（2種模型詳解+5種題型匯總+針對(duì)訓(xùn)練）
【題型匯總】
類(lèi)型一 費(fèi)馬點(diǎn)
費(fèi)馬點(diǎn)概念：三角形內(nèi)部滿(mǎn)足到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，稱(chēng)為費(fèi)馬點(diǎn).
結(jié)論：
1）對(duì)于一個(gè)各角不超過(guò)120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120°的點(diǎn)；
2) 對(duì)于有一個(gè)角超過(guò)120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn).
（注意：通常涉及費(fèi)馬點(diǎn)的試題中三角形的最大頂角小于120°）
【解題思路】運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的方法，以?ABC任意一條邊向外旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得出最短長(zhǎng)度.
【擴(kuò)展】與等腰三角形、等邊三角形、直角三角形常見(jiàn)的費(fèi)馬點(diǎn)結(jié)論
如圖所示，以邊AB、AC分別向△ABC外側(cè)作等邊三角形，連接DC、EB，交點(diǎn)為點(diǎn)P，點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn).
【進(jìn)階】
加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型概述：前面學(xué)的PA+PB+PC最小值的費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題線段前面系數(shù)都是l，如果現(xiàn)在求mPA+nPB+xPC最小值，前面系數(shù)不是1，那么此類(lèi)題目就叫做“加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)”.
【模型拓展】
類(lèi)型一 單系數(shù)類(lèi)
當(dāng)只有一條線段帶有不為1的系數(shù)時(shí)，相對(duì)較為簡(jiǎn)單，一般有兩種處理手段，
1）一種是旋轉(zhuǎn)特殊角度：對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)90°，對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)120°
2）另一種是旋轉(zhuǎn)放縮，對(duì)應(yīng)三角形三邊之比
類(lèi)型二 多系數(shù)類(lèi)
其實(shí)當(dāng)三條線段的三個(gè)系數(shù)滿(mǎn)足勾股數(shù)的關(guān)系時(shí)，都是符合加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)的條件的。
以不同的點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)不同的三角形得到的系數(shù)是不同的，對(duì)于給定的系數(shù)，我們?cè)撊绾芜x取旋轉(zhuǎn)中心呢？我們總結(jié)了以下方法：
1.將最小系數(shù)提到括號(hào)外；
2.中間大小的系數(shù)確定放縮比例；
3.最大系數(shù)確定旋轉(zhuǎn)中心（例如最大系數(shù)在PA前面，就以A為旋轉(zhuǎn)中心），旋轉(zhuǎn)系數(shù)不為1的兩條線段所在的三角形。
例：已知：在Rt△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5, △ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接PA，PB，PC
備注：若變形后的系數(shù)不是特殊值，則可借助位似的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.
題型01 普通費(fèi)馬點(diǎn)模型
1．（2024·廣東·二模）若銳角三角形ABC內(nèi)的點(diǎn)P滿(mǎn)足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則稱(chēng)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．如圖，在△ABC中，AB=AC=7，BC=3，則△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P到A，B，C三點(diǎn)的距離之和為（ ）
A．4B．2C．2+23D．2+3
2．（21-22九年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=1，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求PA+PB+PC的最小值為 ．
3．（2021九年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA＋MD＋ME的最小值為 ．
4．（2024·陜西榆林·二模）如圖，在?ABCD中，AD=6，連接AC，AB=AC=5，以點(diǎn)C為圓心，15CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，弧分別交BC、AC、CD于點(diǎn)M、H、N，點(diǎn)P是HN上方△ACD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是HN上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、DP、PQ，則AP+DP+PQ的最小值為 ．
5．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）閱讀以下材料并完成問(wèn)題
材料一：數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想如a2+b2可看做是圖一中AB的長(zhǎng)，a+12+b2可看做是AD的長(zhǎng)．
材料二：費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)問(wèn)題．費(fèi)馬點(diǎn)即在△ABC中有一點(diǎn)P使得PA+PB+PC的值最小．著名法學(xué)家費(fèi)馬給出的證明方法如下：
將△ABP繞B點(diǎn)向外旋轉(zhuǎn)60°得到△A1B1C1，并連接PP1易得△PP1B是等邊三角形、PA=P1A1，則PB=P1P1，則PA+PB+PC=P1A1+PP1+PC，所以PA+PB+PC的值最小為A1C．
請(qǐng)結(jié)合以上兩材料求出x2+y2+x2+y2+1?2x+x2+y2+12?43y的最小值

題型02 加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型-單系數(shù)
6．（2023·湖北隨州·中考真題）1643年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱(chēng)為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問(wèn)題也被稱(chēng)為“將軍巡營(yíng)”問(wèn)題．
(1)下面是該問(wèn)題的一種常見(jiàn)的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過(guò)程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫(xiě)角度數(shù)，④處填寫(xiě)該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)）
當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，
如圖1，將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'C，連接PP'，

由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'為 ① 三角形，故PP'=PC，又P'A'=PA，故PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B，
由 ② 可知，當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，如圖2，最小值為A'B，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有∠APC=∠BPC=∠APB= ③ ；
已知當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖3，若∠BAC≥120°，則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為 ④ 點(diǎn)．
(2)如圖4，在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知點(diǎn)P為△ABC的“費(fèi)馬點(diǎn)”，求PA+PB+PC的值；

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/km，a元/km，2a元/km，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為_(kāi)__________元．（結(jié)果用含a的式子表示）
7．（23-24八年級(jí)下·重慶銅梁·期中）在?ABCD中，∠ABC=45°，連接AC，已知AB=AC=2，點(diǎn)E在線段AC上，將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90° 為線段DF．
(1)如圖1，線段AC與線段BD的交點(diǎn)和點(diǎn)E重合，連接EF，求線段EF的長(zhǎng)度；
(2)如圖2，點(diǎn)G為DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，使得GC=EC，連接FG交AD于點(diǎn)H，求證：2AH=CD；
(3)如圖3，在（2）的條件下，平面內(nèi)一點(diǎn)P，當(dāng)HP+CP+2BP最小時(shí)，求△HPB的面積．
8．（2024·廣東廣州·一模）如圖，在矩形ABCD和矩形AGFE中，AD=4，AE=2，AB=3AD,AG=3AE．矩形AGFE繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接BG，CF，AC，AF．

(1)求證：△ABG∽△ACF；
(2)當(dāng)CE的長(zhǎng)度最大時(shí)，
①求BG的長(zhǎng)度；
②在△ACF內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使得CP+AP+3PF的值最小?若存在，求CP+AP+3PF的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
題型03 加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型-多系數(shù)
9．（2023九年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，求PA+2PB+5PC的最小值．
10．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠ACB=30°，BC=4，在△ABC內(nèi)有一點(diǎn)O，連接OA，OB，OC，若2OA+OB+5OC的最小值為45，則AC的值為 ．

11．（2021九年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，求22BP+5AP+3PC最小值
12．（2024·重慶·二模）已知△ABC中AB=BC，點(diǎn)D和點(diǎn)E是平面內(nèi)兩點(diǎn)，連接BD，DE和BE，∠BED=90°．
(1)如圖1，若BD=BA，∠ABC=2∠D，BE=2，求AC的長(zhǎng)度；
(2)如圖2，連接AD和CD，點(diǎn)F為AD中點(diǎn)，點(diǎn)G為CD中點(diǎn)，連接EF和BG，若EF=BG，求證：∠BAC=∠DBE；
(3)若∠ABC=60°，AB=2，當(dāng)12AD+32BD+CD取得最小值，且AE取得最大值時(shí)，直接寫(xiě)出△BDE的面積．
【針對(duì)訓(xùn)練】
1．（2021·遼寧丹東·中考真題）已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱(chēng)為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如果△ABC是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°．（例如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）．若AB=AC=7,BC=23，P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則PA+PB+PC= ；若AB=23,BC=2,AC=4，P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則PA+PB+PC= ．
2．（2021九年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=30°,BC=6,AC=5，在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC．（加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)）求：
（1）PA+PB+PC的最小值；
（2）PA+PB+2PC的最小值
（3）PA+PB+3PC的最小值；
（4）2PA+PB+3PC的最小值
（5）12PA+PB+32PC的最小值；
（6）2PA+4PB+23PC的最小值
（7）4PA+2PB+23PC的最小值；
（8）3PA+4PB+5PC的最小值
3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）（1）問(wèn)題背景
如圖1，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'C，連接PP'，
由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'為_(kāi)__________三角形，故PP'=PC，又P'A'=PA，故PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B，由___________可知，當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，如圖2，最小值為A'B，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”．
（2）問(wèn)題解決
如圖3，在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，求PA+PB+PC的最小值；
（3）問(wèn)題應(yīng)用
如圖4，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且AC=6km，BC=43km，∠ACB=30°．現(xiàn)欲在△ABC內(nèi)部建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為1000元/km，1000元/km，10003萬(wàn)元/km，是否存在合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低，若存在請(qǐng)求出成本的最小值．
4．（2024·福建廈門(mén)·二模）根據(jù)以下思考，探索完成任務(wù)
5．（21-22八年級(jí)上·江蘇蘇州·期中）背景資料：在已知△ABC所在平面上求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問(wèn)題是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱(chēng)為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖1，當(dāng)△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，當(dāng)∠APB=∠APC=∠CPB=120°時(shí)，則PA+PB+PC取得最小值．
(1)如圖2，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP'處，此時(shí)△ACP'≌△ABP這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出∠APB=_______；
知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120°的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與△ABC的另一頂點(diǎn)，則連線通過(guò)三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn)．請(qǐng)同學(xué)們探索以下問(wèn)題．
(2)如圖3，△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°，在△ABC外側(cè)作等邊三角形△ABB'，連接CB'，求證：CB'過(guò)△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．
(3)如圖4，在RT△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，連接AP、BP、CP，求PA+PB+PC的值．
(4)如圖5，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接AE、BE、CE，且邊長(zhǎng)AB=2；求AE+BE+CE的最小值．
6．（2023·貴州遵義·三模）（1）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖①，在△OAB中，若將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△OA'B'，連接BB'；求∠OBB'= ；
（2）【問(wèn)題探究】如圖②，已知△ABC是邊長(zhǎng)為43的等邊三角形，以BC為邊向外作等邊三角形BCD，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q．
①求證：△DCQ≌△BCP；
②求PA+PB+PC的最小值；
（3）【實(shí)際應(yīng)用】如圖③，在矩形ABCD中，AB=600，AD=800，P是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)S△PAD=2S△PBC，Q為△ADP內(nèi)任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在求其值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
類(lèi)型二 瓜豆模型
型定義：瓜豆模型也叫“主從聯(lián)動(dòng)模型”，即：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)隨另一動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng),分別叫做“主動(dòng)點(diǎn)”與“從動(dòng)點(diǎn)”，它們的運(yùn)動(dòng)軌跡相似。出自成語(yǔ)“種瓜得瓜,種豆得豆”，在幾何上叫“種線得線,種國(guó)得圓”.
【條件】瓜豆原理運(yùn)用滿(mǎn)足的三個(gè)條件(“一定兩動(dòng)、定角、定比”)；
①有一個(gè)定點(diǎn)、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(從動(dòng)點(diǎn))因另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(主動(dòng)點(diǎn))的運(yùn)動(dòng)而隨之運(yùn)動(dòng)；
②兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)所連線組成的夾角是定角;
③兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的比值是定值.
1) 本模型一般出現(xiàn)在選擇題或填空題的壓軸題中，可以直接利用結(jié)論秒殺.
2) 在線段最值問(wèn)題中，有時(shí)可先利用“瓜豆”模型確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)點(diǎn)線最值，點(diǎn)圓最值來(lái)求線段最值.
3) 部分求動(dòng)點(diǎn)軌跡長(zhǎng)的問(wèn)題中，只要確定屬于“瓜豆”模型，就可以利用路徑之比等于相似比，根據(jù)主動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)直接求得.
【模型一】點(diǎn)在直線上
條件;如圖，點(diǎn)O是定點(diǎn)，點(diǎn)A、B是動(dòng)點(diǎn)，∠AOB=α（α≠0）且OBOA=k，如果A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線
圖示：
結(jié)論：B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡也是直線，OBOA=OB’OA’=k，直線BB′與直線AA′的夾角為α
【模型二】點(diǎn)在圓上
條件;如圖，點(diǎn)O是定點(diǎn)，點(diǎn)A、B是動(dòng)點(diǎn)，∠AOB=α且OBOA=k，A點(diǎn)在⊙O1上運(yùn)動(dòng)
圖示：
結(jié)論：
1)當(dāng)α=0，①B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，②A,B,O始終是一條直線，③主動(dòng)圓與從動(dòng)圓的半徑之比為OBOA=k（定值）.
2)當(dāng)α≠0，①B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，②主動(dòng)圓與從動(dòng)圓的半徑之比為OBOA=k，
③主從動(dòng)圓的圓心與定點(diǎn)連線構(gòu)成的夾角為α（定值）.
【總結(jié)】
1）在線段最值問(wèn)題中，有時(shí)可先利用“瓜豆”模型確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)點(diǎn)線最值，點(diǎn)圓最值來(lái)求線段最值；
2）部分求動(dòng)點(diǎn)軌跡長(zhǎng)的問(wèn)題中，只要確定屬于"瓜豆“模型，就可以利用路經(jīng)之比等于相似比，根據(jù)主動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)直接求得
題型01 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線
1．（2021·山東泰安·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=53，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)（含B、C兩點(diǎn)），連接AP，以點(diǎn)A為中心，將線段AP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AQ，連接DQ，則線段DQ的最小值為（ ）
A．52B．52C．533D．3
2．（2022·安徽合肥·三模）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)D，E分別在BC，AB邊上，連接DE，將△BDE沿DE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F的位置，連接AF，若四邊形BEFD是菱形，則AF的長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．5B．3C．52D．32
3．（2023·廣東廣州·二模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為42，E為BC上一點(diǎn)，且BE=2，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為 ．

4．（2024·河北邢臺(tái)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)E為中線BD上的動(dòng)點(diǎn)．連接CE，將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CF．連接AF，則∠CAF= ，連接DF，則△CDF周長(zhǎng)的最小值是 ．
5．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）等邊△ABC邊長(zhǎng)為6，D是BC中點(diǎn)，E在AD上運(yùn)動(dòng)，連接BE，在BE下方作等邊△BEF，則△BDF周長(zhǎng)的最小值為 ．

6．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、M、E、F依次在直線l上，點(diǎn)A、B固定不動(dòng)，且AB=2，分別以AB、EF為邊在直線l同側(cè)作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN=90°，直角邊MP恒過(guò)點(diǎn)C，直角邊MN恒過(guò)點(diǎn)H．
(1)如圖1，若BE=10，EF=12，求點(diǎn)M與點(diǎn)B之間的距離；
(2)如圖1，若BE=10，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B、E之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，求HE的最大值；
(3)如圖2，若BF=22，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B、F之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M隨之運(yùn)動(dòng)，連接CH，點(diǎn)O是CH的中點(diǎn)，連接HB、MO，則2OM+HB的最小值為_(kāi)______．
題型02 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓
1．（2024·安徽淮北·三模）如圖，線段AB=4，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離是1，連接PB，線段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PC，連接AC，則線段AC長(zhǎng)度的最大值是（ ）
A．3B．4C．22D．32
2．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=12，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，P是以A為圓心，以AD為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC，則 PBPC的最大值為（ ）
A．103B．31010C．13?14D．13+14
3．（2023·山東泰安·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOB的一條直角邊OB在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?6，4)；Rt△COD中，∠COD=90°，OD=43，∠D=30°，連接BC，點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，連接AM．將Rt△COD以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段AM的最小值是（ ）

A．3B．62?4C．213?2D．2
4．（21-22九年級(jí)上·江蘇南京·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，點(diǎn)P在以AB為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，連接CP，點(diǎn)M是CP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為 ．
5．（2022·山東日照·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，把線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，連接OF，則線段OF長(zhǎng)的最小值是 ．

6．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，M是正方形ABCD邊CD的中點(diǎn)，P是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接BP，線段BP以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BQ，連接MQ．若AB=4，MP=1，則MQ的最小值為 ．

7．（2020·江蘇連云港·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的⊙O與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，直線y=34x?3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E，則△CDE面積的最小值為 ．
8．（2024·四川瀘州·二模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，以C為圓心，2為半徑作⊙C，點(diǎn)P為⊙C上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，并將BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BP'，連接CP'，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，CP'長(zhǎng)度的最大值是 ．

9．（21-22九年級(jí)上·浙江紹興·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，BD＝2，以點(diǎn)B為圓心，BD長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)E為⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)EC，作FC⊥CE，垂足為C，點(diǎn)F在直線BC的上方，且滿(mǎn)足CF=12CE，連結(jié)BF．當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，BF的值為 ．點(diǎn)E在⊙B上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，BF存在最大值為 ．
10．（2024·吉林長(zhǎng)春·二模）【問(wèn)題呈現(xiàn)】數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖①，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A是⊙O外的一個(gè)定點(diǎn)，OA=4．點(diǎn)P在⊙O上，作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q，連接PA、AQ．當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，試探究點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑．
【問(wèn)題解決】經(jīng)過(guò)討論，小組同學(xué)想利用全等三角形的知識(shí)解決該問(wèn)題；如圖②，延長(zhǎng)OA至點(diǎn)M，使AM=OA，連接OP、MQ，通過(guò)證明△OAP≌△MAQ，可推出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)M為圓心、2為半徑的圓．下面是部分證明過(guò)程：
證明：延長(zhǎng)OA至點(diǎn)M，使AM=OA，連接OP、MQ．
1°當(dāng)點(diǎn)P在直線OA外時(shí)，
2°當(dāng)點(diǎn)P在直線OA上時(shí)，
易知OP=MQ=2．
綜上，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)M為圓心、2為半徑的圓．
請(qǐng)你補(bǔ)全證明中缺失的過(guò)程．
【結(jié)論應(yīng)用】如圖③，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，連接EF，點(diǎn)O是EF中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段OF上的任意一點(diǎn)，AB=4，BC=8．點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，AP=2，連接AP．作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q，連接PM、MQ．
（1）當(dāng)點(diǎn)M是線段OF中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為_(kāi)_______________．
（2）當(dāng)點(diǎn)M在線段OF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接EQ．設(shè)線段EQ長(zhǎng)度的最大值為a，最小值為b，則a+b=________________．
【針對(duì)訓(xùn)練】
1．（2022·山東泰安·二模）如圖，矩形ABCD的邊AB=112,BC=3，E為AB上一點(diǎn)，且AE=1，F(xiàn)為AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，若以EF為邊向右側(cè)作等腰直角三角形EFG,EF=EG，連接CG，則CG的最小值為（ ）
A．5B．52C．3D．22
2．（2024·河南周口·一模）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=16，AD=12，∠A=60°，E是邊AD上一點(diǎn)，且AE=8，F(xiàn)是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到EG，連接BG、CG，則BG+CG的最小值是（ ）.
A．4B．415C．421D．37
3．如圖，等腰Rt△ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)為2，O為AB的中點(diǎn)，P為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，OQ⊥OP交BC于點(diǎn)Q，M為PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為
4（2023·四川成都·一模）如圖，四邊形ABCD為矩形，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊DC上，連接AE，過(guò)D做DF⊥AE，垂足為F，連接OF，若∠DAE=30°，DE=10，則OF的最小值為 ．
5．（21-22九年級(jí)下·福建福州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y=12x+2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將Q繞點(diǎn)P-1,0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)Q'，連接OQ'，則OQ'最小值為 ．
6．（23-24九年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期末）【問(wèn)題初探】
數(shù)學(xué)課上張老師在講完正方形的性質(zhì)之后提出了一個(gè)問(wèn)題：
四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，點(diǎn)E是邊AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接CE，以CE為一邊作正方形CEFG（點(diǎn)C，E，F(xiàn)，G按順時(shí)針?lè)较蚺帕校?，連接BF，DG．
(1)如圖1，求點(diǎn)G到CD的距離，請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程；
【類(lèi)比分析】愛(ài)動(dòng)腦的數(shù)學(xué)興趣小組在研討的過(guò)程中，也提出了一個(gè)問(wèn)題：
(2)如圖2，當(dāng)BF經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，求DG的長(zhǎng)，請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程；
【學(xué)以致用】看到同學(xué)們興致勃勃的樣子，張老師說(shuō)：“角相等可以是三角形全等的條件，也能推導(dǎo)出相似”，于是給同學(xué)們留了一道思考題：
(3)求代數(shù)式2DG+BF的最小值．經(jīng)過(guò)小組研討，組長(zhǎng)小明進(jìn)行了整理，給出了部分解題思路；
解題思路：如圖3，作等腰直角△ACF1，使∠CAF1=90°，連接AC，CF，AF，則點(diǎn)C，D，F(xiàn)1三點(diǎn)共線，
由∠ACF=∠DCG，ACDC=CFCG=2，可得△ACP∽△DCG，
由∠F1CF=∠ACE，CF1AC=CFCE=2，可得△CF1F∽△CAE，……
請(qǐng)完成“……”部分的解答過(guò)程．
7．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）如圖，分別經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)A8,0的動(dòng)直線a，b，其夾角∠OBA=30°，點(diǎn)M是OB中點(diǎn)，連接AM，則AM的最小值是（ ）
A．4B．23+2C．43?4D．43+4
8（2022·遼寧撫順·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB＝4，O為AB的中點(diǎn)，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，以PB為直角邊的等腰直角三角形PBC（點(diǎn)P、B、C按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?，則線段AC的長(zhǎng)度的最大值為 ．
9．（2024·河南鄭州·三模）如圖，點(diǎn)M是等邊三角形ABC邊BC的中點(diǎn)，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，連接AP，將線段AP以A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接MQ．若AB=4，MP=1，則MQ的最小值為 ．
10．（23-24九年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為4的⊙O與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，直線y=34x?6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E，則△CDE面積的最大值為 ．
11．（2023·江蘇宿遷·二模）如圖，四邊形ABCD為正方形，P是以邊AD為直徑的⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP，以BP為邊作等邊三角形BPQ，連接OQ，若AB=2，則線段OQ的最大值為 ．
12．（2017·江蘇無(wú)錫·二模）如圖，線段AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，AB=4，BC=2，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP，以CP為斜邊在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP=60°，連接OD，則OD長(zhǎng)的最大值為 ．
13．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，以點(diǎn)A為圓心，2為半徑作圓，E是⊙A上的任意一點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°并縮短到原來(lái)的一半，得到線段DF，連接AF，則AF的最小值是 ．

14．（24-25九年級(jí)上·吉林·階段練習(xí)）【提出問(wèn)題】
如圖1，已知圓O的半徑為2，點(diǎn)Q是圓O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是圓O外一點(diǎn)，連接PQ，取PQ中點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)Q在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡．
【解決問(wèn)題】
（1）小帥同學(xué)進(jìn)行了探究，他連接線段OP，取其中點(diǎn)N，他猜想點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)該是以N為圓心，1為半徑的圓．請(qǐng)你幫小帥同學(xué)完成證明過(guò)程．
【簡(jiǎn)單應(yīng)用】（2）如圖2，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，取BC中點(diǎn)記為O，以O(shè)為圓心，BC長(zhǎng)為直徑作圓O，點(diǎn)E為圓O上一點(diǎn)，連接AE取其中點(diǎn)F，求線段DF的最小值．
【靈活運(yùn)用】
（3）如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)F在以A為圓心22長(zhǎng)為半徑的圓上，連接CF，取其中點(diǎn)M，連接AM并延長(zhǎng)交線段BC于點(diǎn)N，則∠ANB最大為 °．
15．（23-24九年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）（1）問(wèn)題提出：如圖①，在矩形ABCD中，AB=1，BC=3，P是AD上一動(dòng)點(diǎn)，則BP+12PD的最小值為_(kāi)________
（2）問(wèn)題探究：如圖②，在正方形ABCD中，AB=3，點(diǎn)E是平面上一點(diǎn)，且CE=1，連接BE，在BE上方作正方形BEMN，求BM的最大值．
（3）問(wèn)題解決：為迎接2021年9月在西安舉辦的第14屆全運(yùn)會(huì)，打造體育歷史文化名城，某小區(qū)對(duì)一正方形區(qū)域ABCD進(jìn)行設(shè)計(jì)改造，方使大家鍛煉運(yùn)動(dòng)．如圖③，在正方形內(nèi)設(shè)計(jì)等腰直角△CEF為健身運(yùn)動(dòng)區(qū)域，直角頂點(diǎn)E設(shè)計(jì)在草坪區(qū)域扇形MBN的弧MN上．設(shè)計(jì)鋪設(shè)CF和DF這兩條不同造價(jià)鵝卵石路，已知AB=40米，BM=102米，∠CEF=90°，CE=EF，若鋪設(shè)CF路段造價(jià)為每米200元，鋪設(shè)DF路段的造價(jià)為每米100元，請(qǐng)求出鋪設(shè)CF和DF兩條路段的總費(fèi)用的最小值．

重難點(diǎn)17 幾何壓軸突破四 幾何最值問(wèn)題
費(fèi)馬點(diǎn)與瓜豆模型
（2種模型詳解+5種題型匯總+針對(duì)訓(xùn)練）
【題型匯總】
類(lèi)型一 費(fèi)馬點(diǎn)
費(fèi)馬點(diǎn)概念：三角形內(nèi)部滿(mǎn)足到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，稱(chēng)為費(fèi)馬點(diǎn).
結(jié)論：
1）對(duì)于一個(gè)各角不超過(guò)120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120°的點(diǎn)；
2) 對(duì)于有一個(gè)角超過(guò)120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn).
（注意：通常涉及費(fèi)馬點(diǎn)的試題中三角形的最大頂角小于120°）
【解題思路】運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的方法，以?ABC任意一條邊向外旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得出最短長(zhǎng)度.
【擴(kuò)展】與等腰三角形、等邊三角形、直角三角形常見(jiàn)的費(fèi)馬點(diǎn)結(jié)論
如圖所示，以邊AB、AC分別向△ABC外側(cè)作等邊三角形，連接DC、EB，交點(diǎn)為點(diǎn)P，點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn).
【進(jìn)階】
加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型概述：前面學(xué)的PA+PB+PC最小值的費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題線段前面系數(shù)都是l，如果現(xiàn)在求mPA+nPB+xPC最小值，前面系數(shù)不是1，那么此類(lèi)題目就叫做“加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)”.
【模型拓展】
類(lèi)型一 單系數(shù)類(lèi)
當(dāng)只有一條線段帶有不為1的系數(shù)時(shí)，相對(duì)較為簡(jiǎn)單，一般有兩種處理手段，
1）一種是旋轉(zhuǎn)特殊角度：對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)90°，對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)120°
2）另一種是旋轉(zhuǎn)放縮，對(duì)應(yīng)三角形三邊之比
類(lèi)型二 多系數(shù)類(lèi)
其實(shí)當(dāng)三條線段的三個(gè)系數(shù)滿(mǎn)足勾股數(shù)的關(guān)系時(shí)，都是符合加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)的條件的。
以不同的點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)不同的三角形得到的系數(shù)是不同的，對(duì)于給定的系數(shù)，我們?cè)撊绾芜x取旋轉(zhuǎn)中心呢？我們總結(jié)了以下方法：
1.將最小系數(shù)提到括號(hào)外；
2.中間大小的系數(shù)確定放縮比例；
3.最大系數(shù)確定旋轉(zhuǎn)中心（例如最大系數(shù)在PA前面，就以A為旋轉(zhuǎn)中心），旋轉(zhuǎn)系數(shù)不為1的兩條線段所在的三角形。
例：已知：在Rt△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5, △ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接PA，PB，PC
備注：若變形后的系數(shù)不是特殊值，則可借助位似的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.
題型01 普通費(fèi)馬點(diǎn)模型
1．（2024·廣東·二模）若銳角三角形ABC內(nèi)的點(diǎn)P滿(mǎn)足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則稱(chēng)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．如圖，在△ABC中，AB=AC=7，BC=3，則△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P到A，B，C三點(diǎn)的距離之和為（ ）
A．4B．2C．2+23D．2+3
【答案】A
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理和解直角三角形，過(guò)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，過(guò)B、C分別作∠DBP=∠DCP=30°，則PB=PC，證明∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，所以點(diǎn)P是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，再通過(guò)解直角三角形即可求解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【詳解】過(guò)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，過(guò)B、C分別作∠DBP=∠DCP=30°，
∵△ABC是等腰三角形，
∴PB=PC，
∴∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，
∴點(diǎn)P是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，
∵∠ADC=∠ADB=90°，BD=CD=12BC=32，
∴∠DPC=60°，
∴PC=CDsin60°=3232=1，PD=CDtan60°=323=12，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD=AC2?CD2=72?322=52，
∴PA=AD?PD=52?12=2，
∴PA+PB+PC=2+1+1=4，
即△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P到A，B，C三點(diǎn)的距離之和為4，
故選：A．
2．（21-22九年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=1，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求PA+PB+PC的最小值為 ．
【答案】6+22
【分析】將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△DFC，可得PC=PF，DF=AP，將PA+PB+PC轉(zhuǎn)化為FD+BP+PF，此時(shí)當(dāng)B、P、F、D四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小，最小值為BD的長(zhǎng)；根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】解：將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△DFC，連接PF、AD、DB，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E；
∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=60°，PC=FC，AC=CD，
∴△PCF、△ACD是等邊三角形，
∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC=60°
∴PA+PB+PC=FD+BP+PF，
∴當(dāng)B、P、F、D四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小，最小值為BD的長(zhǎng)；
∵∠CAB=90°，∠CAD=60°，
∴∠EAD=30°，
∴DE=12AD=12，
∴AE=AD2?ED2=32，
∴BE=1+32，
∴BD=BE2+DE2=6+22，
∴PA+PB+PC的值最小值為6+22．
故答案為：6+22．
【點(diǎn)睛】本題考查費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△DFC，將三條線段的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化到一條直線上．
3．（2021九年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA＋MD＋ME的最小值為 ．
【答案】4+33
【分析】將△AMD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AM′D′，則MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均為等邊三角形，推出AM＝MM′可得MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，共線時(shí)最短；由于點(diǎn)E也為動(dòng)點(diǎn)，可得當(dāng)D′E⊥BC時(shí)最短，此時(shí)易求得D′E＝DG＋GE的值；
【詳解】
解：將△AMD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AM′D′，
由性質(zhì)的性質(zhì)可知：MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均為等邊三角形，
∴AM＝MM′，
∴MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，
∴D′M、MM′、ME共線時(shí)最短，
由于點(diǎn)E也為動(dòng)點(diǎn)，
∴當(dāng)D′E⊥BC時(shí)最短，此時(shí)易求得D′E＝D′G＋GE＝4+33
∴MA＋MD＋ME的最小值為4+33，
故答案為：4+33
【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)變換、矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線，構(gòu)造等邊三角形解決問(wèn)題，用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．
4．（2024·陜西榆林·二模）如圖，在?ABCD中，AD=6，連接AC，AB=AC=5，以點(diǎn)C為圓心，15CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，弧分別交BC、AC、CD于點(diǎn)M、H、N，點(diǎn)P是HN上方△ACD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是HN上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、DP、PQ，則AP+DP+PQ的最小值為 ．
【答案】33+3/3+33
【分析】如圖，把△APD繞D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'D，連接PP'，AA'，證明△DPP'為等邊三角形，△AA'D為等邊三角形，可得PD=PP'，A'A=A'D，當(dāng)C，Q，P，P'，A'共線時(shí)，AP+DP+PQ=PQ+PP'+A'P'=CA'?CQ，此時(shí)最小，再進(jìn)一步求解即可．
【詳解】解：如圖，把△APD繞D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'D，連接PP'，AA'，
∴AP=A'P'，DP=DP'，AD=A'D，
∴△DPP'為等邊三角形，△AA'D為等邊三角形，
∴PD=PP'，A'A=A'D，
當(dāng)C，Q，P，P'，A'共線時(shí)，
AP+DP+PQ=PQ+PP'+A'P'=CA'?CQ，此時(shí)最小，
∵?ABCD， AB=AC=5
∴AB=CD=AC=5，而A'A=A'D，AD=6，
∴A'C⊥AD，AK=DK=3，A'A=A'D=6，
∴A'K=62?32=33，CK=52?32=4，
∵CQ=CN=15CD=1，
∴A'Q=33+4?1=33+3，
∴AP+DP+PQ的最小值為33+3；
故答案為：33+3
【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，化為最簡(jiǎn)二次根式，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
5．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）閱讀以下材料并完成問(wèn)題
材料一：數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想如a2+b2可看做是圖一中AB的長(zhǎng)，a+12+b2可看做是AD的長(zhǎng)．
材料二：費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)問(wèn)題．費(fèi)馬點(diǎn)即在△ABC中有一點(diǎn)P使得PA+PB+PC的值最小．著名法學(xué)家費(fèi)馬給出的證明方法如下：
將△ABP繞B點(diǎn)向外旋轉(zhuǎn)60°得到△A1B1C1，并連接PP1易得△PP1B是等邊三角形、PA=P1A1，則PB=P1P1，則PA+PB+PC=P1A1+PP1+PC，所以PA+PB+PC的值最小為A1C．
請(qǐng)結(jié)合以上兩材料求出x2+y2+x2+y2+1?2x+x2+y2+12?43y的最小值

【答案】19
【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，將原式轉(zhuǎn)化為x2+y2+1?x2+y2+x2+23?y2，構(gòu)造直角三角形ABC，∠ACB=90°，AC=23,BC=1，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)構(gòu)造直角坐標(biāo)系，設(shè)P為x,y，進(jìn)而得到PC=x2+y2，PA=x2+23?y2，PB=1?x2+y2，將△APC繞點(diǎn)C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A1PC1，并做A1D⊥BC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的性質(zhì)，求出A1B的長(zhǎng)，根據(jù)PA+PB+PC=AP1+P1P+BP≥A1B，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：原式=x2+y2+1?x2+y2+x2+23?y2
可看做下圖中的PA+PB+PC，其中P為x,y
則PC=x2+y2，PA=x2+23?y2，PB=1?x2+y2
將△APC繞點(diǎn)C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A1PC1，并做A1D⊥BC
∵∠PCP1=∠ACA1=60°，∠ACD=90°，A1C=AC=23，PC=PC1，AP1=AP，
∴∠A1CD=30°，△CPP1為等邊三角形，
∴A1D=12A1C=3，DC=3A1D=3，PP1=CP，
又∵BC=1
∴DC=4
∴A1B=32+42=19，
∵PA+PB+PC=AP1+P1P+BP≥A1B，
∴PA+PB+PC=AP1+P1P+BP≥A1B=19，
∴PA+PB+PC的最小值為19；
∴x2+y2+x2+y2+1?2x+x2+y2+12?43y的最小值為19．

題型02 加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型-單系數(shù)
6．（2023·湖北隨州·中考真題）1643年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱(chēng)為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問(wèn)題也被稱(chēng)為“將軍巡營(yíng)”問(wèn)題．
(1)下面是該問(wèn)題的一種常見(jiàn)的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過(guò)程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫(xiě)角度數(shù)，④處填寫(xiě)該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)）
當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，
如圖1，將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'C，連接PP'，

由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'為 ① 三角形，故PP'=PC，又P'A'=PA，故PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B，
由 ② 可知，當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，如圖2，最小值為A'B，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有∠APC=∠BPC=∠APB= ③ ；
已知當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖3，若∠BAC≥120°，則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為 ④ 點(diǎn)．
(2)如圖4，在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知點(diǎn)P為△ABC的“費(fèi)馬點(diǎn)”，求PA+PB+PC的值；

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/km，a元/km，2a元/km，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為_(kāi)__________元．（結(jié)果用含a的式子表示）
【答案】(1)①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③120°；④A．
(2)5
(3)213a
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行推理分析即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）的方法將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'C，即可得出可知當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，最小值為A'B，在根據(jù)∠ACB=30°可證明∠ACA'=∠A'CP'+∠BCP+∠PCP'=90°，由勾股定理求A'B即可，
（3）由總的鋪設(shè)成本=a(PA+PB+2PC)，通過(guò)將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'P'C，得到等腰直角△PP'C，得到2PC=PP'，即可得出當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，P'A'+PB+PP'取最小值，即PA+PB+2PC取最小值為A'B，然后根據(jù)已知和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出A'B即可．
【詳解】（1）解：∵PC=P'C，∠PCP'=60°，
∴△PCP'為等邊三角形；
∴PP'=PC，∠P'PC=∠PP'C=60°，
又P'A'=PA，故PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B，
由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，
最小值為A'B，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，
∴∠BPC+∠P'PC=180°，∠A'P'C+∠PP'C=180°，
∴∠BPC=120°，∠A'P'C=120°，
又∵△APC?△A'P'C，
∴∠APC=∠AP'C=120°，
∴∠APB=360°?∠APC?∠BPC=120°，
∴∠APC=∠BPC=∠APB=120°；
∵∠BAC≥120°，
∴BC>AC，BC>AB，
∴BC+AB>AC+AB，BC+AC>AB+AC，
∴三個(gè)頂點(diǎn)中，頂點(diǎn)A到另外兩個(gè)頂點(diǎn)的距離和最?。?br>又∵已知當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．
∴該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為點(diǎn)A，
故答案為：①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③120°；④A．
（2）將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'C，連接PP'，
由（1）可知當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，最小值為A'B，

∵∠ACP=∠A'CP'，
∴∠ACP+∠BCP=∠A'CP'+∠BCP=∠ACB=30°，
又∵∠PCP'=60°
∴∠BCA'=∠A'CP'+∠BCP+∠PCP'=90°，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AC=A'C=3，
∴A'B=BC2+A'C2=42+32=5，
∴PA+PB+PC最小值為5，
（3）∵總的鋪設(shè)成本=PA·a+PB·a+PC·2a=a(PA+PB+2PC)
∴當(dāng)PA+PB+2PC最小時(shí)，總的鋪設(shè)成本最低，
將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'P'C，連接PP'，A'B
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：P'C=PC，∠PCP'=∠ACA'=90°，P'A'=PA，A'C=AC=4km，
∴PP'=2PC，
∴PA+PB+2PC=P'A'+PB+PP'，
當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，P'A'+PB+PP'取最小值，即PA+PB+2PC取最小值為A'B，

過(guò)點(diǎn)A'作A'H⊥BC，垂足為H，
∵∠ACB=60°，∠ACA'=90°，
∴∠A'CH=30°，
∴A'H=12A'C=2km，
∴HC=AC2?AH2=42?22=23(km)，
∴BH=BC+CH=23+23=43(km)，
∴A'B=AH2+BH2=(43)2+22=213(km)
PA+PB+2PC的最小值為213km
總的鋪設(shè)成本=PA·a+PB·a+PC·2a=a(PA+PB+2PC)=213a（元）
故答案為：213a
【點(diǎn)睛】本題考查了費(fèi)馬點(diǎn)求最值問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意，利用旋轉(zhuǎn)作出正確的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
7．（23-24八年級(jí)下·重慶銅梁·期中）在?ABCD中，∠ABC=45°，連接AC，已知AB=AC=2，點(diǎn)E在線段AC上，將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90° 為線段DF．
(1)如圖1，線段AC與線段BD的交點(diǎn)和點(diǎn)E重合，連接EF，求線段EF的長(zhǎng)度；
(2)如圖2，點(diǎn)G為DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，使得GC=EC，連接FG交AD于點(diǎn)H，求證：2AH=CD；
(3)如圖3，在（2）的條件下，平面內(nèi)一點(diǎn)P，當(dāng)HP+CP+2BP最小時(shí)，求△HPB的面積．
【答案】(1)EF=5
(2)見(jiàn)解析
(3)S△HPB=613
【分析】（1）作DG⊥BC，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，得到BC=2，DG=CG=1，在Rt△BGD中，應(yīng)用勾股定理，求出BD的長(zhǎng)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到ED的長(zhǎng)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，即可求解，
（2）連接AG，AF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)與判定得到△GCA≌△ECDSAS，GA=ED，∠GAC=∠EDC，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到GA=FD，GA∥FD，根據(jù)平行四邊形的判定得到，?AGDF，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AH的長(zhǎng)度，即可求解，
（3）將△BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP'C'，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得到HP+CP+2BP=HP+C'P'+P'P≤C'H，當(dāng)P'P在線段C'H上時(shí)取得最小值，作BJ⊥P'P， 根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，得到IB=IA=22AB=1，在Rt△IC'H中，應(yīng)用勾股定理得到，IC'=3，IH=2，C'H=13，由S△BC'H=12C'H?BJ=12BC'?IH，得到BJ=41313，
在Rt△IBH中，得到BH=5，在Rt△BJH中，得到JH=71313，PH=31313，根據(jù)S△HPB=12PH?BJ，即可求解，
本題考查了，平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是：通過(guò)旋轉(zhuǎn)△BPC得到HP+CP+2BP=HP+C'P'+P'P≤C'H．
【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
∵∠BAC=45°，AB=AC=2，
∴∠ACB=∠ABC=45°，∠BAC=90°，
∴BC=2AB=2×2=2，
∵?ABCD，
∴∠DCG=∠ABC=45°，CD=AB=2，ED=12BD，
∵DG⊥BC，
∴DG=CG=22CD=22×2=1，
在Rt△BGD中，BG=BC+CD=2+1=3，BD=BG2+DG2=32+12=10，
∴ED=12BD=12×10=102，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：ED=FD，ED⊥FD，
∴△EDF是等腰直角三角形，
∴EF=2ED=2×102=5，
故答案為：EF=5，
（2）解：連接AG，AF，
∵∠BAC=90°，AB∥CD，
∴AC⊥GD，∠GCA=∠ECD=90°，
又∵GC=EC，AC=DC，
∴△GCA≌△ECDSAS，
∴GA=ED，∠GAC=∠EDC，
∵ED=FD，ED⊥FD，
∴GA=FD，∠AGC+∠GDF=90°?∠GAC+∠EDC+90°=180°，
∴GA∥FD，
∴四邊形AGDF是平行四邊形，
∴AH=12AD=12×2=1，
∴2AH=2×1=CD，
∴2AH=CD，
（3）解：將△BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP'C'，連接C'H，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，C'P'=CP，BP'=BP，∠PBP'=90°，
∴P'P=2BP，
∴HP+CP+2BP=HP+C'P'+P'P≤C'H，當(dāng)P'P在線段C'H上時(shí)取得最小值，
延長(zhǎng)C'B與DA延長(zhǎng)線交于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)B作BJ⊥P'P于點(diǎn)J，連接BH，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BC'=BC=2，∠PBP'=90°，
∵AD∥BC，
∴∠AIB=90°，∠IAB=∠ABC=45°，
∴IB=IA=22AB=22×2=1，
在Rt△IC'H中，IC'=IB+BC'=1+2=3，IH=IA+AH=1+1=2，C'H=IC'2+IH2=32+22=13，
∵S△BC'H=12C'H?BJ=12BC'?IH，即：S△BC'H=12×13?BJ=12×2×2，解得：BJ=41313，
在Rt△IBH中，BH=IB2+IH2=12+22=5，
在Rt△BJH中，JH=BH2?BJ2=52?413132=71313，
∴PH=JH?PJ=71313?41313=31313，
∴S△HPB=12PH?BJ=12×31313×41313=613，
故答案為：S△HPB=613．
8．（2024·廣東廣州·一模）如圖，在矩形ABCD和矩形AGFE中，AD=4，AE=2，AB=3AD,AG=3AE．矩形AGFE繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接BG，CF，AC，AF．

(1)求證：△ABG∽△ACF；
(2)當(dāng)CE的長(zhǎng)度最大時(shí)，
①求BG的長(zhǎng)度；
②在△ACF內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使得CP+AP+3PF的值最小?若存在，求CP+AP+3PF的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)①BG=221；②存在，最小值是413
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，先證△ABC∽△AGF，利用相似三角形的性質(zhì)準(zhǔn)備條件，再證△ABG∽△ACF即可；
（2）①先確定當(dāng)E在矩形ABCD外，且C,A,E三點(diǎn)共線時(shí)，CE的長(zhǎng)度最大，并畫(huà)出圖形，在Rt△CEF中求出CF的長(zhǎng)，最利用△ABG∽△ACF的性質(zhì)求解即可；②將AP繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°,且使AK=3AP，連接PK，同理將AF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°,得到AL, 且使AL=3AF，連接LK，過(guò)P作PS⊥AK于S，過(guò)點(diǎn)L作LQ垂直CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，確定CP+AP+3PF≥CL，當(dāng)C、P、K、L四點(diǎn)共線時(shí)，CL的長(zhǎng)最小，再根據(jù)30°直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可．
【詳解】（1）證明：∵ AB=3AD，AG=3AE，
∴ABAG=3AD3AE=ADAE，
∵矩形ABCD和矩形AGFE，
∴AD=BC，AE=GF，∠ABC=∠AGF=90°，
∴ABAG=ADAE=BCGF，
∴△ABC∽△AGF，∠BAC=∠GAF，
∴ACAF=ABAG，∠BAC?∠GAC=∠GAF?∠GAC，
即ACAB=AFAG，∠BAG=∠CAF，
∴△ABG∽△ACF
（2）∵AC+AE≥CE，
∴當(dāng)E在矩形ABCD外，且C,A,E三點(diǎn)共線時(shí)，CE的長(zhǎng)度最大，如圖所示：

此時(shí)AC+AE=CE，∠CEF=90°，
①∵AD=4，AB=3AD=43，
∴AC=AB2+BC2=8，∠BAC=30°，
在Rt△CEF中，EF=AG=3AE=23，CE=AC+AE=10，
∴CF=CE2+EF2=102+(23)2=47，
由（1）得：△ABG∽△ACF，
∴BGCF=ABAC， 即BG47=438，
∴BG=221；
②如圖，將AP繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°,且使AK=3AP，連接PK，同理將AF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°,得到AL, 且使AL=3AF，連接LK，

由旋轉(zhuǎn)可得：∠PAF=∠KAL=30°?∠FAK，
∴△AKL∽△APF，
∴KLPF=AKAP=3，
∴KL=3PF,
過(guò)P作PS⊥AK于S，則 PS=12AP，AS=32AP，
∴KS=AK?AS=32AP，則 tan∠PKS=PSKS=33，
∴∠PKS=30°，
∴PK=AP，
∵CP+PK+KL≥CL，即CP+AP+3PF≥CL，
當(dāng)C、P、K、L四點(diǎn)共線時(shí)，CL的長(zhǎng)最小，
由題意，∠LAC=90°+30°+30°=150°，AF=4， AC=8，AL=43，
過(guò)點(diǎn)L作LQ垂直CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，
∠LAQ=180°?150°=30°，
∴QL=23，AQ=6，
則CQ=AC+AQ=14，
在Rt△CQL中，根據(jù)勾股定理得CL=CQ2+QL2=413，
∴CP+AP+3PF的最小值為413.
【點(diǎn)睛】本題是一道壓軸題，主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定，最短路徑等知識(shí)，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)與聯(lián)系，適當(dāng)添加輔助線是解答的關(guān)鍵.
題型03 加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型-多系數(shù)
9．（2023九年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，求PA+2PB+5PC的最小值．
【答案】410
【分析】延長(zhǎng)DC到H，使得CH=2BC=8，則BH=45，在∠CBH的內(nèi)部作射線BJ，使得∠PBJ=∠CBH，使得BJ=5BP，連接PJ，JH，AH．先證明△JBP∽△HBC，可得PJ=2PB，再證明△PBC∽△JBH，可得：HJ=5PC，從而得到PA+2PB+5PC=PA+PJ+HJ≥AH，計(jì)算出AH的長(zhǎng)度即可．
【詳解】解：延長(zhǎng)DC到H，使得CH=2BC=8，則BH=45，在∠CBH的內(nèi)部作射線BJ，使得∠PBJ=∠CBH，使得BJ=5BP，連接PJ，JH，AH．
∵∠PBJ=∠CBH，BPBJ=BCBH=55，
∴ PBBC=BJBH，
∴△JBP∽△HBC，
∴∠BPJ=∠BCH=90°，
∴PJ=BJ2?PB2=(5PB)2?PB2=2PB，
∵∠PBC=∠JBH，PBBJ=BCBH，
∴△PBC∽△JBH，
∴ PCJH=PBBJ=55，
∴HJ=5PC
∴PA+2PB+5PC=PA+PJ+HJ，
∵PA+PJ+JH≥AH，
∴PA+2PB+5PC≥42+122=410，
∴PA+2PB+5PC的值最小，最小值為410．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短，正方形的性質(zhì)，，正確理解費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題，利用相似構(gòu)造2PB與5PC，根據(jù)系數(shù)將圖形擴(kuò)大或縮小構(gòu)建圖形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
10．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠ACB=30°，BC=4，在△ABC內(nèi)有一點(diǎn)O，連接OA，OB，OC，若2OA+OB+5OC的最小值為45，則AC的值為 ．

【答案】17?1
【分析】本題考查了圖形的變換，勾股定理，最短路徑的計(jì)算方法，掌握?qǐng)D象旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，最短路徑的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)題意，將△AOC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°并放大2倍，得△CA'O'，連接OO'，根據(jù)邊的關(guān)系可得2OA=O'A'，5OC=OO'，由此可得2OA+OB+5OC=A'B=45，作直角△BCE，根據(jù)BC=4可得BE，CE的長(zhǎng)，在Rt△A'BE中，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】解：如圖所示，將△AOC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°并放大2倍，得△CA'O'，連接OO'，

∴A'O'=2AO，CO'=2CO，∠OCO'=∠ACA'=90°，
∴在Rt△OCO'中，OO'=OC2+O'C2=OC2+2OC2=5OC，
∴2OA+OB+5OC=A'O'+OO'+OB=A'O+OB，
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，
∴在△A'OB中，A'O+OB≥A'B，
∵2OA+BO+5OC的最小值為45，BC=4，
∴A'B=45，
在Rt△ACA'中，CA'=2CA，
∴AA'=5AC，
∵∠ACA'=90°，∠ACB=30°，
∴∠A'CB=∠ACA'+∠ACB=90°+30°=120°，
延長(zhǎng)A'C，作點(diǎn)B作BE⊥A'C，交于點(diǎn)E，
∴∠BCE=60°，且BC=4，
在Rt△BCE中，∠CBE=30°，
∴CE=12BC=2，BE=3CE=23，
∴A'E=A'C+CE=2AC+CE=2AC+2，
∴在Rt△A'BE中，A'B2=BE2+A'E2，
∴452=232+2AC+22，
解得，AC=17?1，
故答案為： 17?1．
11．（2021九年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，求22BP+5AP+3PC最小值
【答案】123
【分析】將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△AP' C'，將△AP' C'擴(kuò)大324倍，得到△AP″C″，當(dāng)點(diǎn)B、P、P″、C″在同一直線上時(shí)，22BP+5AP+3PC=22PB+PP''+P''C''最短，利用勾股定理求出BC″即可．
【詳解】解：如圖，將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△AP' C'，將△AP' C'擴(kuò)大，相似比為324倍，得到△AP″C″，則AP″=324AP'，P″C″=324P'C'，AC″=324AC'，
過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AP″于E，
∴AE=PE=22AP，
∴P″E=AP″-AE=24AP，
∴PP″=PE2+P″E2=104AP，
當(dāng)點(diǎn)B、P、P″、C″在同一直線上時(shí)，22BP+5AP+3PC=22PB+PP''+P''C''最短，此時(shí)22PB+PP''+P''C''=22BC″，
∵∠BAC″=∠BAC+∠CAC″=90°，AB=6，AC″=324AC'=324×4=32，
∴BC″=AB2+AC″2=62+(32)2=36．
∴22BP+5AP+3PC=22BC″=22×36=123
【點(diǎn)睛】
此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確理解費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題的造圖方法：利用旋轉(zhuǎn)及全等的性質(zhì)構(gòu)建等量的線段，利用三角形的三邊關(guān)系及點(diǎn)共線的知識(shí)求解，有時(shí)根據(jù)系數(shù)將圖形擴(kuò)大或縮小構(gòu)建圖形．
12．（2024·重慶·二模）已知△ABC中AB=BC，點(diǎn)D和點(diǎn)E是平面內(nèi)兩點(diǎn)，連接BD，DE和BE，∠BED=90°．
(1)如圖1，若BD=BA，∠ABC=2∠D，BE=2，求AC的長(zhǎng)度；
(2)如圖2，連接AD和CD，點(diǎn)F為AD中點(diǎn)，點(diǎn)G為CD中點(diǎn)，連接EF和BG，若EF=BG，求證：∠BAC=∠DBE；
(3)若∠ABC=60°，AB=2，當(dāng)12AD+32BD+CD取得最小值，且AE取得最大值時(shí)，直接寫(xiě)出△BDE的面積．
【答案】(1)4
(2)見(jiàn)解析
(3)1219133
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC交AC于點(diǎn)H，證明△AHB≌△BEDAAS即可求解；
（2）取BD的中點(diǎn)T，連接TE,TF,TG，根據(jù)中位線的性質(zhì)，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出△TFE≌△TBGSSS，再證明△TBE∽△TFG，得出∠EBT=∠GFT，進(jìn)而即可得證；
（3）將△BDC繞點(diǎn)B順時(shí)針轉(zhuǎn)60°得到△BD'A，將△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BA'D'，連接AA'， 根據(jù)12AD+32BD+CD=GF+FD+CD≥GC，當(dāng)G,F,D,C四點(diǎn)共線時(shí)，GC最小，進(jìn)而確定E的位置，根據(jù)點(diǎn)E在O為圓心，12BD為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)到圓上的距離關(guān)系，得出當(dāng)AE取得最大值時(shí)，E在AO的延長(zhǎng)線上，連接OF，過(guò)點(diǎn)E作ES⊥BD于點(diǎn)S，進(jìn)而解直角三角形，求得SE的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC交AC于點(diǎn)H，
∵△ABC中AB=BC，
∴∠AHB=90°，∠ABC=2∠ABH，AC=2AH
∵∠BED=90°，∠ABC=2∠D，
∴∠AHB=∠BED，∠ABH=∠D．
又∵BD=BA，
∴△AHB≌△BEDAAS
∴AH=BE=2
∴AC=2AH=4；
（2）解：如圖所示，取BD的中點(diǎn)T，連接TE,TF,TG，
又∵F,G是AD，DC，
∴FT=12AB,TG=12BC，F(xiàn)G∥AC,FT∥AB
∵AB=BC
∴FT=TG，
∵∠BED=90°，T為BD的中點(diǎn)，
∴TE=BT，
在△TFE,△TBG中，
TF=TGTE=TBEF=BG
∴△TFE≌△TBGSSS
∴∠FTE=∠GTB
∴∠FTE?∠GTE=∠GTB?∠GTE即∠FTG=∠ETB
又∵FT=TG,TE=EB
即TETF=TBTG，
∴△TBE∽△TFG
∴∠EBT=∠GFT
∵FG∥AC,FT∥AB
∴∠TFB=∠BAC
∴∠BAC=∠DBE
（3）解：∵△ABC中AB=BC，∠ABC=60°，
∴∵ABC是等邊三角形，
如圖所示，將△BDC繞點(diǎn)B順時(shí)針轉(zhuǎn)60°得到△BD'A，將△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BA'D'，連接AA'，
∴BD=BD'，∠DBD'=60°，AB=A'B，A'B∥AC
則△DBD'是等邊三角形， △A'AB是等邊三角形，
∵CD=AD',AA'=AC
取BD',BA'的中點(diǎn)F,G，則FG=12A'D'=12AD，
∵F是BD'的中點(diǎn)，DF⊥BD，DF=BDsin60°=32BD，
∴12AD+32BD+CD=GF+FD+CD≥GC
∴當(dāng)G,F,D,C四點(diǎn)共線時(shí)，GC最小
此時(shí)如圖所示，
∴GC⊥BD'
∵A'D'∥GF，
∴A'D'⊥BD'，
∴△A'DB是直角三角形，
∴△ABD是直角三角形，
∴AD⊥BD
∵∠BDD'=60°
∴∠D'DA=30°
∴AD'=12AD=DC
設(shè)CD=a，則AD'=a，AD=2a，
在Rt△ADD'中，DD'=cs30°×AD=3a
∵△BDD'是等邊三角形，
∴BD=DD'=3a，
在Rt△ABD中，AB=2
∴AB2=AD2+BD2
∴22=3a2+2a2
解得：a=277
∴BD=3a=2217，AD=2a=477
取BD的中點(diǎn)O，連接AO,OE，
∵∠BED=90°
∴點(diǎn)E在O為圓心，12BD為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
∴OE=12BD=217，
∴當(dāng)AE取得最大值時(shí)，E在AO的延長(zhǎng)線上，
連接OF，過(guò)點(diǎn)E作ES⊥BD于點(diǎn)S，
在Rt△AOD中，OD=OE=217，
∴AO=AD2+OD2=4772+2172=1337，
∴cs∠AOD=ADAO=4771337=41919，
∴SE=cs∠SOE×OE=cs∠AOD×OE=41919×217=4339133，
∴△BDE的面積為12BD×SE=12×2217×4339133=1219133．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，相似三角形的性質(zhì)與判定，加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直徑所對(duì)的圓周角是直角；熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【針對(duì)訓(xùn)練】
1．（2021·遼寧丹東·中考真題）已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱(chēng)為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如果△ABC是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°．（例如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）．若AB=AC=7,BC=23，P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則PA+PB+PC= ；若AB=23,BC=2,AC=4，P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則PA+PB+PC= ．
【答案】 5 27
【分析】①作出圖形，過(guò)B,C分別作∠DBP=∠DCP=30°,勾股定理解直角三角形即可
②作出圖形，將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)則B,P,P',C'四點(diǎn)共線，即PA+PB+PC= BC'，再用勾股定理求得即可
【詳解】①如圖,過(guò)A作AD⊥BC，垂足為D,
過(guò)B,C分別作∠DBP=∠DCP=30°, 則PB=PC, P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)
∵ AB=AC=7,BC=23
∴BD=DC=12BC=3
∴tan30°=PDBD=33
∴PD=1
∴PB=PDsin30°=2
∴ AD=AB2?BD2=7?3=2
∴ PA+PB+PC=5
②如圖：
∵ AB=23,BC=2,AC=4.
∴AB2+BC2=16,BC2=16
∴AB2+BC2=AC2
∠ABC=90°
∵sin∠BAC=BCAC=12=sin30°
∴∠BAC=30°
將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°
由旋轉(zhuǎn)可得：△APC≌△AP'C'
∴AP'=AP,PC=P'C',AC=AC' ∠CAC'=∠PAP'=60°
∴△APP'是等邊三角形，
∴ ∠BAC'=90°
∵ P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)
即B,P,P',C'四點(diǎn)共線時(shí)候，PA+PB+PC= BC'
∴ PA+PB+PC= BP+PP'+P'C'=BC'
=AB2+AC'2 =(23)2+42=27
故答案為：①5，②27
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等腰三角形性質(zhì)，作出旋轉(zhuǎn)的圖形是解題的關(guān)鍵．本題旋轉(zhuǎn)△PAB,△PBC也可，但必須繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．
2．（2021九年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=30°,BC=6,AC=5，在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC．（加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)）求：
（1）PA+PB+PC的最小值；
（2）PA+PB+2PC的最小值
（3）PA+PB+3PC的最小值；
（4）2PA+PB+3PC的最小值
（5）12PA+PB+32PC的最小值；
（6）2PA+4PB+23PC的最小值
（7）4PA+2PB+23PC的最小值；
（8）3PA+4PB+5PC的最小值
【答案】（1）61；（2）91；（3）61+303；（4）234；（5）132；（6）26；（7）434；（8）21
【分析】（1）將△BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BP'C'，則BP'=BP，P'C=PC，∠PBP'=60°，可以推出△BPP'為等邊三角形，得到BP=PP'，則PA+PB+PC=PA+PP'+PC'，即可得到A、P、P'、C'四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC最小，最小值為AC'，然后證明∠ACC'=∠ACB+∠BCC'=90°，由此利用勾股定理求解即可；
（2）將△BPC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CP'B'，則可證明PP'=2PC，從而得到PA+PB+2PC=PA+PP'+P'B，則當(dāng)A、P、P'、B'四點(diǎn)共線時(shí)PA+PB+PC最小，最小值為AB'，過(guò)點(diǎn)A再作B'C的垂線，垂足為E，利用勾股定理求出AE=AC2?CE2=532，B'E=B'C+EC=172，由此即可得到答案；
（3）將△BPC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△B'PC'，則可證明PP'=3CP，則PA+PB+3PC=PA+PP'+P'B'，故當(dāng)A、P、P'、B'四點(diǎn)共線時(shí)PA+PB+3PC最小，最小值為AB'，過(guò)點(diǎn)A再作B'C的垂線，垂足為E，利用勾股定理求出CE=AC2?AE2=532，B'E=CE+CB'=12+532，由此即可得到答案；
（4）將△BPC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△CP'A'，再將△CP'A'以點(diǎn)C為位似中心放大2倍，得到△CP″A″，連接PP'，先證明P″P=3CP，則可以得到2PA+PB+3PC=A″P″+P″P+PB，故當(dāng)A″，P″，P，B共線時(shí)2PA+PB+3PC最小，最小為A″B，然后證明∠BCA″=∠ACB+∠ACA″=90°，即可利用勾股定理求解；
（5）將△BPC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△CP'A'，再將△CP'A'以點(diǎn)C為位似中心縮小2倍，得到△CP″A″，同（4）原理可證得當(dāng)A″，P″，P，B共線時(shí)12PA+PB+32PC最小，最小為A″B，然后證明∠BCA″=∠ACB+∠ACA″=90°，由此求解即可；
（6）由2PA+4PB+23PC=412PA+PB+32PC可由（5）得：2PA+4PB+23PC的最小值為26；
（7）由4PA+2PB+23PC=2(2PA+PB+3PC)可由（4）得4PA+2PB+23PC的最小值為434；
（8）將△BPC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CP'A'，再將△CP'A'以點(diǎn)C為位似中心縮小34倍，得到△CP″A″，同理可以證得當(dāng)A、P、P″、A″，共線時(shí)3PA+4PB+5PC的值最?。凇鰾CA″中，∠BCA″=∠ACB+∠ACA″=120°，A″C=34CA=154，過(guò)點(diǎn)A″作A″E⊥BC交BC延長(zhǎng)線于E，然后求出EA″，BE的長(zhǎng)，由此即可求解．
【詳解】解：（1）如圖3-2，將△BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BP'C'，
∴BP'=BP，P'C=PC，∠PBP'=60°，
∴△BPP'為等邊三角形，
∴BP=PP'，
∴PA+PB+PC=PA+PP'+PC'，
∴A、P、P'、C'四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC最小，最小值為AC'
同理可證△BCC'為等邊三角形，
∴CC'=BC=6，∠BCC'=60°，
∴∠ACC'=∠ACB+∠BCC'=90°，
∴AC'=AC2+CC'2=61；
∴PA+PB+PC的最小值為61；
（2）如圖3-4，將△BPC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CP'B'，
∴B'P'=BP，P'C=PC，∠PCP'=90°，∠P'CB'=∠PCB，CB'=CB=6，
∴PP'=PC2+P'C2=2PC，
∴PA+PB+2PC=PA+PP'+P'B，
∴當(dāng)A、P、P'、B'四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC最小，最小值為AB'
∵∠ACB=30°，
∴∠ACP+∠PCB=∠ACP+∠P'CB'=30°
∴∠ACB'=∠PCP'+∠ACP+∠P'CB'=120°，
過(guò)點(diǎn)A再作B'C的垂線，垂足為E，
∴∠AEC=90°，∠ACE=60°，
∴∠CAE=30°，
∴CE=12AC=52
∴AE=AC2?CE2=532，B'E=B'C+EC=172，
∴AB'=AE2+B'E2=91，
∴PA+PB+2PC的最小值為91；
（3）如圖3-6，將△BPC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△B'PC'，
∴B'P'=BP，P'C=PC，∠PCP'=120°，∠P'CB'=∠PCB，CB'=CB=6，
∴∠CPP'=∠CP'P=30°，
過(guò)點(diǎn)C作CE⊥PP'于E，
∴CE=12CP，PE=P'E，
∴PE=PC2?CE2=32CP，
∴PP'=3CP，
∴PA+PB+3PC=PA+PP'+P'B'，
∴當(dāng)A、P、P'、B'四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+3PC最小，最小值為AB'
∵∠ACB=30°，
∴∠ACP+∠PCB=∠ACP+∠P'CB'=30°
∴∠ACB'=∠PCP'+∠ACP+∠P'CB'=150°，
過(guò)點(diǎn)A再作B'C的垂線，垂足為E，
∴∠AEC=90°，∠ACE=3°，
∴AE=12AC=52
∴CE=AC2?AE2=532，
∴B'E=CE+CB'=12+532
∴AB'=AE2+B'E2=61+303，
∴PA+PB+3PC的最小值為61+303；
（4）如圖3-8，將△BPC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△CP'A'，再將△CP'A'以點(diǎn)C為位似中心放大2倍，得到△CP″A″，連接PP'
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CA'=CA=5，CP'=CP，PA=P'A'，∠PCP'=∠ACA'=60°，
∴CA″=10，CP″=2CP，P″A″=2A'P'=2AP，△PCP'是等邊三角形，
∴PP'=P'C=P'P″，∠PP'C=60°，
∴∠PP''P'=∠P''PP'=30°，
∴∠P″PC=90°，
∴P″P=CP″2?CP2=3CP，
∴2PA+PB+3PC=A″P″+P″P+PB，
∴當(dāng)A″，P″，P，B共線時(shí)2PA+PB+3PC最小，最小為A″B，
∵∠BCA″=∠ACB+∠ACA″=90°，
∴A″B=BC2+A″C2=234，
∴2PA+PB+3PC的最小值為234；
（5）如圖3-10，將△BPC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△CP'A'，再將△CP'A'以點(diǎn)C為位似中心縮小2倍，得到△CP″A″，
同（4）原理可證得當(dāng)A″，P″，P，B共線時(shí)12PA+PB+32PC最小，最小為A″B，
∵∠BCA″=∠ACB+∠ACA″=90°，在Rt△BCA″中，BC=6，CA″=12CA=52
BA″=BC2+A″C2=132，
12PA+PB+32PC最小為132；
（6）∵2PA+4PB+23PC=412PA+PB+32PC
∴由（5）得：2PA+4PB+23PC的最小值為26；
（7）∵4PA+2PB+23PC=2(2PA+PB+3PC)
∴由（4）得4PA+2PB+23PC的最小值為434；
（8）如圖3-12，將△CPA繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CP'A'，再將△CP'A'以點(diǎn)C為位似中心縮小34倍，得到△CP″A″，
同理可以證得當(dāng)A、P、P″、A″，共線時(shí)3PA+4PB+5PC的值最小．
在△BCA″中，∠BCA″=∠ACB+∠ACA″=120°，A″C=34CA=154，
過(guò)點(diǎn)A″作A″E⊥BC交BC延長(zhǎng)線于E，
∴∠A″CE=60°，
∴∠CA″E=30°，
∴CE=12CA″=158，
∴EA″=A″C2?CE2=1538，BE=BC+CE=6+158，
∴BA″=A″E2+BE2=6+1582+15382=214，
3PA+4PB+5PC的最小值為21．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，位似，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，解題的關(guān)鍵在于能夠作出輔助線，找到P點(diǎn)在什么位置時(shí)，線段的和最?。?br>3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）（1）問(wèn)題背景
如圖1，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'C，連接PP'，
由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'為_(kāi)__________三角形，故PP'=PC，又P'A'=PA，故PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B，由___________可知，當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，如圖2，最小值為A'B，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”．
（2）問(wèn)題解決
如圖3，在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，求PA+PB+PC的最小值；
（3）問(wèn)題應(yīng)用
如圖4，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且AC=6km，BC=43km，∠ACB=30°．現(xiàn)欲在△ABC內(nèi)部建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為1000元/km，1000元/km，10003萬(wàn)元/km，是否存在合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低，若存在請(qǐng)求出成本的最小值．
【答案】（1）等邊；兩點(diǎn)之間線段最短
（2）5
（3）200039
【分析】（1）根據(jù)推論過(guò)程填寫(xiě)根據(jù)即可；（2）根據(jù)（1）的方法將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'C，即可得出可知當(dāng)B、P、P'、A'在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，最小值為A'B，再根據(jù)∠ACB=30°可證明∠BCA'=90°，根據(jù)勾股定理即可求出A'B；（3）根據(jù)總鋪設(shè)成本=1000(PA+PB+3PC)，將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△A'P'C，得到等腰△PP'C，推出PP'=3PC，即可得出當(dāng)B、P、P'、A'在同一條直線上時(shí)，P'A'+PB+PP'取最小值，即PA+PB+3PC取最小值為A'B的長(zhǎng)，然后根據(jù)已知條件和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出A'B即可．
【詳解】（1）∵PC=P'C，∠PCP'=60°，
∴△PCP'為等邊三角形，
由幾何公理：兩點(diǎn)之間線段最短可得：PP'+PB+A'P'≥A'B，
∴當(dāng)B，P，P'，A'在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值．
故答案為：等邊，兩點(diǎn)之間線段最短．
（2）如圖4，將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'C，連接PP'，
由（1）可知當(dāng)B、P、P'、A'在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，最小值為A'B，
∵∠ACP=∠A'CP'，
∴∠ACP+∠BCP=∠A'CP'+∠BCP=∠ACB=30°，
又∵∠PCP'=60°，
∴∠BCA'=90°，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AC=A'C=3，
∴A'B=42+32=5，
即PA+PB+PC的最小值為5；
（3）∵總鋪設(shè)成本=PA×1000+PB×1000+PC×10003=1000(PA+PB+3PC)萬(wàn)元，
∴當(dāng)PA+PB+3PC最小時(shí)，總鋪設(shè)成本最低，
將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△A'P'C，連接PP'，A'B，過(guò)點(diǎn)A'作A'H⊥BC于H，過(guò)點(diǎn)C作CK⊥PP'于K，如圖：
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：P'C=PC，∠PCP'=∠ACA'=120°，P'A'=PA，A'C=AC=6km，
在Rt△PKC中，CK=12PC
∴PK=32PC
∴PP'=3PC，
∴PA+PB+3PC=P'A'+PB+PP'，
當(dāng)B、P、P'、A'在同一條直線上時(shí)，P'A'+PB+PP'取最小值，即PA+PB+3PC取最小值，其最小值為A'B的長(zhǎng)度，
∵∠ACB=30°，∠ACA'=120°，
∴∠A'CH=30°，
∴A'H=12A'C=3km，
∴HC=A'C2?A'H2=62?32=33(km)
∴BH=BC+CH=43+33=73(km)，
∴A'B=BH2+A'H2=(73)2+32=239(km)，
∴PA+PB+3PC的最小值為239km，
總鋪設(shè)成本最小值為：1000(PA+PB+3PC)=200039（元)．
【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合應(yīng)用，涉及等邊三角形判定與性質(zhì)，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．
4．（2024·福建廈門(mén)·二模）根據(jù)以下思考，探索完成任務(wù)
【答案】任務(wù)一：見(jiàn)解析；任務(wù)二：A；任務(wù)三：研發(fā)區(qū)E應(yīng)建在△ABC內(nèi)部，且滿(mǎn)足∠AEB=∠BEC=∠CEA=120°時(shí)花費(fèi)最少，最少費(fèi)用為2006+2元
【分析】本題主要考查三角形的旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，將待求線段的和通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換轉(zhuǎn)化為同一直線上的線段來(lái)求是解題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)的方法添加輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
任務(wù)一：證明△APP'是等邊三角形即可證明結(jié)論；
任務(wù)二：結(jié)合任務(wù)一結(jié)論選擇即可；
任務(wù)三：把△ABE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到△A'BE'，連接A'C，△EBE'為等邊三角形，證出AE+BE+CE≥A'C，當(dāng)且僅當(dāng)E',E在A'C上時(shí)，AE+BE+CE的值為最小，為A'C，過(guò)點(diǎn)A'作A'H⊥CB，交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，求出AE+BE+CE最小值，即可求出結(jié)論．
【詳解】解：任務(wù)一：如圖，由旋轉(zhuǎn)得：∠PAP'=60°，PA=P'A，
∴△APP'是等邊三角形，
∴PP'=PA，
∵PC=P'C'，
∴PA+PB+PC=BP+PP'+P'C'；

任務(wù)二：在素材2中，由題意得：要找一點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)距離和最小，
研發(fā)區(qū)E建在△ABC內(nèi)的區(qū)域比較合適，
故選：A；
（3）如圖，
把△ABE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到△A'BE'，
則BE=BE',∠EBE'=60° ，
連接A'C，
∴△EBE'為等邊三角形，
∴EE'=BE，
∵△ABE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到△A'BE'，
∴A'E'=AE,BA'=BA=2,∠ABA'=60°，
∵A'E'+EE'+EC≥A'C，
∴AE+BE+CE≥A'C，
當(dāng)且僅當(dāng)E',E在A'C上時(shí)，AE+BE+CE的值為最小，為A'C，
此時(shí)，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部，且滿(mǎn)足∠AEB=∠BEC=∠CEA=120°，
過(guò)點(diǎn)A'作A'H⊥CB，交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，
在Rt△A'BH中，∠A'BH=30°，
∴A'H=12A'B=1,BH=3A'H=3，
∴CH=2+3，
在Rt△A'CH中，A'C=A'H2+CH2=12+2+32=8+43=6+22=6+2，
∴AE+BE+CE最小值為6+2，此時(shí)費(fèi)用為2006+2元．

5．（21-22八年級(jí)上·江蘇蘇州·期中）背景資料：在已知△ABC所在平面上求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問(wèn)題是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱(chēng)為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖1，當(dāng)△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，當(dāng)∠APB=∠APC=∠CPB=120°時(shí)，則PA+PB+PC取得最小值．
(1)如圖2，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP'處，此時(shí)△ACP'≌△ABP這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出∠APB=_______；
知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120°的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與△ABC的另一頂點(diǎn)，則連線通過(guò)三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn)．請(qǐng)同學(xué)們探索以下問(wèn)題．
(2)如圖3，△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°，在△ABC外側(cè)作等邊三角形△ABB'，連接CB'，求證：CB'過(guò)△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．
(3)如圖4，在RT△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，連接AP、BP、CP，求PA+PB+PC的值．
(4)如圖5，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接AE、BE、CE，且邊長(zhǎng)AB=2；求AE+BE+CE的最小值．
【答案】(1)150°；
(2)見(jiàn)詳解；
(3)7；
(4)6+2．
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出△ABP≌△ACP'，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，根據(jù)△ABC為等邊三角形，得出∠BAC=60°，可證△APP′為等邊三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根據(jù)勾股定理逆定理PP'2+P'C2=32+42=25=PC2，得出△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可；
（2）將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AB′P′，連結(jié)PP′，根據(jù)△APB≌△AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，根據(jù)∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均為等邊三角形，得出PP′=AP，根據(jù)PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC最小=CB′，點(diǎn)P在CB′上即可；
（3）將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B′，連結(jié)BB′，PP′，得出△APB≌△AP′B′，可證△APP′和△ABB′均為等邊三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根據(jù)PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC，可得點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC最小=CB′，利用30°直角三角形性質(zhì)得出AB=2AC=2，根據(jù)勾股定理BC=AB2?AC2=22?12=3，可求BB′=AB=2，根據(jù)∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt△CBB′中，B′C=BC2+BB'2=32+22=7即可；
（4）將△BCE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CE′B′，連結(jié)EE′，BB′，過(guò)點(diǎn)B′作B′F⊥AB，交AB延長(zhǎng)線于F，得出△BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可證△ECE′與△BCB′均為等邊三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，AE+BE+CE=AE+EE'+E'B'，得出點(diǎn)C，點(diǎn)E，點(diǎn)E′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，AE+BE+CE=AE+EE'+E'B'最小=AB′，根據(jù)四邊形ABCD為正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根據(jù)30°直角三角形性質(zhì)得出BF=12BB'=12×2=1，勾股定理BF=BB'2?B'F2=22?12=3，可求AF=AB+BF=2+3，再根據(jù)勾股定理AB′=AF2+B'F2=2+32+12=6+2即可．
【詳解】（1）解：連結(jié)PP′，
∵△ABP≌△ACP'，
∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=60°
∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，
∴△APP′為等邊三角形，
,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，
在△P′PC中，PC=5，
PP'2+P'C2=32+42=25=PC2，
∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，
∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，
∴∠APB=∠AP′C=150°，
故答案為150°；
（2）證明：將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AB′P′，連結(jié)PP′，
∵△APB≌△AB′P′，
∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均為等邊三角形，
∴PP′=AP，
∵PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC，
∴點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC最小=CB′，
∴點(diǎn)P在CB′上，
∴CB'過(guò)△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．
（3）解：將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B′，連結(jié)BB′，PP′，
∴△APB≌△AP′B′，
∴AP′=AP，AB′=AB，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均為等邊三角形，
∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，
∵PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC
∴點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC最小=CB′，
∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2，根據(jù)勾股定理BC=AB2?AC2=22?12=3
∴BB′=AB=2，
∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，
∴在Rt△CBB′中，B′C=BC2+BB'2=32+22=7
∴PA+PB+PC最小=CB′=7；
（4）解：將△BCE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CE′B′，連結(jié)EE′，BB′，過(guò)點(diǎn)B′作B′F⊥AB，交AB延長(zhǎng)線于F，
∴△BCE≌△CE′B′，
∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，
∵∠ECE′=∠BCB′=60°，
∴△ECE′與△BCB′均為等邊三角形，
∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，
∵AE+BE+CE=AE+EE'+E'B'，
∴點(diǎn)C，點(diǎn)E，點(diǎn)E′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，AE+BE+CE=AE+EE'+E'B'最小=AB′，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，
∵B′F⊥AF，
∴BF=12BB'=12×2=1，BF=BB'2?B'F2=22?12=3，
∴AF=AB+BF=2+3，
∴AB′=AF2+B'F2=2+32+12=6+2，
∴AE+BE+CE最小=AB′=6+2．
【點(diǎn)睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，四點(diǎn)共線，正方形性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)，掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，四點(diǎn)共線，正方形性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
6．（2023·貴州遵義·三模）（1）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖①，在△OAB中，若將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△OA'B'，連接BB'；求∠OBB'= ；
（2）【問(wèn)題探究】如圖②，已知△ABC是邊長(zhǎng)為43的等邊三角形，以BC為邊向外作等邊三角形BCD，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q．
①求證：△DCQ≌△BCP；
②求PA+PB+PC的最小值；
（3）【實(shí)際應(yīng)用】如圖③，在矩形ABCD中，AB=600，AD=800，P是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)S△PAD=2S△PBC，Q為△ADP內(nèi)任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在求其值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）30°；（2）①見(jiàn)解析；②12；（3）存在，4003+400
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OB'=OB，∠BOB'=120°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出結(jié)果即可；
（2）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明全等即可；
②連接PQ，得到△CPQ是等邊三角形，由兩點(diǎn)之間線段最短得AP+DQ+PQ≥AD，求出AD即可得解；
（3）過(guò)點(diǎn)P作EF∥AD交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，將△ADQ繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△AD'Q'，連接DD',QQ',D'P，設(shè)D'P交AD于點(diǎn)G，由S△PAD=2S△PBC可得AE=2BE，進(jìn)而求得AE=400，當(dāng)D'P⊥EF時(shí)，D'P有最小值，運(yùn)用勾股定理可求解．
【詳解】（1）解：∵將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△OA'B'，
∴OB'=OB=3，∠BOB'=120°，
∴∠OBB'=∠OB'B=30°，
故答案為：30°；
（2）①證明：∵△BDC是等邊三角形，
∴CD=CB，∠DCB=60°，
由旋轉(zhuǎn)得∠PCQ=60°，PC=CQ，
∴∠DCQ=∠BCP，
在△DCQ和△BCP中，
CD=CB∠DCQ=∠BCPCQ=CP，
∴△DCQ≌△BCPSAS；
②連接PQ，
∵PC=CQ，∠PCQ=60°，
∴△CPQ是等邊三角形，
∴PQ=PC，
∵△DCQ≌△BCP，
∴PB=DQ，
∴PA+PB+PC=PA+QD+PQ，
由兩點(diǎn)之間線段最短得AP+DQ+PQ≥AD，
∴PA+PB+PC≥AD，
∴當(dāng)點(diǎn)A、P、Q、D在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，為AD的值，
延長(zhǎng)AC，作DE⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
∵△ABC是邊長(zhǎng)為43的等邊三角形，
∴AC=CD=CB=43，∠BCD=∠ACB=60°，
∴∠DCE=180°?60°?60°=60°，
∴∠CDE=90°?60°=30°，
∴EC=12CD=23，
∴DE=CD2?CE2=6，AE=AC+CE=63，
∴AD=DE2+AE2=12，
即PA+PB+PC取最小值為12．
（3）存在一點(diǎn)P和一點(diǎn)Q，使得AQ+DQ+PQ有最小值，理由如下：
過(guò)點(diǎn)P作EF∥AD交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，將△ADQ繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△AD'Q'，連接DD',QQ',D'P，設(shè)D'P交AD于點(diǎn)G，如圖所示：
由（2）知，當(dāng)P,Q,Q',D'在同一直線上時(shí)，AQ+DQ+PQ有最小值，最小值為D'P，
在矩形ABCD中，AB=600,AD=800，
∴BC=AD=800，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，
∵EF∥AD，
∴∠AEF=∠EFD=90°，
∴四邊形ADFE是矩形，
∴EF=AD=800，
∵S△PAD=2S△PBC，
∴12AD?AE=2×12×BE×BC，
∴AE=2BE，
∵AE+BE=AB=600，
∴AE=400，
∵點(diǎn)P在EF上，
∴當(dāng)D'P⊥EF時(shí)，D'P有最小值，
∵EF∥AD，
∴D'P⊥AD，
∵△ADD'是等邊三角形，
∴AD'=AD=800,AG=12AD=400,∠AGD'=90°，
∴D'G=AD'2?AG2=4003，
∵∠EAG=∠AEP=∠EPG=90°，
∴四邊形AEPG是矩形，
∴GP=AE=400，
∴D'P=D'G+GP=4003+400，
∴AQ+DQ+PQ的最小值為4003+400．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、勾股定理．
類(lèi)型二 瓜豆模型
型定義：瓜豆模型也叫“主從聯(lián)動(dòng)模型”，即：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)隨另一動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng),分別叫做“主動(dòng)點(diǎn)”與“從動(dòng)點(diǎn)”，它們的運(yùn)動(dòng)軌跡相似。出自成語(yǔ)“種瓜得瓜,種豆得豆”，在幾何上叫“種線得線,種國(guó)得圓”.
【條件】瓜豆原理運(yùn)用滿(mǎn)足的三個(gè)條件(“一定兩動(dòng)、定角、定比”)；
①有一個(gè)定點(diǎn)、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(從動(dòng)點(diǎn))因另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(主動(dòng)點(diǎn))的運(yùn)動(dòng)而隨之運(yùn)動(dòng)；
②兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)所連線組成的夾角是定角;
③兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的比值是定值.
1) 本模型一般出現(xiàn)在選擇題或填空題的壓軸題中，可以直接利用結(jié)論秒殺.
2) 在線段最值問(wèn)題中，有時(shí)可先利用“瓜豆”模型確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)點(diǎn)線最值，點(diǎn)圓最值來(lái)求線段最值.
3) 部分求動(dòng)點(diǎn)軌跡長(zhǎng)的問(wèn)題中，只要確定屬于“瓜豆”模型，就可以利用路徑之比等于相似比，根據(jù)主動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)直接求得.
【模型一】點(diǎn)在直線上
條件;如圖，點(diǎn)O是定點(diǎn)，點(diǎn)A、B是動(dòng)點(diǎn)，∠AOB=α（α≠0）且OBOA=k，如果A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線
圖示：
結(jié)論：B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡也是直線，OBOA=OB’OA’=k，直線BB′與直線AA′的夾角為α
【模型二】點(diǎn)在圓上
條件;如圖，點(diǎn)O是定點(diǎn)，點(diǎn)A、B是動(dòng)點(diǎn)，∠AOB=α且OBOA=k，A點(diǎn)在⊙O1上運(yùn)動(dòng)
圖示：
結(jié)論：
1)當(dāng)α=0，①B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，②A,B,O始終是一條直線，③主動(dòng)圓與從動(dòng)圓的半徑之比為OBOA=k（定值）.
2)當(dāng)α≠0，①B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，②主動(dòng)圓與從動(dòng)圓的半徑之比為OBOA=k，
③主從動(dòng)圓的圓心與定點(diǎn)連線構(gòu)成的夾角為α（定值）.
【總結(jié)】
1）在線段最值問(wèn)題中，有時(shí)可先利用“瓜豆”模型確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)點(diǎn)線最值，點(diǎn)圓最值來(lái)求線段最值；
2）部分求動(dòng)點(diǎn)軌跡長(zhǎng)的問(wèn)題中，只要確定屬于"瓜豆“模型，就可以利用路經(jīng)之比等于相似比，根據(jù)主動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)直接求得
題型01 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線
1．（2021·山東泰安·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=53，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)（含B、C兩點(diǎn)），連接AP，以點(diǎn)A為中心，將線段AP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AQ，連接DQ，則線段DQ的最小值為（ ）
A．52B．52C．533D．3
【答案】A
【分析】根據(jù)題中條件確定出點(diǎn)P的軌跡是線段，則線段DQ的最小值就轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)D到點(diǎn)P的軌跡線段的距離問(wèn)題．
【詳解】解：∵ AP與AQ固定夾角是60°，AP:AQ=1，點(diǎn)P的軌跡是線段，
∴Q的軌跡也是一條線段．
∵兩點(diǎn)確定一條直線，取點(diǎn)P分別與B,C重合時(shí)，所對(duì)應(yīng)兩個(gè)點(diǎn)Q，
來(lái)確定點(diǎn)Q的軌跡，得到如下標(biāo)注信息后的圖形：
求DQ的最小值，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)D到點(diǎn)Q的軌跡線段的距離問(wèn)題，
∵AB=5,BC=53,
∴在Rt△ABC中，tan∠BAC=535=3,∴∠BAC=60°,
∵AB//DC,∴∠DCA=60°，
將AC逆時(shí)針繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)60°后得到AQ1，
∴△ACQ1為等邊三角形，DC=DQ1=5,
Q2為AC的中點(diǎn)，根據(jù)三線合一知，
∠CQ1Q2=30°,
過(guò)點(diǎn)D作Q1Q2的垂線交于點(diǎn)Q,
在Rt△Q1QD中，30°對(duì)應(yīng)的邊等于斜邊的一半，
∴DQ=12DQ1=52，
∴ DQ的最小值為52，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中，兩點(diǎn)間距離的最小值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是：需要確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，才能方便找到解決問(wèn)題的突破口．
2．（2022·安徽合肥·三模）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)D，E分別在BC，AB邊上，連接DE，將△BDE沿DE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F的位置，連接AF，若四邊形BEFD是菱形，則AF的長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．5B．3C．52D．32
【答案】A
【分析】連接BF交ED于點(diǎn)0，設(shè)EF與AC交于點(diǎn)G．根據(jù)菱形的性質(zhì)可得點(diǎn)F在∠ABC的平分線上運(yùn)動(dòng)，從而得到當(dāng)AF⊥BF時(shí)，AF的長(zhǎng)最?。僮C明△BEO∽△BAF，可得BE=12AB=AE，再證明△AGE∽△ACB，EG=12BC=1.5,AG=12AC=2，從而得到GF=1，再由勾股定理，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接BF交ED于點(diǎn)O，設(shè)EF與AC交于點(diǎn)G．
∵四邊形BEFD是菱形，
∴BF平分∠ABC，
∴點(diǎn)F在∠ABC的平分線上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)AF⊥BF時(shí)，AF的長(zhǎng)最小．
在菱形BEFD中，BF⊥ED，OB=OF，EF∥BC，
∴EO∥AF，
∴△BEO∽△BAF，
∴BEAB=OEAF=BOBF=12，
∴BE=12AB=AE，
在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴BE=AE=2.5，
∵AF⊥BF，
∴EF=2.5，
∵EF∥BC，
∴△AGE∽△ACB，
∴EGBC=AGAC=AEAB=12,∠AGE=∠ACB=90°，
∴EG=12BC=1.5,AG=12AC=2，
∴GF=EF-EG=1，
∵∠AGF=∠AGE=90°，
∴AF=AG2+GF2=22+12=5．
故選：A
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，準(zhǔn)確得到點(diǎn)F在∠ABC的平分線上運(yùn)動(dòng)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·廣東廣州·二模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為42，E為BC上一點(diǎn)，且BE=2，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為 ．

【答案】522/522
【分析】由題意分析可知，點(diǎn)F為主動(dòng)點(diǎn)，G為從動(dòng)點(diǎn)，所以以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)造全等關(guān)系，得到點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，之后通過(guò)垂線段最短構(gòu)造直角三角形獲得CG最小值．
【詳解】將△EFB繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)60°，使EF與EG重合，得到△EFB≌△EHG，

∴BE=HE，∠BEH=60°
∴△EBH為等邊三角形，
∠BEH=60°，BE=HE=2，
則有點(diǎn)G在垂直于HE的直線HN上，
過(guò)C作CM⊥HN，當(dāng)G與點(diǎn)M重合時(shí)即CM即為CG的最小值，如圖，
過(guò)E作EP⊥CM，易得四邊形HEPM為矩形，
∴∠HEP=∠EPG=∠EPC=90°，HE=MP=2，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC=42，
∴CE=BC?BE=42?2=32，
∴∠CEP=30°，
∴CP=12EC=322，
∴CM=MP+CP=HE+12EC=2+322=522，
故答案為：522．
【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，線段最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是分清主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等，從而判斷出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，之后運(yùn)用垂線段最短，構(gòu)造圖形計(jì)算，是最值問(wèn)題中比較典型的類(lèi)型．
4．（2024·河北邢臺(tái)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)E為中線BD上的動(dòng)點(diǎn)．連接CE，將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CF．連接AF，則∠CAF= ，連接DF，則△CDF周長(zhǎng)的最小值是 ．
【答案】 30° 1+3
【分析】證明△CBE≌△CAF(SAS)可得∠CAF=∠CBE=30°，得到點(diǎn)F在射線AF上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，作點(diǎn)C關(guān)于AF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C'，連接DC'，可得當(dāng)D，F(xiàn)，C'三點(diǎn)共線時(shí)，F(xiàn)C+FD取最小值，即FC+FD=F'C'+F'D=C'D，由∠ACO=90°?∠CAO=60°得到∠C'=30°，即得CD=12CC'=1，進(jìn)而由勾股定理得C'D=CC'2?CD2=3，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形，E為高BD上的動(dòng)點(diǎn)，
∴∠CBE=12∠ABC=30°，BC=AC，
∵將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CF，
∴CE=CF，∠ECF=∠BCA=60°，
∴∠BCE=∠ACF，
∴△CBE≌△CAF(SAS)，
∴∠CAF=∠CBE=30°，
∴點(diǎn)F在射線AF上運(yùn)動(dòng)，
如圖所示，作點(diǎn)C關(guān)于AF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C'，連接DC'，
設(shè)CC'交AF于點(diǎn)O，則∠AOC=90°，
在Rt△AOC中，∠CAO=30°，則CO=12AC=1，
當(dāng)D，F(xiàn)，C'三點(diǎn)共線時(shí)，F(xiàn)C+FD取最小值，即FC+FD=F'C'+F'D=C'D，
∵∠ACO=90°?∠CAO=60°，
∴∠C'=90°?∠DCO=90°?60°=30°，
∵CC'=AC=2，
∴CD=12CC'=1，
∴C'D=CC'2?CD2=22?12=3，
∴△CDF周長(zhǎng)的最小值為1+3，
故答案為：30°；1+3．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）等邊△ABC邊長(zhǎng)為6，D是BC中點(diǎn)，E在AD上運(yùn)動(dòng)，連接BE，在BE下方作等邊△BEF，則△BDF周長(zhǎng)的最小值為 ．

【答案】33+3/3+33
【分析】連接CF，由條件可以得出∠ABE=∠CBF，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以證明△BAE≌△BCF，從而可以得出∠BCF=∠BAD=30°，作點(diǎn)D關(guān)于CF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連接CG，DG，則FD=FG，依據(jù)當(dāng)B，F(xiàn)，G在同一直線上時(shí)，DF+BF的最小值等于線段BG長(zhǎng)，可得△BDF的周長(zhǎng)最小．
【詳解】解：如圖，連接CF，
∵△ABC、△BEF都是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，BE=EF=BF，∠BAC=∠ABC=∠ACB=∠EBF=∠BEF=∠BFE=60°，
∴∠ABC?∠EBD=∠EBF?∠EBD，
∴∠ABE=∠CBF，
∴△BAE≌△BCF(SAS)，
∴∠BCF=∠BAD=30°，
如圖，作點(diǎn)D關(guān)于CF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連接CG，DG，則FD=FG，∠GCF=∠BCF=30°，
∴當(dāng)B，F(xiàn)，G在同一直線上時(shí)，DF+BF的最小值等于線段BG長(zhǎng)，且BG⊥CG時(shí)，△BDF的周長(zhǎng)最小，
∴ BGBC=sin∠BCG=sin60°=32，
∴BG=32BC=32×6=33．
∴△BDF周長(zhǎng)：DF+BF+BD=BG+BD=33+3．
故答案為：33+3．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形．凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱(chēng)變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．
6．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、M、E、F依次在直線l上，點(diǎn)A、B固定不動(dòng)，且AB=2，分別以AB、EF為邊在直線l同側(cè)作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN=90°，直角邊MP恒過(guò)點(diǎn)C，直角邊MN恒過(guò)點(diǎn)H．
(1)如圖1，若BE=10，EF=12，求點(diǎn)M與點(diǎn)B之間的距離；
(2)如圖1，若BE=10，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B、E之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，求HE的最大值；
(3)如圖2，若BF=22，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B、F之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M隨之運(yùn)動(dòng)，連接CH，點(diǎn)O是CH的中點(diǎn)，連接HB、MO，則2OM+HB的最小值為_(kāi)______．
【答案】(1)4或6；
(2)12.5；
(3)2221．
【分析】（1）設(shè)BM=x，則ME=10?x，證明△BCM∽△EMH，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出BCEM=BMEH，則210?x=x12，轉(zhuǎn)化為x2?10x+24=0，解方程即可；
（2）設(shè)BM=x，則ME=10?x，證明△BCM∽△EMH，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出BCEM=BMEH，則210?x=xHE，轉(zhuǎn)化為HE=?12x2+5x=?12x?52+12.5然后由二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）連接FH，由四邊形EFGH是正方形，得∠HFE=45°，即點(diǎn)H對(duì)角線FH所在直線上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得OM=12CH，當(dāng)C、H、B'三點(diǎn)共線時(shí)，CH+HB有最小值B'C，利用勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)BM=x，則ME=10?x，
∵四邊形ABCD、EFGH是正方形，
∴∠ABC=∠CBM=90°，∠HEF=∠MEH=90°，AB=BC=2，
∴∠CBM=∠MEH=90°，∠BCM+∠CMB=90°，
∵∠PMN=90°，
∴∠EMH+∠CMB=90°，
∴∠BCM=∠EMH,
∴△BCM∽△EMH，
∴BCEM=BMEH，即210?x=x12，則x2?10x+24=0，
解得：x=6或x=4，
∴BM=6或BM=4；
（2）設(shè)BM=x，則ME=10?x，
∵四邊形ABCD、EFGH是正方形，
∴∠ABC=∠CBM=90°，∠HEF=∠MEH=90°，AB=BC=2，
∴∠CBM=∠MEH=90°，∠BCM+∠CMB=90°，
∵∠PMN=90°，
∴∠EMH+∠CMB=90°，
∴∠BCM=∠EMH，
∴△BCM∽△EMH，
∴BCEM=BMEH，即210?x=xHE，
∴HE=?12x2+5x=?12x?52+12.5，
當(dāng)BM=5時(shí)，HE有最大，最大值為12.5；
（3）連接FH，
∵四邊形EFGH是正方形，
∴∠HFE=45°，
即點(diǎn)H在對(duì)角線FH所在直線上運(yùn)動(dòng)，
如圖，作B關(guān)于FH的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，連接B'C，過(guò)C作CQ⊥FG于點(diǎn)Q，
∴BF=B'F，四邊形BFQC為矩形，
則點(diǎn)B'、G、Q三點(diǎn)共線，BC=FQ=2，CQ=BF=22
∴B'F=FB=22，
∴B'Q=B'F?FQ=20，
∵∠CMH=90°，點(diǎn)O是CH的中點(diǎn)，
∴OM=12CH，
∴2OM+HB=CH+HB'，
∴當(dāng)C、H、B'三點(diǎn)共線時(shí)，CH+HB有最小值B'C，
∴在Rt△CB'Q中，由勾股定理得：B'C=CQ2+B'Q2=222+202=884=2221，
∴2OM+HB的最小值為2221，
故答案為：2221．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，解一元二次方程，二次函數(shù)的最值，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
題型02 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓
1．（2024·安徽淮北·三模）如圖，線段AB=4，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離是1，連接PB，線段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PC，連接AC，則線段AC長(zhǎng)度的最大值是（ ）
A．3B．4C．22D．32
【答案】D
【分析】以AB為斜邊向上作等腰直角△AJB，連接CJ，BC．利用相似三角形的性質(zhì)證明JC=2，推出點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以J為圓心，2為半徑的圓，根據(jù)AC≤AJ+JC=32，可得結(jié)論．
【詳解】解：以AB為斜邊向上作等腰直角△AJB，連接CJ，BC．
∵AM=BM，
∴JM=AM=MB，
∴△JMB是等腰直角三角形，△PBC是等腰直角三角形，
∴∠MBJ=∠PBC=45°
∴BJ=BMcs45°=2BM，同理BC=2PB，
∴∠MBP=∠JBC，JBMB=BCBP，
∴△JBC∽△MBP，
∴ JCPM=JBBM=2，
∵PM=1，
∴JC=2，
∴點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以J為圓心，2為半徑的圓，
∵AJ=22AB=22，
∴AC≤AJ+JC=32，
故線段AC長(zhǎng)度的最大值為32．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題．
2．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=12，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，P是以A為圓心，以AD為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC，則 PBPC的最大值為（ ）
A．103B．31010C．13?14D．13+14
【答案】D
【分析】此題考查了解直角三角形，根據(jù)阿氏圓的定義，分別固定BP，分別確定A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為阿氏圓O，C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為阿氏圓O'，，由此可知，當(dāng)PC最最小時(shí)，PBPC的值最大，進(jìn)行求解即可.
【詳解】解：固定BP，則BAAP=2，
∴A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為阿氏圓O，
設(shè)OP=a，則AO=2a，BO=4a，則PB=BO?OP=3a，
∵∠ABC=90°，ABBC=2，
∴C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為阿氏圓O'，
∴∠OBO'=90°，
∴O'B=2a，O'C=a，
∴當(dāng)PC最小時(shí)，PBPC的值最大，
PO'=PB2+OB2=3a2+2a2=13a，
∴PBPC=PBPO'?O'C=3a13a?a=13+14，
故選：D．
3．（2023·山東泰安·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOB的一條直角邊OB在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?6，4)；Rt△COD中，∠COD=90°，OD=43，∠D=30°，連接BC，點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，連接AM．將Rt△COD以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段AM的最小值是（ ）

A．3B．62?4C．213?2D．2
【答案】A
【分析】如圖所示，延長(zhǎng)BA到E，使得AE=AB，連接OE，CE，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?6，4)得到BE=8，再證明AM是△BCE的中位線，得到AM=12CE；解Rt△COD得到OC=4，進(jìn)一步求出點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，半徑為4的圓上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)點(diǎn)M在線段OE上時(shí)，CE有最小值，即此時(shí)AM有最小值，據(jù)此求出CE的最小值，即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)BA到E，使得AE=AB，連接OE，CE，
∵Rt△AOB的一條直角邊OB在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?6，4)，
∴AB=4，OB=6，
∴AE=AB=4，
∴BE=8，
∵點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，點(diǎn)A為BE中點(diǎn)，
∴AM是△BCE的中位線，
∴AM=12CE；
在Rt△COD中，∠COD=90°，OD=43，∠D=30°，
∴OC=33OD=4，
∵將Rt△COD以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，
∴點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，半徑為4的圓上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)點(diǎn)M在線段OE上時(shí)，CE有最小值，即此時(shí)AM有最小值，
∵OE=BE2+OB2=10，
∴CE的最小值為10?4=6，
∴AM的最小值為3，
故選A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值問(wèn)題，勾股定理，三角形中位線定理，坐標(biāo)與圖形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
4．（21-22九年級(jí)上·江蘇南京·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，點(diǎn)P在以AB為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，連接CP，點(diǎn)M是CP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為 ．
【答案】5π
【分析】由AB是直徑，得∠APB＝90°，取BC，AC的中點(diǎn)E和F，連接ME，MF，EF，由三角形中位線知ME⊥MF，即∠EMF＝90°，則點(diǎn)M在以EF為直徑的半圓上，即可得出答案．
【詳解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，
∴AB＝AC2+BC2＝162+122＝20，
連接AP，BP，
∵AB是直徑，
∴∠APB＝90°，
即AP⊥BP，
取BC，AC的中點(diǎn)E和F，連接ME，MF，EF，
在△BPC中，
∵M(jìn)，E為PC、BC的中點(diǎn)，
∴ME∥BP，ME＝12BP，
在△APC中，
∵點(diǎn)M、F為PC、AC的中點(diǎn)，
∴MF∥AP，MF＝12AP，
∴ME⊥MF，
即∠EMF＝90°，
∴點(diǎn)M在以EF為直徑的半圓上，
∴EF＝12AB＝10，
∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為12×2π×5＝5π，
故答案為：5π．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，三角形中位線定理以及弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，利用定角對(duì)定弦確定點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·山東日照·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，把線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，連接OF，則線段OF長(zhǎng)的最小值是 ．

【答案】2
【分析】點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)所形成的圖象是一條直線，當(dāng)OF⊥F1F2時(shí)，垂線段OF最短，當(dāng)點(diǎn)F1在x軸上時(shí)，由勾股定理得：P1O=F1O=433，進(jìn)而得P1A=P1F1=AF1=833，求得點(diǎn)F1的坐標(biāo)為433,0，當(dāng)點(diǎn)F2在y軸上時(shí)，求得點(diǎn)F2的坐標(biāo)為（0，-4），最后根據(jù)待定系數(shù)法，求得直線F1F2的解析式為y=3x-4，再由線段中垂線性質(zhì)得出F1F2=AF1=833，在Rt△OF1F2中，設(shè)點(diǎn)O到F1F2的距離為h，則根據(jù)面積法得12×OF1×OF2=12×F1F2×?，即12×433×4=12×833×?，解得h=2，根據(jù)垂線段最短，即可得到線段OF的最小值為2．
【詳解】解：∵將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，
∴∠APF=60°，PF=PA，
∴△APF是等邊三角形，
∴AP=AF，
如圖，當(dāng)點(diǎn)F1在x軸上時(shí)，△P1AF1為等邊三角形，
則P1A=P1F1=AF1，∠AP1F1=60°，
∵AO⊥P1F1，
∴P1O=F1O，∠AOP1=90°，
∴∠P1AO=30°，且AO=4，
由勾股定理得：P1O=F1O=433，
∴P1A=P1F1=AF1=833，
∴點(diǎn)F1的坐標(biāo)為433,0，
如圖，當(dāng)點(diǎn)F2在y軸上時(shí)，

∵△P2AF2為等邊三角形，AO⊥P2O，
∴AO=F2O=4，
∴點(diǎn)F2的坐標(biāo)為（0，-4），
∵tan∠OF1F2=OF2OF1=4433=3，
∴∠OF1F2=60°，
∴點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)所形成的圖象是一條直線，
∴當(dāng)OF⊥F1F2時(shí)，線段OF最短，
設(shè)直線F1F2的解析式為y=kx+b，
則433k+b=0b=?4，
解得k=3b=?4，
∴直線F1F2的解析式為y=3x-4，
∵AO=F2O=4，AO⊥P1F1，
∴F1F2=AF1=833，
在Rt△OF1F2中，OF⊥F1F2，
設(shè)點(diǎn)O到F1F2的距離為h，則12×OF1×OF2=12×F1F2×?，
∴12×433×4=12×833×?，
解得h=2，
即線段OF的最小值為2，
故答案為2．
【點(diǎn)睛】本題屬于三角形的綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法的運(yùn)用等，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造等邊三角形以及面積法求最短距離，解題時(shí)注意勾股定理、等邊三角形三線合一以及方程思想的靈活運(yùn)用．
6．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，M是正方形ABCD邊CD的中點(diǎn)，P是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接BP，線段BP以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BQ，連接MQ．若AB=4，MP=1，則MQ的最小值為 ．

【答案】210?1
【分析】連接BM，將BM以B中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，M點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，由 P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以M為圓心，1為半徑的半圓，可得：Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是以E為圓心，1為半徑的半圓，再根據(jù)“圓外一定點(diǎn)到圓上任一點(diǎn)的距離，在圓心、定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)，三點(diǎn)共線時(shí)定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)之間的距離最短”，所以當(dāng)M、Q、E三點(diǎn)共線時(shí)，MQ的值最小，可求ME=2BM=210，從而可求解．
【詳解】解，如圖，連接BM，將BM以B中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，M點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，

∵ P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以M為圓心，1為半徑的半圓，
∴ Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是以E為圓心，1為半徑的半圓，
如圖，當(dāng)M、Q、E三點(diǎn)共線時(shí)，MQ的值最小，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD=AB=BC=4，∠C=90°，
∵M(jìn)是CM的中點(diǎn)，
∴CM=2，
∴BM=CM2+BC2
=22+42=25，
由旋轉(zhuǎn)得：BM=BE，
∴ME=2BM=210，
∴MQ=ME?EQ
=210?1，
∴ MQ的值最小為210?1．
故答案：210?1．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的線段最小值問(wèn)題，掌握相關(guān)的性質(zhì)，根據(jù)題意找出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．
7．（2020·江蘇連云港·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的⊙O與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，直線y=34x?3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E，則△CDE面積的最小值為 ．
【答案】2
【分析】如圖，連接OB，取OA的中點(diǎn)M，連接CM，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥DE于N．首先證明點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以M為圓心，1為半徑的⊙M，設(shè)⊙M交MN于C′．求出MN，當(dāng)點(diǎn)C與C′重合時(shí)，△C′DE的面積最?。?br>【詳解】解：如圖，連接OB，取OA的中點(diǎn)M，連接CM，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥DE于N．
∵AC=CB，AM=OM，
∴MC=12OB=1，
∴點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以M為圓心，1為半徑的⊙M，設(shè)⊙M交MN于C′．
∵直線y=34x-3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E，
∴D（4，0），E（0，-3），
∴OD=4，OE=3，
∴DE=OE2+OD2=32+42=5，
∵∠MDN=∠ODE，∠MND=∠DOE，
∴△DNM∽△DOE，
∴MNOE=DMDE，
∴MN3=35，
∴MN=95，
當(dāng)點(diǎn)C與C′重合時(shí)，△C′DE的面積最小，△C′DE的面積最小值=12×5×95?1=2，
故答案為2．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的中位線定理，三角形的面積，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造三角形的中位線解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
8．（2024·四川瀘州·二模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，以C為圓心，2為半徑作⊙C，點(diǎn)P為⊙C上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，并將BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BP'，連接CP'，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，CP'長(zhǎng)度的最大值是 ．

【答案】52+2/2+52
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和最大值問(wèn)題．連接AP'，CP，證明△ABP'≌△CBPSAS，得到AP'=CP=2，點(diǎn)P'在以A為圓心，2為半徑的⊙A上，當(dāng)P'在對(duì)角線CA延長(zhǎng)線上時(shí)，CP'最大，再利用勾股定理求對(duì)角線CA的長(zhǎng)，即可得出CP'長(zhǎng)度的最大值．
【詳解】解：連接AP'，CP，

∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵將BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BP'，
∴BP'=BP，∠P'BP=90°，
∴∠ABP'=90°?∠ABP=∠CBP，
∴△ABP'≌△CBPSAS，
∴AP'=CP=2，
∴點(diǎn)P'在以A為圓心，2為半徑的⊙A上，
如圖，當(dāng)P'在對(duì)角線CA延長(zhǎng)線上時(shí)，CP'最大，

在Rt△ABC中，AB=BC=5，
∴AC=AB2+BC2=52，
即CP'長(zhǎng)度的最大值為AC+AP'=52+2，
故答案為：52+2．
9．（21-22九年級(jí)上·浙江紹興·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，BD＝2，以點(diǎn)B為圓心，BD長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)E為⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)EC，作FC⊥CE，垂足為C，點(diǎn)F在直線BC的上方，且滿(mǎn)足CF=12CE，連結(jié)BF．當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，BF的值為 ．點(diǎn)E在⊙B上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，BF存在最大值為 ．
【答案】 210 35+1/1+35
【分析】根據(jù)題意可知當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)F在AC上，且可求出CE的長(zhǎng)，從而可求出CF的長(zhǎng)，即在Rt△BCF中，利用勾股定理求出BF的長(zhǎng)即可；連接AF、BE，由題意即可求出ACBC=CFCE=12．再根據(jù)∠ACF+∠ACE=90°，∠BCE+∠ACE=90°，可得出∠ACF=∠BCE，即證明△ACF～△BCE，得出AFBE=12．從而可求出AF的長(zhǎng)，即說(shuō)明點(diǎn)F在以點(diǎn)A為圓心，半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)．則可知當(dāng)點(diǎn)F在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)BF最大，最大值為AF+AB．在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的值，即得出答案．
【詳解】根據(jù)題意可知，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)F在AC上，如圖，
∵CE=BC?BD=6?2=4，
∴CF=12CE=2．
∴在Rt△BCF中，BF=BC2+CF2=62+22=210；
如圖，連接AF、BE
∵ACBC=36=12，CF=12CE，
∴ACBC=CFCE=12．
∵∠ACF+∠ACE=90°，∠BCE+∠ACE=90°，
∴∠ACF=∠BCE，
∴△ACF～△BCE，
∴AFBE=CFCE=12．
∵BE=BD=2，
∴AF=12BE=1，即AF的長(zhǎng)為定值．
∴點(diǎn)F在以點(diǎn)A為圓心，半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)．
∴當(dāng)點(diǎn)F在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)BF最大，且值為AF+AB．
在Rt△ABC中，AB=BC2+AC2=62+32=35，
∴BFmax=1+35．
故答案為：210，1+35．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，較難．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．在解決第二個(gè)空時(shí)，證明出點(diǎn)F在以點(diǎn)A為圓心，半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)是關(guān)鍵．
10．（2024·吉林長(zhǎng)春·二模）【問(wèn)題呈現(xiàn)】數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖①，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A是⊙O外的一個(gè)定點(diǎn)，OA=4．點(diǎn)P在⊙O上，作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q，連接PA、AQ．當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，試探究點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑．
【問(wèn)題解決】經(jīng)過(guò)討論，小組同學(xué)想利用全等三角形的知識(shí)解決該問(wèn)題；如圖②，延長(zhǎng)OA至點(diǎn)M，使AM=OA，連接OP、MQ，通過(guò)證明△OAP≌△MAQ，可推出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)M為圓心、2為半徑的圓．下面是部分證明過(guò)程：
證明：延長(zhǎng)OA至點(diǎn)M，使AM=OA，連接OP、MQ．
1°當(dāng)點(diǎn)P在直線OA外時(shí)，
2°當(dāng)點(diǎn)P在直線OA上時(shí)，
易知OP=MQ=2．
綜上，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)M為圓心、2為半徑的圓．
請(qǐng)你補(bǔ)全證明中缺失的過(guò)程．
【結(jié)論應(yīng)用】如圖③，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，連接EF，點(diǎn)O是EF中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段OF上的任意一點(diǎn)，AB=4，BC=8．點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，AP=2，連接AP．作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q，連接PM、MQ．
（1）當(dāng)點(diǎn)M是線段OF中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為_(kāi)_______________．
（2）當(dāng)點(diǎn)M在線段OF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接EQ．設(shè)線段EQ長(zhǎng)度的最大值為a，最小值為b，則a+b=________________．
【答案】問(wèn)題解決：證明過(guò)程見(jiàn)解析；結(jié)論應(yīng)用：（1）4π；（2）217+265
【分析】問(wèn)題解決：延長(zhǎng)OA至點(diǎn)M，使AM=OA，連接OP、MQ．當(dāng)點(diǎn)P在直線OA外時(shí)，證明△AOP≌△AMQSAS得出QM=OP=2；當(dāng)點(diǎn)P在直線OA上時(shí)，則OP=MQ=2，即可得解；
結(jié)論應(yīng)用：（1）由問(wèn)題解決可得：當(dāng)點(diǎn)M是線段OF中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑為2為半徑的圓，由此計(jì)算即可得出答案：
（2）由問(wèn)題解決可得：點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑為2為半徑的圓，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí)，此時(shí)：點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑為以C為圓心，2為半徑的圓，連接CE交圓C于Q，此時(shí)EQ的長(zhǎng)度最??；當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)F重合時(shí)，此時(shí)：點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑為以G為圓心，2為半徑的圓，連接CG，連接EG交圓G于Q，此時(shí)EQ的長(zhǎng)度最大；分別求出a、b的值即可得解．
【詳解】問(wèn)題解決：
證明：延長(zhǎng)OA至點(diǎn)M，使AM=OA，連接OP、MQ．
1°當(dāng)點(diǎn)P在直線OA外時(shí)，
在△AOP和△AMQ中，
AO=AM∠OAP=∠MAQAP=AQ，
∴△AOP≌△AMQSAS，
∴QM=OP=2；
2°當(dāng)點(diǎn)P在直線OA上時(shí)，則OP=MQ=2．
綜上，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)M為圓心、2為半徑的圓；
結(jié)論應(yīng)用：
（1）由問(wèn)題解決可得：當(dāng)點(diǎn)M是線段OF中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑為2為半徑的圓，
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為2π×2=4π；
（2）由問(wèn)題解決可得：點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑為2為半徑的圓，
如圖，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí)，此時(shí)：點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑為以C為圓心，2為半徑的圓，連接CE交圓C于Q，此時(shí)EQ的長(zhǎng)度最小，
，
由題意得：BE=12AB=2，CQ=2，BC=8，∠ABC=90°，
∴由勾股定理得：CE=BC2+EB2=82+22=217，
∴線段EQ長(zhǎng)度的最小值為b=217?2；
如圖，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)F重合時(shí)，此時(shí)：點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑為以G為圓心，2為半徑的圓，連接CG，連接EG交圓G于Q，此時(shí)EQ的長(zhǎng)度最大，
，
由題意得：AF=FG，DF=CF，
∵∠AFD=∠GFC，
∴△ADF≌△GCFSAS，
∴∠D=∠GCF=90°，CG=AD=8，
∵∠DCB+∠GCF=180°，
∴E、C、G在同一直線上，
∴BG=BC+CG=8+8=16，
∴EG=BE2+BG2=22+162=265，
∴線段EQ長(zhǎng)度的最大值為a=265+2，
∴a+b=265+2+217?2=265+217．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、求弧長(zhǎng)、圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解此題的關(guān)鍵．
【針對(duì)訓(xùn)練】
1．（2022·山東泰安·二模）如圖，矩形ABCD的邊AB=112,BC=3，E為AB上一點(diǎn)，且AE=1，F(xiàn)為AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，若以EF為邊向右側(cè)作等腰直角三角形EFG,EF=EG，連接CG，則CG的最小值為（ ）
A．5B．52C．3D．22
【答案】B
【分析】過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AB于H，過(guò)點(diǎn)G作MN∥AB，由“AAS”可證△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可得點(diǎn)G在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)F與D重合時(shí)，CG有最小值，即可求解．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AB于H，過(guò)點(diǎn)G作MN∥AB，
∵四邊形ABCD是矩形，AB＝112，BC＝3，
∴∠B＝90°，CD＝112，AD＝3，
∵AE＝1，
∴BE＝92，
∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，
∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，
∴∠EGH＝∠FEA，
又∵GE＝EF，
∴△GEH≌△EFA（AAS），
∴GH＝AE＝1，
∴點(diǎn)G在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)F與D重合時(shí)，CG有最小值，此時(shí)AF＝EH＝3，
∴CG的最小值＝112?1?32+22=52，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，確定點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是本題的關(guān)鍵．
2．（2024·河南周口·一模）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=16，AD=12，∠A=60°，E是邊AD上一點(diǎn)，且AE=8，F(xiàn)是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到EG，連接BG、CG，則BG+CG的最小值是（ ）.
A．4B．415C．421D．37
【答案】C
【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，軌跡，菱形的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．取AB的中點(diǎn)N．連接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于H．利用全等三角形的性質(zhì)證明∠GNB=60°，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線NG，由“SAS”可證△EGN≌△BGN，可得GB=GE，推出GB+GC=GE+GC≥EC，求出EC即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：如圖，取AB的中點(diǎn)N．連接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于H，
∵AE=8，AD=12，
∴DE=4，
∵點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，
∴AN=NB=8，
∴AE=AN，
∵∠A=60°，
∴△AEN是等邊三角形，
∴∠AEN=∠FEG=60°，
∴∠AEF=∠NEG，
∵EA=EN，EF=EG，
∴△AEF≌△NEGSAS，
∴∠ENG=∠A=60°，
∵∠ANE=60°，
∴∠GNB=180°?60°?60°=60°，
∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線NG，
∵BN=EN，∠BNG=∠ENG=60°，NG=NG，
∴△EGN≌△BGNSAS，
∴GB=GE，
∴GB+GC=GE+GC≥EC，
在Rt△DEH中，∠H=90°，DE=4，∠EDH=60°，
∴DH=12DE=2，EH=23，
在Rt△ECH中，EC=EH2+CH2=12+182=421，
∴GB+GC≥2，
∴GB+GC的最小值為421，
故選：C．
3．如圖，等腰Rt△ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)為2，O為AB的中點(diǎn)，P為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，OQ⊥OP交BC于點(diǎn)Q，M為PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為
【答案】1
【分析】連接OC，OM、CM，如圖，利用斜邊上的中線性質(zhì)得到OM=12PQ，CM=12PQ，則OM=CM，于是可判斷點(diǎn)M在OC的垂直平分線上，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的軌跡為△ABC的中位線，然后根據(jù)三角形中位線性質(zhì)求解．
【詳解】連接OC，OM、CM，如圖，
∵M(jìn)為PQ的中點(diǎn)，
∴OM=12PQ，CM=12PQ，
∴OM=CM，
∴點(diǎn)M在OC的垂直平分線上，
∴點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的軌跡為△ABC的中位線，
∴點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)=12AB=1．
故答案為:1．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形及軌跡：通過(guò)計(jì)算確定動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不變的量，從而得到運(yùn)動(dòng)的軌跡．
4（2023·四川成都·一模）如圖，四邊形ABCD為矩形，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊DC上，連接AE，過(guò)D做DF⊥AE，垂足為F，連接OF，若∠DAE=30°，DE=10，則OF的最小值為 ．
【答案】532
【分析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系，先根據(jù)面積法可計(jì)算DF的長(zhǎng)為53，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：F是一個(gè)定點(diǎn)，O的軌跡為AD中垂線上的一部分，所以垂線段最短，可知FN的長(zhǎng)是OF的最小值，最后由等邊三角形三線合一的性質(zhì)可得結(jié)論．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADE=90°，AC=BD，OA=12AC，OD=12BD，
∴OA=OD，
∵∠DAE=30°，DE=10，
∴AE=2DE=20，AD=AE2?DE2=202?102=103，
∵DF⊥AE，
∴ S△ADE=12×10×103=12×20×DF，
∴ DF=532
∵F是一個(gè)定點(diǎn)，O的軌跡為AD中垂線上的一部分，如下圖所示，過(guò)點(diǎn)F作FP⊥AD于P，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AD于M，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥OM于N，所以垂線段最短，則OF的最小值為FN的值，
∵FP∥DE，
∴∠DFP=∠EDF=30°，
∴PD=12DF=532，
Rt△ADE中，AD=103，
∵OM⊥AD，OA=OD，
∴ AM=DM=53，
∴ FN=PM=53?532=532，
即OF的最小值為532．
故答案為：532．
5．（21-22九年級(jí)下·福建福州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y=12x+2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將Q繞點(diǎn)P-1,0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)Q'，連接OQ'，則OQ'最小值為 ．
【答案】5
【分析】設(shè)Q(t,12t+2)，作AB⊥x軸，作AQ⊥AB，作Q'B⊥AB，根據(jù)AAS可證明△APQ?△BQ'P，由此可求Q'(?12t?3,t+1)，令x=?12t?3，y=t+1，可得Q'在直線y=?2x?5上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)OQ'⊥EQ時(shí)，OQ'的值最小，再由tan∠CDO=12得tan∠OEQ'=12，進(jìn)而得出OE=5，即可得出答案．
【詳解】解：設(shè)Q(t,12t+2)，
過(guò)點(diǎn)P作AB⊥x軸，過(guò)點(diǎn)Q作AQ⊥AB交于A點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q'作Q'B⊥AB交于B點(diǎn)，
∵∠QPQ'=90°，
∴∠QPA+∠Q'PB=90°.
∵∠QPA+∠AQP=90°，
∴∠Q'PB=∠AQP.
∵QP=Q'P，
∴△APQ?△BQ'P(AAS)，
∴QA=PB，AP=Q'B.
∵P(?1,0)，
∴QA=?t?1，AP=12t+2，
∴Q'(?12t?3,t+1)，
令x=?12t?3，y=t+1，
∴y=?2x?5，
∴點(diǎn)Q'在直線y=?2x?5上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)OQ'⊥EQ時(shí)，OQ'的值最小.
在y=12x+2中，令x=0，則y=2，令y=0，則x=?4，
∴C(0,2)，D(?4,0)，
∴tan∠CDO=12．
∵∠CDO=∠OEQ'，
∴tan∠OEQ'=12，
∴Q'E=2OQ'，
在y=?2x?5中，令x=0，則y=?5，
∴E(0,?5)，
∴OE=5.
∵(OQ')2+(EQ')2=OE2，
即5(OQ')2=25，
解得OQ'=5，
所以O(shè)Q'的最小值為5.
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，確定點(diǎn)Q'的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．
6．（23-24九年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期末）【問(wèn)題初探】
數(shù)學(xué)課上張老師在講完正方形的性質(zhì)之后提出了一個(gè)問(wèn)題：
四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，點(diǎn)E是邊AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接CE，以CE為一邊作正方形CEFG（點(diǎn)C，E，F(xiàn)，G按順時(shí)針?lè)较蚺帕校?，連接BF，DG．
(1)如圖1，求點(diǎn)G到CD的距離，請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程；
【類(lèi)比分析】
愛(ài)動(dòng)腦的數(shù)學(xué)興趣小組在研討的過(guò)程中，也提出了一個(gè)問(wèn)題：
(2)如圖2，當(dāng)BF經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，求DG的長(zhǎng)，請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程；
【學(xué)以致用】
看到同學(xué)們興致勃勃的樣子，張老師說(shuō)：“角相等可以是三角形全等的條件，也能推導(dǎo)出相似”，于是給同學(xué)們留了一道思考題：
(3)求代數(shù)式2DG+BF的最小值．經(jīng)過(guò)小組研討，組長(zhǎng)小明進(jìn)行了整理，給出了部分解題思路；
解題思路：如圖3，作等腰直角△ACF1，使∠CAF1=90°，連接AC，CF，AF，則點(diǎn)C，D，F(xiàn)1三點(diǎn)共線，
由∠ACF=∠DCG，ACDC=CFCG=2，可得△ACP∽△DCG，
由∠F1CF=∠ACE，CF1AC=CFCE=2，可得△CF1F∽△CAE，
……
請(qǐng)完成“……”部分的解答過(guò)程．
【答案】(1)3
(2)325
(3)313
【分析】（1）如圖1，作GH⊥CD于H，可證得△CHG≌△EDCAAS，從而GH=CD=3；
（2）作FX⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)X，作GH⊥CD于H，可證得△EXF≌△CDE≌△GHC，從而FX=DE=CH，GH=CD=3，可得出∠XFD=∠FDX=45°，從而DX=FX=DE，進(jìn)而EX=ED+DX=2FX，進(jìn)而得出DE=12CD，進(jìn)一步即可解答；
（3）由題意可得AFDG=CFCG=2，∠CF1F=∠CAE=45°，從而∠AF1F=90°，AF=2DG，點(diǎn)F在過(guò)F1且與CF1夾角為45° 的直線上運(yùn)動(dòng)，從而得出2DG+BF=AF+BF，延長(zhǎng)AF1至V，使F1V=AF1=2AD=32，連接BV，則AF+BF的最小值為BV的長(zhǎng)，作VZ⊥AB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Z，得等腰直角三角形AVZ，可求得AZ=ZV=22AV=6，進(jìn)而完成解答．
【詳解】（1）解：如圖1：作GH⊥CD于H，
∴∠CHG=90°，
∵四邊形ABCD和四邊形EFGC是正方形，
∴∠ADC=∠ECG=90°，CE=CG，
∴∠ADC=∠CHG，∠ECD+∠GCH=90°，∠GCH+∠CGH=90°，
∴∠ECD=∠CGH，
∴△CHG≌△EDCAAS，
∴GH=CD=3．
（2）解：如圖2：作FX⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)X，作GH⊥CD于H，
同理（1）可知：△EXF≌△CDE≌△GHC，
∴FX=DE=CH，GH=CD=3，
∵∠XDF=∠ADB=45°，∠FXD=90°，
∴∠XFD=∠FDX=45°，
∴DX=FX=DE，
∴EX=ED+DX=2FX，
∴CDDE=EXFX=2，
∴DE=12CD，
∴CH=12CD，
∴DH=12CD=32，
∴DG=DH2+GH2=322+32=325．
（3）解：如圖3，
∴AFDG=CFCG=2，∠CF1F=∠CAE=45°，，
∴∠AF1F=90°，AF=2DG，點(diǎn)F在過(guò)F1且與CF1夾角為45° 的直線上運(yùn)動(dòng)，
∴2DG+BF=AF+BF，
延長(zhǎng)AF1至V，使F1V=AF1=2AD=32，連接BV，則AF+BF的最小值為BV的長(zhǎng)，作VZ⊥AB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Z，可得等腰直角三角形AVZ，
∴AZ=ZV=22AV=6，
∴ZB=AB+AZ=9，
∴BV=ZB2+ZV2=92+62=313，
∴2DG+BF的最小值為：313．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等知識(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
7．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）如圖，分別經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)A8,0的動(dòng)直線a，b，其夾角∠OBA=30°，點(diǎn)M是OB中點(diǎn)，連接AM，則AM的最小值是（ ）
A．4B．23+2C．43?4D．43+4
【答案】C
【分析】作△AOB的外接圓⊙P，連接OP，PA，PB，取OP的中點(diǎn)Q，連接QM，證明△OAP是等邊三角形，求出QM=12B=4，得到點(diǎn)M在以Q為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出⊙Q，當(dāng)M在⊙Q與QA的交點(diǎn)時(shí)，連接QA交⊙Q于M，此時(shí)AM有最小值，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理即可求解．
【詳解】解：作△AOB的外接圓⊙P，連接OP，PA，PB，取OP的中點(diǎn)Q，連接QM，
∵∠APO=2∠ABO=60°，PO=PA，
∴△OAP是等邊三角形，
∵A8,0，
∴PO=PA=PB=8，
∵OQ=QP，OM=MB，
∴QM=12B=4，
∴點(diǎn)M在以Q為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出⊙Q，
當(dāng)M在⊙Q與QA的交點(diǎn)時(shí)，連接QA交⊙Q于M，此時(shí)AM有最小值，
∵△OPA是等邊三角形，OQ=PQ，
∴AQ⊥OP，
∵OA=8，OQ=4，
∴AQ=82?42=43．
∴AM的最小值是43?4，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，點(diǎn)到圓上的距離，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造三角形外接圓是解題的關(guān)鍵．
8（2022·遼寧撫順·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB＝4，O為AB的中點(diǎn)，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，以PB為直角邊的等腰直角三角形PBC（點(diǎn)P、B、C按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?，則線段AC的長(zhǎng)度的最大值為 ．
【答案】32
【分析】作OK⊥AB于點(diǎn)O，在OK上截取OK=OA=OB，連接AK，BK，KC，OP，可得△ABK為等腰直角三角形，從而得到∠OBK=∠PBC，OBBK=PBBC=22 ，進(jìn)而得到△OBP∽△KBC，可得到KCOP=BCPB=2 ，則有KC=2 ，進(jìn)而得到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)K為圓心，KC長(zhǎng)為半徑的圓，即可求解．
【詳解】解：如圖，作OK⊥AB于點(diǎn)O，在OK上截取OK=OA=OB，連接AK，BK，KC，OP，
∵OK=OA=OB，OK⊥AB，
∴KA=KB，∠OAK=∠AKO，∠OBK=∠OKB，
∴∠AKB=90°，
∴△ABK為等腰直角三角形，
∴OB2+OK2=2OB2=BK2 ，
∴∠OBK=∠OAK=45°，
∵△PBC為等腰直角三角形，
∴PB2+PC2=2PB2=BC2 ，
∴∠PBC=45°，OBBK=PBBC=22 ，
∴∠OBK=∠PBC，
∴△OBP∽△KBC，
∴KCOP=BCPB=2 ，
∵OP=1，
∴KC=2 ，
∴點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)K為圓心，KC長(zhǎng)為半徑的圓，
∵AK=2OA=22 ，
∴AC的最大值為22+2=32 ．
故答案為：32
【點(diǎn)睛】本題考查圓綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，解題的突破點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)K為圓心，KC為半徑的圓，所以中考填空題中的壓軸題．
9．（2024·河南鄭州·三模）如圖，點(diǎn)M是等邊三角形ABC邊BC的中點(diǎn)，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，連接AP，將線段AP以A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接MQ．若AB=4，MP=1，則MQ的最小值為 ．
【答案】23?1
【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓的有關(guān)定義以及和性質(zhì)等知識(shí)，得到點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路線是解答的關(guān)鍵．連接PM，AM，將線段AM繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AH，連接QH，MH，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可推導(dǎo)△HAQ≌△MAPSAS，△MAH是等邊三角形，則HQ=MP=1，MH=AM，根據(jù)圓的定義可得點(diǎn)Q在以H為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而可知當(dāng)M、Q、H共線時(shí)，MQ最小，最小值為MH?1，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得AM值即可求解．
【詳解】解：連接PM，AM，將線段AM繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AH，連接QH，MH，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得AQ=AP，AH=AM，∠MAH=∠PAQ=60°，即∠HAQ=∠MAP=60°?∠QAM，
∴△HAQ≌△MAPSAS，△MAH是等邊三角形，
∴HQ=MP=1，MH=AM，
則點(diǎn)Q在以H為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
∵M(jìn)Q≥MH?HQ，
∴當(dāng)M、Q、H共線時(shí)，MQ最小，最小值為MH?1，
∵點(diǎn)M是等邊三角形ABC邊BC的中點(diǎn)，AB=4，
∴AM⊥BC，BM=12BC=12AB=2，
∴AM=AB2?BM2=42?22=23，即MH=23，
∴MQ的最小值為23?1，
故答案為：23?1．
10．（23-24九年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為4的⊙O與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，直線y=34x?6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E，則△CDE面積的最大值為 ．
【答案】28
【分析】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱藞A周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)．連接OC，如圖，根據(jù)垂徑定理得到OC⊥AB，則利用圓周角定理可判斷點(diǎn)C在以O(shè)A為直徑的圓上（點(diǎn)O、A除外），以O(shè)A為直徑作⊙P，過(guò)P點(diǎn)作直線PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，如圖，先利用一次函數(shù)解析式確定E(0,?6)，D(8,0)，則DE=10，接著證明△DPH∽△DEO，利用相似比求出PH=185，則MH=285，NH=85，由于當(dāng)C點(diǎn)與M點(diǎn)重合時(shí)，S最大；C點(diǎn)與N點(diǎn)重合時(shí)，S最小，然后計(jì)算出S△NED和S△MED可得結(jié)論．
【詳解】解：連接OC，如圖，
∵點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO=90°，
∴點(diǎn)C在以O(shè)A為直徑的圓上（點(diǎn)O、A除外），
以O(shè)A為直徑作⊙P，過(guò)P點(diǎn)作直線PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，如圖，
當(dāng)x=0時(shí)，y=34x?6=?6，則E(0,?6)，
當(dāng)y=0時(shí)，34x?6=0，解得x=8，則D(8,0)，
∴DE=62+82=10，
∵A(4,0)，
∴P(2,0)，
∴PD=6，
∵∠PDH=∠EDO，∠PHD=∠EOD，
∴△DPH∽△DEO，
∴PH:OE=DP:DE，即PH:6=6:10，解得PH=185，
∴MH=PH+2=285，NH=PH?2=85，
∴S△NED=12×10×85=8，S△MED=12×10×285=28，
當(dāng)C點(diǎn)與M點(diǎn)重合時(shí)，S最大；C點(diǎn)與N點(diǎn)重合時(shí)，S最小，
∴△CDE面積的最大值為28．
故答案為：28．
11．（2023·江蘇宿遷·二模）如圖，四邊形ABCD為正方形，P是以邊AD為直徑的⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP，以BP為邊作等邊三角形BPQ，連接OQ，若AB=2，則線段OQ的最大值為 ．
【答案】5+1/1+5
【分析】連接OB、OP，將OB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到O'B，連接O'Q，通過(guò)證明△OBP≌△O'BQSAS，得出OP=O'Q=1，從而得出點(diǎn)Q在以點(diǎn)O'為圓心，O'Q為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)；則當(dāng)點(diǎn)O，O'，P三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，OQ取最大值，易證△OBO'為等邊三角形，求出OO'=OB=5，即可求出OQ=OO'+O'Q=5+1．
【詳解】解：連接OB、OP，將OB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到O'B，連接O'Q，
∵OB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到O'B，
∴OB=O'B，∠OBO'=60°，
∵△BPQ為等邊三角形，
∴PB=QB，∠PBQ=60°，
∴∠OBO'?∠PBO'=∠PBQ?∠PBO'，即∠OBP=∠O'BQ，
在△OBP和△O'BQ中，
OB=O'B∠OBP=∠O'BQPB=QB，
∴△OBP≌△O'BQSAS，
∵AB=2，四邊形ABCD為正方形，
∴AD=AB=2，則OA=OP=1，
∴OP=O'Q=1，
∴點(diǎn)Q在以點(diǎn)O'為圓心，O'Q為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)；
∴當(dāng)點(diǎn)O，O'，P三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，OQ取最大值，
在Rt△OAB中，根據(jù)勾股定理可得：OB=OA2+AB2=5，
∵OB=O'B，∠OBO'=60°，
∴△OBO'為等邊三角形，
∴OO'=OB=5，
∴OQ=OO'+O'Q=5+1，
故答案為：5+1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查看瓜豆模型——圓生圓模型，解題的關(guān)鍵是確定從動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡，以及熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)．
12．（2017·江蘇無(wú)錫·二模）如圖，線段AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，AB=4，BC=2，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP，以CP為斜邊在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP=60°，連接OD，則OD長(zhǎng)的最大值為 ．
【答案】23+1/1+23
【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、兩圓的位置關(guān)系、軌跡等知識(shí)，如圖，作△COE，使得∠CEO=90°，∠ECO=60°，則CO=2CE，OE=23，∠OCP=∠ECD，由△COP∽△CED，推出OPED=CPCD=2，即ED=12OP=1（定長(zhǎng)），由點(diǎn)E是定點(diǎn)，DE是定長(zhǎng)，推出點(diǎn)D在半徑為1的⊙E上，由此即可解決問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題．
【詳解】解：如圖，作△COE，使得∠CEO=90°，∠ECO=60°，則CO=2CE=4，OE=23，∠OCP=∠ECD，
∵∠CDP=90°，∠DCP=60°，
∴CP=2CD，
∴COCE=CPCD=2，
∴△COP∽△CED，
∴OPED=CPCD=2，
即ED=12OP=1（定長(zhǎng)），
∵點(diǎn)E是定點(diǎn)，DE是定長(zhǎng)，
∴點(diǎn)D在半徑為1的⊙E上，
∵OD≤OE+DE=23+1，
∴OD的最大值為23+1，
故答案為：23+1．
13．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，以點(diǎn)A為圓心，2為半徑作圓，E是⊙A上的任意一點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°并縮短到原來(lái)的一半，得到線段DF，連接AF，則AF的最小值是 ．

【答案】25?1/?1+25
【分析】通過(guò)證△EDA∽△FDT可得FT=1，由勾股定理可得AT=AD2+DT2=25，根據(jù)三角形三邊關(guān)系求AF的最小值即可；
【詳解】解：如圖，取CD中點(diǎn)T，連接AE、FT、AT，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD=4，∠ADC=90°，
∵DT=CT=12CD=2，DE=2DF，
∴DEDF=ADDT=2，
∵∠EDF=∠ADC=90°，
∴∠EDA=∠FDT，
∴△EDA∽△FDT，
∴AETF=EDFD=2，
∴FT=1，
∵AT=AD2+DT2=25，
∴AF≥AT?TF，
∴AF≥25?1，
∴AF的最小值為25?1，
故答案為：25?1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關(guān)系，正確作出輔助線，證明△EDA∽△FDT是解題的關(guān)鍵．
14．（24-25九年級(jí)上·吉林·階段練習(xí)）【提出問(wèn)題】
如圖1，已知圓O的半徑為2，點(diǎn)Q是圓O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是圓O外一點(diǎn)，連接PQ，取PQ中點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)Q在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡．
【解決問(wèn)題】
（1）小帥同學(xué)進(jìn)行了探究，他連接線段OP，取其中點(diǎn)N，他猜想點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)該是以N為圓心，1為半徑的圓．請(qǐng)你幫小帥同學(xué)完成證明過(guò)程．
【簡(jiǎn)單應(yīng)用】（2）如圖2，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，取BC中點(diǎn)記為O，以O(shè)為圓心，BC長(zhǎng)為直徑作圓O，點(diǎn)E為圓O上一點(diǎn)，連接AE取其中點(diǎn)F，求線段DF的最小值．
【靈活運(yùn)用】
（3）如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)F在以A為圓心22長(zhǎng)為半徑的圓上，連接CF，取其中點(diǎn)M，連接AM并延長(zhǎng)交線段BC于點(diǎn)N，則∠ANB最大為 °．
【答案】（1）點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是以N為圓心，1為半徑的圓；（2）DF的最小值是13?1；（3）75．
【分析】（1）連接OQ，MN，根據(jù)三角形的中位線定理，得到MN=12OQ=1，即可得證；
（2）連接OE，取AO的中點(diǎn)G，連接FG，易得點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以G為圓心，1為半徑的圓，當(dāng)點(diǎn)F在DG上時(shí)，線段DF的長(zhǎng)最小，進(jìn)行求解即可；
（3）連接AC，取AC的中點(diǎn)E，勾股定理求出AC長(zhǎng)，進(jìn)而得到點(diǎn)E在⊙A上，連接AF，EM，得到點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是以E為圓心，2為半徑的圓，當(dāng)AM與⊙E相切時(shí)，∠BAN的度數(shù)最小，則∠ANB的度數(shù)最大，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：（1）如圖1，連接OQ，MN，
∵M(jìn)是PQ的中點(diǎn)，N是OP的中點(diǎn)，
∴MN是△OQP的中位線，
∴MN=12OQ=12×2=1（三角形中位線定理），
∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是以N為圓心，1為半徑的圓；
（2）如圖2，連接OE，取AO的中點(diǎn)G，連接FG，
∵正方形的邊長(zhǎng)為4，BC是⊙O的直徑，
∴⊙O的半徑為2，AD∥BC，∠ABC=90°，
∴OE=2，
∵G是AO的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，
∴FG是△OAE的中位線，
∴FG=12OE=12×2=1（三角形中位線定理），
∴點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以G為圓心，1為半徑的圓；
∴當(dāng)點(diǎn)F在DG上時(shí)，線段DF的長(zhǎng)最小，為DG?FG的長(zhǎng)，
過(guò)點(diǎn)G作MN⊥BC于N，
∵AD∥BC，
∴MN⊥AD，
∴∠ONG=90°，
∵∠ABC=∠ONG=90°，
∴MN∥AB，
∴△ONG∽△OBA，
∴ OGAO=NGAB=ONOB，即12=NG4=ON2，
∴NG=2，ON=1，
在△AGM和△OGN中，
∠AGM=∠OGN∠AMG=∠ONG=90°AG=OG，
∴ △AGM≌△OGN(AAS)，
∴AM=ON=1，MG=NG=2，
∴DM=4?1=3，
由勾股定理得：DG=22+32=13，
∴DF的最小值是13?1；
（3）如圖3，連接AC，取AC的中點(diǎn)E，
∵四邊形ABCD是正方形，且邊長(zhǎng)為4，
∴∠B=90°，AB=BC=4，∠BAC=45°，
∴AC=42+42=42，
∴AE=22，則點(diǎn)E在⊙A上，
連接AF，EM，
由（1）同理可得：EM=12AF=12×22=2（三角形的中位線定理），
∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是以E為圓心，2為半徑的圓；
∵∠B=90°，
∴∠ANB+∠BAN=90°，
如圖4，當(dāng)AM與⊙E相切時(shí)，∠BAN的度數(shù)最小，則∠ANB的度數(shù)最大，
∴EM⊥AN，
∴∠AME=90°，
∵AE=22，EM=2，
∴sin∠MAE=EMAE=12，
∴∠CAN=30°，
∴∠BAN=45°?30°=15°，
∴∠ANB=90°?15°=75°．
故答案為：75．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的中位線定理，圓的確定，求一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值，切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等和相似三角形等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡．
15．（23-24九年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）（1）問(wèn)題提出：如圖①，在矩形ABCD中，AB=1，BC=3，P是AD上一動(dòng)點(diǎn)，則BP+12PD的最小值為_(kāi)________
（2）問(wèn)題探究：如圖②，在正方形ABCD中，AB=3，點(diǎn)E是平面上一點(diǎn)，且CE=1，連接BE，在BE上方作正方形BEMN，求BM的最大值．
（3）問(wèn)題解決：為迎接2021年9月在西安舉辦的第14屆全運(yùn)會(huì)，打造體育歷史文化名城，某小區(qū)對(duì)一正方形區(qū)域ABCD進(jìn)行設(shè)計(jì)改造，方使大家鍛煉運(yùn)動(dòng)．如圖③，在正方形內(nèi)設(shè)計(jì)等腰直角△CEF為健身運(yùn)動(dòng)區(qū)域，直角頂點(diǎn)E設(shè)計(jì)在草坪區(qū)域扇形MBN的弧MN上．設(shè)計(jì)鋪設(shè)CF和DF這兩條不同造價(jià)鵝卵石路，已知AB=40米，BM=102米，∠CEF=90°，CE=EF，若鋪設(shè)CF路段造價(jià)為每米200元，鋪設(shè)DF路段的造價(jià)為每米100元，請(qǐng)求出鋪設(shè)CF和DF兩條路段的總費(fèi)用的最小值．

【答案】（1）3（2）BM的最大值是42（3）鋪設(shè)兩條路段總費(fèi)用的最小值為10000元
【分析】（1）以PD為斜邊構(gòu)造30°的直角三角形，則PB+12PD=PB+PE≥BE，求BE的值即可；
（2）根據(jù)題意確定E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)而得出BM最大時(shí)點(diǎn)E的位置，求出BM即可；
（3）根據(jù)費(fèi)用的關(guān)系可求出線段CF+12DF的最小值即可．
【詳解】解：（1）以PD為斜邊構(gòu)造30°的直角△PDE，且∠E=90°,∠PDE=30°，
此時(shí)PE=12PD，則PB+12PD=PB+PE，
則當(dāng)P、B、E在同一直線上時(shí)PB+PE有最小值為BE，如下圖：

即PB+12PD的最小值為如圖所示BE的長(zhǎng)度，
∵AB=1,BC=3，∠C=90°，
∴BD=AB2+BC2=2，CD=AB=1，
∴sin∠DBC=12，
∴∠DBE=30°，
又∵四邊形ABCD為矩形，AD∥BC，
∴∠BDP=∠DBC=30°，
∴∠EDB=90°?30°=60°，
∴BE=BD?sin∠EDB=2×sin60°=3；
（2）∵E為動(dòng)點(diǎn)且CE=1，
∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡為以C為圓心，半徑為1的圓，
∵四邊形MEBN為正方形，
∴BM=2BE，
即當(dāng)BE最大時(shí)BM有最大值，
由圖②知：當(dāng)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)E'的位置時(shí)，BE'有最大值，
此時(shí)BE'=BC+CE'=3+1=4，
∴BM=2BE'=42，
故BM的最大值是42；

（3）由題意得：CD+DF的費(fèi)用為200CF+100DF=200CF+12DF，
∴求費(fèi)用最小值即為求CF+12DF的最小值，
連接AC，AF，在AD上截取AD'=10，
∵四邊形ABCD時(shí)正方形，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ACF=∠BCE,CFCE=CACB=2，
∴△ACF∽△BCE，
∴AFBE=2，
∴AF=2BE=20，
∴點(diǎn)F在以A為圓心，AF為半徑的弧上，
∵AFAD=AD'AF=12，∠DAF=∠D'AF，
∴△DAF∽△FAD'，
∴FD'DF=12，即FD'=12FD，
∴CF+12DF=CF+FD'，
∴當(dāng)C、F、D三點(diǎn)共線時(shí)，CF+12DF有最小值CD'，
在Rt△CDD'中，CD'=CD2+DD'2=402+302=50，
∴鋪設(shè)CF和DF兩條路段總費(fèi)用的最小值為：
200CF+12DF=200×50=10000（元），
即鋪設(shè)CF和DF兩條路段總費(fèi)用的最小值為：10000（元）．

【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)之間線段最短、正方形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
圖形
結(jié)論
等腰三角形
①∠APB=∠BPC=∠APC=120°；
②△ABP與△ACP全等；
③△BCP為等腰三角形；
④△ABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP，且點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最小.
等邊三角形
①AP=BP=CP；
②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；
③△ABP、△ACP、△BCP全等；
④點(diǎn)P是垂心，是△ABC各邊的高線的交點(diǎn)；
⑤點(diǎn)P是△ABC各邊的中線的交點(diǎn)；
⑥點(diǎn)P是內(nèi)心，是在三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)；
⑦△ABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP，且點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最小.
直角三角形
①△ABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP，且點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最??；
②∠APB=∠BPC=∠APC=120°
求AD+CD+BD的最小值
求AD+CD+BD的最小值
旋轉(zhuǎn)角度是90°
旋轉(zhuǎn)角度是120°
問(wèn)題
求解圖形
作法
求PA+PB+PC最小值
△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△CDE
BD長(zhǎng)度即為所求,在Rt△BCD中有勾股定理可得BD=BC2+CD2=61
求PA+PB+2PC最小值
△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△CDE
此時(shí)△PCE為等腰直角三角形，即PE=2PC
因此原式=PA+PB+2PC=ED+PB+PE，則當(dāng)B、P、E、D四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，BD長(zhǎng)度即為所求, 在Rt△BFD中有勾股定理可得BD=BF2+FD2=91
求PA+PB+3PC最小值
△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△CDE
此時(shí)△PCE為等腰三角形且∠PCE=120°，即PE=3PC，因此原式=PA+PB+3PC=ED+PB+PE，則當(dāng)B、P、E、D四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，BD長(zhǎng)度即為所求, 在Rt△BFD中有勾股定理可得BD=BF2+FD2=60+303
求2PA+PB+3PC最小值
思路：原式=2（PA+12PB+32PC）
1)將PC邊繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°，然后過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CE于點(diǎn)F,則PF=32PC;2) 12PB利用三角形中位線來(lái)處理；3）PA前的系數(shù)是1，不需要轉(zhuǎn)化，所以旋轉(zhuǎn)△PCB.
過(guò)程：△BCP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△CDE, 然后過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CE于點(diǎn)F, 此時(shí)△PCE為等邊三角形，即PF=32PC，過(guò)點(diǎn)F作FG∥DE，則FG= 12PB，則當(dāng)A、P、F、G四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，AG長(zhǎng)度即為所求, 在Rt△ACG中有勾股定理可得AG=CG+AC2=34, 原式=2（PA+12PB+32PC）=234
求2PA+4PB+23PC最小值
過(guò)程：△ACP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△CDE, 然后過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CE于點(diǎn)F, 此時(shí)△PCE為等邊三角形，即PF=32PC，過(guò)點(diǎn)F作FG∥DE，則FG= 12AP，則當(dāng)B、P、F、G四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，BG長(zhǎng)度即為所求, 在Rt△BCG中有勾股定理可得BG=CG+AC2=7.5, 原式=4（12PA+PB+32PC）=26
費(fèi)馬點(diǎn)的思考
問(wèn)題背景
17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國(guó)律師皮耶·德·費(fèi)馬，提出一個(gè)問(wèn)題：求作三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，后來(lái)這點(diǎn)被稱(chēng)之為“費(fèi)馬點(diǎn)”．

素材1
解決這種問(wèn)題的經(jīng)典方法，就是利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA，PB，PC行轉(zhuǎn)化：
如圖：把△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到△AP'C'，連接PP'，這樣就把確定PA+PB+PC的最小值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成確定BP+PP'+P'C'的最小值的問(wèn)題了．當(dāng)B，P，P'，C'四點(diǎn)共線時(shí)，線段BC'的長(zhǎng)為所求的最小值，容易證明∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，此時(shí)點(diǎn)P為△ABC的“費(fèi)馬點(diǎn)”．

素材2
圖中所示的是一個(gè)正方形的廠區(qū)，其中頂點(diǎn)A，B，C，D分別為辦公區(qū)、生產(chǎn)區(qū)、物流區(qū)和生活區(qū)，正方形邊長(zhǎng)為2km，準(zhǔn)備在廠區(qū)內(nèi)修建一研發(fā)區(qū)E，且從研發(fā)區(qū)E修建三條直線型道路直通辦公區(qū)A，生產(chǎn)區(qū)B和物流區(qū)C修路的成本為200元/米．

任務(wù)一
感悟證明定理
請(qǐng)你根據(jù)素材1所給解決思路，證明所求線段轉(zhuǎn)化的正確性．證明：PA+PB+PC=BP+PP'+P'C
任務(wù)二
初步探索位置
在素材2中，請(qǐng)問(wèn)研發(fā)區(qū)E建在哪片區(qū)域比較合適？（ ）
A．△ABC內(nèi)的區(qū)域
B．△ACD內(nèi)的區(qū)域
任務(wù)三
擬定恰當(dāng)方案
為了節(jié)約建設(shè)成本，問(wèn)該研發(fā)區(qū)E應(yīng)該修建在廠區(qū)的什么地方，才能使得花費(fèi)最少，最少費(fèi)用為多少？
證明過(guò)程缺失
圖形
結(jié)論
等腰三角形
①∠APB=∠BPC=∠APC=120°；
②△ABP與△ACP全等；
③△BCP為等腰三角形；
④△ABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP，且點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最小.
等邊三角形
①AP=BP=CP；
②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；
③△ABP、△ACP、△BCP全等；
④點(diǎn)P是垂心，是△ABC各邊的高線的交點(diǎn)；
⑤點(diǎn)P是△ABC各邊的中線的交點(diǎn)；
⑥點(diǎn)P是內(nèi)心，是在三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)；
⑦△ABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP，且點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最小.
直角三角形
①△ABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP，且點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最?。?br>②∠APB=∠BPC=∠APC=120°
求AD+CD+BD的最小值
求AD+CD+BD的最小值
旋轉(zhuǎn)角度是90°
旋轉(zhuǎn)角度是120°
問(wèn)題
求解圖形
作法
求PA+PB+PC最小值
△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△CDE
BD長(zhǎng)度即為所求,在Rt△BCD中有勾股定理可得BD=BC2+CD2=61
求PA+PB+2PC最小值
△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△CDE
此時(shí)△PCE為等腰直角三角形，即PE=2PC
因此原式=PA+PB+2PC=ED+PB+PE，則當(dāng)B、P、E、D四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，BD長(zhǎng)度即為所求, 在Rt△BFD中有勾股定理可得BD=BF2+FD2=91
求PA+PB+3PC最小值
△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△CDE
此時(shí)△PCE為等腰三角形且∠PCE=120°，即PE=3PC，因此原式=PA+PB+3PC=ED+PB+PE，則當(dāng)B、P、E、D四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，BD長(zhǎng)度即為所求, 在Rt△BFD中有勾股定理可得BD=BF2+FD2=60+303
求2PA+PB+3PC最小值
思路：原式=2（PA+12PB+32PC）
1)將PC邊繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°，然后過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CE于點(diǎn)F,則PF=32PC;2) 12PB利用三角形中位線來(lái)處理；3）PA前的系數(shù)是1，不需要轉(zhuǎn)化，所以旋轉(zhuǎn)△PCB.
過(guò)程：△BCP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△CDE, 然后過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CE于點(diǎn)F, 此時(shí)△PCE為等邊三角形，即PF=32PC，過(guò)點(diǎn)F作FG∥DE，則FG= 12PB，則當(dāng)A、P、F、G四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，AG長(zhǎng)度即為所求, 在Rt△ACG中有勾股定理可得AG=CG+AC2=34, 原式=2（PA+12PB+32PC）=234
求2PA+4PB+23PC最小值
過(guò)程：△ACP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△CDE, 然后過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CE于點(diǎn)F, 此時(shí)△PCE為等邊三角形，即PF=32PC，過(guò)點(diǎn)F作FG∥DE，則FG= 12AP，則當(dāng)B、P、F、G四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，BG長(zhǎng)度即為所求, 在Rt△BCG中有勾股定理可得BG=CG+AC2=7.5, 原式=4（12PA+PB+32PC）=26
費(fèi)馬點(diǎn)的思考
問(wèn)題背景
17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國(guó)律師皮耶·德·費(fèi)馬，提出一個(gè)問(wèn)題：求作三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，后來(lái)這點(diǎn)被稱(chēng)之為“費(fèi)馬點(diǎn)”．

素材1
解決這種問(wèn)題的經(jīng)典方法，就是利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA，PB，PC行轉(zhuǎn)化：
如圖：把△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到△AP'C'，連接PP'，這樣就把確定PA+PB+PC的最小值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成確定BP+PP'+P'C'的最小值的問(wèn)題了．當(dāng)B，P，P'，C'四點(diǎn)共線時(shí)，線段BC'的長(zhǎng)為所求的最小值，容易證明∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，此時(shí)點(diǎn)P為△ABC的“費(fèi)馬點(diǎn)”．

素材2
圖中所示的是一個(gè)正方形的廠區(qū)，其中頂點(diǎn)A，B，C，D分別為辦公區(qū)、生產(chǎn)區(qū)、物流區(qū)和生活區(qū)，正方形邊長(zhǎng)為2km，準(zhǔn)備在廠區(qū)內(nèi)修建一研發(fā)區(qū)E，且從研發(fā)區(qū)E修建三條直線型道路直通辦公區(qū)A，生產(chǎn)區(qū)B和物流區(qū)C修路的成本為200元/米．

任務(wù)一
感悟證明定理
請(qǐng)你根據(jù)素材1所給解決思路，證明所求線段轉(zhuǎn)化的正確性．證明：PA+PB+PC=BP+PP'+P'C
任務(wù)二
初步探索位置
在素材2中，請(qǐng)問(wèn)研發(fā)區(qū)E建在哪片區(qū)域比較合適？（ ）
A．△ABC內(nèi)的區(qū)域
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