1. 已知直線過點，則直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
2. 圓心為且過原點的圓的方程是（ ）
A B.
C. D.
3. 焦點為(0，2)的拋物線標準方程是（ ）
A. B. C. D.
4. 長方體中，，則異面直線與所成角的大小為（ ）
A. B. C. D.
5. 已知是兩個不同的平面，直線，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
6. 已知橢圓上一點和焦點.軸，若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點，那么雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
7. 已知圓，直線，若圓上至少有3個點到直線的距離為2，則可以是（ ）
A. 3B. C. 2D.
8. 已知數(shù)列的前項和為，且，則數(shù)列的前2025項的和為（ ）
A B. C. D.
9. 記等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A. B. C. D.
10. 已知數(shù)列的通項公式，則根據(jù)下列說法選出正確答案是（ ）
①若，則數(shù)列的前項和；
②若，數(shù)列的前項和為，則是遞增數(shù)列；
③若數(shù)列是遞增數(shù)列，則.
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分.
11. 雙曲線的焦點到頂點的最小距離是______.
12. 經(jīng)過點，且與直線平行直線方程是______.
13. 拋物線上一點到焦點的距離等于3，則點的坐標為______.
14. 已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則______；的最小值為______.
15. 生活中一些常見的漂亮圖案不僅具有藝術美，其中也有數(shù)學的對稱、和諧、簡潔美曲線.下面是關于曲線的四個結論：
①曲線關于原點中心對稱；
②曲線上點的橫坐標取值范圍是
③曲線上任一點到坐標原點的最小距離為；
④若直線與曲線無交點，則實數(shù)的取值范圍是
其中所有正確結論的序號是______.
三、解答題：本題共4小題，共40分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16. 如圖，在正方體中，點分別是棱的中點．求證：
（1）平面；
（2）平面．
17. 已知在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，是正三角形，、分別為、的中點，過的平面交于點，平面平面；

（1）證明：為的中點；
（2）取中點，連接，，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：
（i）到平面的距離；
（ii）二面角的余弦值.
條件①：
條件②：平面.
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.
18. 已知斜率為的直線過點，且與橢圓相交于不同的兩點，，
（1）若，中點的縱坐標為，求直線的方程；
（2）若弦長，求值.
19. 已知橢圓的短軸的兩個端點分別為，，離心率為.
（1）求橢圓的標準方程及焦點的坐標；
（2）若直線與橢圓交于不同的兩點，，直線與直線交于點，求證：.
2024-2025學年北京市海淀區(qū)中關村中學高二（下）開學數(shù)學試卷
一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知直線過點，則直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)兩點求斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角關系計算即可.
【詳解】直線過點，則直線的斜率為，
設直線的傾斜角為，所以，
所以直線的傾斜角為.
故選：B.
2. 圓心為且過原點的圓的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)條件求出半徑即可.
【詳解】因為圓心為且過原點，所以
所以圓的方程是
故選：B
3. 焦點為(0，2)的拋物線標準方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由焦點坐標可知拋物線的開口向上，且，從而可求得拋物線的方程
【詳解】解：因為拋物線的焦點為(0，2)，
所以設拋物線方程為，且，
解得，所以拋物線的方程為，
故選：A
4. 長方體中，，則異面直線與所成角的大小為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通過平移說明即異面直線與所成角，借助于直角三角形和三角函數(shù)定義即可求得.
【詳解】
如圖所示，因，則即異面直線與所成角.
連接，在中，，
則，即異面直線與所成角為.
故選：C.
5. 已知是兩個不同的平面，直線，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】由面面垂直的判定定理及性質定理即可判斷
【詳解】根據(jù)面面垂直的判定定理，可知若，則成立，滿足充分性；
反之，若，則與的位置關系不確定，即不滿足必要性，
所以“”是“”的充分不必要條件，
故選：A.
6. 已知橢圓上一點和焦點.軸，若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點，那么雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意求出A點坐標后，再代入雙曲線漸近線方程可得，再代入可得雙曲線的離心率.
【詳解】根據(jù)橢圓方程可知，焦點坐標為，不妨設焦點F為右焦點，
因為軸，A在橢圓上，假設A點在第一象限，所以A點坐標為.
由題可知，雙曲線的漸近線方程為，
又因為雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點A，所以代入可知，
所以雙曲線的離心率為
故選：C.
7. 已知圓，直線，若圓上至少有3個點到直線的距離為2，則可以是（ ）
A. 3B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，只需使圓心到直線的距離，解得的范圍，根據(jù)選項逐一判斷即得.
【詳解】由圓方程可得圓心坐標為，
依題意需使點到直線的距離，解得.
故選：D.
8. 已知數(shù)列的前項和為，且，則數(shù)列的前2025項的和為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)，利用退位作差得到，從而，裂項相消法求和.
【詳解】∵，∴，而符合上式，，
，
∴數(shù)列的前2025項的和，
故選：C．
9. 記等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的性質和求和公式可求得的值.
【詳解】因為等差數(shù)列的前項和為，且，
則.
故選：C.
10. 已知數(shù)列的通項公式，則根據(jù)下列說法選出正確答案是（ ）
①若，則數(shù)列的前項和；
②若，數(shù)列的前項和為，則是遞增數(shù)列；
③若數(shù)列是遞增數(shù)列，則.
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】利用裂項相消法求和判斷①；根據(jù)判斷②；根據(jù)，即可得到，從而求出的取值范圍，即可判斷③.
【詳解】對于①：當時，，則，
所以，故①正確；
對于②：當時，，
則，所以單調遞增，
又，所以是遞增數(shù)列，故②正確；
對于③：若數(shù)列是單調遞增數(shù)列，則，即，
所以，所以，
因為，所以，即，故③錯誤.
故選：A
【點睛】關鍵點點睛：若數(shù)列是單調遞增數(shù)列，則，再參變分離，求出參數(shù)的取值范圍，反之，若判斷的單調性，只需作差得到即可.
二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分.
11. 雙曲線的焦點到頂點的最小距離是______.
【答案】1
【解析】
【分析】雙曲線焦點到頂點最小距離為.
【詳解】雙曲線的焦點到頂點的最小距離為，
故答案為：1
12. 經(jīng)過點，且與直線平行的直線方程是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用所求直線與直線平行，可設其方程，代入點，計算即得.
【詳解】因所求直線與直線平行，故可設為，
代入點，解得，
故所求的直線方程為：.
故答案為：.
13. 拋物線上一點到焦點的距離等于3，則點的坐標為______.
【答案】
【解析】
【分析】由拋物線的焦點坐標求出， 結合拋物線的定義求出，再代入拋物線方程求解即可.
【詳解】因為拋物線的焦點 ，
則 ，即 ，
所以拋物線方程為 ，準線方程為，
因為到焦點的距離等于3，
所以到的距離等于3，
則 ， ，則 ，
則點的坐標為
故答案為： .
14. 已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則______；的最小值為______.
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)所給條件得到、的方程組，解得即可求出通項公式，再根據(jù)求和公式及二次函數(shù)的性質計算可得.
【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，解得，
所以，所以，
所以當或時取得最小值，且的最小值為；
故答案為：；
15. 生活中一些常見的漂亮圖案不僅具有藝術美，其中也有數(shù)學的對稱、和諧、簡潔美曲線.下面是關于曲線的四個結論：
①曲線關于原點中心對稱；
②曲線上點的橫坐標取值范圍是
③曲線上任一點到坐標原點的最小距離為；
④若直線與曲線無交點，則實數(shù)的取值范圍是
其中所有正確結論的序號是______.
【答案】①③④
【解析】
【分析】利用曲線的對稱性可判斷①；由可解出的取值范圍，可判斷②；利用二次函數(shù)的基本性質可求出曲線上任一點到坐標原點的距離的取值范圍，可判斷③；作出曲線的圖象，數(shù)形結合可判斷④.
【詳解】對于①，在曲線上任取一點，則點關于原點的對稱點為，
因為，即點在曲線上，
所以，曲線關于原點對稱，①對；
對于②，由可得，解得或，
所以，曲線上點的橫坐標取值范圍是，②錯；
對于③，在曲線在曲線上任取一點，
則，可得，則，
所以，，故，
所以，曲線上任一點到坐標原點的最小距離為，③對；
對于④，在曲線上任取一點，則點關于軸的對稱點為，
因為，即點在曲線上，
所以，曲線關于軸對稱，同理可知，曲線也關于軸對稱，
當，時，曲線的方程可化為，
化簡得，此時，，作出曲線的圖象如下圖所示：
考查當直線與圓相切，且圓的圓心為，半徑為，
則，解得，
由對稱性結合圖形可知，若直線與曲線無交點，則實數(shù)的取值范圍是，④對.
故答案：①③④.
【點睛】關鍵點點睛：解本題的關鍵點在于利用曲線的對稱性，化簡曲線方程，再結合對稱性作出圖形，數(shù)形結合來求解.
三、解答題：本題共4小題，共40分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16. 如圖，在正方體中，點分別是棱的中點．求證：
（1）平面；
（2）平面．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）易證得四邊形為平行四邊形，可知，由線面平行的判定可得結論；
（2）由正方形性質和線面垂直性質可證得，，由線面垂直的判定可得平面，由可得結論.
【小問1詳解】
分別為的中點，，，
且，四邊形為平行四邊形，，
又平面，平面，平面.
【小問2詳解】
四邊形為正方形，；
平面，平面，，
又，平面，
17. 已知在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，是正三角形，、分別為、的中點，過的平面交于點，平面平面；

（1）證明：為中點；
（2）取的中點，連接，，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：
（i）到平面的距離；
（ii）二面角的余弦值.
條件①：
條件②：平面.
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.
【答案】（1）證明見解析
（2）（i）到平面的距離為；
（ii）二面角的余弦值為
【解析】
【分析】（1）由面面平行可得，由是的中點，可證結論；
（2）選條件①，由已知可得，可證平面，進而可得平面平面，由面面垂直的性質可證以平面；選條件②：可得平面平面，由面面垂直的性質可證以平面；（i）易得兩兩垂直，建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量，利用向量法可求到平面的距離；（ii）求得平面的一個法向量，利用向量的夾角公式可求二面角的余弦值.
【小問1詳解】
因為平面平面，又平面平面，平面平面，
所以，又因為是的中點，所以為的中點；
【小問2詳解】
條件①：，因為，所以，
所以，又，又，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面，
因為是正三角形，又是的中點，則平面,
而平面平面，
所以平面，
條件②：平面，又平面，所以平面平面，
因為是正三角形，又是的中點，則平面,
而平面平面，
所以平面，
（i）由（1）知為的中點，易得四邊形是平行四邊形，可得，
又，所以，
以為坐標原點，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，
所以，，
設平面的法向量為，
則，令，則，
所以平面的一個法向量為，
因為，所以四點共面，
又，
所以到平面的距離；
（ii）設平面的法向量為，
又，
則，令，則，
所以平面的法向量為，
由（i）可得平面的一個法向量為，
所以
所以二面角的余弦值為.
18. 已知斜率為的直線過點，且與橢圓相交于不同的兩點，，
（1）若，中點的縱坐標為，求直線的方程；
（2）若弦長，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程并根據(jù)縱坐標可得，求出直線的方程；
（2）利用弦長公式計算解方程求得直線的方程，可得.
【小問1詳解】
根據(jù)題意可設直線的方程為，
設的中點為，如下圖所示：

聯(lián)立，整理可得，
易知，解得或，
且，由，中點的縱坐標為，可得，
解得或（舍），
因此直線的方程為.
小問2詳解】
由（1）可得；
又弦長，可得，
整理可得，
解得，即，滿足題意，
因此直線的方程為，即，
可得
19. 已知橢圓的短軸的兩個端點分別為，，離心率為.
（1）求橢圓的標準方程及焦點的坐標；
（2）若直線與橢圓交于不同的兩點，，直線與直線交于點，求證：.
【答案】（1）橢圓的標準方程為，焦點坐標為 （2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意可得，求解可得橢圓方程；
（2）設直線與橢圓交于不同的兩點，聯(lián)立方程組，由根與系數(shù)的關系可得，求得直線的方程，求得點的坐標，計算，可得結論.
【小問1詳解】
根據(jù)題意可得，解得，
所以橢圓的標準方程為，焦點坐標為.
【小問2詳解】
設直線與橢圓交于不同的兩點，
由，消去得，
所以，
兩式相除可得，所以，
直線的方程為，令，解得，所以，
所以，
，
所以.
【點睛】關鍵點點睛：關鍵在于求得兩坐標的關系，表示，的斜率后的轉化，從而可證結論.

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