1. 下列關(guān)系中：①，②，③，④正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
2. 已知命題，則為（ ）
A. ，B. ，
C. ， D. ，
3. 命題．若的一個(gè)充分不必要條件是，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C D.
4. 若，則的最小值為（ ）
A. 9B. 18C. 24D. 27
5. 已知，且，則（ ）
A. 3B. C. 1D.
6. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，又，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函數(shù)滿足：對任意，當(dāng)時(shí)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，，則不等式的解集為（ ）
A B.
C D.
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3道小題，每小題6分，共18分，全部四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)得0分）
9. 下列結(jié)論錯(cuò)誤是（ ）
A. 若，則B. 若，則C. 若，則D. 若，則
10. 下列說法正確是（ ）
A. 與表示同一個(gè)函數(shù)
B. 函數(shù)的定義域?yàn)閯t函數(shù)的定義域?yàn)?br>C. 關(guān)于的不等式，使該不等式恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍是
D. 已知關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為
11. 對于定義在上的函數(shù)，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且在1,2上單調(diào)遞減，則（ ）
A. f3=0B.
C. D. 在上單調(diào)遞減
三、填空題（本大題共3道小題，每題5分，共15分）
12. 已知冪函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，則______.
13. 已知實(shí)數(shù)滿足，且，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________ .
14. 已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．
四、解答題（本大題共5道小題）
15. 已知集合，集合.
（1）若，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
16. 某造紙廠擬造一座占地面積為的矩形二級污水處理池，池的深度一定，池的外周墻壁建造單價(jià)400元/m，中間一條隔離壁建造單價(jià)為100元/m，池底建造單價(jià)為60元/（墻壁厚忽略不計(jì)）．污水處理池的長為多少時(shí)可使總造價(jià)最低？總造價(jià)最低為多少？
17. 已知函數(shù)是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）證明在區(qū)間上單調(diào)遞減；
（3）解不等式.
18. 若函數(shù)的定義域是，且對任意的，都有成立．
（1）試判斷的奇偶性；
（2）若當(dāng)時(shí)，，求的解析式，并畫出函數(shù)圖象；
（3）在條件（2）前提下，解不等式．
19. 二次函數(shù)最小值為，且關(guān)于對稱，又.
（1）求的解析式；
（2）在區(qū)間上，y=fx的圖象恒在圖象的下方，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.
2024-2025學(xué)年吉林省四平市高一上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測試題
一、單選題（本大題共8道小題，每題5分，共40分）
1. 下列關(guān)系中：①，②，③，④正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正確答案】B
【分析】由元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系逐一判斷即可；
【詳解】對于①，表示整數(shù)集，，故①正確；
對于②，空集是任何集合的子集，故②正確；
對于③，集合含有兩個(gè)元素的數(shù)集，而是點(diǎn)集合，屬性不同，故③錯(cuò)誤；
對于④，表示有理數(shù)，故④錯(cuò)誤；
所以正確的個(gè)數(shù)為2個(gè)，
故選：B.
2. 已知命題，則為（ ）
A. ，B. ，
C. ， D. ，
【正確答案】D
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合全稱量詞命題與存在性量詞命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.
【詳解】根據(jù)全稱量詞命題與存在性量詞命題的關(guān)系，可得：
命題的否定是．
故選：D
3. 命題．若的一個(gè)充分不必要條件是，則的取值范圍是（ ）
A B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行求解即可．
【詳解】因?yàn)榈囊粋€(gè)充分不必要條件是，
則是的真子集，
，
故選：D．
4. 若，則的最小值為（ ）
A. 9B. 18C. 24D. 27
【正確答案】A
【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值.
【詳解】根據(jù)題意可得；
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立；
此時(shí)的最小值為9.
故選：A.
5. 已知，且，則（ ）
A. 3B. C. 1D.
【正確答案】C
【分析】令，求出，代入解出.
【詳解】， 且，
令，，解得，
，即,
.
故選：C.
6. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，又，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)題意，先求出的值，由二次函數(shù)的性質(zhì)分析的單調(diào)性，進(jìn)而分析的對稱性和單調(diào)性，由此分析可得答案.
【詳解】根據(jù)題意，數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，
則有，解可得，
則函數(shù)是開口向下的二次函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，
又，函數(shù)的對稱軸為，且在上為減函數(shù)，
則有，
即
故選：D.
7. 已知函數(shù)滿足：對任意，當(dāng)時(shí)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】利用增函數(shù)的定義并結(jié)合一次函數(shù)與二次函數(shù)性質(zhì)列出不等式求解即可.
詳解】對任意，當(dāng)時(shí)都有成立，
所以函數(shù)在上是增函數(shù)，
所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
8. 已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，，則不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)確認(rèn)函數(shù)零點(diǎn)，再根據(jù)已知單調(diào)性可以求出函數(shù)在各個(gè)區(qū)間符號，由不等式性質(zhì)可得解.
【詳解】因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，所以，且
又因，所以，
又因在為增函數(shù)，在上，
在上，
又因在為減函數(shù)，所以上，
綜上，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，則，所以，則，
當(dāng)時(shí)，則，所以，則，
不等式可化簡變形為，
綜上所述可知當(dāng)時(shí)，.
故選：D
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3道小題，每小題6分，共18分，全部四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)得0分）
9. 下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A. 若，則B. 若，則C. 若，則D. 若，則
【正確答案】AB
【分析】舉反例判斷A，B，利用不等式性質(zhì)判斷C，D.
【詳解】取可得，，但，A錯(cuò)誤；
取可得，，但，B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，又，所以，故，C正確；
由，可得，所以，D正確；
故選：AB.
10. 下列說法正確是（ ）
A. 與表示同一個(gè)函數(shù)
B. 函數(shù)的定義域?yàn)閯t函數(shù)的定義域?yàn)?br>C. 關(guān)于的不等式，使該不等式恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍是
D. 已知關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為
【正確答案】ABD
【分析】由同一函數(shù)的條件可得A正確；由抽象函數(shù)的定義域可得B正確；舉反例可得C錯(cuò)誤；由二次不等式的解集和對應(yīng)方程的根的關(guān)系可得D正確；
【詳解】對于A，的定義域?yàn)椋?br>與的定義域相同，
而，解析式相同，故表示同一個(gè)函數(shù)，故A正確；
對于B，定義域?yàn)榈姆秶珊瘮?shù)的定義域?yàn)椋?br>則，
所以，即，
即函數(shù)的定義域?yàn)?，故B正確；
對于C，當(dāng)時(shí)，不等式為，成立，故C錯(cuò)誤；
對于D，由關(guān)于的不等式的解集為可得
a>0?ba=?2+3=1ca=?2×3=?6，
所以，
所以，化簡可得，
解得或，
即不等式的解集為，故D正確；
故選：ABD.
11. 對于定義在上的函數(shù)，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且在1,2上單調(diào)遞減，則（ ）
A. f3=0B.
C. D. 在上單調(diào)遞減
【正確答案】ABC
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性結(jié)合函數(shù)的對稱性結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分別判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】令，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，
所以，
即的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱．
令，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，
所以，
即的圖象關(guān)于直線對稱．
A選項(xiàng)，由，令，可得，
由，令，可得，故A正確．
B選項(xiàng)，由，令，可得，故B正確．
C選項(xiàng)，由，令，可得，故C正確．
D選項(xiàng)，由在上單調(diào)遞減，結(jié)合的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，可知在上單調(diào)遞減，
由可知在上單調(diào)遞減，又的圖象關(guān)于直線對稱，則在上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤．
故選:ABC．
三、填空題（本大題共3道小題，每題5分，共15分）
12. 已知冪函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，則______.
【正確答案】
【分析】先根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)計(jì)算求參得出或，最后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算得出符合題意的參數(shù).
【詳解】由題意可得為冪函數(shù)，則，解得或.
當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，在0,+∞單調(diào)遞減，符合題意.
故答案為:.
13. 已知實(shí)數(shù)滿足，且，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________ .
【正確答案】
【分析】運(yùn)用等式性質(zhì)變形，結(jié)合基本不等式求出最小值，再解一元二次不等式即可.
【詳解】，則同號，又，則只能同正.
，變形得到.
則.
當(dāng)且僅當(dāng)，且，則時(shí)取等號.
由于恒成立，則，解得.
故答案為.
14. 已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．
【正確答案】
【分析】由函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性去即可求解.
【詳解】因?yàn)殚_口向上的二次函數(shù)，對稱軸為，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，，,
所以.
又當(dāng)時(shí)，，，
所以.
又 ，所以為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，
則可得：
，即，
解得，
故
四、解答題（本大題共5道小題）
15. 已知集合，集合.
（1）若，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)集合并集的定義進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)集合交集的性質(zhì)分類討論求解即可.
【小問1詳解】
，
因?yàn)椋裕?br>因此；
【小問2詳解】
因?yàn)?，所以?br>若，則，可得 ；
若，因此有，無解，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
16. 某造紙廠擬造一座占地面積為的矩形二級污水處理池，池的深度一定，池的外周墻壁建造單價(jià)400元/m，中間一條隔離壁建造單價(jià)為100元/m，池底建造單價(jià)為60元/（墻壁厚忽略不計(jì)）．污水處理池的長為多少時(shí)可使總造價(jià)最低？總造價(jià)最低為多少？
【正確答案】15米，總造價(jià)最低為36000元
【分析】設(shè)污水處理池的寬為米，長為米，從而得到總造價(jià)，再利用基本不等式，即可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)污水處理池的寬為米，則長為米．
則總造價(jià)
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號．
此時(shí)，所以當(dāng)長為15米時(shí)，總造價(jià)最低為36000元．
17. 已知函數(shù)是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）證明在區(qū)間上單調(diào)遞減；
（3）解不等式.
【正確答案】（1）
（2）證明見解析 （3）
【分析】（1）根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由定義法即可證明函數(shù)的單調(diào)性；
（3）根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解不等式.
【小問1詳解】
∵是奇函數(shù)，
∴，則，經(jīng)驗(yàn)證此時(shí)為奇函數(shù).
【小問2詳解】
∵，∴，
設(shè)，則，
，
∵，∴，，則，
則，則，
即y=fx在區(qū)間1,+∞上單調(diào)遞減.
【小問3詳解】
，
∵y=fx在區(qū)間1,+∞上單調(diào)遞減，
∴不等式等價(jià)為，
即，解得或，
即不等式的解集為.
18. 若函數(shù)的定義域是，且對任意的，都有成立．
（1）試判斷奇偶性；
（2）若當(dāng)時(shí)，，求的解析式，并畫出函數(shù)圖象；
（3）在條件（2）前提下，解不等式．
【正確答案】（1）奇函數(shù) （2），作圖見解析
（3）或．
【分析】（1）利用奇偶性的定義求解即可；
（2）根據(jù)求解即可；
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式即可.
【小問1詳解】
令可得：，故，
令可得：，故．
又函數(shù)的定義域是R，故函數(shù)為奇函數(shù)．
【小問2詳解】
令，則，故 ，
又，所以，，
綜上可知，．
故函數(shù)圖像如下：
【小問3詳解】
由（2）可知，函數(shù)為上的增函數(shù)，
因?yàn)椋?br>所以．
所以，解得或．
19. 二次函數(shù)最小值為，且關(guān)于對稱，又.
（1）求的解析式；
（2）在區(qū)間上，y=fx的圖象恒在圖象的下方，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.
【正確答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）設(shè)，代入，求出，得到解析式；
（2）轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立，設(shè)，則只要即可，結(jié)合的單調(diào)性求出，從而得到答案；
（3）由函數(shù)對稱軸，分，和三種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求出最小值，得到答案.
【小問1詳解】
由題可設(shè)，又，得，
所以；
【小問2詳解】
由題有，即對任意的恒成立，
設(shè)，則只要即可.
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以 ，
，解得；
【小問3詳解】
圖象的對稱軸為直線，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則；
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
此時(shí).
綜上，.

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