1.本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷.
2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.
3.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.
第Ⅰ卷（選擇題 共58分）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)命題，則為（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知集合A=｛1，2，3，4｝，，則A∩B=
A. ｛1,4｝B. ｛2，3｝C. {9，16}D. ｛1,2}
3. 已知全集，集合，是的子集，且，則下列結(jié)論中一定正確的是（ ）．
A. B.
C D.
4. 已知，則“且”是“”的
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
5. 已知集合，若，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A. 5或B. C. 5D.
6. 已知，，若，則的最小值為（ ）
A. 2B. 4C. D. 9
7. 設(shè)，則滿足 ? 的集合A的個(gè)數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
8. 已知命題：命題.若p為假命題，q為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知，下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
10. 已知全集，，，，，，則下列選項(xiàng)正確為（ ）
A. B. A的不同子集的個(gè)數(shù)為8
C. D.
11. 如果我們把集合A的所有子集組成的集合叫做集合A的冪集，記為.用表示有限集A的元素個(gè)數(shù).則下列命題中正確的是（ ）
A. 若，則
B. 存在集合A，使得
C. 若，則
D. 若，則
第Ⅱ卷（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，則A∪B___．
13. 已知，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______.
14. 已知，則的最小值為______.
四、解答題，本題共5小題，共77分，請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知集合.
（1）若A中有且僅有1個(gè)元素，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
16. 已知命題；命題.
（1）若p為真命題，求實(shí)數(shù)a最小值；
（2）若與q恰有1個(gè)為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
17. 如圖（示意），在公路的一側(cè)有一塊空地，在這塊空地上規(guī)劃建造一個(gè)口袋公園（如圖中），其中道路與為健身步道，內(nèi)為綠化景觀與健身設(shè)施等，由于路面材質(zhì)的不同，段的造價(jià)為每米3萬元，段的造價(jià)為每米2萬元，內(nèi)部的造價(jià)為每平方米2萬元.設(shè)的長為x米，的長為y米.
（1）若建造健身步道費(fèi)用與建造內(nèi)部的費(fèi)用相等，則如何規(guī)劃可使公園占地面積（只考慮內(nèi)部）最少?
（2）若建造公園的總費(fèi)用為30萬元，則健身步道至少有多長?
18. 已知集合.
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）若“”是“”必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若，使，求實(shí)數(shù)a的取值他圍.
參考公式：若關(guān)于x的方程有兩根與，則關(guān)于x的不等式的解集為，的解集為.
19. 對了給定的非空集合A，定義集合，，當(dāng)時(shí)，則稱A具有孿生性質(zhì).
（1）判斷集合是否具有孿生性質(zhì)，請說明理由；
（2）設(shè)集合且，若C具有孿生性質(zhì)，求n的最小值；
（3）設(shè)集合，若，求證.
2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題
注意事項(xiàng)：
1.本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷.
2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.
3.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.
第Ⅰ卷（選擇題 共58分）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)命題，則為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】利用存在量詞命題的否定，直接判斷即可.
【詳解】命題是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，
所以為.
故選：A
2. 已知集合A=｛1，2，3，4｝，，則A∩B=
A. ｛1,4｝B. ｛2，3｝C. {9，16}D. ｛1,2}
【正確答案】A
【分析】依題意，，故
【詳解】依題意，，故.
【考點(diǎn)定位】本題考查集合的表示以及集合的基本運(yùn)算，考查學(xué)生對基本概念的理解.
3. 已知全集，集合，是的子集，且，則下列結(jié)論中一定正確的是（ ）．
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】利用集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算以及逐一判斷即可.
【詳解】集合，是的子集，且，
對于A，，故A不正確；
對于B，，故B正確；
對于C，，不包括屬于且不屬于的部分，故C不正確；
對于D，，其交集為屬于且不屬于的部分，故D不正確.
故選：B
4. 已知，則“且”是“”的
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】C
【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)判斷兩條件關(guān)系，再根據(jù)充分必要概念作選擇.
【詳解】，
因此充分性成立；
，
因此必要性成立，
綜上是充分必要條件，選C.
充分、必要條件的三種判斷方法．
1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“?”為真，則是的充分條件．
2．等價(jià)法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價(jià)關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．
3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．
5. 已知集合，若，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A. 5或B. C. 5D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)求得值，再驗(yàn)證每個(gè)取值是否滿足條件.
【詳解】因?yàn)?，所以，所以?
若，則，此時(shí)，此時(shí)不成立；
若，則或，
當(dāng)時(shí)，，B中有兩元素相等，故不成立；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，此時(shí)成立；
綜上.
故選：D
6. 已知，，若，則的最小值為（ ）
A. 2B. 4C. D. 9
【正確答案】D
【分析】由基本不等式結(jié)合乘“1”法可得答案.
【詳解】由可得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?br>故選：D.
7. 設(shè)，則滿足 ? 的集合A的個(gè)數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】集合至少包括所有元素，還要從根據(jù)任意取1個(gè)，2個(gè)或個(gè)元素，則根據(jù)組合個(gè)數(shù)可求解.
【詳解】集合至少包括所有元素，
還要從根據(jù)任意取1個(gè)，2個(gè)或個(gè)元素，
則集合的個(gè)數(shù)為，
故選：D
8. 已知命題：命題.若p為假命題，q為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】由命題為假命題，則在上無解，即與，函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，畫出圖象求出參數(shù)，命題為真命題，則，求出參數(shù)求交集即可.
【詳解】命題為假命題，
在上無解，
即與，函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，

由圖可知：或，
命題為真命題，則，解得，
綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故選：C
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知，下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D 若，則
【正確答案】BD
【分析】對A：舉反例說明；對BCD：作差后根據(jù)條件判斷大小.
詳解】對于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤;
對于選項(xiàng)B，，因?yàn)?，所以?br>所以，即，故B正確;
對于選項(xiàng)C，，
因?yàn)?，所以?br>所以，即，故C錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)D，因?yàn)椋?br>又因?yàn)?，所以，所以，即，故D正確.
故選:BD.
10. 已知全集，，，，，，則下列選項(xiàng)正確的為（ ）
A. B. A的不同子集的個(gè)數(shù)為8
C. D.
【正確答案】ABC
【分析】根據(jù)已知條件作出Venn圖，結(jié)合元素與集合的關(guān)系以及集合之間的關(guān)系，一一判斷各選項(xiàng)，即得答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>因?yàn)?，所以集合中有，集合中無的元素只有1，9；
因?yàn)椋约炔辉诩现?，也不在集合中的元素只?，6，7；
因?yàn)椋约吓c的公共元素只有3；
所以集合中有，集合中無的元素只有0，2，5，8，即.
如圖：
所以：，，，故AC正確；
因?yàn)榧现杏?個(gè)元素，所以A的不同子集的個(gè)數(shù)為8，故B正確；
因?yàn)?，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC
11. 如果我們把集合A的所有子集組成的集合叫做集合A的冪集，記為.用表示有限集A的元素個(gè)數(shù).則下列命題中正確的是（ ）
A. 若，則
B. 存在集合A，使得
C. 若，則
D. 若，則
【正確答案】ACD
【分析】選項(xiàng)A，列出集合的子集，然后得到集合，然后利用元素與集合關(guān)系判斷即可；
選項(xiàng)B，利用集合元素的個(gè)數(shù)和子集個(gè)數(shù)的關(guān)系得到的元素個(gè)數(shù)判斷即可；
選項(xiàng)C，利用集合的運(yùn)算得出集合與集合無相同元素，然后再判斷的交集即可；
選項(xiàng)D，利用集合元素個(gè)數(shù)和集合子集個(gè)數(shù)的關(guān)系判斷即可.
【詳解】若，
所以
故，選項(xiàng)A正確；
若一個(gè)集合有個(gè)元素，則其子集個(gè)數(shù)為個(gè)，即，顯然當(dāng)時(shí)，無解，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
若已知，則集合與集合無相同元素，故集合與集合只有唯一相同子集，所以，故選項(xiàng)C正確；
若，假設(shè)集合有個(gè)元素，則集合有個(gè)元素，所以集合與集合的子集個(gè)數(shù)分別為個(gè)，
即
故，所以選項(xiàng)D正確.
故選：ACD
第Ⅱ卷（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，則A∪B___．
【正確答案】
【分析】直接計(jì)算并集得到答案.
【詳解】集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，則.
故答案為.
13. 已知，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______.
【正確答案】
【分析】依據(jù)充分不必要條件求得需滿足且等號不同時(shí)成立，可得.
【詳解】根據(jù)題意可知，若p是q的充分不必要條件需滿足，解得；
但且兩端等號不同時(shí)成立，所以，即；
因此實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
故
14. 已知，則的最小值為______.
【正確答案】4
【分析】變形給定式子，令，再利用基本不等式求出最小值.
【詳解】由，得，令，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，
所以的最小值為4.
故4
四、解答題，本題共5小題，共77分，請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知集合.
（1）若A中有且僅有1個(gè)元素，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【正確答案】（1）或
（2）
【分析】（1）分類討論當(dāng)、時(shí)方程根的個(gè)數(shù)，即可求解；
（2）求得集合，分、結(jié)合的情況討論方程的解的情況，可求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【小問1詳解】
若，方程化為，此時(shí)方程有且僅有一個(gè)根；
若，則當(dāng)且僅當(dāng)方程的判別式，即時(shí)，
方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，此時(shí)集合中有且僅有一個(gè)元素，
所以實(shí)數(shù)m的值為或；
【小問2詳解】
，
因?yàn)椋裕?br>由（1）知時(shí)，，不符合，
當(dāng)時(shí)，若，解得，此時(shí)，符合，
若，解得，此時(shí)方程的根為，
集合，符合，
若，由，則可得，
此時(shí)有且，無解，
綜上所述：實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
16. 已知命題；命題.
（1）若p為真命題，求實(shí)數(shù)a的最小值；
（2）若與q恰有1個(gè)為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用不等式的解集為，求解可得實(shí)數(shù)a的最小值，
（2）利用基本不等式求得為真命題時(shí)a的取值范圍，為真命題時(shí)a的取值范圍，進(jìn)而可求結(jié)論.
【小問1詳解】
因?yàn)闉檎婷}，所以的解集為，
所以，解得，
所以實(shí)數(shù)a的最小值為；
【小問2詳解】
因?yàn)椋?，所以?br>，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，
所以，所以，
因?yàn)?，所以?dāng)為真命題時(shí)，，
由（1）可知為真命題時(shí)，，
當(dāng)為真命題，為假命題時(shí)，，所以，
當(dāng)為假命題，為真命題時(shí)，，所以，
綜上所述：與恰有1個(gè)為假命題，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
17. 如圖（示意），在公路一側(cè)有一塊空地，在這塊空地上規(guī)劃建造一個(gè)口袋公園（如圖中），其中道路與為健身步道，內(nèi)為綠化景觀與健身設(shè)施等，由于路面材質(zhì)的不同，段的造價(jià)為每米3萬元，段的造價(jià)為每米2萬元，內(nèi)部的造價(jià)為每平方米2萬元.設(shè)的長為x米，的長為y米.
（1）若建造健身步道的費(fèi)用與建造內(nèi)部的費(fèi)用相等，則如何規(guī)劃可使公園占地面積（只考慮內(nèi)部）最少?
（2）若建造公園的總費(fèi)用為30萬元，則健身步道至少有多長?
【正確答案】（1）規(guī)劃時(shí)，面積最少
（2）步道至少有7米.
【分析】（1）根據(jù)條件建立建造費(fèi)用的等量關(guān)系，消元轉(zhuǎn)化并由基本不等式計(jì)算即可；
（2）根據(jù)條件建立建造費(fèi)用的等量關(guān)系，分解因式配湊定值由基本不等式計(jì)算即可.
【小問1詳解】
根據(jù)題意建造健身步道的費(fèi)用為，內(nèi)部的建造費(fèi)用為，
即，所以有，
而公園占地面積
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號，
所以規(guī)劃時(shí)占地面積最少；
【小問2詳解】
根據(jù)題意有：，即，
而，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號.
所以規(guī)劃時(shí)，即步道至少為7米.
18. 已知集合.
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）若“”是“”的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若，使，求實(shí)數(shù)a的取值他圍.
參考公式：若關(guān)于x的方程有兩根與，則關(guān)于x的不等式的解集為，的解集為.
【正確答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）先求得集合A，利用條件及二次函數(shù)的性質(zhì)得集合B，由交集的概念計(jì)算即可；
（2）利用反比例函數(shù)的性質(zhì)求得C，再根據(jù)必要條件得出，利用集合的基本關(guān)系及二次函數(shù)動軸定區(qū)間分類討論計(jì)算即可；
（3）將問題轉(zhuǎn)化為，結(jié)合（2）的結(jié)論分類討論計(jì)算即可.
【小問1詳解】
由可得，即，
而時(shí)，，
由二次函數(shù)的性質(zhì)知，即，所以；
【小問2詳解】
根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)知時(shí)，，則，
由（1）知：，由“”是“”的必要條件可得，
①若，即時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
即，
易知，所以，
若，顯然滿足，
若，，
要滿足題意則需，或，
所以；
②若，即時(shí)，同上知，
且，所以，則，
此時(shí)，
要滿足題意需，或，
所以；
③若，即時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
即，
且，所以，與前提矛盾，舍去；
④若，即時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
即，
且，所以，
即，
顯然，有，不符題意；
而時(shí)，，
要滿足題意需，與前提矛盾舍去，
或，也與前提矛盾，舍去；
綜上所述：；
【小問3詳解】
由，使恒成立知恒成立，
由（2）知：
①時(shí)，，則；
②時(shí)，，則；
③時(shí)，，則，所以；
綜上所述.
19. 對了給定的非空集合A，定義集合，，當(dāng)時(shí)，則稱A具有孿生性質(zhì).
（1）判斷集合是否具有孿生性質(zhì)，請說明理由；
（2）設(shè)集合且，若C具有孿生性質(zhì)，求n的最小值；
（3）設(shè)集合，若，求證.
【正確答案】（1）不具有孿生性質(zhì)，具有孿生性質(zhì)；
（2）675 （3）證明見解析．
【分析】（1）根據(jù)新定義直接驗(yàn)證；
（2）求出和，由它們的交集為空集可得；
（3）求出中的可能元素，根據(jù)分析元素的性質(zhì)可得．
【小問1詳解】
由題意，，，，
,
所以不具有孿生性質(zhì)，具有孿生性質(zhì)；
【小問2詳解】
由題意，，
，則，，
又，所以的最小值是675；
【小問3詳解】
，
則都屬于集合，
又，則，
又，所以，所以，
方法點(diǎn)睛：本題考查學(xué)生的創(chuàng)新能力，理解新定義并運(yùn)用是解題關(guān)鍵，本題實(shí)質(zhì)就是根據(jù)新定義求出兩個(gè)集合和，然后由它們的交集是否為空集確定結(jié)論．

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2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高二上冊10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題（含解析）
江蘇省南京市2024-2025學(xué)年高一上冊期中數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

江蘇省南京市2024-2025學(xué)年高一上冊期中數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）
2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高一上冊期中數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高一上冊期中數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）
2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高一上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高一上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）
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