1．（2021·河南高三月考（文））設(shè)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則（ ）
A．是的充分條件但不是必要條件B．是的必要條件但不是充分條件
C．是的充要條件D．既不是的充分條件也不是的必要條件
【答案】A
【解析】由方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，
則可化為，且，
即，
因?yàn)?，反之不成立?br>所以是的充分條件但不是必要條件.
故選：A
2．（2021·浙江高三專題練習(xí)）如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足，平面上的動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．直線B．拋物線
C．橢圓D．雙曲線的一支
【答案】C
【解析】用垂直于圓錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面和圓錐的一條母線平行時，得到拋物線.
此題中平面上的動點(diǎn)滿足，可理解為在以為軸的圓錐的側(cè)面上，
再由斜線段與平面所成的角為，可知的軌跡符合圓錐曲線中橢圓定義.
故可知動點(diǎn)的軌跡是橢圓.
故選：C.
3．（2021·廣東羅湖·高三月考）著名的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家約翰尼斯·開普勒（Jhannes Kepler）發(fā)現(xiàn)了行星運(yùn)動三大定律，其中開普勒第一定律又稱為軌道定律，即所有行星繞太陽運(yùn)動的軌道都是橢圓，且太陽處在橢圓的一個焦點(diǎn)上.記地球繞太陽運(yùn)動的軌道為橢圓C，在地球繞太陽運(yùn)動的過程中，若地球與太陽的最遠(yuǎn)距離與最近距離之比為，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)橢圓C的焦距為2c，長軸長為2a，
根據(jù)題意可得地球與太陽的最遠(yuǎn)距離為，最近距離為，
則，解得，
即C的離心率為.
故選：C.
4．（2021·陜西新城·西安中學(xué)高三月考（理））已知曲線上任意一點(diǎn)滿足，則曲線上到直線的距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】 設(shè),則,
點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓. 曲線的方程是：
設(shè)與直線平行且與曲線相切的直線方程為.由得，，，，
當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；又中靠近的點(diǎn)應(yīng)該在橢圓的下方，曲線上到直線的距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是.
故選：
5．（2021·南昌市第三中學(xué)高三月考（理））已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，，是軸正半軸上一點(diǎn)，線段交橢圓于點(diǎn)，若，且的內(nèi)切圓半徑為，則橢圓的離心率是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由已知，，
直角的內(nèi)切圓半徑為，則，
又由對稱性知，
所以，
由，所以，即，．
所以離心率為．
故選：C．
6．（2021·全國高三開學(xué)考試）已知點(diǎn)是橢圓上異于頂點(diǎn)的動點(diǎn)，、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若是平分線上的一點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如下圖，延長、相交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)?，則，
因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，所以，，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，
設(shè)點(diǎn)，由已知可得，，，
則且，且有，
，
故，
所以，.
故選：C.
7．（2021·廣東汕頭·高三二模）已知橢圓C：的左?右焦點(diǎn)分別是?，過的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則四邊形面積的最大值為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知得若，故四邊形AOBE是平行四邊形，其面積是△OAB面積的兩倍，下面先求△OAB的面積的最大值.由橢圓的方程的橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，設(shè)直線AB的方程為,代入橢圓方程中并整理得：
,
，
令,,當(dāng),即k=0,也就是直線AB與x軸垂直時面積取得最大值為，∴四邊形AOBE的面積最大值為.
故選：B.
8．（2021·云南昆明一中高三模擬預(yù)測（文））已知橢圓C：的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M在橢圓C上，當(dāng)△MF1F2的面積最大時，△MF1F2內(nèi)切圓半徑為（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】D
【解析】
解析：因?yàn)闄E圓為，所以a=5，b=3，；
當(dāng)△MF1F2的面積最大時，點(diǎn)M在橢圓C的短軸頂點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)M為橢圓C的上頂點(diǎn)，
點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△MF1F2內(nèi)切圓半徑為r，則|MF1|=|MF2|=a=5，|F1F2|=2c=8，|OM|=b=3，
，所以，
故選:D.
9．（2021·江蘇泰州·高三模擬預(yù)測）圓心在軸上的圓C與橢圓在軸的上方有兩個交點(diǎn)，且圓在這兩個交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過橢圓不同的焦點(diǎn)，則圓的半徑為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如圖，設(shè)圓心為，切點(diǎn)分別為，圓在處的切線分別為，其中為兩條切線的交點(diǎn)，則根據(jù)題意可得，則四邊形是正方形，
由橢圓和圓的對稱性可得直線的斜率分別為，因此為橢圓的下頂點(diǎn)，于是圓的半徑就是過焦點(diǎn)的弦的長度，連接，
設(shè)，則，
在直角三角形中，有，
即，解得，
因此所求半徑的長為.
故選：D.
10．（2021·合肥市第六中學(xué)高三模擬預(yù)測（理））德國著名的天文學(xué)家開普勒說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦.“黃金三角形”有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的“黃金三角形”被認(rèn)為是最美的三角形，它是一個頂角為的等腰三角形(另一種是頂角為的等腰三角形).已知一個“黃金橢圓”的左焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，其離心率為.例如，五角星由五個黃金三角形與一個正五邊形組成，如圖所示，在其中一個黃金中，.根據(jù)這些信息，可得（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解析，，.
因?yàn)槭琼斀菫榈牡妊切?，所以，則，，而，所以.
故選：C
二、多選題
11．（2021·廣東廣州·高三月考）已知曲線C： ，則下列命題中為真命題的是（ ）
A．若，則C是圓
B．若，且，則C是橢圓
C．若，則C是雙曲線，且漸近線方程為
D．若，則C是橢圓，其離心率為
【答案】BC
【解析】對于A：若，則，原方程為，此時曲線C不存在，故A不正確；
對于B：由已知得，又，且，所以表示橢圓，故B正確；
對于C：若，則C是雙曲線，但漸近線方程為，故C正確；
對于D：由已知得，又，所以，則曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，所以，，其離心率為，故D不正確，
故選：BC.
12．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在圓上，且圓上的所有點(diǎn)均在橢圓外，若的最小值為，且橢圓的長軸長恰與圓的直徑長相等，則下列說法正確的是（ ）
A．橢圓的焦距為B．橢圓的短軸長為
C．的最小值為D．過點(diǎn)的圓的切線斜率為
【答案】AD
【解析】對于A：因?yàn)闄E圓的長軸長與圓的直徑長相等，所以，即，
設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓的定義可知，
所以，
所以，解得或，
因?yàn)?，所以，即橢圓的焦距為，故A正確；
對于B：由，所以橢圓的短軸長為，故B錯誤；
對于C：，故C錯誤；
對于D：若過點(diǎn)的直線的斜率不存在，則直線方程為，圓心到直線的距離為，不合乎題意.
設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，即，
則，解得，故D正確.
故選：AD.
13．（2021·全國高三模擬預(yù)測）已知，是橢圓：的左?右焦點(diǎn)，且，分別在橢圓的內(nèi)接的與邊上，圓是的內(nèi)切圓，則下列說法正確的是（ ）
A．的周長為定值8
B．當(dāng)點(diǎn)與上頂點(diǎn)重合時，圓的方程為
C．為定值
D．當(dāng)軸時，線段交軸于點(diǎn)，則
【答案】CD
【解析】對于A：連接，根據(jù)橢圓的定義得:，則的周長為，故選項(xiàng)A錯誤；
對于B：當(dāng)點(diǎn)與上頂點(diǎn)重合時，此時，，直線：，與橢圓的方程聯(lián)立得 可得，利用對稱性知，，，，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，，即，解得，故選項(xiàng)B錯誤；
對于C：設(shè)直線：，與橢圓的方程聯(lián)立得，設(shè)，，則，，得，同理可得，所以，故選項(xiàng)C正確；
對于D：當(dāng)軸時，，，又因?yàn)?，直線：，與橢圓的方程聯(lián)立得，所以直線：，令，得點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，于是，故選項(xiàng)D正確，
故選：CD.
14．（2021·江蘇揚(yáng)中市第二高級中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的最大值為，則下列說法正確的是（ ）
A．橢圓的短軸長為B．當(dāng)最大時，
C．離心率為D．的最小值為
【答案】ABCD
【解析】由題意知，所以，
因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以的最小值?，故D正確
當(dāng)且僅當(dāng)軸時，取得最小值，此時，，,
故B正確；
代入橢圓方程得，，又，
所以，即，所以，解得：，
所以橢圓的短軸長為，故A正確；
所以，所以，故C正確.
故選：ABCD.
15．（2021·山東青島·高三開學(xué)考試）已知橢圓過雙曲線的焦點(diǎn)，的焦點(diǎn)恰為的頂點(diǎn)，與的交點(diǎn)按逆時針方向分別為，，，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A．的離心率為
B．的右焦點(diǎn)到的一條漸近線的距離為
C．點(diǎn)到的兩頂點(diǎn)的距離之和等于
D．四邊形的面積為
【答案】ACD
【解析】如下圖所示，設(shè)雙曲線的焦距為，
由題意可知：，，所以的離心率為，故A正確；
的右焦點(diǎn)，方程中，所以的漸近線方程為，
不妨取漸近線，所以到的距離為，故B錯誤；
根據(jù)橢圓定義可知：，故C正確；
聯(lián)立，所以，所以，故D正確；
故選：ACD.
16．（2021·江蘇南通·高三模擬預(yù)測）設(shè)點(diǎn)F、直線l分別是橢圓的右焦點(diǎn)、右準(zhǔn)線，點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)，記點(diǎn)P到直線l的距離為d，橢圓C的離心率為e，則的充分不必要條件有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】由橢圓的第二定義，根據(jù)題意可得，
又，所以.
所以滿足題意的充分不必要條件為：或.
故選：BC.
17．（2021·沙坪壩·重慶八中高三月考）已知點(diǎn)，動點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為.記M的軌跡為曲線C.過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，軸，垂足為E，連結(jié)并延長交C于點(diǎn)G.（ ）
A．曲線C的離心率為B．已知定點(diǎn)，則
C．D．是直角三角形
【答案】AD
【解析】選項(xiàng)A：由題意得，整理得曲線C的方程：
，離心率為，故A正確；
選項(xiàng)B；，故B錯誤；
設(shè)直線，設(shè)，則，
∴直線的方程為：，所以，聯(lián)立
得，，即，
所以解得，
帶入直線，解得，所以，
所以選項(xiàng)C錯誤，選項(xiàng)D正確.
故選：AD
18．（2021·全國高三模擬預(yù)測）已知點(diǎn)為橢圓（）的左焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于，的一點(diǎn)，直線，分別為，，橢圓的離心率為，若，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)，
連接，，根據(jù)橢圓對稱性可知四邊形為平行四邊形，
則，且由，可得，
所以，則，．
由余弦定理可得，
所以，所以橢圓的離心率．
設(shè)，，則，，，
所以，又，，相減可得．
因?yàn)?，所以，所以?br>故選：AC．
19．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為是圓上且不在x軸上的一點(diǎn)，且的面積為.設(shè)C的離心率為e，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】如圖，
連接，，設(shè)交橢圓于，則，
，故正確；
設(shè)，，，
，，
，故錯誤；
設(shè)，，則，
又△的面積為，，即，
，又，，故正確；
由，，
兩式作商可得：，故錯誤．
故選：AC
20．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，直線AP與BP相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積為非零常數(shù)m，那么下列說法中正確的有（ ）
A．當(dāng)時，點(diǎn)P的軌跡加上A，B兩點(diǎn)所形成的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓
B．當(dāng)時，點(diǎn)P的軌跡加上A，B兩點(diǎn)所形成的曲線是圓心在原點(diǎn)的圓
C．當(dāng)時，點(diǎn)P的軌跡加上A，B兩點(diǎn)所形成的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓
D．當(dāng)時，點(diǎn)P的軌跡加上A，B兩點(diǎn)所形成的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線
【答案】BD
【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，所以.
當(dāng)時，，即，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故A錯誤.
當(dāng)時，，表示圓心在原點(diǎn)的圓，故B正確.
當(dāng)時，，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，故C錯誤.
當(dāng)時，，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，故D正確.
故選：BD
三、填空題
21．（2021·全國高三專題練習(xí)）如圖，橢圓，圓，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過橢圓上一點(diǎn)和原點(diǎn)作直線交圓于兩點(diǎn)，若，則的值為___________．
【答案】
【解析】設(shè)圓的半徑為，由已知，得：
，
則
，
所以.
故答案為：6.
22．（2021·江蘇）已知橢圓：（）的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，在橢圓上，且滿足，，則橢圓的離心率為________．
【答案】
【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)?，且?br>所以，所以，
所以，所以，所以，
又因?yàn)?，所以，所以?br>故答案為：.
23．（2021·寧夏中衛(wèi)·高三模擬預(yù)測（理））已知、是雙曲線與橢圓的公共焦點(diǎn)，點(diǎn)、分別是曲線、在第一、第三象限的交點(diǎn)，四邊形的面積為，設(shè)雙曲線與橢圓的離心率依次為、，則___________.
【答案】
【解析】由于雙曲線、橢圓均關(guān)于原點(diǎn)對稱，則點(diǎn)、也關(guān)于原點(diǎn)對稱，
則、的中點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，
設(shè)點(diǎn)，在橢圓中，，，，
，可得，則，即點(diǎn)，
，
，
所以，，則，，所以，，
因此，.
故答案為：.
24．（2021·廣東廣州·）已如橢圓的兩個焦點(diǎn)為和，直線過點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)在上，且，則的方程為________．
【答案】
【解析】因?yàn)榕c關(guān)于直線對稱，所以直線為的垂直平分線.
所以，由橢圓定義可得.
設(shè)直線與交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，且，所以
所以，，又，解得.
又，則，故橢圓C的方程為.
故答案為：.
25．（2021·安徽馬鞍山·高三三模（理））如圖，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面相切.橢圓截面與兩球相切于橢圓的兩個焦點(diǎn)，.過橢圓上一點(diǎn)作圓錐的母線，分別與兩個球相切于點(diǎn).由球和圓的幾何性質(zhì)可知，，.已知兩球半徑分為別和，橢圓的離心率為，則兩球的球心距離為_______________.
【答案】
【解析】作出圓錐的軸截面如圖所示，
圓錐面與兩球相切于兩點(diǎn)，則，，
過作，垂足為，連接，，設(shè)與交于點(diǎn)，
設(shè)兩球的球心距離為，
在中，，，；
，，
，，解得：，，
；
由已知條件，知：，即軸截面中，
又，，解得：，
即兩球的球心距離為.
故答案為：.
26．（2021·浙江高三三模）橢圓：的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在橢圓上，點(diǎn)到直線的距離為，且的內(nèi)心恰好是點(diǎn)，則橢圓的離心率___________
【答案】
【解析】
如圖所示，的內(nèi)心恰好是點(diǎn)，
由對稱性可知，,
所以關(guān)于軸對稱，所以軸，
設(shè)PQ交x軸于點(diǎn),則，
所以點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)，
將代入橢圓的方程得，
所以，
過點(diǎn)M作ME⊥PF，垂足為E，則，
所以.
故答案為：
四、解答題
27．（2021·上海浦東新·上外浦東附中高三月考）如圖，過橢圓的左右焦點(diǎn)分別作長軸的垂線交橢圓于，將兩側(cè)的橢圓弧刪除再分別以為圓心，線段的長度為半徑作半圓，這樣得到的圖形稱為“橢圓帽”．夾在之間的部分稱為橢圓帽的橢圓段，夾在兩側(cè)的部分稱為“橢圓帽”的圓弧段已知左右兩個圓弧段所在的圓方程分別為．
（1）求橢圓段的方程；
（2）已知直線l過點(diǎn)與“橢圓帽”的交于兩點(diǎn)為M，N，若，求直線l的方程；
（3）已知P為“橢圓帽”的左側(cè)圓弧段上的一點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)，與“橢圓帽”交于兩點(diǎn)為M，N，若，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【解析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由圖可得，
所以，所以，
橢圓段的方程：；
（2）由題，所以，設(shè)，
，解得：或（舍去）
所以或，
所以直線l的方程：或；
（3）若，
，
當(dāng)M點(diǎn)在右側(cè)圓弧上時，，
當(dāng)M點(diǎn)在右橢圓弧上時，，
所以
28．（2021·上海高三模擬預(yù)測）已知橢圓：（）過點(diǎn)，且焦距與長軸之比為.設(shè)，為橢圓的左?右頂點(diǎn)，為橢圓上異于，的一點(diǎn)，直線，分別與直線：相交于，兩點(diǎn)，且直線與橢圓交于另一點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求證：直線與的斜率之積為定值；
（3）判斷三點(diǎn)，，是否共線，并證明你的結(jié)論.
【答案】（1）；（2）定值為，證明見解析；（3），，三點(diǎn)共線，證明見解析.
【解析】（1）由題知：，
所以橢圓：.
（2）由題知：，存在，且不為零，設(shè)，，，
則，即.
.
所以直線與的斜率之積為定值.
（3），，三點(diǎn)共線，證明如下：
設(shè)直線：，則直線：，
將代入直線，得：，，
，設(shè)直線：，
，
設(shè)，則，解得，
所以，即，
所以，，
所以， 為公共點(diǎn)，所以，，三點(diǎn)共線.
29．（2021·廣東荔灣·廣雅中學(xué)高三月考）已知橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最大距離是，且成等的比數(shù)列.
（1）求橢圓的方程；
（2）我們稱圓心在橢圓上運(yùn)動，半徑為的圓是橢圓的“衛(wèi)星圓”，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作橢圓C的“衛(wèi)星圓”的兩條切線，分別交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若直線的斜率為，當(dāng)，求此時“衛(wèi)星圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）由題意可得，解得：，
所以橢圓的方程為：；
（2）設(shè)橢圓C的“衛(wèi)星圓”的圓心 ，則，
圓的半徑為，所以圓的方程為，
設(shè)過坐標(biāo)原點(diǎn)O作橢圓C的“衛(wèi)星圓”的切線的方程為：，
所以圓心到切線的距離，
整理可得：，
因?yàn)槿糁本€的斜率為，
所以，即，
由可得，所以，可得，
由韋達(dá)定理可得：，
所以，
整理可得：，即，
解得：或（舍）
所以，
因?yàn)椋?br>所以或，
所以“衛(wèi)星圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程為：或.
30．（2021·黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)（理））已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且滿足．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知過點(diǎn)且不與軸重合的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【答案】（1）；（2）存在；．
【解析】（1）由已知得
得
所以橢圓的方程為；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，
設(shè)直線的方程為：，
當(dāng)時，必有，可取任意值，
當(dāng)時，設(shè)
聯(lián)立：得
顯然，，
因?yàn)?，所以，?br>即，解得
綜上所述：存在點(diǎn)滿足題意．

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