000道題．小申已完成所有題，他題庫的正確率是0.92，題庫的正確率是0.86，題庫的正確率是0.72．現(xiàn)他從所有的題中隨機(jī)選一題，正確率是 ．
13．（2024·上海）設(shè)集合中的元素皆為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個數(shù)的最大值 ．
四、解答題
14．（2024·全國）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項和后剩余的項可被平均分為組，且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．
(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；
(2)當(dāng)時，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；
(3)從中一次任取兩個數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．
15．（2024·全國）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成員為0分；若至少投中一次，則該隊進(jìn)入第二階段，由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．
(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．
(2)假設(shè)，
（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？
（ii）為使得甲、乙，所在隊的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？
16．（2024·全國）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗，數(shù)據(jù)如下：
(1)填寫如下列聯(lián)表：
能否有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？
(2)已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率，設(shè)為升級改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級品率.如果，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？（）
附：
17．（2024·北京）已知某險種的保費為萬元，前3次出險每次賠付萬元，第4次賠付萬元
在總體中抽樣100單，以頻率估計概率：
(1)求隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次的概率；
(2)（i）毛利潤是保費與賠償金額之差．設(shè)毛利潤為，估計的數(shù)學(xué)期望；
（ⅱ）若未賠償過的保單下一保險期的保費下降，已賠償過的增加．估計保單下一保險期毛利潤的數(shù)學(xué)期望．
18．（2024·上海）為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時長與學(xué)業(yè)成績的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時長與學(xué)業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：
(1)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時長不少于1小時人數(shù)約為多少？
(2)估計該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時長（精確到0.1）
(3)是否有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關(guān)？
（附：其中，．）
畝產(chǎn)量
[900，950）
[950，1000）
[1000，1050）
[1100，1150）
[1150，1200）
頻數(shù)
6
12
18
24
10
優(yōu)級品
合格品
不合格品
總計
甲車間
26
24
0
50
乙車間
70
28
2
100
總計
96
52
2
150
優(yōu)級品
非優(yōu)級品
甲車間
乙車間
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
賠償次數(shù)
0
1
2
3
4
單數(shù)
時間范圍學(xué)業(yè)成績
優(yōu)秀
5
44
42
3
1
不優(yōu)秀
134
147
137
40
27
參考答案：
1．C
【分析】計算出前三段頻數(shù)即可判斷A；計算出低于1100kg的頻數(shù)，再計算比例即可判斷B；根據(jù)極差計算方法即可判斷C；根據(jù)平均值計算公式即可判斷D.
【解析】對于 A, 根據(jù)頻數(shù)分布表可知, ,
所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于 , 故 A 錯誤；
對于B，畝產(chǎn)量不低于的頻數(shù)為，
所以低于的稻田占比為，故B錯誤；
對于C，稻田畝產(chǎn)量的極差最大為，最小為，故C正確；
對于D，由頻數(shù)分布表可得，畝產(chǎn)量在的頻數(shù)為，
所以平均值為，故D錯誤.
故選；C.
2．B
【分析】分類討論甲乙的位置，得到符合條件的情況，然后根據(jù)古典概型計算公式進(jìn)行求解.
【解析】當(dāng)甲排在排尾，乙排第一位，丙有種排法，丁就種，共種；
當(dāng)甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有種排法，丁就種，共種；
于是甲排在排尾共種方法，同理乙排在排尾共種方法，于是共種排法符合題意；
基本事件總數(shù)顯然是，
根據(jù)古典概型的計算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為.
故選：B
3．B
【分析】寫出二項展開式，令，解出然后回代入二項展開式系數(shù)即可得解.
【解析】的二項展開式為，
令，解得，
故所求即為.
故選：B.
4．A
【分析】由點的分布特征可直接判斷
【解析】觀察4幅圖可知，A圖散點分布比較集中，且大體接近某一條直線，線性回歸模型擬合效果比較好，呈現(xiàn)明顯的正相關(guān)，值相比于其他3圖更接近1.
故選：A
5．BC
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的原則以及正態(tài)分布的對稱性即可解出.
【解析】依題可知，，所以，
故，C正確，D錯誤；
因為，所以，
因為，所以，
而，B正確，A錯誤，
故選：BC．
6．/0.5
【分析】將每局的得分分別作為隨機(jī)變量，然后分析其和隨機(jī)變量即可.
【解析】設(shè)甲在四輪游戲中的得分分別為，四輪的總得分為.
對于任意一輪，甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲獲勝的出牌組合有六種，從而甲在該輪獲勝的概率，所以.
從而.
記.
如果甲得0分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應(yīng)乙出2，4，6，8，所以；
如果甲得3分，則組合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應(yīng)乙出8，2，4，6，所以.
而的所有可能取值是0，1，2，3，故，.
所以，，兩式相減即得，故.
所以甲的總得分不小于2的概率為.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量問題，利用期望的可加性得到等量關(guān)系，從而避免繁瑣的列舉.
7． 24 112
【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選；利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果，即可求解.
【解析】由題意知，選4個方格，每行和每列均恰有一個方格被選中，
則第一列有4個方格可選，第二列有3個方格可選，
第三列有2個方格可選，第四列有1個方格可選，
所以共有種選法；
每種選法可標(biāo)記為，分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，
則所有的可能結(jié)果為：
，
，
，
，
所以選中的方格中，的4個數(shù)之和最大，為.
故答案為：24；112
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選，利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果.
8．5
【分析】先設(shè)展開式中第項系數(shù)最大，則根據(jù)通項公式有，進(jìn)而求出即可求解.
【解析】由題展開式通項公式為，且，
設(shè)展開式中第項系數(shù)最大，則，
，即，又，故，
所以展開式中系數(shù)最大的項是第9項，且該項系數(shù)為.
故答案為：5.
9．
【分析】根據(jù)排列可求基本事件的總數(shù)，設(shè)前兩個球的號碼為，第三個球的號碼為，則，就的不同取值分類討論后可求隨機(jī)事件的概率.
【解析】從6個不同的球中不放回地抽取3次，共有種，
設(shè)前兩個球的號碼為，第三個球的號碼為，則，
故，故，
故，
若，則，則為：，故有2種，
若，則，則為：，
，故有10種，
當(dāng)，則，則為：
，
，
故有16種，
當(dāng)，則，同理有16種，
當(dāng)，則，同理有10種，
當(dāng)，則，同理有2種，
共與的差的絕對值不超過時不同的抽取方法總數(shù)為，
故所求概率為.
故答案為：
10．
【分析】結(jié)合列舉法或組合公式和概率公式可求甲選到的概率；采用列舉法或者條件概率公式可求乙選了活動，他再選擇活動的概率.
【解析】解法一：列舉法
從五個活動中選三個的情況有：
,共10種情況，
其中甲選到有6種可能性：，
則甲選到得概率為：；
乙選活動有6種可能性：，
其中再選則有3種可能性：，
故乙選了活動，他再選擇活動的概率為.
解法二：
設(shè)甲、乙選到為事件，乙選到為事件，
則甲選到的概率為；
乙選了活動，他再選擇活動的概率為
故答案為：；
11．10
【分析】令，解出，再利用二項式的展開式的通項合理賦值即可.
【解析】令，，即，解得，
所以的展開式通項公式為，令，則，
．
故答案為：10．
12．0.85
【分析】求出各題庫所占比，根據(jù)全概率公式即可得到答案.
【解析】由題意知，題庫的比例為：，
各占比分別為，
則根據(jù)全概率公式知所求正確率．
故答案為：0.85．
13．329
【分析】三位數(shù)中的偶數(shù)分個位是0和個位不是0討論即可.
【解析】由題意知集合中且至多只有一個奇數(shù)，其余均是偶數(shù)．
首先討論三位數(shù)中的偶數(shù)，
①當(dāng)個位為0時，則百位和十位在剩余的9個數(shù)字中選擇兩個進(jìn)行排列，則這樣的偶數(shù)有個；
②當(dāng)個位不為0時，則個位有個數(shù)字可選，百位有個數(shù)字可選，十位有個數(shù)字可選，
根據(jù)分步乘法這樣的偶數(shù)共有，
最后再加上單獨的奇數(shù)，所以集合中元素個數(shù)的最大值為個．
故答案為：329．
14．(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）直接根據(jù)可分?jǐn)?shù)列的定義即可；
（2）根據(jù)可分?jǐn)?shù)列的定義即可驗證結(jié)論；
（3）證明使得原數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的至少有個，再使用概率的定義.
【解析】（1）首先，我們設(shè)數(shù)列的公差為，則.
由于一個數(shù)列同時加上一個數(shù)或者乘以一個非零數(shù)后是等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)該數(shù)列是等差數(shù)列，
故我們可以對該數(shù)列進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危?br>得到新數(shù)列，然后對進(jìn)行相應(yīng)的討論即可.
換言之，我們可以不妨設(shè)，此后的討論均建立在該假設(shè)下進(jìn)行.
回到原題，第1小問相當(dāng)于從中取出兩個數(shù)和，使得剩下四個數(shù)是等差數(shù)列.
那么剩下四個數(shù)只可能是，或，或.
所以所有可能的就是.
（2）由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個數(shù)可以分為以下兩個部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：
①，共組；
②，共組.
（如果，則忽略②）
故數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.
（3）定義集合，.
下面證明，對，如果下面兩個命題同時成立，
則數(shù)列一定是可分?jǐn)?shù)列：
命題1：或；
命題2：.
我們分兩種情況證明這個結(jié)論.
第一種情況：如果，且.
此時設(shè)，，.
則由可知，即，故.
此時，由于從數(shù)列中取出和后，
剩余的個數(shù)可以分為以下三個部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：
①，共組；
②，共組；
③，共組.
（如果某一部分的組數(shù)為，則忽略之）
故此時數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.
第二種情況：如果，且.
此時設(shè)，，.
則由可知，即，故.
由于，故，從而，這就意味著.
此時，由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個數(shù)可以分為以下四個部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：
①，共組；
②，，共組；
③全體，其中，共組；
④，共組.
（如果某一部分的組數(shù)為，則忽略之）
這里對②和③進(jìn)行一下解釋：將③中的每一組作為一個橫排，排成一個包含個行，個列的數(shù)表以后，個列分別是下面這些數(shù)：
，，，.
可以看出每列都是連續(xù)的若干個整數(shù)，它們再取并以后，將取遍中除開五個集合，，，，中的十個元素以外的所有數(shù).
而這十個數(shù)中，除開已經(jīng)去掉的和以外，剩余的八個數(shù)恰好就是②中出現(xiàn)的八個數(shù).
這就說明我們給出的分組方式滿足要求，故此時數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.
至此，我們證明了：對，如果前述命題1和命題2同時成立，則數(shù)列一定是可分?jǐn)?shù)列.
然后我們來考慮這樣的的個數(shù).
首先，由于，和各有個元素，故滿足命題1的總共有個；
而如果，假設(shè)，則可設(shè)，，代入得.
但這導(dǎo)致，矛盾，所以.
設(shè)，，，則，即.
所以可能的恰好就是，對應(yīng)的分別是，總共個.
所以這個滿足命題1的中，不滿足命題2的恰好有個.
這就得到同時滿足命題1和命題2的的個數(shù)為.
當(dāng)我們從中一次任取兩個數(shù)和時，總的選取方式的個數(shù)等于.
而根據(jù)之前的結(jié)論，使得數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的至少有個.
所以數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率一定滿足
.
這就證明了結(jié)論.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于對新定義數(shù)列的理解，只有理解了定義，方可使用定義驗證或探究結(jié)論.
15．(1)
(2)（i）由甲參加第一階段比賽；（i）由甲參加第一階段比賽；
【分析】（1）根據(jù)對立事件的求法和獨立事件的乘法公式即可得到答案；
（2）（i）首先各自計算出，，再作差因式分解即可判斷；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步驟列出分布列，計算出各自期望，再次作差比較大小即可.
【解析】（1）甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1次，
比賽成績不少于5分的概率.
（2）（i）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為，
若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為，
，
，
，應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.
(ii)若甲先參加第一階段比賽，數(shù)學(xué)成績的所有可能取值為0，5，10，15，
，
，
，
，
記乙先參加第一階段比賽，數(shù)學(xué)成績的所有可能取值為0，5，10，15，
同理
，
因為，則，，
則，
應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是計算出相關(guān)概率和期望，采用作差法并因式分解從而比較出大小關(guān)系，最后得到結(jié)論.
16．(1)答案見詳解
(2)答案見詳解
【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計算，并與臨界值對比分析；
（2）用頻率估計概率可得，根據(jù)題意計算，結(jié)合題意分析判斷.
【解析】（1）根據(jù)題意可得列聯(lián)表：
可得，
因為，
所以有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異，沒有的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異.
（2）由題意可知：生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品的頻率為，
用頻率估計概率可得，
又因為升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率，
則，
可知，
所以可以認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了.
17．(1)
(2)(i)0.122萬元 (ii)萬元
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)可求賠償次數(shù)不少2的概率;
（2）（?。┰O(shè)為賠付金額，則可取，用頻率估計概率后可求的分布列及數(shù)學(xué)期望，從而可求.
（ⅱ）先算出下一期保費的變化情況，結(jié)合（1）的結(jié)果可求.
【解析】（1）設(shè)為“隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次”，
由題設(shè)中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得.
（2）（ⅰ）設(shè)為賠付金額，則可取，
由題設(shè)中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得，
，，
，
故
故（萬元）.
（ⅱ）由題設(shè)保費的變化為，
故（萬元）
18．(1)
(2)
(3)有
【分析】（1）求出相關(guān)占比，乘以總?cè)藬?shù)即可；
（2）根據(jù)平均數(shù)的計算公式即可得到答案；
（3）作出列聯(lián)表，再提出零假設(shè)，計算卡方值和臨界值比較大小即可得到結(jié)論.
【解析】（1）由表可知鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)為占比，
則估計該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)為．
（2）估計該地區(qū)初中生的日均體育鍛煉時長約為
．
則估計該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時長為0.9小時.
（3）由題列聯(lián)表如下：
提出零假設(shè)：該地區(qū)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時長不少于1小時但少于2小時無關(guān)．
其中．
．
則零假設(shè)不成立，
即有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關(guān)．
優(yōu)級品
非優(yōu)級品
甲車間
26
24
乙車間
70
30
其他
合計
優(yōu)秀
45
50
95
不優(yōu)秀
177
308
485
合計
222
358
580

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