專題15 動(dòng)點(diǎn)最值之阿氏圓模型--中考數(shù)學(xué)必備幾何模型講義（全國(guó)通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

專題15 動(dòng)點(diǎn)最值之阿氏圓模型背景故事：“阿氏圓”又稱為“阿波羅尼斯圓”，如下圖，已知A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA：PB=k（k≠1），則滿足條件的所有的點(diǎn)P的軌跡構(gòu)成的圖形為圓．這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”.模型建立：當(dāng)點(diǎn)P在一個(gè)以O為圓心，r為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖所示：易證：△BOP∽△POA，，∴對(duì)于圓上任意一點(diǎn)P都有.對(duì)于任意一個(gè)圓，任意一個(gè)k的值，我們可以在任意一條直徑所在直線上，在同側(cè)適當(dāng)?shù)奈恢眠x取A、B點(diǎn)，則需【技巧總結(jié)】計(jì)算的最小值時(shí)，利用兩邊成比例且?jiàn)A角相等構(gòu)造母子型相似三角形問(wèn)題：在圓上找一點(diǎn)P使得的值最小，解決步驟具體如下：①如圖，將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)與圓心相連即OP，OB②計(jì)算出這兩條線段的長(zhǎng)度比③在OB上取一點(diǎn)C，使得，即構(gòu)造△POM∽△BOP，則，④則，當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)可得最小值例1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（） A．7 B．5 C． D．【答案】B【詳解】如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM?CA，∴，∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值為5．故選：B．例2.在中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半徑為6，P是上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PC，則的最小值_____________的最小值_______【答案】【詳解】①連接AP，在AB上取點(diǎn)Q，使AQ=4，連接CQ，∵⊙A的半徑為6，即AP=6，∴，又，且，∴，∴，∴，∴，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為的長(zhǎng)，過(guò)C作CI⊥AB于I，∴，在Rt△CIB中，∵，BC=8，，∴，∴，，在Rt△CIQ中，，∴的最小值為；故答案為：；②連接AP，由①得：在Rt△CIA中，，在AC上取點(diǎn)G，使AG=，連接PG，BG，∴，∵，∴，且，∴，∴，∴，∴，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為的長(zhǎng)，過(guò)G作GH⊥AB于H，∴，在Rt△CIA中，，在Rt△GAH中，，∴，∴，，在Rt△GHB中，，∴的最小值為．故答案為：．例題3. 如圖，已知正方ABCD的邊長(zhǎng)為6，圓B的半徑為3，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_______．【解析】當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到BC邊上時(shí)，此時(shí)PC=3，根據(jù)題意要求構(gòu)造，在BC上取M使得此時(shí)PM=，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻，均有PM=，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求PD-PM的最大值．連接PD，對(duì)于△PDM，PD-PM＜DM，故當(dāng)D、M、P共線時(shí)，PD-PM=DM為最大值．【變式訓(xùn)練1】如圖，已知菱形的邊長(zhǎng)為4，，的半徑為2，P為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值_______．的最小值_______【答案】【詳解】①如圖，在BC上取一點(diǎn)G，使得BG=1，連接PB、PG、GD，作DF⊥BC交BC延長(zhǎng)線于F．∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴當(dāng)D、P、G共線時(shí)，PD+PC的值最小，最小值為DG，在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD?sin60°=2，CF=2，在Rt△GDF中，DG，故答案為：；②如圖，連接BD，在BD上取一點(diǎn)M，使得BM=，連接PB、PM、MC，過(guò)M作MN⊥BC于N．∵四邊形ABCD是菱形，且，　∴AC⊥BD，∠AOB=90，∠ABO=∠CBO=∠ABC=30，∴AO=AB=2，BO=，∴BD=2 BO=，∴，，∴，且∠MBP=∠PBD，∴△MBP△PBD，∴，∴，∴，∴當(dāng)M、P、C共線時(shí)，的值最小，最小值為CM，在Rt△BMN中，∠CBO =30，BM=，∴MN=BM=，BN=，∴CN=4-，∴MC=，∴的最小值為．【變式訓(xùn)練2】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為，的最大值為 .【答案】最小值為5，最大值為5【解析】在BC上取一點(diǎn)G，使得BG＝1，連接PG、DG，如圖所示：∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，，∴，在△PDG中，DP＋PG≥DG，∴當(dāng)D、G、P共線時(shí)，的值最小，最小值為；當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長(zhǎng)線時(shí)，的值最大，如圖所示：此時(shí)最大值也是DG，最大值為5.【變式訓(xùn)練3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，0），B（4，4），點(diǎn)P在半徑為2的圓O上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是 .【答案】5【解析】取點(diǎn)K（1，0），連接OP、PK、BK，如圖所示：∵OP＝2，OA＝4，OK＝1，，∵∠POK＝∠AOP，∴△POK ∽△AOP，，在△PBK中，，的最小值為BK的長(zhǎng)，∵B（4，4），K（1，0），，∴的最小值為5.【變式訓(xùn)練4】如圖，菱形的邊長(zhǎng)為2，銳角大小為，與相切于點(diǎn)E，在上任取一點(diǎn)P，則的最小值為___________．【答案】．【詳解】解：在AD上截取AH=1.5，連接PH、AE，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥DA延長(zhǎng)線，垂足為F，∵AB=2，∠ABC=60°，∴BE=AF=1，AE=BF=，∴，∵∠PAD =∠PAH，∴△ADP∽△APH，∴，∴PH=，當(dāng)B、P、H共線時(shí)，的最小，最小值為BH長(zhǎng)，BH=；故答案為：．課后訓(xùn)練1.如圖，矩形中，，以B為圓心，以為半徑畫(huà)圓交邊于點(diǎn)E，點(diǎn)P是弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：如圖，連接BP，取BE的中點(diǎn)G，連接PG，∵，，∴，∵G是BE的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，則，當(dāng)P、D、G三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，即DG長(zhǎng)，．故選：C．2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P是△AOB外部的第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且∠BPA＝135o，則2PD＋PC的最小值是 .【答案】【解析】依題意可得OA＝OB＝2，∠BPA＝135o，∴點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓O上的劣弧AB，構(gòu)造圓O，連接OP，在OC上截取OE＝1，連接PE、ED，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥OC于點(diǎn)F，如圖所示：，∠POC＝∠EOP，∴△POC ∽△EOP，，，，當(dāng)E、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，PD＋PE的值最小，最小值為DE的值，∵DF⊥OC于點(diǎn)F，則DF＝2，EF＝2，，∴的最小值為2DE.3.如圖，在中，∠C=90°，CA=3，CB=4．的半徑為2，點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值______________的最小值_______【答案】【詳解】①在BC上取點(diǎn)D，使CD=BC=1，連接AD，PD，PC，由題意知：PC=2，∵，∠PCD=∠BCP，∴，∴，且，∴，∴的最小值為，故答案為：；②在AC上取點(diǎn)E，使CE=，連接PE，BE，PC，∵，，∴，且∠PCE=∠ACP，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．4.如圖，半圓的半徑為1，AB為直徑，AC、BD為切線，AC＝1，BD＝2，點(diǎn)P為弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.【答案】【解析】當(dāng)A、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小.連接PB、CO，AD與CO相交于點(diǎn)M，如圖所示：∵AB＝BD＝2,BD是⊙O的切線,∴∠ABD＝90o,∠BAD＝∠D＝45o,∵AB是⊙O直徑,∴∠APB＝90o,∴∠PAB＝∠PBA＝45o,∴PA＝PB,PO⊥AB,∵AC是⊙O的切線,∴AC⊥AB,∴AC∥PO,∠CAO＝90o∵AC＝PO＝1,∴四邊形AOPC是平行四邊形,而OA＝OP,∠CAO＝90o,∴四邊形AOPC是正方形,，∴PC＋PD＝PM＋PD＝DM,∵DM⊥OC,∴由"垂線段最短"可知此時(shí)PC＋PD的值最小，最小值為. 5.（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC邊上的中線，請(qǐng)用尺規(guī)作圖做出AB邊上的中線CE，并證明BD＝CE：（2）如圖2，已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，PA＝3，求PC+PD的最小值；（3）如圖3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，點(diǎn)M是矩形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，MA＝15，當(dāng)MC+MD最小時(shí)，畫(huà)出點(diǎn)M的位置，并求出MC+MD的最小值．【解答】解：（1）如圖1中，作線段AB的垂直平分線MN交AB于點(diǎn)E，連接EC．線段EC即為所求；∵AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，∴AE＝AD，∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE．（2）如圖2中，在AD上截取AE，使得AE＝．∵PA2＝9，AE?AD＝×6＝9，∴PA2＝AE?AD，∴＝，∵∠PAE＝∠DAP，∴△PAE∽△DAP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PC+PD＝PC+PE，∵PC+PE≥EC，∴PC+PD的最小值為EC的長(zhǎng)，在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝6，DE＝，∴EC＝＝，∴PC+PD的最小值為．（3）如圖3中，如圖2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．∵MA2＝225，AE?AD＝9×25＝225，∴MA2＝AE?AE，∴＝，∵∠MAE＝∠DAM，∴△MAE∽△DAM，∴＝＝＝，∴ME＝MD，∴MC+MD＝MC+ME，∵MC+ME≥EC，∴MC+MD的最小值為EC的長(zhǎng)，在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，∴EC＝＝2，∴MC+MD的最小值為2．6.如圖1，拋物線y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E（m，0）（0＜m＜4），過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M．（1）求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)△PMN的周長(zhǎng)為C1，△AEN的周長(zhǎng)為C2，若＝，求m的值；（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接E′A、E′B，求E’A＋E’B的最小值．【解答】（1）；（2）m＝2；（3）【解析】（1）令y＝0，則ax2＋（a＋3）x＋3＝0，∴（x＋1）（ax＋3）＝0，∴x＝﹣1或，∵拋物線y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（4，0），∴＝4，∴a＝．∵A（4，0），B（0，3），設(shè)直線AB解析式為y＝kx＋b，則，解得，∴直線AB解析式為．（2）如圖1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴，∵NE∥OB，∴，∴AN＝（4﹣m），∵拋物線解析式為，∴PN＝﹣（）＝，∴，解得m＝2．（3）如圖2中，在y軸上取一點(diǎn)M′使得OM′＝，連接AM′，在AM′上取一點(diǎn)E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′?OB＝×3＝4，∴OE′2＝OM′?OB，∴，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴，∴M′E′＝BE′，∴AE′＋BE′＝AE′＋E′M′＝AM′，此時(shí)AE′＋BE′最?。▋牲c(diǎn)間線段最短，A、M′、E′共線時(shí)），最小值＝AM′＝．

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