1．（4分）已知＝（x，1，3），＝（1，3，9），如果與為共線向量，則x＝（ ）
A．1B．C．D．
2．（4分）已知集合A＝{y|y＝ex}，集合B＝{x|y＝ln（x﹣1）}，則A∪B＝（ ）
A．RB．[1，+∞）C．（0，+∞）D．（1，+∞）
3．（4分）已知直線m和平面α，β，則下列四個命題中正確的是（ ）
A．若α⊥β，m?β，則m⊥αB．若m∥α，m∥β，則α∥β
C．若α∥β，m∥α，則m∥βD．若α∥β，m⊥α，則m⊥β
4．（4分）某校組織全體學生參加了主題為“建黨百年，薪火相傳”的知識競賽，隨機抽取了200名學生進行成績統(tǒng)計、發(fā)現(xiàn)抽取的學生的成績都在50分至100分之間，進行適當分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，在被抽取的學生中，成績在區(qū)間[80，90）的學生數(shù)是（ ）
A．30B．45C．60D．100
5．（4分）已知兩條異面直線的方向向量分別是，則這兩條直線所成的角θ滿足（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）已知平面，其中P0（1，1，1），法向量，則下列各點中不在平面α內的是（ ）
A．（2，0，1）B．（2，0，2）C．（﹣1，1，0）D．（0，2，0）
7．（4分）在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M是線段B1D1上一點，則點M到平面A1BD的距離是（ ）
A．B．C．D．
8．（4分）如圖，將半徑為1的球與棱長為1的正方體組合在一起，使正方體的一個頂點正好是球的球心，則這個組合體的體積為（ ）
A．B．C．D．π+1
9．（4分）已知函數(shù)f（x）＝2sinωx在區(qū)間[]上的最小值為﹣2，則ω的取值范圍是（ ）
A．B．
C．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）D．
10．（4分）在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別為BD1，B1C1的中點，點P在正方體的表面上運動，且滿足MP⊥CN，則下列說法正確的是（ ）
A．點P可以是棱BB1的中點
B．線段MP的最大值為
C．點P的軌跡是正方形
D．點P軌跡的長度為
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.
11．（5分）復數(shù)z＝1+2i的虛部是 ，復數(shù)在復平面內對應的點在第 象限．
12．（5分）若向量，，，且，，共面，則m＝ ．
13．（5分）圓錐的底面半徑為1，高為2，則圓錐的側面積等于 ．
14．（5分）已知在空間直角坐標系O﹣xyz（O為坐標原點）中，點A（1，1，﹣1），點B（1，﹣1，1），則z軸與平面OAB所成的線面角大小為 ．
15．（5分）如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱AA1上的一個動點，給出下列四個結論：
①三棱錐B1﹣BED1的體積為定值；
②存在點E，使得B1D⊥平面BED1；
③對每一個點E，在棱DC上總存在一點P，使得AP∥平面BED1；
④M是線段BC1上的一個動點，過點A1的截面α垂直于DM，則截面α的面積的最小值為．
其中所有正確結論的序號是 ．
三、解答題：本大題共3小題，共40分.
16．（12分）如圖，在三棱錐V﹣ABC中，平面VAC⊥平面ABC，∠VCA＝90°，M，N分別為VA，VB的中點．
（1）求證：AB∥平面CMN；
（2）求證：AB⊥VC．
17．（14分）已知函數(shù)f（x）＝asin2x+2cs2x，且滿足f（x）的圖象過點（﹣，0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式及最小正周期；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣，m]上的最大值為3，求實數(shù)m的取值范圍．
18．（14分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1＝AB＝BC＝2．
（1）求證：BC1⊥平面A1B1C；
（2）求二面角B1﹣A1C﹣C1的余弦值：
（3）點M在線段B1C上，且，點N在線段A1B上，若MN∥平面A1ACC1，求的值．
四、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
19．（5分）袋中裝有3只黃色、2只白色的乒乓球（其體積、質地完全相同），從袋中隨機摸出3個球，摸出的3個球為2個黃球1個白球的概率是 ．
20．（5分）聲音的等級f（x）（單位：dB）與聲音強度x（單位：W/m2）滿足．噴氣式飛機起飛時，聲音的等級約為140dB；一般說話時，聲音的等級約為60dB，那么噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說話時聲音強度的 倍．
21．（5分）在通用技術教室里有一個三棱錐木塊如圖所示，VA，VB，VC兩兩垂直，VA＝VB＝VC＝1（單位：dm），小明同學計劃通過側面VAC內任意一點P將木塊鋸開，使截面平行于直線VB和AC，則該截面面積（單位：dm2）的最大值是 ．
22．（5分）設函數(shù)f（x）＝．
①若a＝1，則f（x）的最小值為 ；
②若f（x）恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
五、解答題：本大題共2小題，共25分.
23．（12分）在△ABC中，．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）若△ABC的面積為，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，求a的值．
條件①：；條件②：；條件③：
注：如果選擇的條件不符合要求，第（II）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
24．（13分）給定正整數(shù)n≥2，設集合M＝{α|α＝（t1，t2，…，tn），tk∈{0，1}，k＝1，2，…，n}．對于集合M中的任意元素β＝（x1，x2，…，xn）和γ＝（y1，y2，…，yn），記β?γ＝x1y1+x2y2+…+xnyn．
設A?M，且集合A＝{αi|αi＝（ti1，ti2，…，tin），i＝1，2，…，n}，對于A中任意元素αi，αj，若則稱A具有性質T（n，p）．
（Ⅰ）判斷集合A＝{（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}是否具有性質T（3，2）？說明理由；
（Ⅱ）判斷是否存在具有性質T（4，p）的集合A，并加以證明；
（Ⅲ）若集合A具有性質T（n，p），證明：t1j+t2j+…+tnj＝p（j＝1，2，…，n）．
2023-2024學年北京市海淀區(qū)中關村中學高二（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
1．（4分）已知＝（x，1，3），＝（1，3，9），如果與為共線向量，則x＝（ ）
A．1B．C．D．
【分析】根據(jù)已知條件，結合空間向量共線的性質，即可求解．
【解答】解：＝（x，1，3），＝（1，3，9），如果與為共線向量，
則，解得x＝．
故選：C．
【點評】本題主要考查空間向量共線的性質，屬于基礎題．
2．（4分）已知集合A＝{y|y＝ex}，集合B＝{x|y＝ln（x﹣1）}，則A∪B＝（ ）
A．RB．[1，+∞）C．（0，+∞）D．（1，+∞）
【分析】化簡集合A，B，根據(jù)并集運算求解．
【解答】解：因為A＝{y|y＝ex}＝（0，+∞），B＝{x|y＝ln（x﹣1）}＝{x|x﹣1＞0}＝（1，+∞），
所以A∪B＝（0，+∞）．
故選：C．
【點評】本題主要考查并集及其運算，屬于基礎題．
3．（4分）已知直線m和平面α，β，則下列四個命題中正確的是（ ）
A．若α⊥β，m?β，則m⊥αB．若m∥α，m∥β，則α∥β
C．若α∥β，m∥α，則m∥βD．若α∥β，m⊥α，則m⊥β
【分析】利用面面垂直、面面平行、線面平行的性質對選項分別分析選擇．
【解答】解：對于A，若α⊥β，m?β，則m與α可能平行，如果是交線，則在α內，故A錯誤；
對于B，若α∥β，m∥α，則m∥β或者m?β；故B錯誤；
對于C，若m∥α，m∥β，則α與β可能相交；故C錯誤；
對于D，若α∥β，m⊥α，利用面面平行的性質以及項目存在的性質可以判斷m⊥β；故D正確；
故選：D．
【點評】本題考查了面面垂直、面面平行、線面平行的性質的運用；注意定理運用時的條件，考慮特殊位置．
4．（4分）某校組織全體學生參加了主題為“建黨百年，薪火相傳”的知識競賽，隨機抽取了200名學生進行成績統(tǒng)計、發(fā)現(xiàn)抽取的學生的成績都在50分至100分之間，進行適當分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，在被抽取的學生中，成績在區(qū)間[80，90）的學生數(shù)是（ ）
A．30B．45C．60D．100
【分析】由頻率之和為1先求出x，再由成績在[80，90）的頻率可求成績在該區(qū)間的學生數(shù)．
【解答】解：由題意得，10×（0.005+0.01+0.015+x+0.04）＝1，
解得x＝0.03，
則學生成績在區(qū)間[80，90）的頻率為10×0.03＝0.3，
因為共抽取200名學生，
所以成績在區(qū)間[80，90）的學生數(shù)為200×0.3＝60．
故選：C．
【點評】本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，屬于基礎題．
5．（4分）已知兩條異面直線的方向向量分別是，則這兩條直線所成的角θ滿足（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)空間向量求異面直線的夾角的運算即可求出異面直線夾角的余弦值．
【解答】解：因為兩條異面直線的方向向量分別是，
所以．
故選：B．
【點評】本題考查了空間向量的應用，重點考查了異面直線的夾角的運算，屬基礎題．
6．（4分）已知平面，其中P0（1，1，1），法向量，則下列各點中不在平面α內的是（ ）
A．（2，0，1）B．（2，0，2）C．（﹣1，1，0）D．（0，2，0）
【分析】根據(jù)向量垂直則向量數(shù)量積為0，逐個代入驗證即可．
【解答】解：若點在平面α內，則，
對于A：＝（1，﹣1，0）?（﹣1，1，2）＝﹣2，所以A選項的點不在平面α內；
對于B：，滿足要求，所以在平面內；
對于C：，滿足要求，所以在平面內；
對于D：，滿足要求，所以在平面內．
故選：A．
【點評】本題考查了平面法向量的定義，向量數(shù)量積的坐標運算，是基礎題．
7．（4分）在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M是線段B1D1上一點，則點M到平面A1BD的距離是（ ）
A．B．C．D．
【分析】建立空間直角坐標系，求出平面A1BD的法向量，利用空間向量法求解即可．
【解答】解：建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A1（1，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），，，
設平面A1BD的法向量，
則，取x＝1可得平面A1BD的一個法向量，
因為M是線段B1D1上一點，設，
所以，
所以點M到平面A1BD的距離．
故選：B．
【點評】本題考查空間向量在立體幾何中的運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．
8．（4分）如圖，將半徑為1的球與棱長為1的正方體組合在一起，使正方體的一個頂點正好是球的球心，則這個組合體的體積為（ ）
A．B．C．D．π+1
【分析】分析該組合體的組成可得該幾何體體積是個球的體積與一個正方體體積之和，計算可得結果．
【解答】解：該組合體的體積V＝V球+V正方體﹣V球＝+V正方體＝×+13＝+1，
故選：A．
【點評】本題考查了幾何體體積的計算，屬于基礎題．
9．（4分）已知函數(shù)f（x）＝2sinωx在區(qū)間[]上的最小值為﹣2，則ω的取值范圍是（ ）
A．B．
C．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）D．
【分析】先根據(jù)x的范圍求出ωx的范圍，根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[]上的最小值為﹣2，可得到﹣ω≤﹣，即ω≥，然后對ω分大于0和小于0兩種情況討論最值可確定答案．
【解答】解：當ω＞0時，﹣ω≤ωx≤ω，
由題意知﹣ω≤﹣，即ω≥，
當ω＜0時，ω≤ωx≤﹣ω，
由題意知ω≤﹣，即ω≤﹣2，
綜上知，ω的取值范圍是．
故選：D．
【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的單調性和最值問題．考查三角函數(shù)基礎知識的掌握程度，三角函數(shù)是高考的一個重要考點一定要強化復習．
10．（4分）在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別為BD1，B1C1的中點，點P在正方體的表面上運動，且滿足MP⊥CN，則下列說法正確的是（ ）
A．點P可以是棱BB1的中點
B．線段MP的最大值為
C．點P的軌跡是正方形
D．點P軌跡的長度為
【分析】以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，求出的坐標，從而得到MP的最大值，即可判斷選項B，通過分析判斷可得點P不可能是棱BB1的中點，從而判斷選項A，又EF＝GH＝1，EH＝FG＝，可判斷選項C和選項D．
【解答】解：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
因為該正方體的棱長為1，M，N分別為BD1，B1C1的中點，
則D（0，0，0），，
所以，
設P（x，y，z），則，
因為MP⊥CN，
所以，
當x＝1時，z＝，
當x＝0時，z＝，
取，
連結EF，F(xiàn)G，GH，HE，
則，，
所以四邊形EFGH為矩形，
則，
即EF⊥CN，EH⊥CN，又EF和EH為平面EFGH中的兩條相交直線，
所以CN⊥平面EFGH，
又，
所以M為EG的中點，則M∈平面EFGH，
所以為使MP⊥CN，必有點P∈平面EFGH，
又點P在正方體表面上運動，
所以點P的軌跡為四邊形EFGH，
因此點P不可能是棱BB1的中點，
故選項A錯誤；
又EF＝GH＝1，EH＝FG＝，
所以EF≠EH，則點P的軌跡不是正方形，且矩形EFGH的周長為，
故選項C錯誤，選項D正確；
因為，，
又MP⊥CN，則，
所以，點P在正方體表面運動，則，解得，且0≤y≤1，
所以MP＝，
故當或z＝，y＝0或1時，MP取得最大值為，
故選項B錯誤；
故選：D．
【點評】本題考查了立體幾何的綜合應用，涉及了空間中點、線、面位置關系的應用，直線與平面垂直的判定定理與性質定理的應用，對于空間中的一些長度問題，經常會選用空間向量來求解，關鍵是建立合適的空間直角坐標系，準確求出所需各點的坐標和向量的坐標．
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.
11．（5分）復數(shù)z＝1+2i的虛部是 2 ，復數(shù)在復平面內對應的點在第 四 象限．
【分析】由復數(shù)的實部與虛部的概念、共軛復數(shù)的概念、復數(shù)的幾何意義可得．
【解答】解：復數(shù)z＝1+2i的虛部是2，
，在復平面對應的點為（1，﹣2）在第四象限．
故答案為：2；四．
【點評】本題考查復數(shù)的定義，考查共軛復數(shù)的應用，屬于基礎題．
12．（5分）若向量，，，且，，共面，則m＝ 5 ．
【分析】設＝x+y，則（1，2，2）＝（3x﹣y，x+3y，﹣x+my），列方程組能求出m．
【解答】解：∵向量，，，且，，共面，
∴設＝x+y，則（1，2，2）＝（3x﹣y，x+3y，﹣x+my），
∴，解得x＝，y＝，m＝5．
故答案為：5．
【點評】本題考查實數(shù)值的求法，考查共面向量定理等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
13．（5分）圓錐的底面半徑為1，高為2，則圓錐的側面積等于 π ．
【分析】首先根據(jù)底面半徑和高利用勾股定理求得母線長，然后直接利用圓錐的側面積公式代入求出即可．
【解答】解：∵圓錐的底面半徑為1，高為2，
∴母線長為：，
∴圓錐的側面積為：πrl＝π×1×＝π，
故答案為：π．
【點評】本題考查了圓錐的計算，正確理解圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系是解決本題的關鍵．
14．（5分）已知在空間直角坐標系O﹣xyz（O為坐標原點）中，點A（1，1，﹣1），點B（1，﹣1，1），則z軸與平面OAB所成的線面角大小為 ．
【分析】先求出平面法向量，再求z軸與平面法向量夾角的余弦值，最后求線面角．
【解答】解：因為O（0，0，0），A（1，1，﹣1），B（1，﹣1，1），
所以，
設平面OAB的法向量為，
則，，所以，
即，解得，
令z＝1，得x＝0，y＝1，所以，
又z軸的一個方向向量為，
設z軸與平面OAB的夾角為，
所以，所以．
故答案為：．
【點評】本題考查直線與平面所成角，屬于中檔題．
15．（5分）如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱AA1上的一個動點，給出下列四個結論：
①三棱錐B1﹣BED1的體積為定值；
②存在點E，使得B1D⊥平面BED1；
③對每一個點E，在棱DC上總存在一點P，使得AP∥平面BED1；
④M是線段BC1上的一個動點，過點A1的截面α垂直于DM，則截面α的面積的最小值為．
其中所有正確結論的序號是 ①④ ．
【分析】對于①，由AA1∥BB1，得AA1∥平面BB1D1，從而點E到平面BB1D1的距離為h＝，再由＝＝，由此能求出三棱錐B1﹣BED1的體積為定值；對于②，當E為棱AA1的中點時，取BD1的中點為F，連接EF，推導出EF⊥B1D，由正方體性質得BD1⊥B1D不成立，從而不存在點E，使得B1D⊥平面BED1，故；對于③，當E與點A重合時，無論點P在何位置，直線AP與平面BED1相交；對于④，推導出A1C⊥DM，由余弦定理、截面面積能求出結果．
【解答】解：對于①，如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，
AA1∥BB1，AA1?平面BB1D1，BB1?平面BB1D1，∴AA1∥平面BB1D1，
∵點E是棱AA1上的一個動點，∴點E到平面BB1D1的距離為h＝，
＝＝，
∴三棱錐B1﹣BED1的體積V＝，故①正確；
對于②，當E為棱AA1的中點時，取BD1的中點為F，連接EF，如圖，
則EF∥AC，又AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，
∴EF⊥平面BDD1B1，又B1D?平面BDD1B1，∴EF⊥B1D，
由正方體性質得BDD1B1是矩形，不是正方體，
∴BD1⊥B1D不成立，又EF∩BD1＝F，
∴不存在點E，使得B1D⊥平面BED1，故②錯誤；
對于③，當E與點A重合時，無論點P在何位置，直線AP與平面BED1相交，故③錯誤；
對于④，根據(jù)題意，作圖如下，
∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C⊥平面BDC1，∴A1C⊥DM，
設D1G＝x，則，CG＝，
則△A1GC中，cs∠A1GC＝＝，
sin∠A1GC＝＝，
則該截面面積S＝2×A1G?CG?sin∠A1GC＝＝?，
∵x∈[0，1]，當x＝時，Smin＝，故④正確．
故答案為：①④．
【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．
三、解答題：本大題共3小題，共40分.
16．（12分）如圖，在三棱錐V﹣ABC中，平面VAC⊥平面ABC，∠VCA＝90°，M，N分別為VA，VB的中點．
（1）求證：AB∥平面CMN；
（2）求證：AB⊥VC．
【分析】（1）證明MN∥AB，根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；
（2）根據(jù)面面垂直的性質可得VC⊥平面ABC，從而可得VC⊥AB．
【解答】證明：（1）因為M，N分別為的棱VA，VB的中點，所以MN∥AB，
又MN?平面CMN，AB?平面CMN，所以AB∥平面CMN；
（2）由∠VCA＝90°知，VC⊥AC，
又因為平面VAC⊥平面ABC，平面VAC∩平面ABC＝AC，VC?平面VAC，
所以VC⊥平面ABC，又AB?平面ABC，所以VC⊥AB．
【點評】本題考查線面平行的判定，面面垂直的性質，屬于基礎題．
17．（14分）已知函數(shù)f（x）＝asin2x+2cs2x，且滿足f（x）的圖象過點（﹣，0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式及最小正周期；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣，m]上的最大值為3，求實數(shù)m的取值范圍．
【分析】（Ⅰ）由f（﹣）＝0列式求得a值，代入函數(shù)解析式，再由輔助角公式化積，則函數(shù)的解析式及最小正周期可求；
（Ⅱ）由x的范圍求得2x+的范圍，再由函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣，m]上的最大值為3，可得2m+，求解不等式可得實數(shù)m的取值范圍．
【解答】解：（Ⅰ）由題意，f（﹣）＝asin（）+2＝，
解得a＝．
∴f（x）＝sin2x+2cs2x＝＝．
∴f（x）的最小正周期T＝；
（Ⅱ）由x∈[﹣，m]，得2x+∈[0，2m+]，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣，m]上的最大值為3，
∴sin（）在區(qū)間[﹣，m]上的最大值為1，
則2m+，即m．
∴實數(shù)m的取值范圍是[，+∞）．
【點評】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，考查y＝Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象與性質，是中檔題．
18．（14分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1＝AB＝BC＝2．
（1）求證：BC1⊥平面A1B1C；
（2）求二面角B1﹣A1C﹣C1的余弦值：
（3）點M在線段B1C上，且，點N在線段A1B上，若MN∥平面A1ACC1，求的值．
【分析】（1）先證明BC1⊥B1C與A1B1⊥BC1，由線面垂直的判定定理求證即可．
（2）以B為原點，BC為x軸，BA為y軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標系，求出平面B1A1C的法向量與平面ACC1A1的法向量，利用向量法求二面角即可．
（3）由MN∥平面A1ACC1，利用向量法，求出的值．
【解答】解：（1）證明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，
因為平面ABC∥平面A1B1C1
所以BB1⊥平面A1B1C1，
又A1B1?平面A1B1C1，B1C1?平面A1B1C1，
所以BB1⊥A1B1，且BB1⊥B1C1，
又A1B1⊥B1C1，
因為BB1∩B1C1＝B1，
所以A1B1⊥平面BBC1B1，
因為BC1?平面BBC1B1，
所以A1B1⊥BC1，
由BB1＝AA1＝BC，則側面BB1C1C為正方形，
所以BC1⊥B1C，
因為A1B1∩B1C＝B1，A1B1?平面A1B1C，B1C?平面A1B1C，
所以BC1⊥平面A1B1C．
（2）以B為原點，BC為x軸，BA為y軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標系，如圖，
A（0，2，0）C（2，0，0）C1（2，0，2），B（0，0，0），B1（0，0，2），A1（0，2，2），
所以，，，，
設平面ACC1A1的法向量，
則，
取x1＝1，則y1＝1，z1＝0，
所以＝（1，1，0），
設平面B1A1C的法向量，
則，
取x2＝1，則y2＝0，z＝1，
所以，
設二面角B1﹣A1C﹣C1的平面角為θ，
則，
因為二面角B1﹣A1C﹣C1為銳二面角，
所以二面角B1﹣A1C﹣C1的余弦值為．
（3）點M在線段B1C上，且，點N在線段A1B上，
設M（a，b，c），N（x，y，z），
設，則，，且0≤λ≤1，
且，
即（2，0，﹣2）＝3（a，b，c﹣2），（x，y﹣2，z﹣2）＝λ（0，﹣2，﹣2），
解得，N（0，2﹣2λ，2﹣2λ），
，
因為MN∥平面ACC1A1，且，
所以，解得．
所以的值為．
【點評】本題考查直線與平面的位置關系，二面角，解題關鍵是空間向量法的應用，屬于中檔題．
四、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
19．（5分）袋中裝有3只黃色、2只白色的乒乓球（其體積、質地完全相同），從袋中隨機摸出3個球，摸出的3個球為2個黃球1個白球的概率是 ．
【分析】列出摸取的全部基本事件，找到符合要求的基本事件，根據(jù)古典概型求解．
【解答】解：把3只黃色乒乓球標記為A、B、C，2只白色乒乓球標記為1、2，
從5個球中隨機摸出3個球的基本事件為：
ABC、AB1、AB2、AC1、AC2、A12、BC1、BC2、B12、C12，共10個，
其中2個黃球1個白球的基本事件為AB1、AB2、AC1、AC2、BC1、BC2，共6個，
所以摸出的3個球為2個黃球1個白球的概率．
故答案為：．
【點評】本題考查了古典概型的計算公式，列舉法表示基本事件的方法，是基礎題．
20．（5分）聲音的等級f（x）（單位：dB）與聲音強度x（單位：W/m2）滿足．噴氣式飛機起飛時，聲音的等級約為140dB；一般說話時，聲音的等級約為60dB，那么噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說話時聲音強度的 108 倍．
【分析】根據(jù)所給聲音強度與聲音的等級的函數(shù)關系求解．
【解答】解：由，即，
得聲音強度，
設噴氣式飛機起飛時聲音強度與一般說話時聲音強度分別為x1，x2，
所以強度之比．
故答案為：108．
【點評】本題考查了指數(shù)函數(shù)模型應用問題，也考查了運算求解能力，是中檔題．
21．（5分）在通用技術教室里有一個三棱錐木塊如圖所示，VA，VB，VC兩兩垂直，VA＝VB＝VC＝1（單位：dm），小明同學計劃通過側面VAC內任意一點P將木塊鋸開，使截面平行于直線VB和AC，則該截面面積（單位：dm2）的最大值是 ．
【分析】根據(jù)題意，在平面VAC內，過點P作EF∥AC，分別交VA，VC于F，E，在平面VBC內，過E作EQ∥VB，交BC于Q，在平面VAB內，過F作FD∥VB，交BC于D，連接DQ，進而根據(jù)題意，△VEF∽△VCA，設其相似比為k，則＝＝＝k，再證明四邊形FEQD是矩形，再結合相似比和二次函數(shù)性質求解即可．
【解答】解：根據(jù)題意，在平面VAC內，過點P作EF∥AC分別交VA，VC于F，E，
在平面VBC內，過E作EQ∥VB交BC于Q，
在平面VAB內，過F作FD∥VB交BC于D，連接DQ，如圖，
∵EF∥AC，則∠VEF＝∠VCA，∠VFE＝∠VAC，∴△VEF∽△VCA，
設其相似比為k，則＝＝k，
∵VA⊥VC，∴在Rt△VAC中，AC2＝VA2+VC2，
∵VA＝VB＝VC＝1，∴AC＝，即EF＝，
∵FD∥VB，∴∠AFD＝∠AVB，∴，
∵＝＝1﹣k，
同理△CEQ∽△AVB，即＝1﹣k，
∵VB⊥VC，VB⊥VA，VA∩VC＝V，VA?平面VAC，VC?平面VAC，
∴VB⊥平面VAC，
∵FD∥VB，EQ∥VB，∴FD⊥平面VAC，EQ⊥平面VAC，
∵EF?平面VAC，∴FD⊥EF，EQ⊥FE，
∵＝＝k，＝k，
∴，
∵∠B＝∠B，∴△BDQ∽△BAC，∴DQ∥AC，
∵EF∥AC，∴EF∥DQ，
∵FD⊥EF，EQ⊥FE，∴FD⊥DQ，EQ⊥DQ，
∴四邊形FEQD矩形，即S矩形FEQD＝EF?FD＝（1﹣k）＝﹣（k﹣）2+，
∴由二次函數(shù)的性質知當k＝時，SFEQD有最大值為．
故答案為：．
【點評】本題考查線面平行、線面垂直的判定與性質、二次函數(shù)的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．
22．（5分）設函數(shù)f（x）＝．
①若a＝1，則f（x）的最小值為 ﹣1 ；
②若f（x）恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是 （﹣∞，0]∪[，1） ．
【分析】①代入a的值，求出f（x）在各個區(qū)間的最小值即可判斷；
②通過討論a的范圍，再討論x≥1和x＜1的情況，求出滿足f（x）恰有2個零點的a的范圍即可．
【解答】解：①若a＝1，x≥1時，f（x）＝lg2x﹣1，f（x）在[1，+∞）遞增，f（x）的最小值是f（1）＝﹣1，
x＜1時，f（x）＝5（x﹣1）（x﹣3）＝5（x2﹣4x+3），f（x）在（﹣∞，1）遞減，f（x）＞f（1），
故f（x）的最小值是﹣1；
②a＝0時，x≥1時，f（x）＝lg2x，f（x）遞增，f（x）有1個零點是x＝1，
x＜1時，f（x）＝5x2，f（x）有1個零點是x＝0，
故a＝0時，f（x）恰有2個零點，符合題意；
a＞0時，x≥1時，f（x）＝lg2x﹣a，f（x）遞增，f（x）≥f（1）＝﹣a＜0，f（x）在[1，+∞）1個零點，
x＜1時，f（x）＝5（x﹣a）（x﹣3a），若f（x）在（﹣∞，1）恰有1個零點，
則零點是x＝a＜1，3a＞1，解得：＜a＜1，
a＜0時，x≥1時，f（x）＝lg2x﹣a，f（x）遞增，f（x）≥f（1）＝﹣a＞0，f（x）在[1，+∞）0個零點，
x＜1時，f（x）＝5（x﹣a）（x﹣3a）恰有2個零點，則x＝a＜0，x＝3a＜0，符合題意，
當a＝時，f（x）＝，
當x＜1時，函數(shù)1個零點是，
當x＞1時，函數(shù)1個零點是，共2個零點，
故a＝符合題意，
綜上，若f（x）恰有2個零點，則a≤0或≤a＜1，
故答案為：﹣1，（﹣∞，0]∪[，1）．
【點評】本題考查了求函數(shù)最值問題，考查函數(shù)的單調性，零點問題，考查分類討論思想，轉化思想，是一道常規(guī)題．
五、解答題：本大題共2小題，共25分.
23．（12分）在△ABC中，．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）若△ABC的面積為，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，求a的值．
條件①：；條件②：；條件③：
注：如果選擇的條件不符合要求，第（II）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理：邊轉化角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出結果；
（Ⅱ）條件①，可得角C是銳角或鈍角，不滿足題設中的條件，故不選①；條件②，利用條件建立，邊b與c的方程組，求出b與c，再利用余弦定理，即可求出結果；條件③，利用正弦定理，先把角轉化成邊，再結合條件建立，邊b與c的方程組，求出b與c，利用余弦定理，即可求出結果．
【解答】解：（Ⅰ）因為bsin2A＝asin B，由正弦定理得，sinBsin2A＝sinAsin B，
又B∈（0，π），所以sinB≠0，得到sin2A＝sinA，
又sin2A＝2sinAcsA，所以2sinAcsA＝sinA，
又A∈（0，π），所以sinA≠0，得到csA＝，所以A＝；
（Ⅱ）選條件①：sinC＝；
由（1）知，A＝，根據(jù)正弦定理知，＝＝＝＞1，即c＞a，
所以角C有銳角或鈍角兩種情況，△ABC存在，但不唯一，故不選此條件．
選條件②：；
因為S△ABC＝bcsinA＝bcsin＝bc＝3，所以bc＝12，
又，得到b＝c，代入bc＝12，得到c2＝12，解得c＝4，所以b＝3，
由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccsA＝（3）2+42﹣2×3×4×＝27+16﹣36＝7，所以a＝．
選條件③：csC＝；
因為S△ABC＝bcsinA＝bcsin＝bc＝3，所以bc＝12，
由csC＝，得到sinC＝＝＝，
又sinB＝sin（π﹣A﹣C）＝sin（A+C）＝sin AcsC+csAsin C，由（1）知A＝，
所以sinB＝×+×＝，
又由正弦定理得＝＝＝，得到b＝c，代入bc＝12，得到c2＝12，解得c＝4，所以b＝3，
由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccsA＝（3）2+42﹣2×3×4×＝27+16﹣36＝7，所以a＝．
【點評】本題考查正余弦定理，屬于中檔題．
24．（13分）給定正整數(shù)n≥2，設集合M＝{α|α＝（t1，t2，…，tn），tk∈{0，1}，k＝1，2，…，n}．對于集合M中的任意元素β＝（x1，x2，…，xn）和γ＝（y1，y2，…，yn），記β?γ＝x1y1+x2y2+…+xnyn．
設A?M，且集合A＝{αi|αi＝（ti1，ti2，…，tin），i＝1，2，…，n}，對于A中任意元素αi，αj，若則稱A具有性質T（n，p）．
（Ⅰ）判斷集合A＝{（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}是否具有性質T（3，2）？說明理由；
（Ⅱ）判斷是否存在具有性質T（4，p）的集合A，并加以證明；
（Ⅲ）若集合A具有性質T（n，p），證明：t1j+t2j+…+tnj＝p（j＝1，2，…，n）．
【分析】（Ⅰ）根據(jù)性質T（3，2）的概念，驗證即可說明；
（Ⅱ）當n＝4時，集合A的元素有4個，由題可知p∈{0，1，2，3，4}，再分類討論p的取值，結合T（4，p）的概念，即可求解；
（Ⅲ）根據(jù)性質T（n，p）的概念，分類討論，證明即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵（1，1，0）?（1，1，0）＝1×1+1×1+0×0＝2，同理可得（1，0，1）?（1，0，1）＝（0，1，1）?（0，1，1）＝2，
而（1，1，0）?（1，0，1）＝1×1+1×0+0×1＝1，同理可得（1，1，0）?（0，1，1）＝（1，0，1）?（0，1，1）＝1，
∴集合A＝{（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}具有性質T（3，2）；
（Ⅱ）當n＝4時，集合A的元素有4個，由題可知p∈{0，1，2，3，4}，
假設集合A具有性質T（4，p），
則①當p＝0時，A＝{（0，0，0，0）}，矛盾；
②當p＝1時，A＝{（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1）}，不具有性質T（4，1），矛盾；
③當p＝2時，A＝{（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1），（0，1，1，0），（0，1，0，1），（0，0，1，1）}，
∵（1，1，0，0）和（0，0，1，1）至多一個在A中；（1，0，1，0）和（0，1，0，1）至多一個在A中；
（1，0，0，1）和（0，1，1，0）至多一個在A中，故集合A的元素個數(shù)小于4，矛盾；
④當p＝3時，A＝{（1，1，1，0），（1，1，0，1），（1，0，1，1），（0，1，1，1）}，不具有性質T（4，3），矛盾；
⑤p＝4時，A＝{（1，1，1，1）}，矛盾，
綜合可得：不存在具有性質T（4，p）的集合A；
（Ⅲ）證明：設cj＝t1j+t2j+…tnj（j＝1，2，…，n），則c1+c2+…+cn＝np，
若p＝0，則A＝{（0，0，…，0）}，矛盾；
當p＝1時，A＝{（1，0，0，…，0）}，矛盾，故p≥2，
假設存在j使得cj≥p+1，不妨設j＝1，即c1≥p+1，
當c1＝n時，有cj＝0或cj＝1（j＝2，3，…，n）成立，
∴α1，α2，…，αn中分量為1的個數(shù)至多有n+（n﹣1）＝2n﹣1＜2n≤np，
當p+1≤c1＜n時，不妨設t11＝t21＝…＝tp+1，1＝1，tn1＝0，
∵αn?αn＝p，∴αn的各分量有p個1，不妨設tn2＝tn3＝…＝tn，p+1＝1，
由i≠j時，αi?αj＝1可知：?q∈{2，3，…，p+1}，t1q，t2q，…tp+1，q中至多有一個1，
即α1，α2，…αp+1的前p+1個分量中，至多含有p+1+p＝2p+1個1，
又αi?αn＝1（i＝1，2，…，p+1），則α1，α2，…αp+1的前p+1個分量中，
含有（p+1）+（p+1）＝2p+2個1，矛盾，
∴cj≤p（j＝1，2，…，n），∵c1+c2+…+cn＝np，
∴cj＝p（j＝1，2，…，n），
∴t1j+t2j+…+tnj＝p（j＝1，2，…，n）．
【點評】本題考查集合的新定義，化歸轉化思想，歸納推理思想，分類討論思想，反證法的應用，數(shù)學歸納法的應用，屬難題．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布日期：2024/7/17 10:07:38；用戶：笑涵數(shù)學；郵箱：15699920825；學號：36906111

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