題型01
排列組合
1．（2024?石景山區(qū)一模）中國民族五聲調(diào)式音階的各音依次為：宮、商、角、徽、羽，如果用這五個音，排成一個沒有重復(fù)音的五音音列，且商、角不相鄰，徽位于羽的左側(cè)，則可排成的不同音列有
A．18種B．24種C．36種D．72種
【答案】
【詳解】先將宮、徽、羽三個音節(jié)進(jìn)行排序，且徽位于羽的左側(cè)，有種，
再將商、角插入4個空中，共有種．
故選：．
題型02
二項(xiàng)式定理
1．（2024?東城區(qū)一模）已知，若，則的取值可以為
A．2B．1C．D．
【答案】
【詳解】已知，令時，；
故，解得或，根據(jù)選項(xiàng)只有符合．
故選：．
2．（2024?西城區(qū)一模）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為
A．B．C．15D．60
【答案】
【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，令，求得，
可得常數(shù)項(xiàng)，
故選：．
3．（2024?豐臺區(qū)一模）的展開式中的系數(shù)為
A．40B．C．80D．
【答案】
【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，
，
令，解得；
所以展開式中的系數(shù)是．
故選：．
4．（2024?延慶區(qū)一模）在的展開式中，的系數(shù)為
A．40B．C．80D．
【答案】
【詳解】在的展開式中，含的項(xiàng)為，
的系數(shù)為．
故選：．
5．（2024?海淀區(qū)一模）若，則 ； ．
【答案】16；
【詳解】對于，
令得，，
，
令得，，
①，
令得，，
②，
①②得，，
，
把代入①得，，
．
故答案為：16；．
6．（2024?朝陽區(qū)一模）在的展開式中，的系數(shù)為 ．（用數(shù)字作答）
【答案】15
【詳解】在的展開式的通項(xiàng)公式：，
令，解得，
故的系數(shù)為．
故答案為：15．
7．（2024?房山區(qū)一模）設(shè)，則 ；當(dāng)時， ．
【答案】1；17
【詳解】因?yàn)椋?br>令，可得，
又由題可得，，
可得，
即，可得．
故答案為：1；17．
8．（2024?順義區(qū)一模）展開式中項(xiàng)的系數(shù)是 ．
【答案】10
【詳解】展開式中的通項(xiàng)公式為，，1，，5，
令，解得．．
故答案為：10．
題型03
概率統(tǒng)計(jì)
1．（2024?石景山區(qū)一模）一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球．若從中不放回地取球2次，每次任取1個球，記“第一次取到紅球”為事件，“第二次取到紅球”為事件，則
A．B．C．D．
【答案】【詳解】根據(jù)題意，第一次取到紅球后，袋中有3個紅球和2個白球，
此時，第二次取到紅球的概率，即．
故選：．
2．（2024?海淀區(qū)一模）某學(xué)校為提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，要求所有學(xué)生在學(xué)年中完成規(guī)定的學(xué)習(xí)任務(wù)，并獲得相應(yīng)過程性積分．現(xiàn)從該校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得其科普測試成績（百分制，且均為整數(shù)）及相應(yīng)過程性積分?jǐn)?shù)據(jù)，整理如下表：
（Ⅰ）當(dāng)時，
從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生的科普過程性積分不少于3分的概率；
（ⅱ）從該?？破諟y試成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，記為這2名學(xué)生的科普過程性積分之和，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）從該?？破者^程性積分不高于1分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，其科普測試成績記為，上述100名學(xué)生科普測試成績的平均值記為．若根據(jù)表中信息能推斷恒成立，直接寫出的最小值．
【答案】（Ⅰ）0.45；；（Ⅱ）7
【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時，
由表可知，科普過程性積分不少于3分的學(xué)生人數(shù)為，
所以從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，這名學(xué)生的科普過程性積分不少于3分的頻率為，
所以從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，這名學(xué)生的科普過程性積分不少于3分的概率估計(jì)為0.45；
根據(jù)題意，從樣本中成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，這名學(xué)生的科普過程性積分為3分的頻率為，
所以從該校學(xué)生活動成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，
這名學(xué)生的科普過程性積分為3分的概率估計(jì)為，
同理，從該校學(xué)生活動成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，這名學(xué)生的科普過程性積分為4分的概率估計(jì)為，
由表可知的所有可能取值為6，7，8，
，，，
所以的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）7．
3．（2024?東城區(qū)一模）某中學(xué)為了解本校高二年級學(xué)生閱讀水平現(xiàn)狀，從該年級學(xué)生中隨機(jī)抽取100人進(jìn)行一般現(xiàn)代文閱讀速度的測試，以每位學(xué)生平均每分鐘閱讀的字?jǐn)?shù)作為該學(xué)生的閱讀速度，將測試結(jié)果整理得到如下頻率分布直方圖：
（Ⅰ）若該校高二年級有1500人，試估計(jì)閱讀速度達(dá)到620字分鐘及以上的人數(shù)；
（Ⅱ）用頻率估計(jì)概率，從該校高二學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中閱讀速度達(dá)到540字分鐘及以上的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）若某班有10名學(xué)生參加測試，他們的閱讀速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中閱讀速度達(dá)到540字分鐘及以上的人數(shù)為，試判斷數(shù)學(xué)期望與（Ⅱ）中的的大小．（結(jié)論不要求證明）
【答案】（Ⅰ）600人；（Ⅱ），分布列見解析；（Ⅲ）
【詳解】（Ⅰ）若該校高二年級有1500人，試估計(jì)閱讀速度達(dá)到620字分鐘及以上的人數(shù)為人；
（Ⅱ）用頻率估計(jì)概率，閱讀速度達(dá)到540字分鐘及以上的概率為，
則，
，，1，2，3，
，
，
，
．
的分布列為：
．
（Ⅲ）若某班有10名學(xué)生參加測試，他們的閱讀速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，這10人中閱讀速度達(dá)到540字分鐘及以上的人數(shù)為8，
從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中閱讀速度達(dá)到540字分鐘及以上的人數(shù)為，則的可能取值為：1，2，3．
，，．
的分布列為：
．
4．（2024?西城區(qū)一模）10米氣步槍是國際射擊聯(lián)合會的比賽項(xiàng)目之一，資格賽比賽規(guī)則如下：每位選手采用立姿射擊60發(fā)子彈，總環(huán)數(shù)排名前8的選手進(jìn)入決賽．三位選手甲、乙、丙的資格賽成績?nèi)缦拢?br>假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的射擊成績相互獨(dú)立．
（Ⅰ）若丙進(jìn)入決賽，試判斷甲是否進(jìn)入決賽，說明理由；
（Ⅱ）若甲、乙各射擊2次，估計(jì)這4次射擊中出現(xiàn)2個“9環(huán)”和2個“10環(huán)”的概率；
（Ⅲ）甲、乙、丙各射擊10次，用，2，分別表示甲、乙、丙的10次射擊中大于環(huán)的次數(shù)，其中，7，8，．寫出一個的值，使．（結(jié)論不要求證明）
【答案】（Ⅰ）甲進(jìn)入決賽，理由見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）和8（寫出一個即可）
【詳解】（Ⅰ）甲進(jìn)入決賽，理由如下：
丙射擊成績的總環(huán)數(shù)為，
甲射擊成績的總環(huán)數(shù)為，
因?yàn)椋?br>所以甲進(jìn)入決賽；
（Ⅱ）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，“甲命中9環(huán)”的概率可估計(jì)為；“甲命中10環(huán)”的概率可估計(jì)為；“乙命中9環(huán)”的概率可估計(jì)為；“乙命中10環(huán)”的概率可估計(jì)為，
所以這4次射擊中出現(xiàn)2個“9環(huán)”和2個“10環(huán)”的概率可估計(jì)為：
；
（Ⅲ）和8（寫出一個即可）．
5．（2024?朝陽區(qū)一模）為提升學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實(shí)生活或其他學(xué)科領(lǐng)域中的問題的能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，某市面向全市高中學(xué)生開展數(shù)學(xué)建模論文征文活動．對于參加征文活動的每篇論文，由兩位評委獨(dú)立評分，取兩位評委評分的平均數(shù)作為該篇論文的初評得分．從評委甲和評委乙負(fù)責(zé)評審的論文中隨機(jī)抽取10篇，這10篇論文的評分情況如下表所示．
（Ⅰ）從這10篇論文中隨機(jī)抽取1篇，求甲、乙兩位評委的評分之差的絕對值不超過5的概率；
（Ⅱ）從這10篇論文中隨機(jī)抽取3篇，甲、乙兩位評委對同一篇論文的評分之差的絕對值不超過5的篇數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）對于序號為，2，，的論文，設(shè)評委甲的評分為，評委乙的評分為，分別記甲、乙兩位評委對這10篇論文評分的平均數(shù)為，，標(biāo)準(zhǔn)差為，，以作為序號為的論文的標(biāo)準(zhǔn)化得分．對這10篇論文按照初評得分與標(biāo)準(zhǔn)化得分分別從高到低進(jìn)行排名，判斷序號為2的論文的兩種排名結(jié)果是否相同？（結(jié)論不要求證明）
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），分布列見解析；（Ⅲ）相同
【詳解】（Ⅰ）設(shè)事件為“從這10篇論文中隨機(jī)抽取1篇，甲、乙兩位評委的評分之差的絕對
值不超過5”，
在這10篇論文中，甲、乙兩位評委的評分之差的絕對值不超過5的有2篇，
所以；
（Ⅱ）依題意，的可能取值為0，1，2，
，，．
所以的分布列為
的數(shù)學(xué)期望為；
（Ⅲ）相同．
6．（2024?房山區(qū)一模）《中華人民共和國體育法》規(guī)定，國家實(shí)行運(yùn)動員技術(shù)等級制度，如表是我國現(xiàn)行《田徑運(yùn)動員技術(shù)等級標(biāo)準(zhǔn)》（單位：（部分摘抄）
在某市組織的考級比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)參加了跳遠(yuǎn)考級比賽，其中甲、乙為男生，丙為女生，為預(yù)測考級能達(dá)到國家二級及二級以上運(yùn)動員的人數(shù)，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：
甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；
乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；
丙：5.16，5.65，5.18，5.86．
假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立，
（Ⅰ）估計(jì)甲在此次跳遠(yuǎn)考級比賽中成績達(dá)到二級及二級以上運(yùn)動員的概率；
（Ⅱ）設(shè)是甲、乙、丙在此次跳遠(yuǎn)考級比賽中成績達(dá)到二級及二級以上運(yùn)動員的總?cè)藬?shù)，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）在跳遠(yuǎn)考級比賽中，每位參加者按規(guī)則試跳6次，取6次試跳中的最好成績作為其最終成績本次考級比賽中，甲已完成6次試跳，丙已完成5次試跳，成績（單位：如表：
若丙第6次試跳的成績?yōu)?，用，分別表示甲、丙試跳6次成績的方差，當(dāng)時，寫出的值．（結(jié)論不要求證明）
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或
【詳解】（Ⅰ）易知甲以往的10次比賽成績中，有4次達(dá)到國家二級及二級以上運(yùn)動員標(biāo)準(zhǔn)，
若用頻率估計(jì)概率，
則甲在此次跳遠(yuǎn)考級比賽中成績達(dá)到二級及二級以上運(yùn)動員的概率；
（Ⅱ）不妨設(shè)甲、乙、丙在此次跳遠(yuǎn)考級比賽中成績達(dá)到二級及二級以上運(yùn)動員分別為事件，，，
易知，，，
此時的所有可能取值為0，1，2，3，
可得，
，
，
，
則；
（Ⅲ）易知甲的6次試跳成績從小到大排列為6.46，6.47，6.48，6.49，6.50，6.51，
不妨設(shè)這6次試跳成績依次從小到大為，2，3，4，5，，
丙的5次試跳成績從小到大排列為5.82，5.83，5.84，5.85，5.86，
不妨設(shè)丙的6次試跳成績從小到大排列依次為，2，3，4，5，，
當(dāng)時，滿足，2，3，4，5，，
此時成立；
當(dāng)時，滿足，2，3，4，5，，
此時成立．
故或．
7．（2024?豐臺區(qū)一模）某醫(yī)學(xué)小組為了比較白鼠注射，兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選20只健康白鼠做試驗(yàn)．將這20只白鼠隨機(jī)分成兩組，每組10只，其中第1組注射藥物，第2組注射藥物．試驗(yàn)結(jié)果如下表所示．
（Ⅰ）現(xiàn)分別從第1組，第2組的白鼠中各隨機(jī)選取1只，求被選出的2只白鼠皮膚皰疹面積均小于的概率；
（Ⅱ）從兩組皮膚皰疹面積在，區(qū)間內(nèi)的白鼠中隨機(jī)選取3只抽血化驗(yàn)，求第2組中被抽中白鼠只數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）用“”表示第組白鼠注射藥物后皮膚皰疹面積在，區(qū)間內(nèi)，“”表示第組白鼠注射藥物后皮膚皰疹面積在，區(qū)間內(nèi)，寫出方差，的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），分布列見解析；（Ⅲ）
【詳解】（Ⅰ）記被選出的2只白鼠皮膚皰疹面積均小于為事件，
其中從第1組中選出的1只白鼠皮膚皰疹面積小于的概率為，
從第2組中選出的1只白鼠皮膚皰疹面積小于的概率為，
所以．
（Ⅱ）依題意的可能取值為1、2、3，且，，，
所以的分布列為：
所以．
（Ⅲ）依題意可得，，
所以，
所以，
又，，
所以，
所以，
所以．
8．（2024?石景山區(qū)一模）為研究北京西部地區(qū)油松次生林和油松人工林的森林群落植物多樣性問題，某高中研究性學(xué)習(xí)小組暑假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林為研究對象進(jìn)行調(diào)查，得到兩地區(qū)林下灌木層，喬木層，草本層的抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)．其中兩地區(qū)林下灌木層獲得數(shù)據(jù)如表1，表2所示：
表1：老山油松人工林林下灌木層
表2：妙峰山油松次生林林下灌木層
（Ⅰ）從抽取的老山油松人工林林下灌木層的植物樣本中任選2株，求2株植物的類型都是喬木幼苗的概率；
（Ⅱ）以表格中植物類型的頻率估計(jì)概率，從妙峰山油松次生林林下灌木層的所有植物中隨機(jī)抽取3株（假設(shè)每次抽取的結(jié)果互不影響），記這3株植物的植物類型是灌木的株數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）從老山油松人工林的林下灌木層所有符合表1中植物名稱的植物中任選2株，記此2株植物屬于不同植物名稱的概率估計(jì)值為；從妙峰山油松次生林的林下灌木層所有符合表2中植物名稱的植物中任選2株，記此2株植物屬于不同植物名稱的概率估計(jì)值為．請直接寫出與大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；分布列見解析；（Ⅲ）
【詳解】（Ⅰ）表1中的灌木有株，
喬木幼苗有株，共有100株，
所以，
所以求2株植物的類型都是喬木幼苗的概率為．
（Ⅱ）表2中的灌木有株，
喬木幼苗有株，木質(zhì)藤本有8株，
抽取1株是灌木的概率為，
由題意可知，，1，2，3，，
，，
，，
分布列如下，
．
（Ⅲ）表1中植物間的數(shù)量差距較大，表2中每種植物的數(shù)量差不多，
所以選出來不同種類，表2的概率更大，所以．
9．（2024?延慶區(qū)一模）第十四屆全國冬季運(yùn)動會雪橇項(xiàng)目比賽于2023年12月16日至17日在北京延慶舉行，賽程時間安排如下表：
（Ⅰ）若小明在每天各隨機(jī)觀看一場比賽，求他恰好看到單人雪橇和雙人雪橇的概率；
（Ⅱ）若小明在這兩天的所有比賽中隨機(jī)觀看三場，記為看到雙人雪橇的次數(shù)，求的分布列及期望；
（Ⅲ）若小明在每天各隨機(jī)觀看一場比賽，用“”表示小明在周六看到單人雪橇，“”表示小明在周六沒看到單人雪橇，“”表示小明在周日看到單人雪橇，“”表示小明在周日沒看到單人雪橇，寫出方差，的大小關(guān)系．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）=，分布列見解析；（Ⅲ）
【詳解】（Ⅰ）記“小明在每天各隨機(jī)觀看一場比賽，恰好看到單人雪橇和雙人雪橇”為事件．
由表可知，每天隨機(jī)觀看一場比賽，共有種不同方法，
其中恰好看到單人雪橇和雙人雪橇，共有種不同方法．
所以．
（Ⅱ）隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2．
根據(jù)題意，，
，
，
隨機(jī)變量的分布列是：
數(shù)學(xué)期望．
（Ⅲ）由題意，，，
所以，；
因?yàn)?，?br>所以，；
所以．
10．（2024?順義區(qū)一模）某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過三個路口，在各個路口遇到紅燈的概率及停留的時間如下：
假設(shè)在各路口是否遇到紅燈相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率；
（Ⅱ）求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時間大于3分鐘的概率；
（Ⅲ）假設(shè)交管部門根據(jù)實(shí)際路況，5月1日之后將上述三個路口遇到紅燈停留的時間都變?yōu)?分鐘．估計(jì)5月1日之后這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時間的變化情況，是“增加，不變還是減少”．（結(jié)論不要求證明）
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）是“增加”的
【詳解】（Ⅰ）根據(jù)題意可知，這名學(xué)生在上學(xué)路上沒有遇到前兩個紅燈，因此到第三個路口時首次遇到紅燈的概率；
（Ⅱ）依題意，若僅遇到一個紅燈，停留的總時間不會不大于3分鐘，
若遇到兩個紅燈，可知在路口一和路口二，路口一和路口三遇到紅燈，
滿足題意，此時的概率為，
若遇到三個紅燈，此時的概率為，
所以因遇到紅燈停留的總時間大于3分鐘的概率為；
（Ⅲ）根據(jù)題意可知，紅燈時間沒有調(diào)整前紅燈停留的總時間的取值，1，2，3，4，5，6，
則，，，，，，，
可得，
時間都變?yōu)?分鐘后因紅燈停留的總時間的取值，2，4，6，
，，，，
可得，
顯然；
所以調(diào)整后總時間的變化情況，是“增加”的．科普測試成績
科普過程性積分
人數(shù)
4
10
3
2
1
23
0
2
0
1
2
3
0.008
0.096
0.384
0.512
1
2
3
環(huán)數(shù)
6環(huán)
7環(huán)
8環(huán)
9環(huán)
10環(huán)
甲的射擊頻數(shù)
1
1
10
24
24
乙的射擊頻數(shù)
3
2
10
30
15
丙的射擊頻數(shù)
2
4
10
18
26
序號
評委甲評分
評委乙評分
初評得分
1
67
82
74.5
2
80
86
83
3
61
76
68.5
4
78
84
81
5
70
85
77.5
6
81
83
82
7
84
86
85
8
68
74
71
9
66
77
71.5
10
64
82
73
0
1
2
項(xiàng)目
國際級運(yùn)動健將
運(yùn)動健將
一級運(yùn)動員
二級運(yùn)動員
三級運(yùn)動員
男子跳遠(yuǎn)
8.00
7.80
7.30
6.50
5.60
女子跳遠(yuǎn)
6.65
6.35
5.85
5.20
4.50
第1跳
第2跳
第3跳
第4跳
第5跳
第6跳
甲
6.50
6.48
6.47
6.51
6.46
6.49
丙
5.84
5.82
5.85
5.83
5.86
皰疹面積（單位：
，
，
，
，
，
第1組（只
3
4
1
2
0
第2組（只
1
3
2
3
1
1
2
3
植物名稱
植物類型
株數(shù)
酸棗
灌木
28
荊條
灌木
41
孩兒拳頭
灌木
22
河朔蕘花
灌木
4
臭椿
喬木幼苗
1
黑棗
喬木幼苗
1
構(gòu)樹
喬木幼苗
2
元寶槭
喬木幼苗
1
植物名稱
植物類型
株數(shù)
黃櫨
喬木幼苗
6
樸樹
喬木幼苗
7
欒樹
喬木幼苗
4
鵝耳櫪
喬木幼苗
7
葎葉蛇葡萄
木質(zhì)藤本
8
毛櫻桃
灌木
9
三裂繡線菊
灌木
11
胡枝子
灌木
10
大花溲疏
灌木
10
丁香
灌木
8
0
1
2
3
12月16日
星期六
單人雪橇第1輪
單人雪橇第2輪
雙人雪橇第1輪
雙人雪橇第2輪
12月17日
星期日
單人雪橇第3輪
單人雪橇第4輪
團(tuán)體接力
0
1
2
路口
路口一
路口二
路口三
遇到紅燈的概率
遇到紅燈停留的時間
3分鐘
2分鐘
1分鐘

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