1.解三角形的常用方法：
（1）直接法：觀察題目中所給的三角形要素，使用正余弦定理求解
（2）間接法：可以根據(jù)所求變量的個數(shù)，利用正余弦定理，面積公式等建立方程，再進行求解
2.三角形的中線定理與角平分線定理
（1）三角形中線定理：設為的一條中線，則
（2）角平分線定理：設為中的角平分線，則
3.三角形面積公式：
（1） （為三角形的底，為對應的高）
（2）
（3） （為三角形內(nèi)切圓半徑，此公式也可用于求內(nèi)切圓半徑）
（4）海倫公式：
（5）向量方法： （其中為邊所構成的向量，方向任意）
典型例題：
例1．（2022·福建福州·高三期末）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
(1)試判斷的形狀，并說明理由；
(2)設點D在邊AC上，若，，求的值.
【答案】(1)為等腰三角形或直角三角形；
(2).
【解析】
【分析】
（1）將已知條件利用正弦定理邊化角，然后再利用三角恒等變換化簡變形即可判斷三角形的形狀；
（2）由已知條件結合正弦定理可得，從而根據(jù)（1）中結論分兩種情況分別求解即可得答案.
(1)
解：由已知條件，利用正弦定理可得，
即，
所以，
由于、B、，
所以或，
所以或B=C，
所以為等腰三角形或直角三角形；
(2)
解：在中，由正弦定理得，即，
同理在中，有，
所以，
又，所以，即，
所以，
由（1）可知或，
若，則， 所以,
因為，，所以，
又，所以，所以，即BD平分，
所以，即，所以，解得或（舍去），
所以；
若，則為直角三角形，BD為斜邊，則，與題設矛盾，故舍去；
綜上，的值為.
例2．（2022·福建漳州·一模）設的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為，，，.
(1)求C；
(2)若，，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)條件化簡后由余弦定理可求；
（2）由正弦定理及可得，利用面積公式求解即可.
(1)
由
得，
即，
所以
因為
所以
(2)
由正弦定理得，
所以，
即
，
，
所以，
故△ABC的面積為.
例3．（2022·重慶巴蜀中學高三階段練習）已知，將的圖象向右平移單位后，得到的圖象，且的圖象關于對稱．
(1)求；
(2)若的角A，B，C所對的邊依次為a，b，c，且，若點D為邊靠近B的三等分點，試求的長度．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等變換化簡，根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換求得，再根據(jù)其對稱中心，即可求得參數(shù)；
（2）根據(jù)（1）中所求，求得，再利用余弦定理求得，再在△中，利用余弦定理，即可求得.
(1)
因為
．
又將的圖象向右平移單位后，得到的圖象
則，又其一個對稱中點為，
故將代入，則，解得，
故當時，滿足題意，∴.
(2)
由（1）可知，又，則或，
則或，即或，
又，故可得，又，
故在△中，由余弦定理可得，
則，又為邊上靠近點的三等分點，故；
又，
在中，由余弦定理可得：,
故可得即為所求.
例4．（2022·云南昭通·高三期末（理））在中，內(nèi)角的對邊分別為.
在①；②；③，且.
這三個條件中任意選一個填在下面的橫線上，并完成試題（如果多選，以選①評分）.
(1)若___________，求角C；
(2)在（1）的條件下，若，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）選擇①，根據(jù)正玄定理，將已知條件進行“角化邊”，結合余弦定理，即可求得角C；選擇②，根據(jù)余弦二倍角公式化簡已知條件，即可求得角C；選擇③，由和，化簡已知條件，即可求得角C；
（2）根據(jù)正弦定理和，結合已知條件，即可求得答案.
(1)
解：（1）選擇①
由正弦定理得，
化簡得，
選擇②
即
或（舍去）
選擇③
，
即
.
(2)
由（1）可知
又
由正弦定理得，
的面積.
故的面積為.
例5．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高三期末）已知在△ABC中，D為邊BC上一點，，，．
(1)求AD的長；
(2)求sinB．
【答案】(1)2；
(2).
【解析】
【分析】
(1)在中，利用余弦定理建立方程求解即可；
(2)利用(1)的結論求出，再在中由正弦定理計算可求．
(1)
依題意，在中，由余弦定理得，
即，解得；
(2)
在中，由(1)知，由余弦定理可得，
則有，
在中，由正弦定理得．
．
例6．（2022·福建三明·高三期末）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，求△ABC的面積．
【答案】
【解析】
【分析】
由正弦定理的邊角互化得出，再由余弦定理得出，，最后由公式得出面積.
【詳解】
解：因為），由正弦定理得：，即
即，又因為A為內(nèi)角，，所以
因為，所以．
根據(jù)余弦定理及，，，得，即，即，．
所以△ABC的面積
例7．（2022·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高三期末）在的內(nèi)角，，所對邊的長分別是，，，已知，，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)1
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）由，代入即得解；
（2）利用可得，再利用正弦定理可得解；
（3）先求解，利用兩角和的余弦公式展開，即得解
(1)
因為，
且，，
所以；
(2)
因為，且，
所以
又，
解得；
(3)
因為，
，
所以
例8．（2022·河南·模擬預測（理））已知的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，且．
(1)求；
(2)若的面積為，角的平分線交于，且，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理化角為邊，得到，進而求出；（2）利用三角形面積公式得到，由面積公式得到，進而利用余弦定理求出.
(1)
由正弦定理及，得，
所以．因為，所以．
(2)
因為，
所以，即．又，所以．
易知方程組有解且，均大于0，
由余弦定理得：，所以．
過關練習：
1．（2022·四川成都·高三階段練習（理））在△中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用正弦定理邊化角，結合和差公式與同角三角函數(shù)的基本關系化簡計算題意中的等式，得出，即可得出結果.
【詳解】
已知，由正弦定理，得，
所以，有，
由，
得，
，
，
，
，
由，解得，
又，所以.
故選：A.
2．（2022·四川·模擬預測（理））如圖，A處為長江南岸某渡口碼頭，北岸B碼頭與A碼頭相距，江水向正東流.己知一渡船從A碼頭按方向以的速度航行，且，若航行到達北岸的B碼頭，則江水速度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由力學可知的位移是由和水流合成的，故滿足平行四邊形法則，解這個平行四邊形即可.
【詳解】
如圖，
以方向為鄰邊，為對角線作平行四邊形，渡船經(jīng)過小時航行，即，由題意，，，由余弦定理得.所以，渡船在按方向航行時，江水向方向流，形成合位移使渡船沿到達北岸B碼頭，此時水流動距離為，則水流速度為，
故選：C.
3．（2022·全國·高三階段練習（文））在中，已知，，，點在線段上，且滿足，則的長度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
在中，利用余弦定理先求得，再在中利用余弦定理求得，再在中利用余弦定理求得的長．
【詳解】
在中，由余弦定理有，
所以，
在中，由余弦定理有，
又，所以，
在中，由余弦定理有
，
所以．
故選：B
4．（2022·河南濮陽·高三開學考試（理））在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)正弦定理及同角關系可得，再用余弦定理可求解.
【詳解】
由，根據(jù)正弦定理有：
，
因為在三角形中,，所以，
從而有
再由余弦定理有：，解得.
故選：A
5．（2022·陜西武功·二模（文））在中，已知，則（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用余弦定理即可求得.
【詳解】
在中，已知，即為，
由余弦定理得：,解得：（邊長大于0，所以舍去）
即.
故選：C
6．（2022·江西·高三階段練習（文））已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，則（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知及余弦定理可得，再根據(jù)正弦定理的邊角關系有，代入整理化簡即可得結果.
【詳解】
由，則，
又，有，即，
所以，整理得，故.
故選：A
7．（2022·江西九江·一模（理））中，三內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
解法一：根據(jù)得到，再根據(jù)，利用余弦定理得到 ，利用余弦定理求解；解法二：根據(jù)得到，再由，得到，利用正弦定理求解.
【詳解】
解法一：由正弦定理及得，，．
又∵，由余弦定理得：，即，
由余弦定理得，
又∵，
∴．
故選：C．
解法二：由正弦定理及得，，．
又∵，∴，
由正弦定理得，
∴，
∴，
∵，∴，∴，
又∵，
∴．
故選：C．
8．（2022·北京密云·高三期末）在△中，，，分別是角，，的對邊，若，且，，則的值為（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
由正弦定理邊角關系及已知條件可得，再由三角形內(nèi)角的性質(zhì)有，進而應用余弦定理求的值.
【詳解】
由題設，且，可得，，
所以，又，，
所以，即.
故選：B.
二、填空題
9．（2022·四川省高縣中學校模擬預測（文））在中，，，，則______
【答案】
【解析】
【分析】
由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式可求的值，利用余弦定理可求的值，可得，利用三角形的內(nèi)角和定理可求，利用誘導公式，二倍角的正切函數(shù)公式即可求解的值．
【詳解】
解：，，，
，
，可得，
，
則．
故答案為：．
10．（2022·河南·南陽中學高三階段練習（文））如圖所示，四邊形是由等腰直角三角形以及直角三角形拼接而成，其中，若，則到的距離為__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)正切的二倍角公式可求得，再由同角三角函數(shù)間的關系求得，再在中，運用余弦定理可求得答案.
【詳解】
解：因為，解得或（舍去），
由，解得，
因為是等腰直角三角形，所以，故，，
在中，，
由余弦定理得，
故答案為：.
11．（2022·新疆烏魯木齊·模擬預測（理））我國地處北半球，房屋的窗戶大部分朝南．冬至正午太陽高度最小，在寒冷的冬天，需要溫暖的陽光射入；在夏天，夏至正午太陽高度最大，則要避免炙熱的陽光射入．這兩點正是安裝遮陽篷需要考慮的．如圖，是窗戶的高度，是遮陽篷的安裝高度，是遮陽篷的安裝長度，設冬至正午時太陽光線與地面的夾角為，夏至正午時太陽光線與地面的夾角為，窗戶高度．為保證冬至正午太陽光剛好全部射入室內(nèi)，夏至正午太陽光剛好不射入室內(nèi)，則遮陽篷的安裝高度_____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用銳角三角函數(shù)的定義計算可得；
【詳解】
解：依題意可得，，，在中，，在中，，又，所以，解得
故答案為：
12．（2022·陜西武功·二模（理））的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則_______．
【答案】##
【解析】
【分析】
以正弦定理即可求得的值.
【詳解】
中，由，可得
則由，可得
故答案為：
13．（2022·江西九江·一模（文））中，三內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，則的值為______.
【答案】2
【解析】
【分析】
利用正弦定理及三角恒等變換即求.
【詳解】
解法一：由正弦定理得，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，即，
即.
解法二：由正弦定理得，
∴，
∴，又∵，
∴，
∴，
即.
故答案為：2.
14．（2022·全國·高三專題練習）在中，，，，在邊上，延長到，使得，若(為常數(shù))，則的長度是_______．
【答案】##3.6
【解析】
【分析】
本題采用等和線的性質(zhì)可得PD和AD長度，解△ACD即可.
【詳解】
∵(為常數(shù))，
由系數(shù)為常數(shù)，結合等和線性質(zhì)可知，
故，，故，故．
在中，；
在中，由正弦定理得，
即．
三、雙空題
15．（2022·全國·高三階段練習（理））已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝4，，，則C＝________，△ABC的面積為________.
【答案】 4
【解析】
【分析】
利用正弦定理、兩角和的正弦公式、誘導公式化簡已知條件，求得，進而求得.利用正弦定理、余弦定理化簡已知條件，求得，進而求得三角形的面積.
【詳解】
因為，故，
則，
故，
因為，則，
則，故，則；
而，
故，則，
化簡得，則，故△ABC的面積.
故答案為：；
16．（2022·浙江·模擬預測）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為b，c．若，，則＝___，tan C＝___．
【答案】
【解析】
【分析】
在△ABC中，由可得，首先根據(jù)正弦定理可得即可得解，利用，，利用代入即可得解.
【詳解】
在△ABC中，由可得，
由，所以，
又由，，
所以.
故答案為：；.
四、解答題
17．（2022·江西上饒·高三階段練習（文））已知a，b，c是△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，且滿足．
(1)求角B的大小；
(2)若，△ABC的面積為，求△ABC的周長．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理得到，求出角B的大??；（2）根據(jù)面積公式得到，再由余弦定理求出，求出周長.
(1)
，由正弦定理得：
，
，
∵
∴
∵
∴，
∴
∵
∴．
(2)
由（1）及已知得：
所以，∴
由余弦定理得：，
，得：，
所以△ABC的周長為．
18．（2022·河南·襄城縣教育體育局教學研究室二模（理））如圖，已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且的外接圓面積為.
(1)求邊c；
(2)若，延長CB至M，使得，求BM.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先得出的外接圓半徑為R，再由正弦定理的邊化角公式得出邊c；
（2）由，，，結合余弦定理得出，再由余弦定理結合三角恒等變換得出，最后由正弦定理得出BM.
(1)
設的外接圓半徑為R，由題意，解得.
由條件及正弦定理可得，
因為，所以，即，
因為，故.
故.
(2)
因為，，，故，得，
解得（舍去）.
由余弦定理可得，所以.
由得.
故
由正弦定理可得，則.
19．（2022·四川·威遠中學校高三階段練習（文））△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（b-a)csC=ccsA.
(1)求角C的大小；
(2)若，，求△ABC的面積．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理，兩角和的正弦公式化簡已知等式，結合，可求的值，結合，可求的值；
（2）利用余弦定理化角為邊可求的值，結合已知利用三角形的面積公式即可計算得解．
(1)
解：因為，
由正弦定理可得，
即，
因為，
故，
因為，
故；
(2)
解：因為，
，
整理可得，可得，
又，
所以．
20．（2022·全國·模擬預測）如圖，在四邊形中，．若，，______，求的長．
從①，；②，；③，這三個條件中任選一個，補充在上面的問題中并作答．（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）
【答案】選①；選②；選③或．
【解析】
【分析】
若選①：先在中用正弦定理，然后在中使用余弦定理即可解決；
若選②：先在中用正弦定理，然后在中使用余弦定理即可解決；
若選③：先在中用正弦定理，然后在中利用三角形面積公式及其余弦定理即可解決；
【詳解】
若選①，在中，
∵，，，
∴由正弦定理可知，解得，
又∵，∴，即，
∴，
在中，，，．
由余弦定理得，解得．
若選②，在中，，，，
由正弦定理得，解得，
在中，，，，
由余弦定理得，即．
若選③，在中，，，，
由正弦定理得，解得，
在中，
由，解得，
則或，
由余弦定理得，
當時，解得，當時，解得，
綜上所述：或．
21．（2022·黑龍江·鐵力市第一中學校高三開學考試（文））已知的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，.
(1)求角的大?。?br>(2)設，，求的周長.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）正弦定理化邊為角，然后由誘導公式，兩角和的正弦公式變形可得角；
（2）由余弦定理求解得出后可得三角形周長．
(1)
由及正弦定理得，
得，
所以.
又，所以.
又，所以.
(2)
由余弦定理，，
得，解得.
則.
所以的周長為.
22．（2022·山東·青島二中高三開學考試）一道解三角形的題目有一個條件不清楚，具體如下：
在中，，，______，求C．
經(jīng)推斷橫線處的條件為三角形一邊的長度，且答案提示，試問在橫線上的條件是a的長度還是b的長度？并逐一說明理由．
【答案】橫線處的條件為；答案見解析．
【解析】
【分析】
分別計算兩種條件下，利用正弦定理、余弦定理求C即可根據(jù)結果判斷條件.
【詳解】
（1）將看作已知條件．
由，得．
由正弦定理，得，則．
驗證如下：若該條件為，
由正弦定理，得，則，
由，得或，即C有兩解，但“答案提示”，所以不合題意．
（2）將看作已知條件．
；
由正弦定理，得，則；驗證如下：該條件為，
由余弦定理，得，即，
所以，故．
綜上，橫線處的條件為．
23．（2022·全國·高三階段練習（文））在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A為銳角，，，再從條件①，條件②這兩個條件中選擇一個作為已知.求：
(1)角A；
(2)的內(nèi)切圓半徑r.
①；②.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）若選條件①，由正弦定理邊化角，結合誘導公式可得；若選條件②，切化弦結合正弦定理邊化角，然后可解；
（2）向量數(shù)量積結合余弦定理可得b+c，再由可解.
(1)
若選條件①.
由正弦定理得，，
因為,所以，所以
，
又，所以，所以，
所以
所以.
若選條件②.
由，
得，
，
，
，
.
(2)
由，得.
在中，由余弦定理得，，
，，
.
又，
.
24．（2022·河南安陽·二模（文））如圖，已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，．
(1)求角C：
(2)若，，延長CB至M，使得，求BM．
【答案】(1);
(2).
【解析】
【分析】
（1）將正弦定理代入條件整理得，從而有，根據(jù)角的范圍可得角大??；
（2）在中，由余弦定理求得，然后在中，由正弦定理求得，進一步計算可得．
(1)
解：（1）因為，
由正弦定理得，
因為，所以，
所以，即，所以，
又因為，所以，所以，所以．
(2)
在中，由余弦定理可得，
解得舍去，
在中，，
由正弦定理可得，
即，
解得，
所以．
25．（2022·河南駐馬店·高三期末（理））在△中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.
(1)求角B的值；
(2)若，點D是邊BC的中點，且，求b.
【答案】(1)
(2)7
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變換即可求出；
（2）分別在和△中使用余弦定理即可求解.
(1)
∵，∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，∴，
又∵，∴.
(2)
在中，，，，
由余弦定理得，
整理得，解得（舍去）
在△中，由余弦定理得，
即，解得.
26．（2022·湖北武漢·高三階段練習）在中，角所對的邊分別為，且.
(1)求角；
(2)若的面積，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)二倍角公式化簡可得，進而可得解；
（2）由，及余弦定理，整理得，進而可得解.
(1)
由題意，.
.
有.
(2)
由余弦定理，，有.
又，代入得：，
整理得：即.此時.
.
27．（2022·上海市實驗學校高三開學考試）已知函數(shù)．
(1)若，，求的值；
(2)在銳角△中，、、分別是角、、的對邊，若，，△的面積，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）化簡可得，由題意可知，進而可得，分析角可知，用兩角差的正弦公式即可求得；
（2）由（1）可知，結合的范圍可得,再由面積公式即可求得，最后利用余弦定理即可求得.
(1)


∵，∴，
又∵，∴，
∴ ，
∴

，
(2)
∵，∴，
又∵，∴，
∴，即，
又∵，∴，
由余弦定理得，
，
即.
28．（2022·廣東高州·二模）在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，且，．
(1)求角B的大??；
(2)若，求△ABC的面積．
【答案】(1)；
(2)或.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)正弦定理的邊角關系，及已知條件可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角性質(zhì)求B的大??；
（2）由（1）及余弦定理求c，再根據(jù)三角形面積公式求面積即可.
(1)
由正弦定理知：，則，
所以，則且，可得或，
又，所以.
(2)
由題設，，則，又，
所以，整理得，解得，滿足題設.
由，
所以，當時；當時；
29．（2022·浙江·模擬預測）在中，D是邊AC上一點，滿足，．
(1)證明：；
(2)若外接圓面積是外接圓面積的3倍，請在①；②中任選一個條件作為補充，求的面積
注：如果選擇兩個條件分別求解，則按第一個條件的解答計分．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）在不同的三角形利用正弦定理可得，再利用二倍角公式可得不等式.
（2）若選條件①，利用正弦定理和同角三角函數(shù)的關系式可求，，求出邊長后可得三角形面積，若選②，利用（1）的結論可得，從而可得為直角，求出邊長后可求面積.
(1)
在中，由正弦定理有．
在中，由正弦定理有．
因為和互為補角，故其正弦值相等，
故，
又因為，故，
故.
(2)
因為外接圓面積是外接圓面積的3倍，
故外接圓的半徑是外接圓的倍.
所以，故，故，
若選條件①：因為，故，
結合解得，故，
因為，故均為銳角，故，，
所以，故，故，
所以，，故的面積為.
若選擇條件②，則由（1）知．
結合可知，故．
由勾股定理知，而，故解得，，
故．
30．（2022·重慶長壽·高三期末）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中，并解決該問題：
已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，______且，△ABC的面積為，求△ABC的周長．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】條件選擇見解析，的周長為．
【解析】
【分析】
若選擇①，由正弦定理進行邊角互化，可求得．再運用三角形的面積公式和余弦定理可求得b＋c，從而求得△ABC的周長；
若選擇②，由正弦定理進行邊角互化，以及運用輔助角公式可求得．再運用三角形的面積公式和余弦定理可求得b＋c，從而求得△ABC的周長；
若選擇③，由余弦定理進行邊角互化，可求得．再運用三角形的面積公式和余弦定理可求得b＋c，從而求得△ABC的周長．
【詳解】
解：若選擇①，由正弦定理得，
由于，則，
又，所以，因為，所以．
由，△ABC的面積為，得，所以，所以．
由余弦定理得，，所以b＋c＝3，
故△ABC的周長為．
若選擇②，
由正弦定理得，又，則，
所以，即，
又，所以，故．
由，△ABC的面積為，得，所以，所以．
由余弦定理得，所以b＋c＝3，
故△ABC的周長為．
若選擇③，
由余弦定理得，整理得，
由余弦定理得，所以，又，所以．
由，△ABC的面積為，得，
所以，所以．
由余弦定理得，所以b＋c＝3，故△ABC的周長為．
31．（2022·山東濰坊·高三期末）已知中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，且．
(1)證明：；
(2)求的面積．
【答案】(1)見解析；
(2).
【解析】
【分析】
(1)由已知利用正弦定理可得，，代入已知等式即可證明．
(2)由(1)可得，兩邊平方，可得，由余弦定理可得，可得，解方程可得的值，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．
(1)
∵，，
∴，可得，，
又∵，
∴，
整理可得：，得證．
(2)
∵，得，兩邊平方，可得，
由余弦定理，可得，可得，
可得，
解得，或(舍去)，
∴的面積．
32．（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學高三階段練習（理））現(xiàn)有下列三個條件：
①函數(shù)f(x)的最小正周期為π；
②函數(shù)f(x)的圖象可以由y＝sinx－csx的圖象平移得到；
③函數(shù)f(x)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離．
從中任選一個條件補充在下面的問題中，并作出正確解答．
已知向量，ω＞0，函數(shù)．且滿足_________．
(1)求f(x)的表達式；
(2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，＝2，求csA的值．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】(1)選擇條件①與③，結果相同，，選②，則無答案.
(2)
【解析】
【分析】
（1）先用輔助角公式化簡，然后選①，利用最小正周期求出；選②：不能由由y＝sinx－csx的圖象平移得到，無答案；選③：利用相鄰兩條對稱軸之間的距離得到最小正周期，進而求出答案；（2）在第一問的基礎上，先求出，再用正弦定理求出及的值，進而利用求出答案.
(1)
因為，
若選①：函數(shù)f(x)的最小正周期為π；
則，解得：，此時；
若選②：，而，故函數(shù)f(x)的圖象不能由y＝sinx－csx的圖象平移得到；
若選③：函數(shù)f(x)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離，則，解得：，即，解得：，此時，
綜上：選擇條件①與③，結果相同，，選②，則無答案.
(2)
由（1）知：，所以，因為，所以，，，又，由正弦定理得：，整理得：，因為，所以，所以，又，所以，所以.

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