1. 已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，則=
A {1}B. {3，5}C. {1，2，4，6}D. {1，2，3，4，5}
2. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 已知集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值所組成的集合是（ ）
A. B. C. 0，D. 0，
4. 已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A. B. 2C. D. 4
5. 命題p：，，則“”是“p為真命題”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
6. 已知方程的兩根都大于2，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. 或B.
C. D. 或
7. 已知關(guān)于的不等式的解集是，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A.
B.
C.
D. 不等式的解集是
8. 數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式求得，其中p為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫—秦九韶公式．現(xiàn)有一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為12，，則此三角形面積的最大值為（ ）
A. 4B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，不選或有選錯(cuò)的得0分．
9. 若，則下列不等式中正確的是（ ）
A. B.
C D.
10. “集合只有3個(gè)真子集”的一個(gè)充分不必要條件可以是（ ）
A. B.
C. D.
11. 下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A. 的零點(diǎn)為，；
B. “，都是偶數(shù)”是“是4的倍數(shù)”的既不充分也不必要條件；
C. 已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為；
D. 的最小值為．
三、填空題：本題共3小題，每小題4分，共12分．
12. 計(jì)算得________．
13. 若命題“，”為假命題，則的取值范圍為_(kāi)_____.
14. 已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是__________．
四、解答題：本題共3小題．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知集合，集合．
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
16. 已知關(guān)于不等式的解集為或．
（1）求，的值；
（2）當(dāng)，，且滿足時(shí)，有恒成立，求的取值范圍；
（3）關(guān)于的不等式的解集中恰有5個(gè)正整數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
17. 已知某污水處理廠月處理成本y（萬(wàn)元）與月處理量x（萬(wàn)噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為．當(dāng)月處理量為120萬(wàn)噸時(shí)，月處理成本為49萬(wàn)元．該廠處理1萬(wàn)噸污水所收費(fèi)用為0.9萬(wàn)元．
（1）該廠每月污水處理量為多少萬(wàn)噸時(shí)，才能使每萬(wàn)噸的處理成本最低？
（2）請(qǐng)寫出該廠每月獲利（萬(wàn)元）與月處理量x（萬(wàn)噸）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出每月獲利的最大值，
2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高一上學(xué)期9月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題
一、單選題：本題共8小題，每小題4分，共32分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，則=
A. {1}B. {3，5}C. {1，2，4，6}D. {1，2，3，4，5}
【正確答案】C
【詳解】試題分析：根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算得．故選C.
【考點(diǎn)】補(bǔ)集的運(yùn)算.
【易錯(cuò)點(diǎn)睛】解本題時(shí)要看清楚是求“”還是求“”，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤；一定要注意集合中元素的互異性，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤．
2. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
【正確答案】B
【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定直接得出結(jié)果.
【詳解】命題“，”的否定為“，”，故B正確.
故選：B
3. 已知集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值所組成的集合是（ ）
A. B. C. 0，D. 0，
【正確答案】D
【分析】等價(jià)于，分、兩種情況討論，從而可得答案.
【詳解】.
當(dāng)時(shí)，為空集，滿足條件.
當(dāng)時(shí)，或，解得或.
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值所組成的集合是2，.
故選：D.
本題主要考查集合的表示方法，空集的定義，以及并集與子集的定義，屬于基礎(chǔ)題.
4. 已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A. B. 2C. D. 4
【正確答案】B
【分析】由基本不等式可得，即可求得的最小值.
【詳解】因?yàn)?，都是正?shù)，且滿足，
則，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故選：B.
5. 命題p：，，則“”是“p為真命題”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】B
【分析】先由，求出的取值范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析判斷即可.
【詳解】因，，
所以，得，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不一定成立，而當(dāng)時(shí)，一定成立，
所以“”是“p為真命題”的必要不充分條件.
故選：B
6. 已知方程的兩根都大于2，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. 或B.
C. D. 或
【正確答案】B
【分析】根據(jù)方程的兩根都大于2，分析函數(shù)的圖象特征列出不等式組求解即可.
【詳解】根據(jù)題意，二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)都在2的右側(cè)，
根據(jù)圖象可得，即，
解得.
故選：B.
7. 已知關(guān)于的不等式的解集是，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A.
B.
C.
D. 不等式的解集是
【正確答案】C
【分析】根據(jù)給定的解集可得且，再代入各個(gè)選項(xiàng)即可判斷正誤.
【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集是，
則，且1，3是方程的兩個(gè)根，
于是得，解得，
對(duì)于A，由，故A正確；
對(duì)于B，，故B正確；
對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，不等式化為，
即，解得或，故D正確.
故選：C.
8. 數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式求得，其中p為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫—秦九韶公式．現(xiàn)有一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為12，，則此三角形面積的最大值為（ ）
A. 4B. C. D.
【正確答案】C
【分析】由題意得，，代入化簡(jiǎn)后利用基本不等式可求得答案
【詳解】由題意得，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)三角形的面積有最大值，且最大值為．
故選：C
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，不選或有選錯(cuò)的得0分．
9. 若，則下列不等式中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】AC
【分析】對(duì)于A，利用不等式的性質(zhì)判斷，對(duì)于BD，舉例判斷，對(duì)于C，由函數(shù)的單調(diào)性判斷
【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)?，，所以，所以A正確，
對(duì)于B，由A可知，若，則，所以B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，由A可知，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以，所以C正確，
對(duì)于D，由A可知，若，則，所以D錯(cuò)誤，
故選：AC
10. “集合只有3個(gè)真子集”的一個(gè)充分不必要條件可以是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】ABD
【分析】由集合A中只有2個(gè)元素，求的取值范圍，再通過(guò)包含關(guān)系驗(yàn)證結(jié)論成立的充分不必要條件.
詳解】集合只有3個(gè)真子集，即集合A中只有2個(gè)元素，
因?yàn)?，則有：
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
則的取值范圍為，故其充分不必要條件為小范圍，
可知選項(xiàng)ABD中的范圍符合充分不必要條件；C不符合充分不必要條件.
故選：ABD.
11. 下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A. 的零點(diǎn)為，；
B. “，都是偶數(shù)”是“是4的倍數(shù)”的既不充分也不必要條件；
C. 已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為；
D. 的最小值為．
【正確答案】ACD
【分析】A 選項(xiàng)通過(guò)零點(diǎn)的概念判斷，不正確；B充分性和必要性的定義判斷；C選項(xiàng)運(yùn)用基本不等式“1”的代換求最小值，不正確； D選項(xiàng)沒(méi)有注意不滿足取到最小值的條件，不正確.
【詳解】A選項(xiàng)，函數(shù)的零點(diǎn)指使函數(shù)值為0的自變量的取值，而不是點(diǎn)，A不正確；
B選項(xiàng)，若，則不是4的倍數(shù)，若，是4的倍數(shù)，則不都是偶數(shù)，
即“，都是偶數(shù)”是“是4的倍數(shù)”的既不充分也不必要條件，B正確；
C選項(xiàng)，因?yàn)樗?，可得即得?br>，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
則的最小值為，C不正確；
D選項(xiàng)，，
而無(wú)解，即等號(hào)不成立，
因此，的最小值不為，故D錯(cuò)誤
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題4分，共12分．
12. 計(jì)算得________．
【正確答案】
【分析】利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.
【詳解】.
故
本題考查了指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
13. 若命題“，”為假命題，則的取值范圍為_(kāi)_____.
【正確答案】
【分析】根據(jù)已知條件知命題“，”為真命題，再分類討論，即可求解.
【詳解】由題意可知，命題“，”為真命題.
當(dāng)時(shí)，可得.
若，則有，符合題意；
若，則有，解得，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，則，解得.
綜上，的取值范圍是.
故答案為.
14. 已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是__________．
【正確答案】9
【分析】設(shè)，可得，結(jié)合得到，利用基本不等式可得結(jié)果.
【詳解】，
，，
設(shè)，可得，
則
，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)“=”成立，即的最小值是9，故答案為9.
本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。蝗嗟仁?，最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)是否在定義域內(nèi)，二是多次用或時(shí)等號(hào)能否同時(shí)成立）.
四、解答題：本題共3小題．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
15 已知集合，集合．
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【正確答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）求出集合，利用并集的定義可求得集合；
（2）利用可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）分和兩種情況討論，結(jié)合可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則；
（2）由知1?m>2m2m≤11?m≥3，解得，即的取值范圍是；
（3）由得
①若，即時(shí)，符合題意；
②若，即時(shí)，需或．
得或，即．
綜上知，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．
易錯(cuò)點(diǎn)睛：在求解本題第（3）問(wèn)時(shí)，容易忽略的情況，從而導(dǎo)致求解錯(cuò)誤.
16. 已知關(guān)于的不等式的解集為或．
（1）求，的值；
（2）當(dāng)，，且滿足時(shí)，有恒成立，求的取值范圍；
（3）關(guān)于的不等式的解集中恰有5個(gè)正整數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【正確答案】（1），
（2）
（3）
【分析】（1）根據(jù)不等式的解集和對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系，即可求解；
（2）利用基本不等式求的最小值，不等式轉(zhuǎn)化為，即可求解；
（3）首先求解不等式的解集，再根據(jù)集合中恰有5個(gè)正整數(shù)，即可求解得到取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
由題意可知，，且方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，分別為和，
則，得，則，得，
所以，；
【小問(wèn)2詳解】
，，所以，，
，
當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為8，
不等式恒成立，即，
即，解得：；
【小問(wèn)3詳解】
，，
不等式的解集中恰有5個(gè)正整數(shù)，
即的解集中恰有5個(gè)正整數(shù)，
即集合中恰有5個(gè)正整數(shù)，
所以，解得.
17. 已知某污水處理廠的月處理成本y（萬(wàn)元）與月處理量x（萬(wàn)噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為．當(dāng)月處理量為120萬(wàn)噸時(shí)，月處理成本為49萬(wàn)元．該廠處理1萬(wàn)噸污水所收費(fèi)用為0.9萬(wàn)元．
（1）該廠每月污水處理量為多少萬(wàn)噸時(shí)，才能使每萬(wàn)噸的處理成本最低？
（2）請(qǐng)寫出該廠每月獲利（萬(wàn)元）與月處理量x（萬(wàn)噸）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出每月獲利的最大值，
【正確答案】（1）當(dāng)每月污水處理量為萬(wàn)噸時(shí)，每萬(wàn)噸的處理成本最低
（2），最大值為萬(wàn)元
【分析】（1）先求得，利用基本不等式求得正確答案.
（2）先求得的解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.
【小問(wèn)1詳解】
依題意，，解得，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以當(dāng)每月污水處理量為萬(wàn)噸時(shí)，每萬(wàn)噸的處理成本最低.
【小問(wèn)2詳解】
依題意，，
當(dāng)萬(wàn)噸時(shí)，取得最大值為萬(wàn)元.

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