新高考數(shù)學二輪復習高分突破訓練第22講 數(shù)列中的范圍與最值問題（2份，原卷版+解析版）

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（1）函數(shù)角度：從通項公式入手，將其視為關于的函數(shù)，然后通過函數(shù)的單調(diào)性來判斷數(shù)列的單調(diào)性。由于 ，所以如果需要用到導數(shù)，首先要構(gòu)造一個與通項公式形式相同，但定義域為 的函數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性后再結(jié)合得到數(shù)列的單調(diào)性
（2）相鄰項比較：在通項公式不便于直接分析單調(diào)性時，可考慮進行相鄰項的比較得出數(shù)列的單調(diào)性，通常的手段就是作差（與0比較，從而轉(zhuǎn)化為判斷符號問題）或作商（與1比較，但要求是正項數(shù)列）
典型例題：
例1．（2022·全國·高三專題練習）設等差數(shù)列的前項和為，若，，若對任意的，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__．
【答案】，，
【解析】
【分析】
根據(jù)題意求出等差數(shù)列的首項和公差，寫出前項和公式，求出的最小值，再求關于的不等式的解集．
【詳解】
解：設等差數(shù)列的首項為，公差為，
由題意得，
解得，
又，
所以當或5時，取得最小值，最小值為，
所以取得最大值，最大值為10，
由任意的恒成立，
所以，
解得或，
所以實數(shù)的取值范圍是，，．
故答案為：，，．
例2．（2022·江蘇南通·一模）設是等比數(shù)列的前項和，，且、、成等差數(shù)列.
(1)求的通項公式；
(2)求使成立的的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）求出等比數(shù)列的公比，然后利用等比數(shù)列的通項公式可求得；
（2）利用等比數(shù)列的求和公式以及已知條件可得出關于的不等式，解之即可得解.
(1)
解：設等比數(shù)列的公比為，則，
由，
故.
(2)
解：，則，
整理得，
當為偶數(shù)時，，不合乎題意；
當為奇數(shù)時，則，可得，可得.
因此，的最大值為.
例3．（2022·浙江溫州·高三開學考試）已知數(shù)列和滿足，，.
(1)求與；
(2)設的前n項和為，若不等式，對一切都成立，求實數(shù)的最小值.
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)給定條件利用累加法，結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式計算得，再借助前n項和第n項的關系推理計算作答.
(2)由(1)求出，變形給定不等式，再分奇偶討論計算作答.
(1)
依題意，當時，，則
，
而滿足上式，故有；
，，當時，，
兩式相減得：，則，而，滿足上式，即有，
所以，.
(2)
由(1)知，，
兩邊同乘-2得：，
兩式相減得：，
，由得：，
依題意，對一切，都成立，
當n為正奇數(shù)時，，而數(shù)列是遞增數(shù)列，當時，，則，
當n為正偶數(shù)時，，解得，因此，，
所以實數(shù)的最小值.
例4．（2022·江西景德鎮(zhèn)·模擬預測（理））已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.
(1)求的通項公式；
(2)設，記數(shù)列的前n項和為，求使得恒成立的m的最小值.
【答案】(1)；
(2)2.
【解析】
【分析】
(1)設等差數(shù)列公差d，由已知條件求出公差d即可得其通項公式；
(2)采用裂項相消的方法求得，求出的最大值即可.
(1)
在等差數(shù)列中，設公差為，則，
由已知得，解得，
.
(2)
由(1)知，，
則，
∴，
，∴要使恒成立，只需，解得，
∴的最小值為2.
例5．（2022·河南南樂·高三階段練習（文））已知是等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列、的通項公式；
(2)設數(shù)列的前n項和為，令，求的最小值．
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
(1)設出等差數(shù)列的公差，根據(jù)給定條件列出方程求解作答.
(2)由(1)的結(jié)論求出，利用裂項相消法求出，再借助均值不等式計算作答.
(1)
設等差數(shù)列的公差為，依題意，，解得，
于是得，，
所以數(shù)列、的通項公式分別為：，.
(2)
由(1)知，，
因此，，
則，當且僅當時取等號，
所以的最小值為81.
例6．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學高三期末）已知公差不為0的等差數(shù)列的前項和為， 且
(1)求數(shù)列的前項和；
(2)在數(shù)列中， ， 且 若對任意的正整數(shù)， 不等式 恒成立， 求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）設等差數(shù)列的公差為，由題設求得與，即可求得其通項公式；
（2）根據(jù)，可得，兩式作差，在根據(jù)題意，可證明數(shù)列為等比數(shù)列，進而求得，再根據(jù)，可得，對，，三種情況進行分類討論，解決恒成立問題，即可求出結(jié)果.
(1)
解：等差數(shù)列的公差為，
由，得
解得，
所以；
(2)
解：由，得，
相減得，即．
又，，得，
故對任意成立，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列；
所以；
將代入，得，
即有對任意恒成立．
（?。┊敃r，成立，所以符合題意-
（ⅱ）當時，由恒成立，即
易知當時，；當時，，故．
所以，且，可解得；
（ⅲ）當時，由恒成立，即
由，
可知當時，，即；
當且時，，即，
又當時，，當時，，當時，，
所以．
所以．
即且，得，解得；
綜上，
例7．（2022·浙江·溫州中學高三期末）已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列滿足，
(1)求數(shù)列與的通項公式；
(2)若，對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先由與的關系求得數(shù)列的通項公式，再以累加法求得數(shù)列的通項公式；
（2）以裂項相消法對求和，并求得其最小值即可解決.
(1)
數(shù)列中，，由，得，
時，，則
則，故數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.則
由，得，
故.
(2)
由，可得
，
則，
當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時.
故實數(shù)的取值范圍為.
例8．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，，且．
(1)求數(shù)列的通項；
(2)設數(shù)列滿足，記的前項和為．
①求；
②若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)①；②.
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)給定的遞推公式結(jié)合“當時，”探求數(shù)列的任意相鄰兩項的關系計算作答.
(2)①由(1)及已知求出，再用錯位相減法計算得解；②根據(jù)給定不等式，分類分離參數(shù)，探討數(shù)列單調(diào)性即可求解作答.
(1)
數(shù)列的前項和為，，
，，當時，，兩式相減得：，即，
當時，，，即，有，
因此，，，且，
于是得是首項為，公比為的等比數(shù)列，則有，
所以數(shù)列的通項公式是.
(2)
①由(1)及，得，
則，
于是得，
兩式相減得：
，
所以
②由，得恒成立，即恒成立，
當時，不等式恒成立，即，
當時，恒有，此時，數(shù)列是遞增的，當時，，則有，
當時，恒有，此時，數(shù)列是遞增的，，恒有成立，則有，
綜上得，，
所以實數(shù)的取值范圍為.
過關練習：
一、單選題
1．（2022·湖北·荊州中學高三開學考試）已知等差數(shù)列的公差不等于0．其前為項和為．若，則的最大值為（ ）
A．18B．20
C．22D．24
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡，再分析判斷求出公差、首項即可計算作答.
【詳解】
設等差數(shù)列的公差為，則，
，，因，即，
顯然，否則，矛盾，于是得，又，否則，公差，矛盾，
因此，，解得，而，則公差，，
由得，，于是有等差數(shù)列是遞減數(shù)列，其前5項都是非負的，從第6項起為負，
當或時，，
所以的最大值為20.
故選：B
2．（2022·山西臨汾·一模（文））已知{}為等比數(shù)列，，公比.若是數(shù)列{}的前n項積，則取最大值時n為（ ）
A．3B．4C．3或4D．4或5
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件求出數(shù)列{}的通項，再求出并進行推理計算作答.
【詳解】
依題意，等比數(shù)列{}的通項公式是：，
因此，，
，當時，，即，
當時，，即，數(shù)列遞減，，
所以取最大值時n為3或4.
故選：C
3．（江蘇省淮安市2021-2022學年高二上學期期末調(diào)研測試數(shù)學試題）已知數(shù)列滿足，（且），若恒成立，則M的最小值是（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)，（且），利用累加法求得，再根據(jù)恒成立求解.
【詳解】
因為數(shù)列滿足，，（且）
所以，
，
，
，
因為恒成立，
所以，則M的最小值是，
故選：C
4．（四川省2022屆高三診斷性測試數(shù)學（理）試題）設為等差數(shù)列的前n項和，若，且．則使的n的最小值為（ ）．
A．30B．31C．32D．33
【答案】B
【解析】
【分析】
求得和公差的關系，利用等差數(shù)列前項和公式列不等式，由此求得的最小值.
【詳解】
設等差數(shù)列的公差為，
，，
由于，，所以，
所以，所以的最小值為.
故選：B
5．（2022·全國·模擬預測）設正項數(shù)列的前項和滿足，記表示不超過的最大整數(shù)，．若數(shù)列的前項和為，則使得成立的的最小值為( )
A．1180B．1179C．2020D．2021
【答案】A
【解析】
【分析】
利用通項公式和前n項和之間的關系求出數(shù)列的通項公式，再根據(jù)n的取值討論并判斷即可.
【詳解】
①，
令，得，解得．
，②，
由①②可得，
整理得，
根據(jù)可知，
則數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴，．
∴，，
當時，，；
當時，，，
當時，，．
∵，，
∴使成立的的最小值為．
故選：A．
6．（2022·黑龍江·雙鴨山一中高三期末（理））已知數(shù)列滿足，且取最小值時為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由數(shù)列遞推關系利用累加法可知，
進而化簡的表達式，利用基本不等式計算即得結(jié)論.
【詳解】
由，得
，累加可得
，
又，.
當，，也滿足上式.
所以數(shù)列的通項公式為.
，
令，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
因為.
故選：C.
7．（2022·浙江·模擬預測）設數(shù)列滿足，則下列結(jié)論中不可能的是（ ）
注：和分別表示，，…中的最小值和最大值．
A．數(shù)列從某一項起，均有
B．數(shù)列從某一項起，均有
C．數(shù)列從某一項起，均有
D．數(shù)列從某一項起，均有
【答案】D
【解析】
【分析】
考慮，，，，，幾種情況，計算出數(shù)列，再對比選項得到答案.
【詳解】
當，時，，，，；
當，時，，，，；
當，時，，，，
，，，，AC可能；
當，時，，，，，，，，，AC可能；
當，時，，，，，；
當，時，，，，，， ，，B可能；
故選：D.
【點睛】分類討論的取值情況是本題的關鍵
8．（2022·河南駐馬店·高三期末（理））已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，則當取得最小值時，的值為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得數(shù)列的通項公式，再根據(jù)數(shù)列的正負項求解.
【詳解】
因為，，
所以，公差，
所以，
故在數(shù)列中，，，，，均小于0，中其余項均大于0．
又因為，，
所以當取得最小值時，的值為6．
故選：C．
9．（2022·江西宜春·高三期末（理））在正項等比數(shù)列}中，存在兩項且 ，使得，且，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知條件結(jié)合等比數(shù)列通項公式可得，進而有，再應用基本不等式“1”的代換求最值，注意等號成立條件.
【詳解】
令公比為，由題設，又，
所以，可得或(舍)，
由，即，可得，
所以，又，則，
，當且僅當時等號成立，
所以，故當時.
故選：C
10．（2022·浙江·高三期末）已知數(shù)列滿足，對任意中存在一項是另外兩項之和，且，記數(shù)列的則前項和為，則的最小值為（ ）
A．1361B．1481C．1681D．2021
【答案】A
【解析】
【分析】
由題意可知，要使得有最小值，則要盡可能的小，根據(jù)題意，利用列舉法可知數(shù)列從第九項起，是以3為周期的數(shù)列，由此即可求出結(jié)果.
【詳解】
因為對任意中存在一項是另外兩項之和，
所以，或，或
又，所以，
要使得有最小值，則要盡可能的小；
則根據(jù)對任意中存在一項是另外兩項之和，且要盡可能的小，
利用列舉法可知數(shù)列為：，可知數(shù)列從第九項起，是以3為周期的數(shù)列，
又，
所以的最小值為.
故選：A.
11．（2022·浙江省浦江中學高三期末）設等差數(shù)列的公差為d，其前n項和為，且，，則使得的正整數(shù)n的最小值為（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及已知分別判斷、、的符號即可.
【詳解】
由，得，
因為是等差數(shù)列，所以，，，
，，，
所以，
使得的正整數(shù)n的最小值為.
故選: D.
12．（2022·安徽亳州·高三期末（理））設數(shù)列的前項和為，已知，，數(shù)列的前項和為，則滿足的的最小值為（ ）
A．12B．7C．6D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出，得到，求出數(shù)列的前項和為，解不等式即可求解.
【詳解】
因為數(shù)列的前項和為滿足，所以.
當n=1時，；
當時，；
經(jīng)檢驗，對n=1也成立，
所以.
所以，
所以數(shù)列為首項為1，公差為的等差數(shù)列，
所以數(shù)列的前項和為.
由可得：，解得：（舍去）.
所以的最小值為12.
故選：A.
13．（2022·江蘇揚州·高三期末）在正項等比數(shù)列中，，，記數(shù)列的前n項積為，，則n的最小值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件求出數(shù)列的通項，再計算，列式解不等式作答.
【詳解】
設正項等比數(shù)列公比為q，由得，于是得，而，解得，
因此，，，由得：，
從而得：，而，解得，又，則，
所以n的最小值為5.
故選：C
14．（2022·吉林·東北師大附中模擬預測（理））已知數(shù)列的首項是，前項和為，且，設，若存在常數(shù)，使不等式恒成立，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先由數(shù)列通項與前項和的關系得到數(shù)列的遞推關系，再構(gòu)造等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式，進一步求出數(shù)列的通項公式，從而可求數(shù)列通項公式，代入所求式子，分子、分母同除以構(gòu)造基本不等式即可求出的最大值，從而求出的范圍.
【詳解】
由，則當時，得，
兩式相減得，變形可得：，
又，，所以，，
∴數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，故，
所以，
所以，當且僅當時等號成立，故.
故選：C.
【點睛】
關鍵點點睛：構(gòu)造等比數(shù)列求的通項公式，即可得通項公式，再由不等式恒成立，結(jié)合基本不等式求的最值，即可求參數(shù)范圍.
15．（2022·全國·高三專題練習）設，為實數(shù)，首項為，公差為的等差數(shù)列的前項的和為，滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根據(jù)題意得到，從而得到，再根據(jù)求解即可.
【詳解】
由題意可得，
所以，整理得：.
此方程可看作關于的一元二次方程，它一定有實根，
，
整理得，解得或.
故選：C
16．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的通項公式為，前項和為，若實數(shù)滿足對任意正整數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)裂項相消法，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性進行求解即可.
【詳解】
解：，
前項和為
，
可得為遞增數(shù)列，且有取得最小值；
且，
當為偶數(shù)時，對任意正整數(shù)恒成立，
即為對任意正整數(shù)恒成立，
由，
可得①
當為奇數(shù)時，對任意正整數(shù)恒成立，
即為對任意正整數(shù)恒成立，
由，
可得，即②
由①②解得．
故選：A
【點睛】
關鍵點睛：利用裂項相消法，結(jié)合分類討論法進行求解是解題的關鍵.
17．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足．若對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．，B．C．，D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由等差數(shù)列通項公式得，再結(jié)合題意得數(shù)列單調(diào)遞增，且滿足，，即，再解不等式即可得答案.
【詳解】
解：根據(jù)題意：數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，
所以，
由于數(shù)列滿足，
所以對任意的都成立，
故數(shù)列單調(diào)遞增，且滿足，，
所以，
解得．
故選：．
二、多選題
18．（2022·福建三明·高三期末）已知等差數(shù)列{}中，，公差，則使其前n項和取得最大值的自然數(shù)n是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】BC
【解析】
【分析】
由題設及等差數(shù)列的性質(zhì)可得，結(jié)合及數(shù)列的單調(diào)性，即可確定最大時n的取值.
【詳解】
由題設，易知：且，
所以，即，
所以要使前n項和取得最大，只需保證前n項均為非負數(shù)，
故當或5時，取得最大值.
故選：BC
19．（2022·全國·高三專題練習）設等差數(shù)列的前項和為，公差為.已知，，，則（ ）
A．數(shù)列的最小項為第項B．
C．D．時，的最大值為
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用數(shù)列的單調(diào)性結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可判斷A選項的正誤；根據(jù)已知條件列出關于 的不等式組，求出的取值范圍，可判斷B選項的正誤；利用等差數(shù)列求和公式及等差數(shù)列下標和性質(zhì)可判斷C，D選項的正誤.
【詳解】
對于C選項，由且，可知，故C正確；
對于B選項，由 ，可得 ，故B正確；
對于D選項，因為，，
所以，滿足的的最大值為，故D錯誤；
對于A選項，由上述分析可知，當且時， ；
當且時，，
所以，當且時，，
當且時，，
當且時，.
由題意可知單調(diào)遞減，
所以當且時，，
由題意可知單調(diào)遞減，即有，
所以，
由不等式的性質(zhì)可得，
從而可得，
因此，數(shù)列的最小項為第 項，故A正確.
故選：ABC.
20．（2022·江蘇·蘇州中學高三開學考試）在數(shù)列中，，前n項的和為Sn，則（ ）
A．的最大值為1B．數(shù)列是等差數(shù)列
C．數(shù)列是等差數(shù)列D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
對于A：當n=2時，有，對分正負進行討論，利用基本不等式求出的最大值；
對于B、C：利用等差數(shù)列的定義進行判斷；
對于D：利用分組求和法直接求出，即可判斷.
【詳解】
對于A：當n=2時，有，若時，由基本不等式可得：（時取等號），所以；若中有一個為0或負值時，；若時，不可能成立；故的最大值為1.故A正確；
對于B：數(shù)列中，，
當n為奇數(shù)時，有，所以數(shù)列是等差數(shù)列，故B正確；
對于C：當n為偶數(shù)時，有，只有時，數(shù)列是等差數(shù)列，否則數(shù)列不是等差數(shù)列，故C不正確；
對于D：.
故D正確.
故選：ABD
21．（江蘇省宿遷市2021-2022學年高二上學期期末數(shù)學試題）設等差數(shù)列前n項和為，公差，若，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．B．當時，取得最小值
C．D．當時，n的最小值為29
【答案】BC
【解析】
【分析】
根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式，結(jié)合該數(shù)列的單調(diào)性逐一判斷即可.
【詳解】
由.
A：因為，
所以有，因此本選項說法不正確；
B：因為，所以該等差數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，因為，所以當，或時，取得最小值，故本選項說法正確；
C：因為，所以該等差數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，因為，
所以，因此本選項說法正確；
D：因為，
所以由，
可得：，因此n的最小值為，所以本選項說法不正確，
故選：BC
三、雙空題
22．（2022·湖北襄陽·高三期末）如圖，是一塊半徑為的半圓形紙板，在的左下端剪去一個半徑為的半圓后得到圖形，然后依次剪去一個更小的半圓（其直徑為前一個被剪掉半圓的半徑）得圖形，，…，，…，記第塊紙板的面積為，則
（1）______，
（2）如果，使得成立，那么的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意可知，每次剪去的半圓的面積構(gòu)成了一個等比數(shù)列，由此先求得，從而可求得答案；
（2）根據(jù)題意只要使得，即可保證，使得成立，因此解不等式即可得答案.
【詳解】
由題意可知，依次剪去一個更小的半圓，其半徑為前一個半圓半徑的一半，
故每次剪去的半圓的面積組成了首項為 ，公比為 的等比數(shù)列，
第塊紙板是剪了n-1次后得到的，
故 ，
故（1） ；
（2），使得成立，
故只需 ，解得 ，而 ，
所以，
故答案為：；
四、填空題
23．（2022·湖南·長沙一中高三階段練習）已知數(shù)列滿足，其前n項和為，且，則的最大值為________．
【答案】##
【解析】
【分析】
利用并項求和法求得，由此求得的關系式，結(jié)合基本不等式求得的最大值.
【詳解】
當，由已知條件可得，
所以
，
則，所以，，
∴，由基本不等式可得，
當且僅當時，等號成立，此時取得最大值．
故答案為：
24．（2022·河南·高三階段練習（理））已知為等比數(shù)列的前n項和，，（c為實數(shù)）．若，則當取最小值時，n＝______．
【答案】11
【解析】
【分析】
根據(jù)遞推關系，多遞推一項再相減，得，進而求出的通項公式，研究數(shù)列的單調(diào)性，得到前項和的最小值。
【詳解】
由題意，，兩式相減得，則．設等比數(shù)列的公比為q，故，故，則，故，令，可得，則，即，故當時，，；當時，，故當取最小值時，．
故答案為：11
25．（2022·廣東·模擬預測）已知表示不小于x的最小整數(shù)，表示不大于x的最大整數(shù)，如，，數(shù)列滿足，且對，有，若為遞增數(shù)列，則整數(shù)b的最小值為______．
【答案】0
【解析】
【分析】
根據(jù)題意得，，有，進而得，故，再根據(jù)分和討論求解得，進而得答案.
【詳解】
解：∵數(shù)列滿足，且對，有，
∴，
∵可得，
∴，有，
∴當時，，即，，
∴，
∴，
∵為遞增數(shù)列，則，
當時，，解得，
當時，，即，解得：，∴，
又，則，∴整數(shù)b的最小值為0．
故答案為：
26．（2022·湖北·黃石市有色第一中學高三期末）在等差數(shù)列中，，當取得最小值時，______.
【答案】7
【解析】
【分析】
根據(jù)等差中項的性質(zhì)得到，把化為關于公差的關系式，進而得到時取得最小值，進而求出答案.
【詳解】
由題意得：，則；，
所以：當時，取得最小值.此時
故答案為：7
27．（2022·安徽黃山·一模（文））已知數(shù)列滿足，，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且，，則實數(shù)的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先利用遞推關系式求出數(shù)列和的通項公式，再利用數(shù)列的單調(diào)性建立不等關系，進一步求出參數(shù)的范圍．
【詳解】
因為，
所以，所以，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，
又
所以，
所以，
又是單調(diào)遞增數(shù)列，
所以當時，恒成立，
所以當時，恒成立，即當時，恒成立，
所以；
又，即，所以．
綜上，．
故答案為：．
28．（2022·全國·高三專題練習）設，為實數(shù)，首項為，公差為的等差數(shù)列的前項和為，滿足，則的取值范圍為__．
【答案】或
【解析】
【分析】
利用等差數(shù)列前項和公式將轉(zhuǎn)化為關于的一元二次方程，，即可求得的取值范圍.
【詳解】
，由等差數(shù)列的求和公式可得
，整理得，
由于方程可看作關于的一元二次方程，
方程一定有根，故，
整理得，解得，或
故答案為：或.
29．（2022·全國·高三專題練習）設，為實數(shù)，首項為，且，公差為的等差數(shù)列的前項和為，滿足，則的取值范圍是_______
【答案】，
【解析】
【分析】
把已知等式用表示，關于公差的二次方程有實數(shù)解，由判別式不小于0可得的范圍．
【詳解】
解：，可得，
化為：，
△，，
．
解得．
的取值范圍是，．
故答案為：，．
30．（2022·全國·高三專題練習）設等差數(shù)列的前項和為，若，，則的取值范圍為__．
【答案】
【解析】
【分析】
化簡，根據(jù)已知即得解.
【詳解】
解：，
又，，
．
故答案為：．