1.解三角形中處理范圍與最值問題的幾種方法
（1）轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)變量的函數(shù)：通過邊角互化和代入消元，將多變量表達(dá)式轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)，從而將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域
（2）利用均值不等式求得最值
典型例題：
例1．（2022·海南·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.
(1)求角C的大??；
(2)若的面積，求ab的最小值.
【答案】(1)；
(2)48.
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理及三角形內(nèi)角的性質(zhì)可得，即可得C的大小；
（2）根據(jù)三角形面積公式、余弦定理，結(jié)合基本不等式即可求ab的最小值，注意等號(hào)成立條件.
(1)
由已知及正弦定理得：，又，
所以，即且，
所以.
(2)
由題意知：，即，
由余弦定理知：，即，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以ab的最小值為48.
例2．（2022·重慶·模擬預(yù)測）在中，角的對(duì)邊分別為的面積為1.
(1)若，邊上的高分別為，求；
(2)當(dāng)取最小值時(shí)，求的周長.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由已知及余弦定理、三角形內(nèi)角的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形的面積公式有、即可求.
（2）由三角形面積公式可得根據(jù)基本不等式可得求的范圍并確定等號(hào)成立條件，進(jìn)而可得a、b、c，即可知的周長.
(1)
則，且，
∴，
的面積為1，
可得，
又則，
.
(2)
則
，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立且，即，
代入得：即故，
∴則
∴周長為.
例3．（2022·湖北·十堰市教育科學(xué)研究院高三期末）已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若，求a的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)化成含 的一元二次方程求解；
(2)利用余弦定理和基本不等式求最小值.
(1)
因?yàn)?，所以?br>所以，或（舍去）．
又為銳角三角形，所以．
(2)
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以．故a的最小值為.
例4．（2022·甘肅·金昌市教育科學(xué)研究所高三階段練習(xí)（理））在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，向量，向量，且．
(1)求角的大?。?br>(2)若，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由向量共線的坐標(biāo)表示得到，利用正弦定理和余弦定理可得答案；
（2）由利用基本不等式可得的范圍，再由面積公式可得答案.
(1)
∵，∴，
由正弦定理得
即，
由余弦定理得
∴，∴．
(2)
∵，，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，
∴，
∴面積的最大值為．
例5．（2022·安徽亳州·高三期末（理））在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，.
(1)求角C；
(2)若的外接圓半徑為2，求面積的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理得到，從而得到；（2）利用正弦定理得到，根據(jù)余弦定理和基本不等式求出，進(jìn)而求出面積的最大值.
(1)
因?yàn)?，所以，由正弦定理得：，因?yàn)?，所以，故，，因?yàn)椋?br>(2)
根據(jù)正弦定理得：，解得：，
根據(jù)余弦定理得：，由基本不等式得：，即，解得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以面積的最大值為
例6．（2022·遼寧·大連市一0三中學(xué)高三開學(xué)考試）設(shè)a，b，c分別是的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，．
(1)求角A的大??；
(2)從下面兩個(gè)問題中任選一個(gè)作答，兩個(gè)都作答則按第一個(gè)記分．
①設(shè)角A的角平分線交BC邊于點(diǎn)D，且，求面積的最小值．
②設(shè)點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)，且，求面積的最大值．
【答案】(1)；
(2)①；②.
【解析】
【分析】
（1）利用正余弦定理即求；
（2）選①利用基本不等式及面積公式即求；選②利用余弦定理可得，然后利用基本不等式及面積公式即求.
(1)
∵且,
∴，即，
∴，又，
∴；
(2)
選①∵AD平分∠BAC，
∴，
∵，
∴，
即，
∴
由基本不等式可得：
，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，
∴，
即的面積的最小值為；
②因?yàn)锳D是BC邊上的中線，
在中由余弦定理得，
在中由余弦定理得，
∵，
∴，
在中，，由余弦定理得，
∴
∴，
解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，
所以，
即的面積的最大值為.
過關(guān)練習(xí)：
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理）（文））已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2csin C＝(a＋b)(sin B－sin A)，則當(dāng)角C取得最大值時(shí)，B＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用正弦定理化簡已知條件，結(jié)合余弦定理與基本不等式求得的最大值，再通過三角形的形狀，即可求得此時(shí)對(duì)應(yīng)的.
【詳解】
由正弦定理得2c2＝(a＋b)(b－a)，即b2－a2＝2c2．
又cs C＝＝≥＝.
當(dāng)且僅當(dāng)3a2＝b2，即b＝a時(shí)，cs C取到最小值，從而角C取到最大值.
當(dāng)b＝a時(shí)，3a2－a2＝2c2，則a＝c．
所以A＝C＝，從而B＝π－A－C＝π．
故選：.
2．（2022·江西吉安·高三期末（文））在中，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，的面積為，則線段的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先設(shè)，再根據(jù)三角形面積，余弦定理，列式，變形，換元后轉(zhuǎn)化為在上有解，即可求得的取值范圍.
【詳解】
設(shè)，所以，即①，由余弦定理得，即②，由①②得：，即，令，設(shè)，則方程在上有解，所以，解得，即．
故選：C．
3．（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））已知O是三角形ABC的外心，若，且，則實(shí)數(shù)m的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用外心的性質(zhì)以及正弦定理，轉(zhuǎn)化已知條件，從而求得關(guān)于的表達(dá)式，再利用基本不等式即可求得其最大值.
【詳解】
設(shè)三角形的外接圓半徑為，因?yàn)镺是三角形ABC的外心，故可得，
且，，
故，
即，
也即，則，
又，由正弦定理可得：
，則，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最大值.
故選：A.
4．（2022·河南南樂·高三階段練習(xí)（文））在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，若，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件利用正弦定理、余弦定理、三角形面積定理求出角C及邊c，再求出的范圍即可計(jì)算作答.
【詳解】
在銳角中，由余弦定理及三角形面積定理得：，
即有，而，則，又，
由正弦定理、余弦定理得，，化簡得：，
由正弦定理有：，即，，
是銳角三角形且，有，，解得，
因此，
由得：，，
所以．
故選：D
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：涉及求三角形周長范圍問題，時(shí)常利用三角形正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，再借助三角函數(shù)的性質(zhì)求解.
5．（2022·安徽淮南·一模（文））在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若函數(shù)無極值點(diǎn)，則角的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由題知無解或有兩個(gè)相等的解，即，再由余弦定理得角的范圍．
【詳解】
解：因?yàn)闊o極值點(diǎn)，
所以無解或有兩個(gè)相等的解，
所以，
所以，
因?yàn)?，所以?br>故選：A．
二、雙空題
6．（2022·浙江·高三期末）在△ABC中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為a，b，c，且；則角B=___________；a的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由題意可得，進(jìn)而可得，利用正弦定理化簡可得，即可求出角B；根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，結(jié)合角C的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果.
【詳解】
由，
所以，
由正弦定理，得，
有，又，故；
，
因?yàn)?，所以，則，
所以，即.
故答案為：；
7．（2022·安徽合肥·高三期末（文））銳角的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．若，則__________，的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用正弦定理及和角公式可得，即求；由題可得，然后利用輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)即求.
【詳解】
∵，
∴，
又，
∴，又，
∴，即，又為銳角三角形，
∴；
∵，
∴，
∴，其中，
由，可知，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為，
又時(shí)，時(shí)，
∴的取值范圍是.
故答案為：；.
三、填空題
8．（2022·江西上饒·高三階段練習(xí)（理））拿破侖是十九世紀(jì)法國偉大的軍事家、政治家，對(duì)數(shù)學(xué)也很有興趣，他發(fā)現(xiàn)并證明了著名的拿破侖定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的中心恰為另一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)”，在△ABC中，以AB，BC，CA為邊向外構(gòu)造的三個(gè)等邊三角形的中心依次為D，E，F(xiàn)，若，利用拿破侖定理可求得AB＋AC的最大值為___．
【答案】
【解析】
【分析】
結(jié)合拿破侖定理求得，利用勾股定理列方程，結(jié)合基本不等式求得AB＋AC的最大值.
【詳解】
設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，如圖，連接AF，BD，AD．
由拿破侖定理知，△DEF為等邊三角形．
因?yàn)镈為等邊三角形的中心，所以在△DAB中，，
同理．
又，
所以．
在△ADF中，由勾股定理可得，
即，化簡得，
由基本不等式得，解得
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以．
故答案為：
9．（2022·福建福州·高三期末）在正三棱柱中，，F(xiàn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為___________.
【答案】##
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件，把正三棱柱的上底面與側(cè)面矩形放在同一平面內(nèi)，再求兩點(diǎn)間距離作答.
【詳解】
依題意，把正三棱柱的上底面與側(cè)面矩形放在同一平面內(nèi)，連接，交于點(diǎn)F，如圖，
此時(shí)點(diǎn)F可使取最小值，大小為，而，
，
所以的最小值為.
故答案為：
10．（2022·山西運(yùn)城·高三期末（理））銳角，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，若，D為AB的中點(diǎn)，則中線CD的范圍為______________.
【答案】
【解析】
【分析】
由正弦定理及切化弦等得，再由余弦定理及向量知識(shí)得，再由正弦定理統(tǒng)一角與函數(shù)名稱求解即可.
【詳解】
由，
則，，.
，
由余弦定理有：，
所以，，
由正弦定理
，，因?yàn)闉殇J角三角形，所以且，則，，
故答案為：
11．（2022·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測（理））1643年法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出了一個(gè)著名的幾何問題：已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其到這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為最小.它的答案是：當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心（即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線段兩兩成角120°），該點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn).已知中，其中，，P為費(fèi)馬點(diǎn)，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)，，進(jìn)而得到，，然后在中通過余弦定理得到的關(guān)系式，在和中通過正弦定理得到的關(guān)系式和的關(guān)系式，然后借助三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)求得答案.
【詳解】
如圖，根據(jù)題意，設(shè)，，則，，在中，由余弦定理有…①
在中，由正弦定理有，
在中，由正弦定理有，
故，則，由①，…②，
且，
設(shè)，則，由題意，，所以，而，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知.
由②，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】
本題難度較大，注意以下幾個(gè)細(xì)節(jié)的處理，首先“”這一步，開根號(hào)的目的是降低運(yùn)算量；其次，在“”這個(gè)等式里發(fā)現(xiàn)了倒數(shù)關(guān)系，故而進(jìn)行了換元，否則通分化簡運(yùn)算量特別大；再次，“” 這一步變形目的在于可以直接判斷函數(shù)的單調(diào)性，而函數(shù)的單調(diào)性需要借助導(dǎo)數(shù).
12．（2022·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測（文））已知中，，以為邊在外部作等邊，記的周長為，則的取值范圍是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)，，，可得出，，求出的取值范圍，可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的值域，即為的取值范圍.
【詳解】
如下圖所示，設(shè)，，，
由已知可得，，
由余弦定理可得，
，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
設(shè)，則
，
令，其中，，
令，其中，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，，故，則.
因此，的取值范圍是.
故答案為：.
13．（2022·安徽六安·一模（理））在中，、、分別為三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊，，若的外接圓面積為，則周長的最大值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
由正弦定理邊角互化得，，進(jìn)而根據(jù)正弦定理得，余弦定理得，最后根據(jù)基本不等式求解即可.
【詳解】
解： ，由正弦定理得：，
即，
所以，即，
因?yàn)?，所以?br>所以，
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)榈耐饨訄A面積為，所以的外接圓半徑為1
所以由正弦定理得：，解得：
由余弦定理得：，則
由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立
所以，解得：，周長的最大值是
故答案為：
14．（2022·江西宜春·高三期末（理））已知在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，點(diǎn)O為其外接圓的圓心，已知，則當(dāng)角C取到最大值時(shí)△ABC的面積為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
取AC的中點(diǎn)D，得到OD⊥AC，利用向量的數(shù)量積求解得到，用余弦定理和基本不等式得到的最小值，從而得到角C取到最大值時(shí)，再使用三角形面積公式進(jìn)行求解出結(jié)果.
【詳解】
設(shè)AC的中點(diǎn)為D，因?yàn)辄c(diǎn)O為其外接圓的圓心，所以O(shè)A=OB=OC，連接OD，由三線合一得：OD⊥AC，則即，所以，由知，角C為銳角，故，因?yàn)?，所以由基本不等式得：，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)角C取到最大值，，，△ABC的面積為.
故答案為：
15．（2022·山東濱州·高三期末）在中，，AC邊上的中線，則面積的最大值為______．
【答案】24
【解析】
【分析】
首先利用余弦定理得到邊長的關(guān)系式，然后結(jié)合勾股定理和基本不等式即可求得面積的最大值．
【詳解】
設(shè)，，
由于，
在和中應(yīng)用余弦定理可得：
，整理可得：，
結(jié)合勾股定理可得的面積：
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
則面積的最大值為24．
故答案為：24.
16．（2022·山西臨汾·一模（文））在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，則tanA的最大值為___________.
【答案】##0.75
【解析】
【分析】
利用三角形射影定理結(jié)合正弦定理可得，再由和角的正切公式，配方變形即可計(jì)算作答.
【詳解】
在中，由射影定理及得：，
由正弦定理邊化角為：，于是得，
由得，，即角是鈍角，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，
所以tanA的最大值為.
故答案為：
17．（2022·山西臨汾·一模（理））在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，則tanA的最大值為___.
【答案】##0.75
【解析】
【分析】
利用余弦定理及基本不等式可得，然后利用同角關(guān)系式，可得，即求．
【詳解】
∵，
∴，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
又，所以，
∴.
故答案為：．
18．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知為等邊三角形，點(diǎn)G是的重心．過點(diǎn)G的直線l與線段AB交于點(diǎn)D，與線段AC交于點(diǎn)E．設(shè)，，則__________；與周長之比的取值范圍為__________．
【答案】 3
【解析】
【分析】
連接AG并延長，交BC于F，可得，變形可得，根據(jù)D、G、E三點(diǎn)共線，即可得答案；設(shè)的邊長為1，設(shè)與周長之比，可得，根據(jù)余弦定理，可求得表達(dá)式，代入可得，根據(jù)的范圍，可得的范圍，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合的范圍，即可得答案.
【詳解】
連接AG并延長，交BC于F，如圖所示
由題意得，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，
所以，
又G為重心，所以，
所以，即，
因?yàn)镈、G、E三點(diǎn)共線，
所以，即.
設(shè)的邊長為1，設(shè)與周長之比，
則，
在中，由余弦定理得，
所以，即，
所以，
由（1）可得，即代入上式，可得
由題意得，
所以，
又，所以，
又，所以，
因?yàn)?，所以?br>令，則，
令，則，
所以在上為增函數(shù)，
所以，
所以與周長之比的取值范圍為
【點(diǎn)睛】
解題的關(guān)鍵是熟練掌握向量的線性運(yùn)算法則，三點(diǎn)共線定理等知識(shí)，并靈活應(yīng)用，難點(diǎn)在于將周長比轉(zhuǎn)化為的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，即可得答案，屬中檔題.
19．（2022·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，M，N分別為邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，以MN為邊作等邊，使得點(diǎn)A，P位于直線MN的兩側(cè)，則的最小值為______．
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)出邊長，通過做輔助線，將轉(zhuǎn)化為，然后利用解三角形的知識(shí)，把和表示出來，建立函數(shù)關(guān)系求解最值即可.
【詳解】
如圖，連接BN，設(shè)BN，MN中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接PE，PF，EF．
設(shè)，，
，
在中，由勾股定理得，則，
BN，MN中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，則EF為的中位線，
∴且，∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
在等邊中，F(xiàn)為MN中點(diǎn)，則，，
，
在中，由余弦定理得
，
當(dāng)N與C重合時(shí)，，，不存在，但可驗(yàn)證上述等式依然成立，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
∵關(guān)于b的函數(shù)在上單調(diào)遞增，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
在處理平面向量的應(yīng)用問題的時(shí)候，需要注意的是，動(dòng)點(diǎn)在線段上，那么該點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)是有范圍限制的.
四、解答題
20．（2022·安徽·合肥一中高三階段練習(xí)（理））在中，AD是底邊BC上的高，垂足為點(diǎn)D，且.
(1)若邊長，，成等比數(shù)列，求的正弦值；
(2)求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）設(shè)，，，，根據(jù)等面積法可得，再由，即可得到，最后由三邊成等比數(shù)列，即可得到，從而得解；
（2）設(shè)由余弦定理及（1）中的結(jié)論可得，再兩邊同除，即可得到，最后利用輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
(1)
解：設(shè)，，，.
由面積公式可得.又已知，代入上式可知.
又由于a，b，c成等比數(shù)列，即，代入上式，得.
(2)
解：設(shè)，在中，由余弦定理可知，
由（1）可知，代入上式可知，
于是，
其中，為銳角，故當(dāng)時(shí)，.
21．（2022·河南南陽·高三期末（理））在中，.
(1)求A；
(2)若的內(nèi)切圓半徑，求的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)已知條件、三角形的內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式，再結(jié)合解三角方程即可求解.
（2）由題意可知，利用三角形的等面積法及余弦
定理得出含有和的關(guān)系式，再利用基本不等式的變形即可求得的最小值.
(1)
在中,，
整理得，即
，于是
所以，
因?yàn)?，所以，?br>，
所以，又因?yàn)椋裕?br>所以，解得.
所以.
(2)
令，（1）知.
由，得
，即，
由余弦定理及（1）知，得
，
所以，
即，
于是
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)
所以，
或
所以的最小值為.
22．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．
(1)求C；
(2)若，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先化為整式，再利用正弦定理化簡為，結(jié)合角的關(guān)系可求;
（2）根據(jù)及基本不等式求出的最大值，利用面積公式可得結(jié)果.
(1)
由得，
，
故，
由正弦定理得，
即，
即，
故，即，故；
或，不合題意，舍去．
故．
(2)
因?yàn)椋剩?br>則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，
故面積的最大值為．
23．（2022·山西呂梁·一模（文））在三角形中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足.
(1)求角A；
(2)若，求三角形面積的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理，將已知條件中的邊化角，求得，即可求得；
（2）利用余弦定理，結(jié)合基本不等式，求得的最大值，即可求得面積的最大值.
(1)
由，結(jié)合正弦定理，得，
所以，又因?yàn)椋?br>(2)
由余弦定理，得
即（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立）
所以，
即當(dāng)時(shí)，三角形面積的最大值為.
24．（2022·山西運(yùn)城·高三期末（理））如圖，在△中，D為BC邊上的點(diǎn)，連接AD，且滿足.
(1)求證：；
(2)若，，求△的面積的最小值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）分別在△和△中運(yùn)用正弦定理并結(jié)合已知條件即可證得；
（2）利用，列出等式，利用基本不等式即可求出△的面積的最小值.
(1)
在△中，利用正弦定理可知，
即，
同理，在△中，利用正弦定理可知，
即，
由已知條件，可得，
即
，∴；
(2)
設(shè)，, ,
∴，，，
又∵，∴，∴，
又∵，∴，∴，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）
∴，
即的最小值為.
25．（2022·云南保山·模擬預(yù)測（理））在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，．
(1)求角C；
(2)已知邊上的點(diǎn)P滿足，求線段的長度取最大值時(shí)的面積．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）結(jié)合三角恒等變換、正弦定理求得，由此求得.
（2）利用正弦定理、余弦定理求得的最大值以及此時(shí)的大小，結(jié)合三角形的面積公式求得的面積.
(1)
由，得，
即．
由正弦定理得：，
因?yàn)?，，所以?br>因?yàn)?，所以?br>(2)
在中，由正弦定理得：．
所以．
由及，可得，在中，由余弦定理可得：
．
．
所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取最大值.
所以，取最大值時(shí)，，，，
，
26．（2022·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測（理））在中，角的對(duì)邊分別為，已知．
(1)求A；
(2)若與的角平分線交于點(diǎn)D，求周長的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理和余弦定理可求出角A;
（2）設(shè)則，利用正弦定理表示出的周長，利用三角函數(shù)求出范圍.
(1)
由正弦定理可得：；
整理得：，由余弦定理可得：，
因?yàn)?，所以?br>(2)
由題意可得：，則的外接圓直徑，
設(shè)則，
則的周長，
27．（2022·江西吉安·高三期末（理））在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．
(1)求B；
(2)設(shè)D為邊上一點(diǎn)，，且________，求面積的最小值．
從①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上面問題中的橫線上，并作答．
注：如果選擇①和②兩個(gè)條件分別作答，則按照第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理化邊為角，再利用兩腳和的正弦公式及三角形內(nèi)角的關(guān)系，從而可得出答案；
（2）選①，由，得，化簡得，再利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最小值，即可得出答案.
選②，由，可得，則，再利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最小值，即可得出答案.
(1)
解：因?yàn)椋?br>由正弦定理，得，
即，
所以，
由，得，所以，即，
因?yàn)?，所以?br>(2)
解：選①，
由，得，化簡得，
由余弦定理，得，即，
解得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
所以的面積，
故面積的最小值為．
選②，
由，
得，
即，化簡得，
由，得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
所以的面積，
故面積的最小值為．
28．（2022·浙江溫州·高三開學(xué)考試）銳角中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，.
(1)求證：；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)給定條件利用正弦定理邊化角，借助和差角的正弦公式變形，再用三角函數(shù)性質(zhì)推理作答.
(2)利用正弦定理邊化角，由(1)及余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算作答.
(1)
在中，由正弦定理及得：，
即,
，
因是銳角三角形，即，有，而正弦函數(shù)在上遞增，
于是得，即，
所以.
(2)
由(1)及已知得，，解得，,
由正弦定理得，
所以的取值范圍是.
29．（2022·四川·成都七中高三開學(xué)考試（文））在非直角中，角，，對(duì)應(yīng)的邊分別，，，滿足.
(1)判斷的形狀；
(2)若邊上的中線長為2，求周長的最大值.
【答案】(1)等腰三角形
(2)
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理結(jié)合條件可得或，又為非直角，從而判斷三角形為等腰三角形；
（2）在△ABD和△ABC中，由余弦定理可得，設(shè)，，將周長的最大值轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值問題，可求得結(jié)果．
(1)
，
，
可得．
即
根據(jù)正弦定理，得．代入式，化簡得．
即，為外接圓的半徑）
化簡得，
或，即或，又非直角，
因此是等腰三角形．
(2)
在△ABD和△ABC中，
由余弦定理可得，又，
所以，所以，
設(shè)，，，
所以△ABC的周長2a+ c=，
所以當(dāng)時(shí)，2a+ c有最大值為,
即△ABC周長的最大值為.
30．（2022·四川綿陽·二模（理））在中，角的對(duì)邊分別為，其中，且.
(1)求角的大小；
(2)求周長的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式得到，再由正弦定理得到，即可得到，即可得解；
（2）利用余弦定理及基本不等式得到，再根據(jù)求出的取值范圍，即可得解；
(1)
解：因?yàn)?，即，所以，即，所以，又，，所以，所以，因?yàn)?，所以?br>(2)
解：因?yàn)?、，由余弦定理，即，即?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以，所以，所以，所以，即三角形的周長的取值范圍為
31．（2022·四川省南充高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））在中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為，且滿足.
(1)求；
(2)若的面積，求的最小值.
【答案】(1)
(2)2
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理結(jié)合題干條件可得，結(jié)合，求解即可；
（2）利用面積公式可得，由余弦定理，結(jié)合均值不等式即得解
(1)
由
利用正弦定理：
可得
得
因?yàn)榍遥?br>所以
(2)
因?yàn)椋?br>由（1）易知
故，
即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
所以的最小值為2.
32．（2022·重慶·高三開學(xué)考試）在①是和的等差中項(xiàng)；②；③．這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題．
在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且滿足條件 （填寫所選條件的序號(hào)）．
(1)求角；
(2)若，求銳角的周長的取值范圍．
【答案】(1)條件選擇見解析，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）選①，利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
選②，利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
選③，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、正弦定理以及余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
（2）求出角的取值范圍，利用正弦定理以及三角恒等變換可得出關(guān)于的三角函數(shù)關(guān)系式，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.
(1)
解：選①，由已知可得，
所以，，
、，則，，可得，
，故；
選②，因?yàn)?，由正弦定理可得?br>所以，，
因?yàn)椋瑒t，可得，
，故.
選③，，
則，即，
由正弦定理可得，由余弦定理可得，
，故；
(2)
解：因?yàn)闉殇J角三角形，則，可得，
由正弦定理可得，則，，
所以，
，
因?yàn)?，則，則，
故.
33．（2022·陜西·武功縣普集高級(jí)中學(xué)一模（理））在中，分別是角所對(duì)的邊，滿足．
(1)求角B大??；
(2)求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理邊化角，再利用三角公式整理計(jì)算即可得答案；
（2）利用消去中的，再利用三角公式變形，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求范圍.
(1)
，
由正弦定理知：．
即：
，
又；
(2)
，且．
，
故的取值范圍是.
34．（2022·廣東·模擬預(yù)測）三個(gè)內(nèi)角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，且，．
(1)若，求C；
(2)求的面積S的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)正弦定理由即可求出C；
(2)方法一：由余弦定理結(jié)合基本不等式即可求解；方法二：正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)最值求解即可.
(1)
由，得，
∵，∴．
又，∴，
∴，解得．
(2)
(方法一)∵，∴，化簡得．
又，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
∴△ABC的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，即△ABC的面積S的取值范圍為．
(方法二)∵，
∴由正弦定理得：，
∴，
∴△ABC的面積．
又∵，∴，∴，
即△ABC的面積S的取值范圍為．
35．（2022·湖北·荊州中學(xué)高三開學(xué)考試）在中，，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足，．
(1)求邊長；
(2)求面積的最大值．
【答案】(1)1
(2)
【解析】
【分析】
（1）運(yùn)用正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式進(jìn)行求解即可；
（2）運(yùn)用余弦定理，結(jié)合三角形面積公式、基本不等式進(jìn)行求解即可.
(1)
由正弦定理知，，
因?yàn)椋?br>所以，即，
所以；
(2)
在中，由余弦定理得
，
∴（當(dāng)且僅當(dāng)取“=”），
∴，
∴，
又∵，
∴，即面積最大值為.
36．（2022·遼寧大連·高三期末）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
(1)求角的大小；
(2)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，求邊的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理的邊化角公式得出角的大小；
（2）由向量的運(yùn)算得出，結(jié)合基本不等式得出邊的最大值.
(1)
由，得
所以
所以
因?yàn)?，所以，由，?
(2)
因?yàn)?，所?br>，即①
因?yàn)椋?br>，即②
將①式代入②式，得
又由①式可知
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
所以，即
所以邊的最大值為，此時(shí).
37．（2022·遼寧·沈陽二十中高三期末）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.
(1)求；
(2)若的面積，求周長的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)利用正弦定理邊化角，再結(jié)合同角公式計(jì)算作答.
(2)由(1)結(jié)合三角形面積定理求出bc，再由余弦定理結(jié)合均值不等式計(jì)算作答.
(1)
在中，由正弦定理及得：，
而，即，則，即，
因此，，又，即，
于是得，解得，
所以.
(2)
由(1)及三角形面積定理得：，，
由余弦定理得：，
則周長，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，
所以周長的最小值為.
38．（2022·山東菏澤·高三期末）在①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并給出解答.
問題：已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，，____________，求的最大值.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】
【解析】
【分析】
若選①，由已知條件三角恒等變換可求∠C，再利用正弦定理邊化角求a＋2b最大值；
若選②，由已知條件三角恒等變換可求∠C，再利用正弦定理邊化角求a＋2b最大值；
若選③，由已知條件、正弦定理、余弦定理可求∠C，再利用正弦定理邊化角求a＋2b最大值.
【詳解】
若選①，∵A＋B＋C＝π，∴由已知條件得，
由，得，
由，得，
∵，∴，，
由正弦定理，有，
∴，，
∴
，(其中，)
∵，∴存在A，使得，
此時(shí)取得最大值為.
若選②：，
∵A＋B＋C＝π，
∴，
，
化簡得，
由，得，∵，∴.
下同①；
若選③：，
，
由正弦定理得，
∴由余弦定理得，
∵，∴.
下同①.
39．（2022·江蘇宿遷·高三期末）在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并進(jìn)行解答.問題：在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且__________.
(1)求角；
(2)若是銳角三角形，且，求的取值范圍.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）選擇①，運(yùn)用正弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系求解；選擇②，運(yùn)用面積公式及同角三角函數(shù)關(guān)系求解；選擇③運(yùn)用正切兩角和公式及誘導(dǎo)公式求解.
（2）根據(jù)正弦定理及正切函數(shù)的單調(diào)性求解
(1)
選擇①：條件即，由正弦定理可知，，
在中，，所以，
所以，且，即，所以；
選擇②：條件即，即，
在中，，所以，則，
所以，所以.
選擇③：條件即，
所以，
在中，，所以.
(2)
由（1）知，，所以，
由正弦定理可知，，
由是銳角三角形得，所以.
所以，所以，故的取值范圍為.
40．（2022·江蘇·金陵中學(xué)高三階段練習(xí)）銳角中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且.
(1)求角的大??；
(2)若邊，邊的中點(diǎn)為，求中線長的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理化簡可得出，結(jié)合角為銳角可求得結(jié)果；
（2）由余弦定理可得出，利用平面向量的線性運(yùn)算可得出，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可得出，利用正弦定理結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍，可得出的取值范圍，即可得解
(1)
解：由正弦定理得
因角、為銳角，所以，，于是，即，
又角為銳角，則.
(2)
解：由余弦定理得，于是，
因，
兩邊同時(shí)平方得
，
由正弦定理得，
所以
，
因，解得，則，于是，
，，，
所以中線長的取值范圍為.

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