一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 設(shè)集合，集合，則的元素個(gè)數(shù)為（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 32
2. 設(shè)，為實(shí)數(shù)，甲：，乙：，則甲是乙的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
3. 十七世紀(jì)，數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出猜想：“對(duì)任意正整數(shù)，關(guān)于的方程沒有正整數(shù)解”，經(jīng)歷三百多年，1995年數(shù)學(xué)家安德魯懷爾斯給出了證明，使它終成費(fèi)馬大定理，則費(fèi)馬大定理的否定為（ ）
A. 對(duì)任意正整數(shù)，關(guān)于的方程都沒有正整數(shù)解
B. 對(duì)任意正整數(shù)，關(guān)于的方程至少存在一組正整數(shù)解
C. 存在正整數(shù)，關(guān)于方程至少存在一組正整數(shù)解
D. 存在正整數(shù)，關(guān)于方程至少存在一組正整數(shù)解
4. 已知實(shí)數(shù)，，下列關(guān)系正確的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 設(shè),且,則的最小值為（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知某連鎖酒店共有500間客房，若每間客房每天的定價(jià)是200元，則均可被租出；若每間客房每天的定價(jià)在200元的基礎(chǔ)上提高10x元，則被租出的客房會(huì)減少套．若要使該連鎖酒店每天租賃客房的收入超過元，則該連鎖酒店每間客房每天的定價(jià)應(yīng)為（ ）
A 250元B. 260元
C. 270元D. 280元
7. 在上定義運(yùn)算，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. 或D.
8. 已知關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，錯(cuò)選得0分．
9. 若集合，則（ ）
A. B. C. D.
10. 設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 的最大值為
C. 的最小值為D. 的最小值為
11. 1872年德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱“戴德金分割”），并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代，也結(jié)束了數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)．將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集與，且滿足中的每一個(gè)元素都小于中的每一個(gè)元素，則稱為戴德金分割．試判斷下列選項(xiàng)中，可能成立的是（ ）
A. 若，則滿足戴德金分割
B. 若為戴德金分割，則沒有最大元素，有一個(gè)最小元素
C. 若為戴德金分割，則有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素
D. 若為戴德金分割，則沒有最大元素，也沒有最小元素
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 不等式組解集為________．
13. 為了提高同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)校舉辦了數(shù)學(xué)、物理兩科競(jìng)賽.高一年級(jí)(包括銜接班)共260名同學(xué)參加比賽，其中兩科都取得優(yōu)秀的有80人，數(shù)學(xué)取得優(yōu)秀但物理未取得優(yōu)秀的有40人，物理取得優(yōu)秀而數(shù)學(xué)未取得優(yōu)秀的有120人，則兩科均未取得優(yōu)秀的人數(shù)為_______.
14. 已知命題，為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知集合，.
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）若，求的取值范圍.
16. 已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)時(shí)，，求的最小值；
（2）當(dāng)時(shí)，，求關(guān)于x不等式的解集．
17. 某地方政府準(zhǔn)備在一塊面積足夠大的荒地上建一如圖所示的一個(gè)矩形綜合性休閑廣場(chǎng)，其總面積為3000平方米，其中場(chǎng)地四周（陰影部分）為通道，通道寬度均為2米，中間的三個(gè)矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地（其中兩個(gè)小場(chǎng)地形狀相同），塑膠運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地占地面積為平方米.
（1）分別寫出用表示 和用表示 的函數(shù)關(guān)系式（寫出函數(shù)定義域）；
（2）怎樣設(shè)計(jì)能使S取得最大值，最大值為多少？
18. 已知二次函數(shù)，其中．
（1）若且，
①證明：函數(shù)必有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；
②設(shè)函數(shù)在軸上截得的弦長(zhǎng)為，求的取值范圍；
（2）若且不等式的解集為，求的最小值．
19. 設(shè)集合為非空實(shí)數(shù)集，集合，且，稱集合為集合的積集．
（1）當(dāng)時(shí)，寫出集合的積集；
（2）若是由5個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，求其積集中元素個(gè)數(shù)的最小值；
（3）判斷是否存在4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，使其積集，并說明理由．
2024-2025學(xué)年江蘇省蘇州市高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量
檢測(cè)試卷
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 設(shè)集合，集合，則的元素個(gè)數(shù)為（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 32
【正確答案】B
【分析】利用并集的定義求得，可得結(jié)論.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以的元素個(gè)數(shù)為4個(gè).
故選：B.
2. 設(shè)，為實(shí)數(shù)，甲：，乙：，則甲是乙的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】B
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)及充分條件、必要條件的概念得解.
【詳解】因?yàn)椋撇怀觯?br>而，
所以甲是乙的必要不充分條件，
故選：B
3. 十七世紀(jì)，數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出猜想：“對(duì)任意正整數(shù)，關(guān)于的方程沒有正整數(shù)解”，經(jīng)歷三百多年，1995年數(shù)學(xué)家安德魯懷爾斯給出了證明，使它終成費(fèi)馬大定理，則費(fèi)馬大定理的否定為（ ）
A. 對(duì)任意正整數(shù)，關(guān)于的方程都沒有正整數(shù)解
B. 對(duì)任意正整數(shù)，關(guān)于的方程至少存在一組正整數(shù)解
C. 存在正整數(shù)，關(guān)于的方程至少存在一組正整數(shù)解
D. 存在正整數(shù)，關(guān)于的方程至少存在一組正整數(shù)解
【正確答案】D
【分析】由全稱量詞命題的否定的定義即可得解.
【詳解】“對(duì)任意正整數(shù)，關(guān)于的方程沒有正整數(shù)解”的否定為：
存在正整數(shù)，關(guān)于的方程至少存在一組正整數(shù)解.
故選：D.
4. 已知實(shí)數(shù)，，下列關(guān)系正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】取特值說明判斷A；作差比較大小判斷BC；利用不等式性質(zhì)推理判斷D.
【詳解】對(duì)于A，取，得，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，則，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，則，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，D正確.
故選：D
5. 設(shè),且,則的最小值為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】利用基本不等式求解即可.
【詳解】,
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.
故選:C.
6. 已知某連鎖酒店共有500間客房，若每間客房每天的定價(jià)是200元，則均可被租出；若每間客房每天的定價(jià)在200元的基礎(chǔ)上提高10x元，則被租出的客房會(huì)減少套．若要使該連鎖酒店每天租賃客房的收入超過元，則該連鎖酒店每間客房每天的定價(jià)應(yīng)為（ ）
A. 250元B. 260元
C. 270元D. 280元
【正確答案】C
分析】根據(jù)條件，列出不等式，解不等式可得結(jié)果.
【詳解】由題意，列不等式，得：，
整理得.
又，，所以.
所以，每間客房每天的定價(jià)應(yīng)為：(元).
故選：C
7. 在上定義運(yùn)算，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. 或D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)條件，得到，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>故，得到，解得，
所以解集為，
故選：B.
8. 已知關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)一元二次不等式解集與對(duì)應(yīng)方程的根的關(guān)系可得，再由基本不等式計(jì)算即可得出結(jié)論.
【詳解】由不等式的解集為，
可知1和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，
由韋達(dá)定理可得，即可得，
所以.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立；
即可得.
故選：D
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，錯(cuò)選得0分．
9. 若集合，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】ABD
【分析】
分別令等于，判斷是否為整數(shù)即可求解.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：，存在或使得其成立，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：，存在，使得其成立，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：由，可得，，
若則可得， ，不成立；
若則可得， ，不成立；
若，可得，此時(shí)， ，不成立；
同理交換與，也不成立，所以不存在為整數(shù)使得成立，故選項(xiàng)C不正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：，此時(shí)存在或使得其成立，故選項(xiàng)D正確，
故選：ABD.
10. 設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. 的最大值為
C. 的最小值為D. 的最小值為
【正確答案】AC
【分析】A選項(xiàng)，由為正實(shí)數(shù)，列不等式求的范圍；B選項(xiàng)，直接利用基本不等式求積的最大值；C選項(xiàng)，消元后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最小值；D選項(xiàng)，利用1的代換結(jié)合基本不等式求最小值.
【詳解】對(duì)于A，正實(shí)數(shù)，滿足，
則有，解得，即，A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B，，有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
則的最大值為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，
由，則時(shí)，的最小值為，C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
最小值為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AC
11. 1872年德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱“戴德金分割”），并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代，也結(jié)束了數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)．將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集與，且滿足中的每一個(gè)元素都小于中的每一個(gè)元素，則稱為戴德金分割．試判斷下列選項(xiàng)中，可能成立的是（ ）
A. 若，則滿足戴德金分割
B. 若為戴德金分割，則沒有最大元素，有一個(gè)最小元素
C. 若為戴德金分割，則有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素
D. 若為戴德金分割，則沒有最大元素，也沒有最小元素
【正確答案】BD
【分析】A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；BD選項(xiàng)，可舉出例子；C選項(xiàng)，推理出，C錯(cuò)誤.
【詳解】A選項(xiàng)，，故，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，設(shè)，滿足，
此時(shí)為戴德金分割，且沒有最大元素，有一個(gè)最小元素，B正確；
C選項(xiàng)，若有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素，則，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，設(shè)，滿足沒有最大元素，也沒有最小元素，D正確.
故選：BD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 不等式組的解集為________．
【正確答案】
【分析】先解每一個(gè)不等式，然后求其交集即可
【詳解】由，得，即，
解得或，
由，得，解得，
所以
所以不等式組的解集為.
故
13. 為了提高同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)校舉辦了數(shù)學(xué)、物理兩科競(jìng)賽.高一年級(jí)(包括銜接班)共260名同學(xué)參加比賽，其中兩科都取得優(yōu)秀的有80人，數(shù)學(xué)取得優(yōu)秀但物理未取得優(yōu)秀的有40人，物理取得優(yōu)秀而數(shù)學(xué)未取得優(yōu)秀的有120人，則兩科均未取得優(yōu)秀的人數(shù)為_______.
【正確答案】20
【分析】用韋恩圖進(jìn)行求解，設(shè)集合，
集合，全集，再根據(jù)題意進(jìn)行求解
【詳解】如圖所示
設(shè)兩科均未取得優(yōu)秀的人數(shù)為，則
所以兩科均未取得優(yōu)秀的人數(shù)為20人
本題考查根據(jù)韋恩圖求解具體集合元素的個(gè)數(shù)問題，方法相對(duì)簡(jiǎn)單，關(guān)鍵是能正確表示各集合中元素個(gè)數(shù)
14. 已知命題，為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．
【正確答案】
【分析】根據(jù)題意可知，需對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論，并結(jié)合判別式即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍
【詳解】由題意得：當(dāng)時(shí)，，不符題意；
當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為，
所以，只需，解得：，
當(dāng)時(shí)，顯然滿足題意，
綜上，的取值范圍為，
故
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知集合，.
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）若，求的取值范圍.
【正確答案】（1）或
（2）
【分析】（1）算出，即可計(jì)算出；
（2）分是否為空集計(jì)算即可.
【小問1詳解】
由題意可得，
當(dāng)時(shí)，，則，
故.
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，符合題意，
當(dāng)時(shí)，由，可得解得，
綜上，的取值范圍為.
16. 已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)時(shí)，，求的最小值；
（2）當(dāng)時(shí)，，求關(guān)于x不等式的解集．
【正確答案】（1）
（2）或
【分析】（1）根據(jù)題意，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解；
（2）根據(jù)題意，化簡(jiǎn)不等式為，結(jié)合不等式的解法，即可求解.
小問1詳解】
解：因?yàn)闀r(shí)，，可得，
又因?yàn)?，可得?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，時(shí)取得最小值為．
【小問2詳解】
解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，可得，
則，
因?yàn)?，所以，則解不等式可得或，
則不等式的解集為或．
17. 某地方政府準(zhǔn)備在一塊面積足夠大的荒地上建一如圖所示的一個(gè)矩形綜合性休閑廣場(chǎng)，其總面積為3000平方米，其中場(chǎng)地四周（陰影部分）為通道，通道寬度均為2米，中間的三個(gè)矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地（其中兩個(gè)小場(chǎng)地形狀相同），塑膠運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地占地面積為平方米.
（1）分別寫出用表示 和用表示 的函數(shù)關(guān)系式（寫出函數(shù)定義域）；
（2）怎樣設(shè)計(jì)能使S取得最大值，最大值為多少？
【正確答案】（1）（2）矩形場(chǎng)地時(shí)，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的面積最大，最大面積是
【詳解】試題分析：（1）塑膠運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地占地面積為中間三個(gè)矩形面積的和.其中大矩形的寬為米,長(zhǎng)為米.兩個(gè)小矩形的長(zhǎng)為米,寬為米.其中,則.根據(jù)矩形的面積公式可用x表示y和S的函數(shù)關(guān)系式.根據(jù)各邊長(zhǎng)為正及可得的范圍.（2）由(1)知,用基本不等式求其最值.
解：（1）由已知∴，故，
由，解得，∴．
，
根據(jù)，得，
∴.
（2），
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí).
所以，矩形場(chǎng)地時(shí)，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的面積最大，最大面積是.
考點(diǎn)：1函數(shù)解析式;2基本不等式.
18. 已知二次函數(shù)，其中．
（1）若且，
①證明：函數(shù)必有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；
②設(shè)函數(shù)在軸上截得的弦長(zhǎng)為，求的取值范圍；
（2）若且不等式的解集為，求的最小值．
【正確答案】（1）①證明見解析，②
（2）
【分析】（1）①由題意可得，進(jìn)而根據(jù)判別式為正判斷即可；
②由及可得，再根據(jù)弦長(zhǎng)求解范圍即可.
（2）根據(jù)開口方向與判別式可得且，進(jìn)而可得，令，結(jié)合基本不等式求解即可.
【小問1詳解】
若且，則，
① ∵，
∴函數(shù)必有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．
② 由及，得，
∴，
不妨設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，則，
∴函數(shù)在軸上截得的弦長(zhǎng)
【小問2詳解】
根據(jù)題意且，
∴且，∴，
令，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，也即時(shí)取等號(hào)．
∴的最小值為．
19. 設(shè)集合為非空實(shí)數(shù)集，集合，且，稱集合為集合的積集．
（1）當(dāng)時(shí)，寫出集合的積集；
（2）若是由5個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，求其積集中元素個(gè)數(shù)的最小值；
（3）判斷是否存在4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，使其積集，并說明理由．
【正確答案】（1）
（2）7 （3）不存在，理由見解析
【分析】（1）利用積集的定義直接求解即可.
（2）設(shè)，且，利用積集定義分析中元素大小關(guān)系，再舉例即可求解；
（3）不存在，利用反證法分析集合中四個(gè)元素的乘積推出矛盾即可.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>故集合中所有可能的元素有，即，
.
【小問2詳解】
設(shè)，不妨設(shè)，
因?yàn)?，所以中元素個(gè)數(shù)大于等于7個(gè)，
又當(dāng)時(shí)，，此時(shí)中元素個(gè)數(shù)等于7個(gè)，
所以積集B中元素個(gè)數(shù)的最小值為7.
【小問3詳解】
不存在，理由如下：
假設(shè)存在4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，使其積集，
不妨設(shè)，則集合A的生成集
則必有，其4個(gè)正實(shí)數(shù)的乘積；
又，其4個(gè)正實(shí)數(shù)的乘積，矛盾；
所以假設(shè)不成立，故不存在4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合A，使其生成集
方法點(diǎn)睛：集合新定義問題，關(guān)鍵要在理解新定義的基礎(chǔ)上，利用列舉法和反證法進(jìn)行求解.

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2024-2025學(xué)年江蘇省蘇州市高一上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷：

這是一份2024-2025學(xué)年江蘇省蘇州市高一上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷，共3頁(yè)。試卷主要包含了單項(xiàng)選擇題，多項(xiàng)選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024-2025學(xué)年江蘇省南通市如皋市高一上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）：

這是一份2024-2025學(xué)年江蘇省南通市如皋市高一上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析），共15頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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這是一份2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高一上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析），共21頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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