上海市金山中學2024-2025學年高二上學期期末考試數(shù)學試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得0分.
1. 經(jīng)過兩點和的直線的傾斜角是______.
2. 已知圓柱底面圓的周長為，母線長為4，則該圓柱的體積為________．
3. 若拋物線：的焦點在直線上，則p等于______.
4. 已知全集，集合．若，則實數(shù)a的取值范圍是______．
5. 雙曲線的左焦點F到其中一條漸近線的距離為______．
6. 如圖所示，是用斜二測畫法畫出的的直觀圖，其中，則的面積為_________.
7. 已知空間四邊形兩對角線長分別為8和10，所成的角為60°，依次連接各邊中點所得四邊形的面積是____________.
8. 已知橢圓C的焦點、都在x軸上，P為橢圓C上一點，的周長為6，且，，成等差數(shù)列，則橢圓C的標準方程為______．
9. 已知點到平面的距離是2，動點、在平面內(nèi)，且，則的最小值為________.
10. 已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，，若，則的最小值為______.
11. 某同學畫“切面圓柱體”（用與圓柱底面不平行的平面切圓柱，底面與切面之間的部分叫做切面圓柱體），發(fā)現(xiàn)切面與圓柱側面的交線是一橢圓（如圖所示）．若該同學所畫的橢圓的離心率為，則“切面”所在平面與底面所成銳二面角的大小為__________．

12. 平面上到兩個定點距離之比為常數(shù)的動點的軌跡為圓，且圓心在兩定點所確定的直線上，結合以上知識，請嘗試解決如下問題：已知滿足，則的取值范圍為______．
二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.
13. 若，，則下列不等式成立的是（）
A. B. C. D.
14. 設是三個不同的平面，a，b是兩條不同的直線，則下列命題中為真命題的是（）
A. 若，則B. 若，則
C 若，則與異面D. 若，則
15. 設曲線E的方程為1，動點A（m，n），B（﹣m，n），C（﹣m，﹣n），D（m，﹣n）在E上，對于結論：①四邊形ABCD的面積的最小值為48；②四邊形ABCD外接圓的面積的最小值為25π.下面說法正確的是（）
A. ①錯，②對B. ①對，②錯C. ①②都錯D. ①②都對
16. 如圖，正方體透明容器的棱長為分別為的中點，點是棱上任意一點，下列說法正確的是（）
A.
B. 向量在向量上投影向量為
C. 將容器的一個頂點放置于水平桌面上，使得正方體的12條棱所在的直線與桌面所成的角都相等，再向容器中注水，則注水過程中，容器內(nèi)水面的最大面積為
D. 向容器中裝入直徑為1的小球，最多可裝入512個
三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．
17. 在中，，邊AC上的高BE所在的直線方程為，邊AB上中線CM所在的直線方程為．
（1）求點C坐標；
（2）求直線BC的方程．
18. 設向量，，.
（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；
（2）在中，角、、的對邊分別為、、.若，，且，求的面積.
19. 箏形是指有一條對角線所在直線為對稱軸四邊形．如圖，四邊形為箏形，其對角線交點為，將沿折到的位置，形成三棱錐．

（1）求到平面的距離；
（2）當時，在棱上是否存在點，使得直線與平面所成角正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
20. 已知雙曲線C的中心為坐標原點，是的兩個焦點，其中左焦點為，離心率為.
（1）求的方程；
（2）雙曲線上存在一點，使得，求三角形的面積；
（3）記的左、右頂點分別為，過點的直線與的左支交于M，N兩點，在第二象限，直線與交于點.證明：點在定直線上.
21. 已知是定義在上的函數(shù)，滿足恒成立.數(shù)列滿足:，.
（1）若函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍;
（2）若函數(shù)是上的減函數(shù)，求證：對任意正實數(shù)，均存在，使得時，均有；
（3）求證："函數(shù)是上的增函數(shù)"是"存在，使得"的充分非必要條件.
2024-2025學年上海市金山中學高二年級上學期
期末數(shù)學試卷
2025．1
一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得0分.
1. 經(jīng)過兩點和的直線的傾斜角是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用斜率公式求得直線的斜率，可得，可求直線的傾斜角.
【詳解】因為直線過和，
所以直線的斜率，
記直線的傾斜角為，所以，
又，則可得．
故答案為：.
2. 已知圓柱底面圓的周長為，母線長為4，則該圓柱的體積為________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)條件，直接求出，再利用圓柱的體積公式，即可求出結果.
【詳解】設圓柱的底面半徑為，所以，得到，
又圓柱的母線長為，所以圓柱的體積為，
故答案為：.
3. 若拋物線：的焦點在直線上，則p等于______.
【答案】4
【解析】
【分析】將拋物線的焦點坐標代入直線方程可求得實數(shù)的值.
【詳解】根據(jù)題意，拋物線的方程為，其拋物線的焦點在軸的正半軸上，其焦點坐標為，
又由拋物線的焦點在直線上，則有，解可得．
故答案為：.
4. 已知全集，集合．若，則實數(shù)a的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意有，由得即可求解.
【詳解】由，即，
全集，
由，即，
，，，即．
故答案為：.
5. 雙曲線的左焦點F到其中一條漸近線的距離為______．
【答案】
【解析】
【分析】由雙曲線方程可得焦點坐標以及漸近線方程，利用點到直線距離公式，可得答案.
【詳解】詳根據(jù)題意可得，
所以左焦點為，漸近線方程為，
即，所以左焦點到其中一條漸近線的距離為．
故答案為：.
6. 如圖所示，是用斜二測畫法畫出的的直觀圖，其中，則的面積為_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用原圖和直觀圖的對應關系將直觀圖還原，即可得到原三角形的面積.
【詳解】如圖，將直觀圖還原，則，
的面積為.
故答案為：2.
7. 已知空間四邊形兩對角線的長分別為8和10，所成的角為60°，依次連接各邊中點所得四邊形的面積是____________.
【答案】
【解析】
【分析】空間四邊形ABCD中，分別取AB、BC、CD、DA的中點E、F、G、H，連接EF、FG、GH、HE，則連接各邊中點可得平行四邊形，利用平行四邊形的面積公式可求出結果．
【詳解】如圖，空間四邊形ABCD中，
兩對角線AC、BD的長分別為8和10，所成的角為60°，
分別取AB、BC、CD、DA的中點E、F、G、H，連接EF、FG、GH、HE，
則EF//GH//AC，且EF＝GH＝AC＝4，
EH//GF//BD，且EH＝GF＝BD＝5，
∴∠HEF＝60°，或∠HEF＝120°，
不妨取∠HEF＝60°
∴連接各邊中點所得四邊形的面積是：
．
故答案為：．
8. 已知橢圓C的焦點、都在x軸上，P為橢圓C上一點，的周長為6，且，，成等差數(shù)列，則橢圓C的標準方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，結合等差中項的意義及橢圓的定義列式求出即可得解.
【詳解】令橢圓長半軸長為，半焦距為，依題意，，
即，解得，則橢圓短半軸長，
所以橢圓C的標準方程為.
故答案為：
9. 已知點到平面的距離是2，動點、在平面內(nèi)，且，則的最小值為________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)圖形，比較線面角和線和平面內(nèi)其他角的正弦值，即可求解.
【詳解】如圖，，，，過點作，垂足為點，
因為，，，
所以，
當點重合時，等號成立，所以，，
所以的最小值為
故答案為：
10. 已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，，若，則的最小值為______.
【答案】4
【解析】
【分析】確定函數(shù)的周期，結合可得，將化為，展開后利用基本不等式，即可求得答案.
【詳解】因為函數(shù)滿足，則，
所以函數(shù)的周期為6，
又因為，
所以，
因為當時，，
則有，，
所以，
當且僅當，即時取等號．
故答案為：
11. 某同學畫“切面圓柱體”（用與圓柱底面不平行的平面切圓柱，底面與切面之間的部分叫做切面圓柱體），發(fā)現(xiàn)切面與圓柱側面的交線是一橢圓（如圖所示）．若該同學所畫的橢圓的離心率為，則“切面”所在平面與底面所成銳二面角的大小為__________．

【答案】
【解析】
【分析】如圖，“切面”所在平面與底面所成的角為，設圓的半徑為，，，，由離心率求得，從而可得的余弦值，得角的大?。?br>【詳解】如圖，“切面”所在平面與底面所成的角為，設圓的半徑為，

則,,,
由題意得，即，
所以，即，
所以，即.
即“切面”所在平面與底面所成銳二面角的大小為.
故答案為：．
12. 平面上到兩個定點距離之比為常數(shù)的動點的軌跡為圓，且圓心在兩定點所確定的直線上，結合以上知識，請嘗試解決如下問題：已知滿足，則的取值范圍為______．
【答案】
【解析】
【分析】利用題目提供信息結合圖形，將轉化為，后由圖形以及不等式知識可得答案.
【詳解】如圖所示建立坐標系，則．
其中,則.
設滿足，
故，
整理得到.
故．
當三點共線時，即BE與單位圓相切，在時，有最小值為；
又，
則
，當且僅當，即時取等號.
又注意到當時，，則，當且僅當時取等號.
則，當，即在等號成立．
故答案為：．
【點睛】關鍵點睛：本題所給信息涉及“阿氏圓”，我們常利用“阿氏圓”將不同系數(shù)的求值問題轉變?yōu)橄嗤禂?shù)求值.題中所涉不等式：為均值不等式鏈的一部分，即平方平均大于算術平均.
二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.
13. 若，，則下列不等式成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取特殊值，結合不等式性質(zhì)判斷.
【詳解】對于A：取，，滿足，但不滿足，故A錯誤；
對于B：取，，滿足，但不滿足，故B錯誤；
對于C：因為，則，又，所以，故C正確；
對于D：取，則，故D錯誤；
故選：C
14. 設是三個不同的平面，a，b是兩條不同的直線，則下列命題中為真命題的是（）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則與異面D. 若，則
【答案】D
【解析】
【分析】ABC選項根據(jù)空間中直線與平面的位置關系直接判斷即可，D選項需要通過畫圖解釋，另外需要結合線面垂直、面面垂直、線面平行的性質(zhì)進行分析.
【詳解】對A，若，則a與b相交、平行或異面都有可能，故A錯誤；
對B，若，則或a與b異面，故B錯誤；
對C，若，則a與b相交、平行或異面都有可能，故C錯誤；
對D，若，設與的交線為m，與的交線為n，
在平面內(nèi)取，在平面內(nèi)取，與a不重合，
由面面垂直的性質(zhì)可得，所以，
又，所以，由線面平行的性質(zhì)定理得，
所以有，故D正確.

故選：D.
15. 設曲線E的方程為1，動點A（m，n），B（﹣m，n），C（﹣m，﹣n），D（m，﹣n）在E上，對于結論：①四邊形ABCD的面積的最小值為48；②四邊形ABCD外接圓的面積的最小值為25π.下面說法正確的是（）
A. ①錯，②對B. ①對，②錯C. ①②都錯D. ①②都對
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)點的對稱性可知四邊形ABCD是矩形，結合矩形的面積公式和外接圓的面積公式可求.
【詳解】因為動點A（m，n），B（﹣m，n），C（﹣m，﹣n），D（m，﹣n），所以四邊形ABCD是矩形；
不妨設，則矩形ABCD的面積為，
因為，所以，即，當且僅當時等號成立；
所以矩形ABCD的面積最小值為48.
四邊形ABCD外接圓的直徑為，
所以四邊形ABCD外接圓的面積為，
因為，所以，當且僅當時等號成立；
故選：D.
【點睛】本題主要考查曲線的方程及基本不等式求解最值，明確所求目標的表達式是求解的關鍵，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).
16. 如圖，正方體透明容器的棱長為分別為的中點，點是棱上任意一點，下列說法正確的是（）
A
B. 向量在向量上的投影向量為
C. 將容器的一個頂點放置于水平桌面上，使得正方體的12條棱所在的直線與桌面所成的角都相等，再向容器中注水，則注水過程中，容器內(nèi)水面的最大面積為
D. 向容器中裝入直徑為1的小球，最多可裝入512個
【答案】C
【解析】
【分析】對A：根據(jù)正方體易知，利用線面垂直的判斷、性質(zhì)定理可得，又，故與不垂直；對B：若是交點，連接，則所成角，即為所成角，余弦定理求夾角余弦值，進而求向量在向量上的投影向量；對C：令放在桌面上的頂點為，根據(jù)正方體的結構特征，要使容器內(nèi)水的面積最大，即垂直于的平面截正方體的截面積最大，并確定最大截面的形狀，求其面積即可；對D：通過直觀想象，有第一層小球為個，第二層小球為，且奇數(shù)層均為個，偶數(shù)層均為，結合上下兩層相鄰5球的球心構成幾何體為正四棱錐并求高，再確定層數(shù)，最后求小球個數(shù).
【詳解】對A：由正方體性質(zhì)知：，，
且、面，
所以面，又面，則，
由，故與不垂直，故A錯誤；
對B：由題意且，若是交點，連接，
所以，
故為平行四邊形，則，，
所以所成角，即所成角，
由題設，易知，
在中，
即夾角為，所以夾角為，
故向量在向量上的投影向量為：
，故B錯誤；
對C：令放在桌面上的頂點為，
若桌面時正方體的各棱所在的直線與桌面所成的角都相等，
此時要使容器內(nèi)水的面積最大，即垂直于的平面截正方體的截面積最大，
根據(jù)正方體的對稱性，僅當截面過中點時截面積最大，
此時，截面是邊長為的正六邊形，
故最大面積，故C正確；
對D：由題意，第一層小球為個，第二層小球為，
且奇數(shù)層均為個，偶數(shù)層均為，
而第一層與第二層中任意四個相鄰球的球心構成一個棱長為1的正四棱錐，故高為，
假設共有n層小球，則總高度為，且為正整數(shù)，
令，則，而，故小球總共有10層，
由上，相鄰的兩層小球共有個，
所以正方體一共可以放個小球，故D錯誤.
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：D選項中，注意分析各層小球最多可放入的個數(shù)，結合兩層相鄰的5個球的球心所成幾何體的高，結合正方體棱長求總層數(shù)為關鍵.
三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．
17. 在中，，邊AC上的高BE所在的直線方程為，邊AB上中線CM所在的直線方程為．
（1）求點C坐標；
（2）求直線BC的方程．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出直線的斜率，利用直線的點斜式方程求出直線的方程，再聯(lián)立求出點坐標.
（2）設，由的中點在直線上求出點，再利用直線的點斜式方程求出直線的方程.
【小問1詳解】
由直線：的斜率為，得直線的斜率，
直線的方程為，即，由，解得，
所以點C的坐標為.
【小問2詳解】
依題意，設，則邊的中點在直線上，
于是，解得：，即點，
所以直線BC的方程為，即.
18 設向量，，.
（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；
（2）在中，角、、的對邊分別為、、.若，，且，求的面積.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由平面向量數(shù)量積的坐標表示直接寫出的解析式，再通過三角恒等變換化簡，最后根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出最小正周期及單調(diào)增區(qū)間.
（2）由（1）先將代入函數(shù)解出A的值，再由余弦定理得出bc的值，最后根據(jù)三角形面積公式求出面積.
【小問1詳解】
由題意知，，
故函數(shù)的最小正周期.
令，解得，
因此函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.
故函數(shù)的最小正周期為，單調(diào)增區(qū)間為.
【小問2詳解】
由題意知，即.
由于，故，
解得，即.
由余弦定理得，
故，
即，
故.
故的面積.
19. 箏形是指有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形．如圖，四邊形為箏形，其對角線交點為，將沿折到的位置，形成三棱錐．

（1）求到平面的距離；
（2）當時，在棱上是否存在點，使得直線與平面所成角正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）1 （2）存在；或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定可得平面，進而可得到平面的距離.
（2）以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，再設，根據(jù)線面角的空間向量求法求解即可.
【小問1詳解】
因為，
所以不可能為四邊形的對稱軸，則為四邊形的對稱軸，
所以垂直平分，所以．
平面平面
所以平面．
所以到平面的距離．
【小問2詳解】
存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為．
過作平面，所以兩兩垂直.
以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系

由（1）得平面平面，因為
所以．
設，
，
，
設平面的法向量，
，所以
令，則，
所以平面的一個法向量，
設直線與平面所成角為，，
．
所以或，所以存在點，當或時，使得直線與平面所成角的正弦值為．
20. 已知雙曲線C的中心為坐標原點，是的兩個焦點，其中左焦點為，離心率為.
（1）求的方程；
（2）雙曲線上存在一點，使得，求三角形的面積；
（3）記的左、右頂點分別為，過點的直線與的左支交于M，N兩點，在第二象限，直線與交于點.證明：點在定直線上.
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由題意求得的值即可確定雙曲線方程；
（2）根據(jù)（1）可得，，進而結合余弦定理及三角形面積公式求解即可；
（3）設出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點的坐標分別寫出直線與的方程，進而聯(lián)立直線方程，消去，結合韋達定理計算可得，即交點的橫坐標為定值，據(jù)此可證得點在定直線上.
【小問1詳解】
設雙曲線方程為，
由左焦點坐標可知，
則，可得，，
雙曲線方程為.
【小問2詳解】
由（1）知，，，所以，，
在中，由余弦定理得，
即，
即，即，
所以三角形的面積為.
【小問3詳解】
證明：由（1）可得，設，
顯然直線的斜率不為0，所以設直線的方程為，且，
聯(lián)立，可得，
且，，
則，
直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立直線與直線的方程，消去可得：
，
由，可得，即，
據(jù)此可得點在定直線上運動.

21. 已知是定義在上的函數(shù)，滿足恒成立.數(shù)列滿足:，.
（1）若函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍;
（2）若函數(shù)是上的減函數(shù)，求證：對任意正實數(shù)，均存在，使得時，均有；
（3）求證："函數(shù)是上的增函數(shù)"是"存在，使得"的充分非必要條件.
【答案】（1）
（2）證明見解析（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）將恒成立轉化為，然后求最值即可；
（2）利用放縮的思路得到，然后利用累加法得到，最后取即可得證；
（3）取特殊函數(shù)來證明非必要性，利用反證法的思路來證明充分性.
【小問1詳解】
由，即對一切恒成立，所以，
當時，在上單調(diào)遞增，所以對任意，均有，
綜上，實數(shù)的取值范圍為：.
【小問2詳解】
證明：由函數(shù)在上單調(diào)遞減，即對一切，均有，
所以對一切，均有，可得:，
所以:，對一切，
對任意正實數(shù)，取，為表示為取整，
當時.
【小問3詳解】
非必要性:取，在上不是增函數(shù)，
但，，，，，
充分性:假設對一切，均有，
所以，
由遞推式，
因為為增函數(shù)，所以，
由可知:對一切均成立，
記可知，當時，上述不等式不成立，
所以假設錯誤，即存在，使得.
【點睛】方法點睛：反證法的一般步驟：
①反設：作出與求證結論相反的假設；
②歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；
③結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立.

相關試卷

相關試卷更多

相關試卷

相關試卷 更多

相關試卷更多