1.常見三角函數(shù)的值域類型：
（1）形如的值域：使用換元法，設(shè)，根據(jù)的范圍確定的范圍，然后再利用三角函數(shù)圖像或單位圓求出的三角函數(shù)值，進(jìn)而得到值域
（2）形如的形式，即與的復(fù)合函數(shù)：通常先將解析式化簡(jiǎn)為同角同三角函數(shù)名的形式，然后將此三角函數(shù)視為一個(gè)整體，通過換元解析式轉(zhuǎn)變?yōu)槭煜さ暮瘮?shù)，再求出值域即可
（3）含三角函數(shù)的分式，要根據(jù)分子分母的特點(diǎn)選擇不同的方法，通常采用換元法或數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行處理
2.正弦函數(shù)的性質(zhì)
（1）定義域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）對(duì)稱軸（最值點(diǎn)）：
（5）對(duì)稱中心（零點(diǎn)）：，其中是對(duì)稱中心，故也是奇函數(shù)
（6）單調(diào)增區(qū)間：；單調(diào)減區(qū)間：
3.余弦函數(shù)的性質(zhì)
（1）定義域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）對(duì)稱軸（最值點(diǎn)）：其中是對(duì)稱軸，故也是偶函數(shù)
（5）對(duì)稱中心（零點(diǎn)）：
（6）單調(diào)增區(qū)間： ； 單調(diào)減區(qū)間：
4.正切函數(shù)的性質(zhì)
（1）定義域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）對(duì)稱中心：
（5）零點(diǎn)：
（6）單調(diào)增區(qū)間：
5.的性質(zhì)：此類函數(shù)可視為正弦函數(shù)通過坐標(biāo)變換所得，通常此類函數(shù)的性質(zhì)要通過計(jì)算所得。所涉及的性質(zhì)及計(jì)算方法如下：
（1）定義域：
（2）值域：
（3）周期：
（4）對(duì)稱軸（最值點(diǎn)），對(duì)稱中心（零點(diǎn)），單調(diào)區(qū)間需通過換元計(jì)算所求。
6.函數(shù)圖像的平移變換：
（1）：的圖像向左平移個(gè)單位
（2）：的圖像向右平移個(gè)單位
（3）：的圖像向上平移個(gè)單位
（4）：的圖像向下平移個(gè)單位
7.函數(shù)圖像的放縮變換：
（1）：的圖像橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?br>（2）：的圖像縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?br>典型例題：
例1．（2022·廣東五華·一模）已知函數(shù)．
(1)若且，求的值；
(2)記函數(shù)在上的最大值為b，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的最小值．
例2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知A，B，C成等差數(shù)列，．
(1)求；
(2)求函數(shù)的值域．
例3．（2022·浙江·高三期末）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)已知，若函數(shù)在區(qū)間[0，]上恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.
例4．（2022·湖南永州·二模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
(1)求；
(2)將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求在上的最小值.
例5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中常數(shù).
(1)令，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的表達(dá)式.
(2)求出（1）中的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸.
(3)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍.
例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在①?②兩個(gè)條件中任取一個(gè)填入下面的橫線上，并完成解答.①在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)；②在上有且僅有2個(gè)極大值點(diǎn)和2個(gè)極小值點(diǎn).
設(shè)函數(shù)，且滿足___________.
(1)求ω的值；
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，求在（0，2π）上的單調(diào)遞減區(qū)間.
過關(guān)練習(xí)：
1．（2022·河南安陽·二模（文））已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且其圖象過點(diǎn)，則的值可能為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最大值，且在區(qū)間上為減函數(shù)，則的最大值為（ ）
A．5B．6C．7D．8
3．（2022·四川·瀘縣五中二模（文））將的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象，則有 （ ）
A．為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減
B．為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增
C．周期為π，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
D．最大值為1，圖象關(guān)于直線對(duì)稱
4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．的最小正周期為
B．的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱
C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D．的單調(diào)遞減區(qū)間是
5．（2022·安徽省宣城中學(xué)高三開學(xué)考試（文））已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·黑龍江·嫩江市第一中學(xué)校高三期末（理））已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象與直線在上有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·黑龍江·鐵力市第一中學(xué)校高三開學(xué)考試（理））已知函數(shù)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為，．則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．
B．的圖象的對(duì)稱軸方程為（）
C．的單調(diào)遞減區(qū)間為（）
D．的解集為（）
8．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（ ）
A．1B．-1C．0D．1或-1
9．（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)高三階段練習(xí)（文））將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（ ）
A．圖象關(guān)于直線對(duì)稱
B．圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C．在上的最大值為
D．的單調(diào)遞減區(qū)間為
10．（2022·河南濮陽·高三開學(xué)考試（理））設(shè)，若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a的最大值為（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理）（文））已知函數(shù)的最大值為M，若存在實(shí)數(shù)m，n，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x總有成立，則M·|m－n|的最小值為（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·黑龍江·雙鴨山一中高三期末（理））函數(shù)，（，）的部分圖象如圖所示，若對(duì)任意，恒成立，則的最小正值為（ ）
A．B．C．D．
13．（2022·江西上饒·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)）的最小正周期為，且f(x)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到g(x)的圖象，則g(x)的對(duì)稱中心為（ ）
A．B．
C．D．
14．（2022·陜西武功·二模（文））函數(shù)的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
15．（2022·云南保山·模擬預(yù)測(cè)（理））若函數(shù)的圖象過點(diǎn)，相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離是，則下列四個(gè)結(jié)論中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
①函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；
②函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為；
③將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
④函數(shù)的最小正周期為．
A．4B．3C．2D．1
16．（2022·云南昭通·高三期末（理））把的圖象向左平移個(gè)單位，再把所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，再把所得圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，若對(duì)成立，則
①的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為；
②的圖象向右平移個(gè)單位得到的函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，則的最小值為；
③的對(duì)稱中心為；
④若關(guān)于x的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則n的取值范圍為.其中，
判斷正確的序號(hào)是（ ）
17．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間的最大值是M，最小值是m，則的值等于( )
A．0B．10C．D．
18．（2022·河南·襄城縣教育體育局教學(xué)研究室二模（理））已知函數(shù)，將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)拉伸為原來的3倍后，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A．B．
C．D．
19．（2022·山東·青島二中高三開學(xué)考試）若是函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，則就是函數(shù)圖象上的相應(yīng)的點(diǎn)，則，A的值分別為（ ）．
A．，B．3，C．，3D．3，3
20．（2022·廣東高州·二模）把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到的函數(shù)是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
21．（2022·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高三開學(xué)考試）已知函數(shù)的任意兩對(duì)稱軸間的最小距離為，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則（ ）
A．在在單調(diào)遞增
B．，，
C．把的圖象向右平移個(gè)單位即可得到的圖象
D．若在上有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍為
22．（2022·江蘇·南京市第五高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在單位圓O：上任取一點(diǎn)，圓O與x軸正向的交點(diǎn)是A，設(shè)將OA繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OP所成的角為，記x，y關(guān)于的表達(dá)式分別為，，則下列說法正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)，是奇函數(shù)
B．在為增函數(shù)，在為減函數(shù)
C．對(duì)于恒成立
D．函數(shù)的最大值為
23．（2022·江蘇海門·高三期末）對(duì)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．f(x)是周期為π的周期函數(shù)B．
C．f(x)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減
24．（2022·廣東中山·高三期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．函數(shù)在上單調(diào)遞減
D．函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位可得函數(shù)的圖象
25．（2022·福建漳州·一模）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．的圖象的最小正周期為
B．的圖象的對(duì)稱軸方程為
C．的圖象的對(duì)稱中心為
D．的單調(diào)遞增區(qū)間為
三、填空題
26．（2022·安徽·合肥一中高三階段練習(xí)（理））函數(shù)，已知且對(duì)于任意的都有，若在上單調(diào)，則的最大值為______.
27．（2022·貴州貴陽·高三期末（文））將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，所得函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則正數(shù)的最小值為__________．
28．（2022·貴州貴陽·高三期末（理））將函數(shù)的圖像分別向左?向右各平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸重合，則的最小值為___________.
29．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））將函數(shù)f（x）＝sin的圖象向左平移a（a>0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g（x）＝cs 2x的圖象，則a的最小值為________.
四、解答題
30．（2022·四川省南充高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知向量．記．
(1)求的對(duì)稱中心；
(2)若，求的取值范圍．
31．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)，.
(1)求；
(2)若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值集合.
32．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知，設(shè)函數(shù)．
(1)若，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)試討論函數(shù)f（x）在[－a，2a]上的值域．
33．（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)高三階段練習(xí)（理））現(xiàn)有下列三個(gè)條件：
①函數(shù)f(x)的最小正周期為π；
②函數(shù)f(x)的圖象可以由y＝sinx－csx的圖象平移得到；
③函數(shù)f(x)的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離．
從中任選一個(gè)條件補(bǔ)充在下面的問題中，并作出正確解答．
已知向量，ω＞0，函數(shù)．且滿足_________．
(1)求f(x)的表達(dá)式；
(2)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知，＝2，求csA的值．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求函數(shù)，的值域.
35．（2022·北京密云·高三期末）已知函數(shù)．在下列條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中，選擇可以確定和值的兩個(gè)條件作為已知．
(1)求的值；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最大值．
條件①：的最小正周期為；
條件②：的最大值與最小值之和為0；
條件③：．
36．（2022·四川·高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期；
(2)求函數(shù)在上的最值.

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