重難點17 幾何壓軸突破四幾何最值問題費馬點瓜豆模型(2種模型詳解+5種題型匯總)-2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義及試題（含答案）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

（2種模型詳解+5種題型匯總+針對訓(xùn)練）
【題型匯總】
類型一費馬點
費馬點概念：三角形內(nèi)部滿足到三個頂點距離之和最小的點，稱為費馬點.
結(jié)論：
1）對于一個各角不超過120°的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120°的點；
2) 對于有一個角超過120°的三角形，費馬點就是這個內(nèi)角的頂點.
（注意：通常涉及費馬點的試題中三角形的最大頂角小于120°）
【解題思路】運用旋轉(zhuǎn)的方法，以?ABC任意一條邊向外旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)兩點之間線段最短，得出最短長度.
【擴展】與等腰三角形、等邊三角形、直角三角形常見的費馬點結(jié)論
如圖所示，以邊AB、AC分別向△ABC外側(cè)作等邊三角形，連接DC、EB，交點為點P，點P為費馬點.
【進階】
加權(quán)費馬點模型概述：前面學(xué)的PA+PB+PC最小值的費馬點問題線段前面系數(shù)都是l，如果現(xiàn)在求mPA+nPB+xPC最小值，前面系數(shù)不是1，那么此類題目就叫做“加權(quán)費馬點”.
【模型拓展】
類型一單系數(shù)類
當(dāng)只有一條線段帶有不為1的系數(shù)時，相對較為簡單，一般有兩種處理手段，
1）一種是旋轉(zhuǎn)特殊角度：對應(yīng)旋轉(zhuǎn)90°，對應(yīng)旋轉(zhuǎn)120°
2）另一種是旋轉(zhuǎn)放縮，對應(yīng)三角形三邊之比
類型二多系數(shù)類
其實當(dāng)三條線段的三個系數(shù)滿足勾股數(shù)的關(guān)系時，都是符合加權(quán)費馬點的條件的。
以不同的點為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)不同的三角形得到的系數(shù)是不同的，對于給定的系數(shù)，我們該如何選取旋轉(zhuǎn)中心呢？我們總結(jié)了以下方法：
1.將最小系數(shù)提到括號外；
2.中間大小的系數(shù)確定放縮比例；
3.最大系數(shù)確定旋轉(zhuǎn)中心（例如最大系數(shù)在PA前面，就以A為旋轉(zhuǎn)中心），旋轉(zhuǎn)系數(shù)不為1的兩條線段所在的三角形。
例：已知：在Rt△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5, △ABC內(nèi)部有一點P,連接PA，PB，PC
備注：若變形后的系數(shù)不是特殊值，則可借助位似的相關(guān)知識進行求解.
題型01 普通費馬點模型
1．（2024·廣東·二模）若銳角三角形ABC內(nèi)的點P滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則稱點P為△ABC的費馬點．如圖，在△ABC中，AB=AC=7，BC=3，則△ABC的費馬點P到A，B，C三點的距離之和為（）
A．4B．2C．2+23D．2+3
2．（21-22九年級上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=1，P是△ABC內(nèi)一點，求PA+PB+PC的最小值為．
3．（2021九年級·全國·專題練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點M為矩形內(nèi)一點，點E為BC邊上任意一點，則MA＋MD＋ME的最小值為．
4．（2024·陜西榆林·二模）如圖，在?ABCD中，AD=6，連接AC，AB=AC=5，以點C為圓心，15CD長為半徑畫弧，弧分別交BC、AC、CD于點M、H、N，點P是HN上方△ACD內(nèi)一動點，點Q是HN上一動點，連接AP、DP、PQ，則AP+DP+PQ的最小值為．
5．（2024·湖北·模擬預(yù)測）閱讀以下材料并完成問題
材料一：數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想如a2+b2可看做是圖一中AB的長，a+12+b2可看做是AD的長．
材料二：費馬點問題是一個古老的數(shù)學(xué)問題．費馬點即在△ABC中有一點P使得PA+PB+PC的值最?。▽W(xué)家費馬給出的證明方法如下：
將△ABP繞B點向外旋轉(zhuǎn)60°得到△A1B1C1，并連接PP1易得△PP1B是等邊三角形、PA=P1A1，則PB=P1P1，則PA+PB+PC=P1A1+PP1+PC，所以PA+PB+PC的值最小為A1C．
請結(jié)合以上兩材料求出x2+y2+x2+y2+1?2x+x2+y2+12?43y的最小值

題型02 加權(quán)費馬點模型-單系數(shù)
6．（2023·湖北隨州·中考真題）1643年，法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．
(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個頂點）
當(dāng)△ABC的三個內(nèi)角均小于120°時，
如圖1，將△APC繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'C，連接PP'，

由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'為 ① 三角形，故PP'=PC，又P'A'=PA，故PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B，
由 ② 可知，當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，如圖2，最小值為A'B，此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有∠APC=∠BPC=∠APB= ③ ；
已知當(dāng)△ABC有一個內(nèi)角大于或等于120°時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．如圖3，若∠BAC≥120°，則該三角形的“費馬點”為 ④ 點．
(2)如圖4，在△ABC中，三個內(nèi)角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知點P為△ABC的“費馬點”，求PA+PB+PC的值；

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/km，a元/km，2a元/km，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為___________元．（結(jié)果用含a的式子表示）
7．（23-24八年級下·重慶銅梁·期中）在?ABCD中，∠ABC=45°，連接AC，已知AB=AC=2，點E在線段AC上，將線段DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn) 90° 為線段DF．
(1)如圖1，線段AC與線段BD的交點和點E重合，連接EF，求線段EF的長度；
(2)如圖2，點G為DC延長線上一點，使得GC=EC，連接FG交AD于點H，求證：2AH=CD；
(3)如圖3，在（2）的條件下，平面內(nèi)一點P，當(dāng)HP+CP+2BP最小時，求△HPB的面積．
8．（2024·廣東廣州·一模）如圖，在矩形ABCD和矩形AGFE中，AD=4，AE=2，AB=3AD,AG=3AE．矩形AGFE繞著點A旋轉(zhuǎn)，連接BG，CF，AC，AF．

(1)求證：△ABG∽△ACF；
(2)當(dāng)CE的長度最大時，
①求BG的長度；
②在△ACF內(nèi)是否存在一點P，使得CP+AP+3PF的值最小?若存在，求CP+AP+3PF的最小值；若不存在，請說明理由．
題型03 加權(quán)費馬點模型-多系數(shù)
9．（2023九年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點P是正方形內(nèi)部一點，求PA+2PB+5PC的最小值．
10．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠ACB=30°，BC=4，在△ABC內(nèi)有一點O，連接OA，OB，OC，若2OA+OB+5OC的最小值為45，則AC的值為．

11．（2021九年級·全國·專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點，求22BP+5AP+3PC最小值
12．（2024·重慶·二模）已知△ABC中AB=BC，點D和點E是平面內(nèi)兩點，連接BD，DE和BE，∠BED=90°．
(1)如圖1，若BD=BA，∠ABC=2∠D，BE=2，求AC的長度；
(2)如圖2，連接AD和CD，點F為AD中點，點G為CD中點，連接EF和BG，若EF=BG，求證：∠BAC=∠DBE；
(3)若∠ABC=60°，AB=2，當(dāng)12AD+32BD+CD取得最小值，且AE取得最大值時，直接寫出△BDE的面積．
【針對訓(xùn)練】
1．（2021·遼寧丹東·中考真題）已知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點．如果△ABC是銳角（或直角）三角形，則其費馬點P是三角形內(nèi)一點，且滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°．（例如：等邊三角形的費馬點是其三條高的交點）．若AB=AC=7,BC=23，P為△ABC的費馬點，則PA+PB+PC= ；若AB=23,BC=2,AC=4，P為△ABC的費馬點，則PA+PB+PC= ．
2．（2021九年級·全國·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=30°,BC=6,AC=5，在△ABC內(nèi)部有一點P，連接PA、PB、PC．（加權(quán)費馬點）求：
（1）PA+PB+PC的最小值；
（2）PA+PB+2PC的最小值
（3）PA+PB+3PC的最小值；
（4）2PA+PB+3PC的最小值
（5）12PA+PB+32PC的最小值；
（6）2PA+4PB+23PC的最小值
（7）4PA+2PB+23PC的最小值；
（8）3PA+4PB+5PC的最小值
3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）（1）問題背景
如圖1，P為△ABC內(nèi)部一點，連接PA、PB、PC，將△APC繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'C，連接PP'，
由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'為___________三角形，故PP'=PC，又P'A'=PA，故PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B，由___________可知，當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，如圖2，最小值為A'B，此時的P點為該三角形的“費馬點”．
（2）問題解決
如圖3，在△ABC中，三個內(nèi)角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，求PA+PB+PC的最小值；
（3）問題應(yīng)用
如圖4，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個三角形，且AC=6km，BC=43km，∠ACB=30°．現(xiàn)欲在△ABC內(nèi)部建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為1000元/km，1000元/km，10003萬元/km，是否存在合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低，若存在請求出成本的最小值．
4．（2024·福建廈門·二模）根據(jù)以下思考，探索完成任務(wù)
5．（21-22八年級上·江蘇蘇州·期中）背景資料：在已知△ABC所在平面上求一點P，使它到三角形的三個頂點的距離之和最小.這個問題是法國數(shù)學(xué)家費馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”．如圖1，當(dāng)△ABC三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點P在△ABC內(nèi)部，當(dāng)∠APB=∠APC=∠CPB=120°時，則PA+PB+PC取得最小值．
(1)如圖2，等邊△ABC內(nèi)有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP'處，此時△ACP'≌△ABP這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出∠APB=_______；
知識生成：怎樣找三個內(nèi)角均小于120°的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點與△ABC的另一頂點，則連線通過三角形內(nèi)部的費馬點．請同學(xué)們探索以下問題．
(2)如圖3，△ABC三個內(nèi)角均小于120°，在△ABC外側(cè)作等邊三角形△ABB'，連接CB'，求證：CB'過△ABC的費馬點．
(3)如圖4，在RT△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，點P為△ABC的費馬點，連接AP、BP、CP，求PA+PB+PC的值．
(4)如圖5，在正方形ABCD中，點E為內(nèi)部任意一點，連接AE、BE、CE，且邊長AB=2；求AE+BE+CE的最小值．
6．（2023·貴州遵義·三模）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①，在△OAB中，若將△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△OA'B'，連接BB'；求∠OBB'= ；
（2）【問題探究】如圖②，已知△ABC是邊長為43的等邊三角形，以BC為邊向外作等邊三角形BCD，P為△ABC內(nèi)一點，將線段CP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，點P的對應(yīng)點為點Q．
①求證：△DCQ≌△BCP；
②求PA+PB+PC的最小值；
（3）【實際應(yīng)用】如圖③，在矩形ABCD中，AB=600，AD=800，P是矩形內(nèi)一動點S△PAD=2S△PBC，Q為△ADP內(nèi)任意一點，是否存在點P和點Q，使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在求其值；若不存在，請說明理由．
類型二瓜豆模型
型定義：瓜豆模型也叫“主從聯(lián)動模型”，即：一個動點隨另一動點的運動而運動,分別叫做“主動點”與“從動點”，它們的運動軌跡相似。出自成語“種瓜得瓜,種豆得豆”，在幾何上叫“種線得線,種國得圓”.
【條件】瓜豆原理運用滿足的三個條件(“一定兩動、定角、定比”)；
①有一個定點、兩個動點，且一個動點(從動點)因另一個動點(主動點)的運動而隨之運動；
②兩個動點與定點所連線組成的夾角是定角;
③兩個動點到定點的距離的比值是定值.
1) 本模型一般出現(xiàn)在選擇題或填空題的壓軸題中，可以直接利用結(jié)論秒殺.
2) 在線段最值問題中，有時可先利用“瓜豆”模型確定動點的軌跡，再根據(jù)點線最值，點圓最值來求線段最值.
3) 部分求動點軌跡長的問題中，只要確定屬于“瓜豆”模型，就可以利用路徑之比等于相似比，根據(jù)主動點的軌跡長直接求得.
【模型一】點在直線上
條件;如圖，點O是定點，點A、B是動點，∠AOB=α（α≠0）且OBOA=k，如果A點的運動軌跡是直線
圖示：
結(jié)論：B點的運動軌跡也是直線，OBOA=OB’OA’=k，直線BB′與直線AA′的夾角為α
【模型二】點在圓上
條件;如圖，點O是定點，點A、B是動點，∠AOB=α且OBOA=k，A點在⊙O1上運動
圖示：
結(jié)論：
1)當(dāng)α=0，①B點的運動軌跡是圓，②A,B,O始終是一條直線，③主動圓與從動圓的半徑之比為OBOA=k（定值）.
2)當(dāng)α≠0，①B點的運動軌跡是圓，②主動圓與從動圓的半徑之比為OBOA=k，
③主從動圓的圓心與定點連線構(gòu)成的夾角為α（定值）.
【總結(jié)】
1）在線段最值問題中，有時可先利用“瓜豆”模型確定動點的軌跡，再根據(jù)點線最值，點圓最值來求線段最值；
2）部分求動點軌跡長的問題中，只要確定屬于"瓜豆“模型，就可以利用路經(jīng)之比等于相似比，根據(jù)主動點的軌跡長直接求得
題型01 點的運動軌跡是直線
1．（2021·山東泰安·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=53，點P在線段BC上運動（含B、C兩點），連接AP，以點A為中心，將線段AP逆時針旋轉(zhuǎn)60°到AQ，連接DQ，則線段DQ的最小值為（）
A．52B．52C．533D．3
2．（2022·安徽合肥·三模）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點D，E分別在BC，AB邊上，連接DE，將△BDE沿DE翻折，使點B落在點F的位置，連接AF，若四邊形BEFD是菱形，則AF的長的最小值為（）
A．5B．3C．52D．32
3．（2023·廣東廣州·二模）如圖，正方形ABCD的邊長為42，E為BC上一點，且BE=2，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為．

4．（2024·河北邢臺·模擬預(yù)測）如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，點E為中線BD上的動點．連接CE，將CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到CF．連接AF，則∠CAF= ，連接DF，則△CDF周長的最小值是．
5．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測）等邊△ABC邊長為6，D是BC中點，E在AD上運動，連接BE，在BE下方作等邊△BEF，則△BDF周長的最小值為．

6．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，點A、B、M、E、F依次在直線l上，點A、B固定不動，且AB=2，分別以AB、EF為邊在直線l同側(cè)作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN=90°，直角邊MP恒過點C，直角邊MN恒過點H．
(1)如圖1，若BE=10，EF=12，求點M與點B之間的距離；
(2)如圖1，若BE=10，當(dāng)點M在點B、E之間運動時，求HE的最大值；
(3)如圖2，若BF=22，當(dāng)點E在點B、F之間運動時，點M隨之運動，連接CH，點O是CH的中點，連接HB、MO，則2OM+HB的最小值為_______．
題型02 點的運動軌跡是圓
1．（2024·安徽淮北·三模）如圖，線段AB=4，點M為AB的中點，動點P到點M的距離是1，連接PB，線段PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PC，連接AC，則線段AC長度的最大值是（）
A．3B．4C．22D．32
2．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=12，點D是AB的中點，P是以A為圓心，以AD為半徑的圓上的動點，連接PB、PC，則 PBPC的最大值為（）
A．103B．31010C．13?14D．13+14
3．（2023·山東泰安·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOB的一條直角邊OB在x軸上，點A的坐標(biāo)為(?6，4)；Rt△COD中，∠COD=90°，OD=43，∠D=30°，連接BC，點M是BC中點，連接AM．將Rt△COD以點O為旋轉(zhuǎn)中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AM的最小值是（）

A．3B．62?4C．213?2D．2
4．（21-22九年級上·江蘇南京·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，點P在以AB為直徑的半圓上運動，由點B運動到點A，連接CP，點M是CP的中點，則點M經(jīng)過的路徑長為．
5．（2022·山東日照·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為（0，4），P是x軸上一動點，把線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，連接OF，則線段OF長的最小值是．

6．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，M是正方形ABCD邊CD的中點，P是正方形內(nèi)一點，連接BP，線段BP以B為中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BQ，連接MQ．若AB=4，MP=1，則MQ的最小值為．

7．（2020·江蘇連云港·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的⊙O與x軸的正半軸交于點A，點B是⊙O上一動點，點C為弦AB的中點，直線y=34x?3與x軸、y軸分別交于點D、E，則△CDE面積的最小值為．
8．（2024·四川瀘州·二模）如圖，正方形ABCD的邊長為5，以C為圓心，2為半徑作⊙C，點P為⊙C上的動點，連接BP，并將BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到BP'，連接CP'，在點P運動的過程中，CP'長度的最大值是．

9．（21-22九年級上·浙江紹興·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，BD＝2，以點B為圓心，BD長為半徑作圓，點E為⊙B上的動點，連結(jié)EC，作FC⊥CE，垂足為C，點F在直線BC的上方，且滿足CF=12CE，連結(jié)BF．當(dāng)點E與點D重合時，BF的值為．點E在⊙B上運動過程中，BF存在最大值為．
10．（2024·吉林長春·二模）【問題呈現(xiàn)】數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個問題：如圖①，⊙O的半徑為2，點A是⊙O外的一個定點，OA=4．點P在⊙O上，作點P關(guān)于點A的對稱點Q，連接PA、AQ．當(dāng)點P在⊙O上運動一周時，試探究點Q的運動路徑．
【問題解決】經(jīng)過討論，小組同學(xué)想利用全等三角形的知識解決該問題；如圖②，延長OA至點M，使AM=OA，連接OP、MQ，通過證明△OAP≌△MAQ，可推出點Q的運動路徑是以點M為圓心、2為半徑的圓．下面是部分證明過程：
證明：延長OA至點M，使AM=OA，連接OP、MQ．
1°當(dāng)點P在直線OA外時，
2°當(dāng)點P在直線OA上時，
易知OP=MQ=2．
綜上，點Q的運動路徑是以點M為圓心、2為半徑的圓．
請你補全證明中缺失的過程．
【結(jié)論應(yīng)用】如圖③，在矩形ABCD中，點E、F分別為邊AB、CD的中點，連接EF，點O是EF中點，點M是線段OF上的任意一點，AB=4，BC=8．點P是平面內(nèi)一點，AP=2，連接AP．作點P關(guān)于點M的對稱點Q，連接PM、MQ．
（1）當(dāng)點M是線段OF中點時，點Q的運動路徑長為________________．
（2）當(dāng)點M在線段OF上運動時，連接EQ．設(shè)線段EQ長度的最大值為a，最小值為b，則a+b=________________．
【針對訓(xùn)練】
1．（2022·山東泰安·二模）如圖，矩形ABCD的邊AB=112,BC=3，E為AB上一點，且AE=1，F(xiàn)為AD邊上的一個動點，連接EF，若以EF為邊向右側(cè)作等腰直角三角形EFG,EF=EG，連接CG，則CG的最小值為（）
A．5B．52C．3D．22
2．（2024·河南周口·一模）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=16，AD=12，∠A=60°，E是邊AD上一點，且AE=8，F(xiàn)是邊AB上的一個動點，將線段EF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到EG，連接BG、CG，則BG+CG的最小值是（）.
A．4B．415C．421D．37
3．如圖，等腰Rt△ABC中，斜邊AB的長為2，O為AB的中點，P為AC邊上的動點，OQ⊥OP交BC于點Q，M為PQ的中點，當(dāng)點P從點A運動到點C時，點M所經(jīng)過的路線長為
4（2023·四川成都·一模）如圖，四邊形ABCD為矩形，對角線AC與BD相交于點O，點E在邊DC上，連接AE，過D做DF⊥AE，垂足為F，連接OF，若∠DAE=30°，DE=10，則OF的最小值為．
5．（21-22九年級下·福建福州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y=12x+2上的一個動點，將Q繞點P-1,0逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到點Q'，連接OQ'，則OQ'最小值為．
6．（23-24九年級上·遼寧沈陽·期末）【問題初探】
數(shù)學(xué)課上張老師在講完正方形的性質(zhì)之后提出了一個問題：
四邊形ABCD是邊長為3的正方形，點E是邊AD上的一動點，連接CE，以CE為一邊作正方形CEFG（點C，E，F(xiàn)，G按順時針方向排列），連接BF，DG．
(1)如圖1，求點G到CD的距離，請寫出解答過程；
【類比分析】愛動腦的數(shù)學(xué)興趣小組在研討的過程中，也提出了一個問題：
(2)如圖2，當(dāng)BF經(jīng)過點D時，求DG的長，請寫出解答過程；
【學(xué)以致用】看到同學(xué)們興致勃勃的樣子，張老師說：“角相等可以是三角形全等的條件，也能推導(dǎo)出相似”，于是給同學(xué)們留了一道思考題：
(3)求代數(shù)式2DG+BF的最小值．經(jīng)過小組研討，組長小明進行了整理，給出了部分解題思路；
解題思路：如圖3，作等腰直角△ACF1，使∠CAF1=90°，連接AC，CF，AF，則點C，D，F(xiàn)1三點共線，
由∠ACF=∠DCG，ACDC=CFCG=2，可得△ACP∽△DCG，
由∠F1CF=∠ACE，CF1AC=CFCE=2，可得△CF1F∽△CAE，……
請完成“……”部分的解答過程．
7．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）如圖，分別經(jīng)過原點O和點A8,0的動直線a，b，其夾角∠OBA=30°，點M是OB中點，連接AM，則AM的最小值是（）
A．4B．23+2C．43?4D．43+4
8（2022·遼寧撫順·模擬預(yù)測）如圖，AB＝4，O為AB的中點，⊙O的半徑為1，點P是⊙O上一動點，以PB為直角邊的等腰直角三角形PBC（點P、B、C按逆時針方向排列），則線段AC的長度的最大值為．
9．（2024·河南鄭州·三模）如圖，點M是等邊三角形ABC邊BC的中點，P是三角形內(nèi)一點，連接AP，將線段AP以A為中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接MQ．若AB=4，MP=1，則MQ的最小值為．
10．（23-24九年級上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為4的⊙O與x軸的正半軸交于點A，點B是⊙O上一動點，點C為弦AB的中點，直線y=34x?6與x軸、y軸分別交于點D、E，則△CDE面積的最大值為．
11．（2023·江蘇宿遷·二模）如圖，四邊形ABCD為正方形，P是以邊AD為直徑的⊙O上一動點，連接BP，以BP為邊作等邊三角形BPQ，連接OQ，若AB=2，則線段OQ的最大值為．
12．（2017·江蘇無錫·二模）如圖，線段AB為⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，AB=4，BC=2，點P是⊙O上一動點，連接CP，以CP為斜邊在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP=60°，連接OD，則OD長的最大值為．
13．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，以點A為圓心，2為半徑作圓，E是⊙A上的任意一點，將線段DE繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)90°并縮短到原來的一半，得到線段DF，連接AF，則AF的最小值是．

14．（24-25九年級上·吉林·階段練習(xí)）【提出問題】
如圖1，已知圓O的半徑為2，點Q是圓O上一動點，點P是圓O外一點，連接PQ，取PQ中點M，當(dāng)點Q在圓O上運動時，判斷點M的運動軌跡．
【解決問題】
（1）小帥同學(xué)進行了探究，他連接線段OP，取其中點N，他猜想點M的運動軌跡應(yīng)該是以N為圓心，1為半徑的圓．請你幫小帥同學(xué)完成證明過程．
【簡單應(yīng)用】（2）如圖2，已知正方形ABCD的邊長為4，取BC中點記為O，以O(shè)為圓心，BC長為直徑作圓O，點E為圓O上一點，連接AE取其中點F，求線段DF的最小值．
【靈活運用】
（3）如圖3，正方形ABCD的邊長為4，點F在以A為圓心22長為半徑的圓上，連接CF，取其中點M，連接AM并延長交線段BC于點N，則∠ANB最大為 °．
15．（23-24九年級上·陜西西安·階段練習(xí)）（1）問題提出：如圖①，在矩形ABCD中，AB=1，BC=3，P是AD上一動點，則BP+12PD的最小值為_________
（2）問題探究：如圖②，在正方形ABCD中，AB=3，點E是平面上一點，且CE=1，連接BE，在BE上方作正方形BEMN，求BM的最大值．
（3）問題解決：為迎接2021年9月在西安舉辦的第14屆全運會，打造體育歷史文化名城，某小區(qū)對一正方形區(qū)域ABCD進行設(shè)計改造，方使大家鍛煉運動．如圖③，在正方形內(nèi)設(shè)計等腰直角△CEF為健身運動區(qū)域，直角頂點E設(shè)計在草坪區(qū)域扇形MBN的弧MN上．設(shè)計鋪設(shè)CF和DF這兩條不同造價鵝卵石路，已知AB=40米，BM=102米，∠CEF=90°，CE=EF，若鋪設(shè)CF路段造價為每米200元，鋪設(shè)DF路段的造價為每米100元，請求出鋪設(shè)CF和DF兩條路段的總費用的最小值．
圖形
結(jié)論
等腰三角形
①∠APB=∠BPC=∠APC=120°；
②△ABP與△ACP全等；
③△BCP為等腰三角形；
④△ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP，且點P為費馬點時和最小.
等邊三角形
①AP=BP=CP；
②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；
③△ABP、△ACP、△BCP全等；
④點P是垂心，是△ABC各邊的高線的交點；
⑤點P是△ABC各邊的中線的交點；
⑥點P是內(nèi)心，是在三角形三個內(nèi)角的角平分線的交點；
⑦△ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP，且點P為費馬點時和最小.
直角三角形
①△ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP，且點P為費馬點時和最??；
②∠APB=∠BPC=∠APC=120°
求AD+CD+BD的最小值
求AD+CD+BD的最小值
旋轉(zhuǎn)角度是90°
旋轉(zhuǎn)角度是120°
問題
求解圖形
作法
求PA+PB+PC最小值
△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△CDE
BD長度即為所求,在Rt△BCD中有勾股定理可得BD=BC2+CD2=61
求PA+PB+2PC最小值
△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得△CDE
此時△PCE為等腰直角三角形，即PE=2PC
因此原式=PA+PB+2PC=ED+PB+PE，則當(dāng)B、P、E、D四點共線時取得最小值，BD長度即為所求, 在Rt△BFD中有勾股定理可得BD=BF2+FD2=91
求PA+PB+3PC最小值
△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°得△CDE
此時△PCE為等腰三角形且∠PCE=120°，即PE=3PC，因此原式=PA+PB+3PC=ED+PB+PE，則當(dāng)B、P、E、D四點共線時取得最小值，BD長度即為所求, 在Rt△BFD中有勾股定理可得BD=BF2+FD2=60+303
求2PA+PB+3PC最小值
思路：原式=2（PA+12PB+32PC）
1)將PC邊繞點C旋轉(zhuǎn)60°，然后過點P作PF⊥CE于點F,則PF=32PC;2) 12PB利用三角形中位線來處理；3）PA前的系數(shù)是1，不需要轉(zhuǎn)化，所以旋轉(zhuǎn)△PCB.
過程：△BCP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△CDE, 然后過點P作PF⊥CE于點F, 此時△PCE為等邊三角形，即PF=32PC，過點F作FG∥DE，則FG= 12PB，則當(dāng)A、P、F、G四點共線時取得最小值，AG長度即為所求, 在Rt△ACG中有勾股定理可得AG=CG+AC2=34, 原式=2（PA+12PB+32PC）=234
求2PA+4PB+23PC最小值
過程：△ACP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△CDE, 然后過點P作PF⊥CE于點F, 此時△PCE為等邊三角形，即PF=32PC，過點F作FG∥DE，則FG= 12AP，則當(dāng)B、P、F、G四點共線時取得最小值，BG長度即為所求, 在Rt△BCG中有勾股定理可得BG=CG+AC2=7.5, 原式=4（12PA+PB+32PC）=26
費馬點的思考
問題背景
17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽的法國律師皮耶·德·費馬，提出一個問題：求作三角形內(nèi)的一個點，使它到三角形三個頂點的距離之和最小，后來這點被稱之為“費馬點”．

素材1
解決這種問題的經(jīng)典方法，就是利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA，PB，PC行轉(zhuǎn)化：
如圖：把△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60度得到△AP'C'，連接PP'，這樣就把確定PA+PB+PC的最小值的問題轉(zhuǎn)化成確定BP+PP'+P'C'的最小值的問題了．當(dāng)B，P，P'，C'四點共線時，線段BC'的長為所求的最小值，容易證明∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，此時點P為△ABC的“費馬點”．

素材2
圖中所示的是一個正方形的廠區(qū)，其中頂點A，B，C，D分別為辦公區(qū)、生產(chǎn)區(qū)、物流區(qū)和生活區(qū)，正方形邊長為2km，準(zhǔn)備在廠區(qū)內(nèi)修建一研發(fā)區(qū)E，且從研發(fā)區(qū)E修建三條直線型道路直通辦公區(qū)A，生產(chǎn)區(qū)B和物流區(qū)C修路的成本為200元/米．

任務(wù)一
感悟證明定理
請你根據(jù)素材1所給解決思路，證明所求線段轉(zhuǎn)化的正確性．證明：PA+PB+PC=BP+PP'+P'C
任務(wù)二
初步探索位置
在素材2中，請問研發(fā)區(qū)E建在哪片區(qū)域比較合適？（）
A．△ABC內(nèi)的區(qū)域
B．△ACD內(nèi)的區(qū)域
任務(wù)三
擬定恰當(dāng)方案
為了節(jié)約建設(shè)成本，問該研發(fā)區(qū)E應(yīng)該修建在廠區(qū)的什么地方，才能使得花費最少，最少費用為多少？
證明過程缺失

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