1.如果函數(shù)y=fx在x=1處的導數(shù)為1，那么limx→0fx+1?f12x=( )
A. 12B. 1C. 2D. 14
2.已知直線l1:x?y?1=0，動直線l2:k+1x?ky+k=0k∈R，則下列結(jié)論正確的為( )
A. 不存在k，使得l2的傾斜角為π2B. 對任意的k，l1與l2都不垂直
C. 存在k，使得l1與l2重合D. 對任意的k，l1與l2都有公共點
3.已知F1,F2是橢圓的兩個焦點，滿足MF1⊥MF2的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是( )
A. 0,12B. 12, 22C. 0, 22D. 22,1
4.已知F 2,0為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點，過點F的直線l與橢圓C交于A，B兩點，P為AB的中點，O為坐標原點，若△OFP是以OF為底邊的等腰三角形，且?OFP外接圓的面積為2π3，則橢圓C的長軸長為( )
A. 2 5B. 2 3C. 4D. 6
二、填空題：本題共12小題，每小題5分，共60分。
5.在等比數(shù)列an中，若a1a3a5a7a9=132，則a5= ．
6.函數(shù)y=x2+x在x=1處的導數(shù)是 ．
7.已知圓錐的軸截面是一個頂角為2π3，腰長為2的等腰三角形，則該圓錐的體積為 ．
8.直線 3x?y=0被圓(x?2)2+y2=4截得的弦長為 ．
9.已知m,n為空間中兩條不同的直線，α,β為兩個不同的平面，若m?α,α∩β=n，則m//n是m//β的 條件.(填：“充分非必要”?“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一個)
10.設Sn是數(shù)列an的前n項和，且Sn=3n2，則an的通項公式為an= ．
11.已知橢圓x23m2+y25n2=1和雙曲線x22m2?y23n2=1有公共焦點，那么雙曲線的漸近線方程為 ．
12.記等差數(shù)列an,bn的前n項和分別為Sn,Tn.若SnTn=2n+1n+3，則a5b8= ．
13.已知集合Ak={x|x為不超過k的正整數(shù)}，k∈N?.若xk∈Ak，k=1nxk=60，則n的最大值與最小值之和為 ．
14.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的離心率為 5，左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，F(xiàn)2關于C的一條漸近線的對稱點為P.若PF1=2，則?PF1F2的面積為 ．
15.正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為5，點M在棱AB上，且AM=2，點P是正方體下底面ABCD內(nèi)(含邊界)的動點，且動點P到直線A1D1的距離與點P到點M的距離的平方差為25，則動點P到B點的最小值是 ．
16.設雙曲線x24?y2=1的右焦點為F，點P1,P2,?,Pn是其右上方一段2≤x≤2 5,y≥0上的點，線段PkF的長度為ak(k=1,2,3,……,n).若數(shù)列ak,k=1,2,3,?,n成等差數(shù)列且公差d∈15, 55,則n最大取值為 ．
三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題12分)
已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足a2+a4=10，S7=49．
(1)求數(shù)列an的通項公式；
(2)設bn=(?1)nan，求b1+b2+b3+?+b20．
18.(本小題12分)
如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2．
(1)證明：A1C⊥平面ABC1；
(2)求直線AC1與平面A1BC1所成角的正弦值．
19.(本小題12分)
已知南方某發(fā)達城市2019年新建住房面積為500萬m2，其中安置房面積為200萬m2.計劃以后每年新建住房面積比上一年增長10%，且安置房面積比上一年增加50萬m2.記2019年為第1年．
(1)該市幾年內(nèi)所建安置房面積之和首次不低于3 000萬m2？
(2)是否存在連續(xù)兩年，每年所建安置房面積占當年新建住房面積的比保持不變？并說明理由．
20.(本小題12分)
已知點F1、F2，為雙曲線C:x2?y2b2=1(b>0)的左、右焦點，過F2作垂直于x軸的直線，在x軸的上方交雙曲線C于點M，且∠MF1F2=30°．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若直線l過點(0,1)且與雙曲線C交于A、B兩點，若A、B中點的橫坐標為1，求直線l的方程；
(3)過雙曲線C上任意一點P作該雙曲線兩條漸近線的垂直，垂足分別為P1、P2，求證：PP1?PP2為定值．
21.(本小題12分)
已知過點1,0的直線與拋物線E:y2=2pxp>0交于A,B兩點，O為坐標原點，當直線AB垂直于x軸時，?AOB的面積為 2．
(1)求拋物線E的方程；
(2)過曲線E上一點P12,y0y0>0作兩條互相垂直的直線，分別交曲線E于S,T(異于點P)兩點，求證：直線ST恒過定點；
(3)若O為?ABC的重心，直線AC,BC分別交y軸于點M,N，記?MCN,?AOB的面積分別為S1,S2，求S1S2的取值范圍．
參考答案
1.A
2.D
3.C
4.B
5.12/0.5
6.3
7.π
8.2
9.充要
10.6n?3
11.y=± 34x
12.1918
13.71
14.4
15.2 3
16.14
17.解：(1)設等差數(shù)列的公差為d，
由題意可得2a1+4d=107a1+21d=49，解得a1=1d=2，所以an=2n?1．
(2)由(1)可得bn=(?1)nan=?1n2n?1，
所以b1+b2+b3+?+b20=?1+3+?5+7+?+?37+39=2×10=20．

18.解：(1)由題知AA1⊥面ABC，又AB?面ABC，所以AA1⊥AB，
又AB⊥AC，AA1∩AC=A，AA1,AC?面ACC1A1，所以AB⊥面ACC1A1，
又A1C?面ACC1A1，所以AB⊥A1C，
又AC=AA1=2，所以四邊形ACC1A1是正方形，得到A1C⊥AC1，
又AB∩AC1=A，AB,AC1?面ABC1，所以A1C⊥平面ABC1．
(2)如圖，
建立空間直角坐標系，因為AB=1,AC=AA1=2，
則A(0,0,2)，A1(0,0,0),B(1,0,2),C1(0,2,0)，
得到A1B=(1,0,2)，A1C1=(0,2,0)，AC1=(0,2,?2)，
直線AC1與平面A1BC1所成角為θ，
設平面A1BC1的法向量為n=x,y,z，
則n?A1B=x+2z=0n?A1C1=2y=0，令x=2，則z=?1,y=0，
所以平面A1BC1的法向量為n=2,0,?1，
則sin θ=|cs< AC1,n>|=|AC1?n||AC1|?|n|=22 2× 5= 1010，
直線AC1與平面A1BC1所成角的正弦值為 1010．

19.解：(1)設n(n∈N?)年內(nèi)所建安置房面積之和首次不低于3 000萬m2，
依題意，每年新建安置房面積是以200為首項，50為公差的等差數(shù)列，
從而n年內(nèi)所建安置房面積之和為[200n+n(n?1)2×50] m2，
則200n+n(n?1)2×50?3000，
整理得，n2+7n?120?0，
解得n?8 (n??15舍去)．
答：8年內(nèi)所建安置房面積之和首次不低于3 000萬m2.
(2)依題意，每年新建住房面積是以500為首項，1.1為公比的等比數(shù)列，
設第m年所建安置房面積占當年新建住房面積的比為p(m)，
則p(m)=200+50(m?1)500?(1+0.1)m?1=m+310×1.1m?1，
由p(m)=p(m+1)得，m+310×1.1m?1=m+410×1.1m，解得m=7．
即第7年和第8年，所建安置房面積占當年新建住房面積的比保持不變.

20.解：(1)由雙曲線的方程可得a=1，
在直角三角形MF1F2中，∠MF1F2=30°，MF2⊥F2F1，
可得MF1=2MF2，且MF1?MF2=2a=2，
解得MF2=2，又MF2=b2a=b2，
所以b2=2，
則雙曲線的方程為x2?y22=1；
(2)由題意可得直線l的斜率存在，設為k，直線l的方程為y=kx+1，
聯(lián)立y=kx+12x2?y2=2，可得2?k2x2?2kx?3=0，
Δ=4k2+122?k2>0，解得? 3

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