一?填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得0分．
1. 在等比數(shù)列中，若，則______.
2. 函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)是________.
3. 已知圓錐的軸截面是一個頂角為，腰長為2的等腰三角形，則該圓錐的體積為__________.
4. 直線被圓截得的弦長為________.
5. 已知為空間中兩條不同的直線，為兩個不同的平面，若，則是的__________條件.（填：“充分非必要”?“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一個）
6. 設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則的通項(xiàng)公式為__________.
7. 已知橢圓和雙曲線有公共焦點(diǎn)，那么雙曲線的漸近線方程為________________．
8. 記等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為．若，則__________．
9. 已知集合為不超過的正整數(shù)，.若，，則的最大值與最小值之和為___________.
10. 已知雙曲線的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、，關(guān)于的一條浙近線的對稱點(diǎn)為．若，則的面積為__________．
11. 正方體的棱長為5，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)是正方體下底面內(nèi)（含邊界）的動點(diǎn)，且動點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方差為25，則動點(diǎn)到點(diǎn)的最小值是______.
12. 設(shè)雙曲線 的右焦點(diǎn)為F， 點(diǎn)是其右上方一段 上的點(diǎn)，線段的長度為(k=1，2，3，……，n).若數(shù)列 n成等差數(shù)列且公差 則n最大取值為____________.
二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13?14題每題4分，第15?16題每題5分）每題有且只有一個正確選項(xiàng)考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．
13. 如果函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，那么（ ）
A. B. 1C. 2D.
14. 已知直線，動直線，則下列結(jié)論正確為（ ）
A. 不存在，使得的傾斜角為B. 對任意的，與都不垂直
C. 存在，使得與重合D. 對任意的，與都有公共點(diǎn)
15. 已知是橢圓的兩個焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
16. 已知為橢圓右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OFP是以O(shè)F為底邊的等腰三角形，且外接圓的面積為，則橢圓C的長軸長為（ ）
A B. C. 4D. 6
三?解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．
17. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求．
18. 如圖，在直三棱柱中，．
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
19. 淮安市2019年新建住房面積500萬，其中安置房面積為200萬.計(jì)劃以后每年新建住房面積比上一年增長10%，且安置房面積比上一年增加50萬.記2019年為第1年.
（1）我市幾年內(nèi)所建安置房面積之和首次不低于3000萬？
（2）是否存在連續(xù)兩年，每年所建安置房面積占當(dāng)年新建住房面積的比保持不變？并說明理由.
20. 已知點(diǎn)、，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作垂直于軸的直線，在軸的上方交雙曲線于點(diǎn)，且．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線過點(diǎn)（0，1）且與雙曲線交于、兩點(diǎn)，若、中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，求直線的方程；
（3）過雙曲線上任意一點(diǎn)作該雙曲線兩條漸近線的垂直，垂足分別為、，求證：為定值．
21. 已知過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時，的面積為.
（1）求拋物線的方程；
（2）過曲線上一點(diǎn)作兩條互相垂直直線，分別交曲線于（異于點(diǎn)）兩點(diǎn)，求證：直線恒過定點(diǎn)；
（3）若為的重心，直線分別交軸于點(diǎn)，記的面積分別為，求的取值范圍.
2024-2025學(xué)年上海市晉元高級中學(xué)高二年級上學(xué)期期末試卷
2025.1
一?填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得0分．
1. 在等比數(shù)列中，若，則______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得答案.
【詳解】由，得，所以.
故答案為：.
2. 函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)是________.
【答案】
【解析】
【分析】利用求導(dǎo)公式以及求導(dǎo)法則，求得導(dǎo)函數(shù)，代入數(shù)值，可得答案.
【詳解】由，則，當(dāng)時，.
故答案為：.
3. 已知圓錐的軸截面是一個頂角為，腰長為2的等腰三角形，則該圓錐的體積為__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用圓錐軸截面等腰三角形特征求出圓錐的高和底面圓半徑，再利用圓錐體積公式計(jì)算作答
【詳解】因圓錐的軸載面是一個頂角為，腰長為2的等腰三角形，
則此等腰三角形底邊上的高即為圓錐的高，
因此，圓錐底面圓半徑，
所以圓雗的體積為.
故答案為：
4. 直線被圓截得的弦長為________.
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)弦長公式求解即可.
【詳解】由題意，圓的圓心到直線的距離，
故弦長為.
故答案為：2
5. 已知為空間中兩條不同的直線，為兩個不同的平面，若，則是的__________條件.（填：“充分非必要”?“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一個）
【答案】充要
【解析】
【分析】根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得解.
【詳解】充分性：因?yàn)椋?br>所以共面，
又因?yàn)闉閮蓚€不同的平面，，
所以，
所以，故充分性成立；
必要性：因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)?，所以，故必要性成立?br>所以是的充要條件.
故答案為：充要.
6. 設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則的通項(xiàng)公式為__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用，可求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【詳解】由題意時，，
又也滿足上式，所以．
故答案為：.
7. 已知橢圓和雙曲線有公共焦點(diǎn)，那么雙曲線的漸近線方程為________________．
【答案】
【解析】
【詳解】依題意可得，，則，所以雙曲線方程為，則其漸近線方程為，即
8. 記等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為．若，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，在根據(jù)得出關(guān)系，進(jìn)而求得.
【詳解】設(shè)，
則．
故，則,且．
故，
則．
故答案為：．
9. 已知集合為不超過的正整數(shù)，.若，，則的最大值與最小值之和為___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，分析可得對于的最小值，要盡可能讓每一項(xiàng)取較大值，對于的最大值，要盡可能讓每一項(xiàng)取較小值，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式代入計(jì)算，分別求得的最小值以及最大值，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可得，，且，，
對于的最小值，要盡可能讓每一項(xiàng)取最大值；
對于的最大值，要盡可能讓每一項(xiàng)取最小值；
當(dāng)盡可能取大的值時，會取到最小值，
當(dāng)時，n取到最大值，最大值60；
當(dāng)時，因?yàn)?，?br>所以取時，，
此時n恰好取到最小值，
綜上的最大值為，的最小值為，
則的最大值與最小值之和為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了集合定義的理解以及數(shù)列求和的內(nèi)容，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于分析出對于的最小值，要盡可能讓每一項(xiàng)取較大值，對于的最大值，要盡可能讓每一項(xiàng)取較小值，即可得到結(jié)果.
10. 已知雙曲線的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、，關(guān)于的一條浙近線的對稱點(diǎn)為．若，則的面積為__________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)與漸近線交于，則，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得，利用勾股定理可得出，利用中位線的性質(zhì)可求出的值，進(jìn)而可求得的值，再利用三角形的面積公式可求得的面積.
【詳解】設(shè)與漸近線交于，則，
點(diǎn)到直線的距離為，
因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則為線段的中點(diǎn)，
又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，且，
由勾股定理可得，
由雙曲線的離心率為，則，
所以，，
則.
故答案為：.
11. 正方體的棱長為5，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)是正方體下底面內(nèi)（含邊界）的動點(diǎn)，且動點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方差為25，則動點(diǎn)到點(diǎn)的最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)動點(diǎn)P到直線的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離的平方差為25，得到，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的軌跡是拋物線，然后建立平面直角坐標(biāo)系求解即可.
【詳解】
如圖所示，作，Q為垂足，則易知平面，
過點(diǎn)Q作，交于，則易知平面，
所以即為P到直線的距離．
因?yàn)?，且，所以?br>所以點(diǎn)P的軌跡是以AD為準(zhǔn)線，點(diǎn)M為焦點(diǎn)的拋物線．
如圖建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)P的軌跡方程是，點(diǎn)，
設(shè)，所以，
所以當(dāng)，取得最小值.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知及拋物線定義得到點(diǎn)P的軌跡方程為關(guān)鍵.
12. 設(shè)雙曲線 的右焦點(diǎn)為F， 點(diǎn)是其右上方一段 上的點(diǎn)，線段的長度為(k=1，2，3，……，n).若數(shù)列 n成等差數(shù)列且公差 則n最大取值為____________.
【答案】
【解析】
【分析】由雙曲線的第二定義可得的長度，再結(jié)合條件可得，求解不等式，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可得，，則，
則雙曲線的右準(zhǔn)線為，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，
由雙曲線的第二定義可得，
所以，
因?yàn)榈拈L度為，且數(shù)列成等差數(shù)列，且，
所以，
因?yàn)椋?，且?br>則，
則取最大值時，，
所以，解得，
因?yàn)椋詽M足條件的最大整數(shù).
故答案為：
二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13?14題每題4分，第15?16題每題5分）每題有且只有一個正確選項(xiàng)考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．
13. 如果函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，那么（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以．
故選：A．
14. 已知直線，動直線，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A. 不存在，使得的傾斜角為B. 對任意的，與都不垂直
C. 存在，使得與重合D. 對任意的，與都有公共點(diǎn)
【答案】D
【解析】
【分析】通過斜率不存在即可得到傾斜角可以為，首先討論斜率是否存在，斜率存在的情況下兩直線的位置關(guān)系：斜率為乘積為得到垂直關(guān)系；斜率相等得到平行（重合），反之即不成立.
【詳解】當(dāng)時，動直線，此時傾斜角為，故A選項(xiàng)錯誤；
，當(dāng)時，顯然與都不垂直；當(dāng)時，，
當(dāng)時，，此時，即存在使得與垂直，故B選項(xiàng)錯誤；
，當(dāng)時，顯然與都不重合且有公共點(diǎn)；當(dāng)時，，
當(dāng)，即時，方程無解，即不存，使得與平行，但有公共點(diǎn)；
故C選項(xiàng)錯誤，D選項(xiàng)正確；
故選：D.
15. 已知是橢圓的兩個焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可知：點(diǎn)在以為直徑的圓上，即，根據(jù)得到離心率的取值范圍即可.
【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，即，
由題意可知，圓在橢圓內(nèi)部，故，
所以，
所以.
故選：C.
16. 已知為橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OFP是以O(shè)F為底邊的等腰三角形，且外接圓的面積為，則橢圓C的長軸長為（ ）
A. B. C. 4D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由外接圓面積求半徑，應(yīng)用正弦定理求中的，結(jié)合已知有，根據(jù)中點(diǎn)弦，應(yīng)用點(diǎn)差法有即可求橢圓的長軸長.
【詳解】由外接圓的面積為，則其外接圓半徑為.
∵是以為底邊的等腰三角形，設(shè)，則，
∴，得，
∴或.
不妨設(shè)點(diǎn)在軸下方，
由是以為底邊的等腰三角形，知：或
設(shè)，則
，，
所以，
所以，
因?yàn)樗狞c(diǎn)共線，為線段的中點(diǎn)，
所以，，
所以，
所以或（此時焦點(diǎn)在軸上，舍去）
∵為橢圓的右焦點(diǎn)，
，
∴，故橢圓的長軸長為.

故選：B.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中解決弦的中點(diǎn)相關(guān)問題，經(jīng)常利用點(diǎn)差法解決.
三?解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．
17. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求．
【答案】（1）
（2）20
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；
（2）由并項(xiàng)求和法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列公差為，
由題意可得，解得，所以.
【小問2詳解】
由（1）可得，
所以.
18. 如圖，在直三棱柱中，．
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件，得到面，利用線面垂直的性質(zhì)得到，再利用幾何關(guān)系得到，再由線面垂直的判斷定理，即可證明結(jié)果；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，再利用線面角的向量求法，即可求解.
【小問1詳解】
由題知面，又面，所以，
又，，面，所以面，
又面，所以，
又，所以四邊形是正方形，得到，
又，面，所以平面.
【小問2詳解】
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?br>則，，
得到，，，
直線與平面所成角為，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，
所以平面的法向量為，
則，
直線與平面所成角的正弦值為.
19. 淮安市2019年新建住房面積為500萬，其中安置房面積為200萬.計(jì)劃以后每年新建住房面積比上一年增長10%，且安置房面積比上一年增加50萬.記2019年為第1年.
（1）我市幾年內(nèi)所建安置房面積之和首次不低于3000萬？
（2）是否存在連續(xù)兩年，每年所建安置房面積占當(dāng)年新建住房面積的比保持不變？并說明理由.
【答案】（1）8年；（2）第7年和第8年，所建安置房面積占當(dāng)年新建住房面積的比保持不變，理由見解析.
【解析】
【分析】
（1）由題意得，所建安置房面積為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，得到答案；
(2）由題意得，新建住房面積是等比數(shù)列，兩者做比，可得比例相等時的年份．
【詳解】（1）設(shè)年內(nèi)所建安置房面積之和首次不低于3000萬，依題意，每年新建安置房面積是以200為首項(xiàng)，50為公差的等差數(shù)列，從而年內(nèi)所建安置房面積之和為，則，整理得，，解得(舍去).
答：8年內(nèi)所建安置房面積之和首次不低于3000萬
（2）依題意，每年新建住房面積是以500為首項(xiàng)，1.1為公比的等比數(shù)列，
設(shè)第年所建安置房面積占當(dāng)年新建住房面積的比為，
則，
由得，，解得.
答：第7年和第8年，所建安置房面積占當(dāng)年新建住房面積的比保持不變.
20. 已知點(diǎn)、，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作垂直于軸的直線，在軸的上方交雙曲線于點(diǎn)，且．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線過點(diǎn)（0，1）且與雙曲線交于、兩點(diǎn)，若、中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，求直線的方程；
（3）過雙曲線上任意一點(diǎn)作該雙曲線兩條漸近線的垂直，垂足分別為、，求證：為定值．
【答案】（1）；（2）；（3）為定值，證明見解答．
【解析】
【分析】（1）由題意可得，由直角三角形的性質(zhì)和雙曲線的定義，解方程可得，即可得到雙曲線的方程；
（2）設(shè)直線的方程為，與雙曲線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，解方程可得，進(jìn)而得到直線的方程；
（3）設(shè)，則，求得雙曲線的漸近線方程分別與相應(yīng)的垂線方程聯(lián)立，求得交點(diǎn)，，以及、的坐標(biāo)，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡整理，即可得證．
【詳解】（1）由雙曲線的方程可得，
在直角三角形中，，，
可得，且，
解得，又，
所以，
則雙曲線的方程為；
（2）由題意可得直線的斜率存在，設(shè)為，直線的方程為，
聯(lián)立，可得，
，解得
設(shè)，的橫坐標(biāo)分別為，，則
由、中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，可得，
解得或（舍去），
所以直線的方程為；
（3）證明：設(shè)，則，
由，解得，
由，解得，
所以


，
即．
21. 已知過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時，的面積為.
（1）求拋物線的方程；
（2）過曲線上一點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，分別交曲線于（異于點(diǎn)）兩點(diǎn)，求證：直線恒過定點(diǎn)；
（3）若為的重心，直線分別交軸于點(diǎn)，記的面積分別為，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角形面積求出，得出拋物線方程；
（2）設(shè)直線方程為,直曲聯(lián)立，由韋達(dá)定理得到，由兩條直線垂直，借助.得到關(guān)系式代入得定點(diǎn).
（3）利用重心的性質(zhì)可得，再由直線與拋物線聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡，由均值不等式及不等式的性質(zhì)求值域即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，，所以，
由題意可知，，
所以，所以拋物線的方程為
【小問2詳解】
根據(jù)題意,設(shè)直線方程為,聯(lián)立，得到，所以，由于兩條直線垂直，則.
即
化簡整理得到所以，代入得，故直線恒過定點(diǎn).
【小問3詳解】
如圖，

設(shè)，
因?yàn)闉榈闹匦模?br>所以；
因?yàn)椋?br>且..；
所以；
設(shè)，與聯(lián)立得：，所以，
所以，則；
所以；
所以的取值范圍為.

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