1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū).
2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.
3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.
4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.
5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.
一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 設(shè)，則（ ）
A. B. C. D.
2. 已知命題：“”，則為（ ）
A. B.
C. 不存在D.
3. 對于函數(shù)，部分與的對應(yīng)關(guān)系如下表：
則值為（ ）
A. B. C. D.
4. ，下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列各組中的函數(shù)，表示同一函數(shù)的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
6. 已知，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
7. 某班班主任對全班女生進(jìn)行了關(guān)于對唱歌、跳舞、書法是否有興趣的問卷調(diào)查，要求每位同學(xué)至少選擇一項(xiàng)，經(jīng)統(tǒng)計有21人喜歡唱歌，17人喜歡跳舞，10人喜歡書法，同時喜歡唱歌和跳舞的有12人，同時喜歡唱歌和書法的有6人，同時喜歡跳舞和書法的有5人，三種都喜歡的有2人，則該班女生人數(shù)為（ ）
A. 27B. 23C. 25D. 29
8. 設(shè)，，，則P，Q，R大小順序是（ ）
A. B.
C. D.
二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.）
9. 中國古代重要數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》下卷有題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二．問：物幾何？”現(xiàn)有如下表示：已知，，，若，則下列選項(xiàng)中符合題意的整數(shù)為（ ）
A. 23B. 38C. 128D. 233
10. 若命題“，”是假命題，則的值可能為（ ）
A. B. 1C. 3D. 7
11. 已知且，則下列不等式恒成立的是（ ）
A. 的最小值為2B. 的最小值為
C. 的最大值為1D. 的最小值為2
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 函數(shù)的定義域?yàn)開_________．
13. 已知關(guān)于x不等式的解集是或，則不等式的解集是______.
14. 設(shè)，，且，則的最小值為______.
四、解答題（本題共5小題，滿分77分，要求寫出必要的解題過程）.
15. 已知：關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，.
（1）若命題是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
16. 設(shè)集合，.
（1）若時，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
17. 某商品的成本價為80元/件，售價為100元/件，每天售出100件，若售價降低x成（1成），售出商品的數(shù)量就增加成，要求售價不能低于成本價．
（1）設(shè)該商品一天的營業(yè)額為y，試求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若要求該商品一天的營業(yè)額至少為10260元，求x的取值范圍．
18. 已知關(guān)于x的函數(shù)
（1）當(dāng)時，解關(guān)于x的不等式；
（2）若不等式對一切恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
19. 閱讀材料一：利用整體思想解題，運(yùn)用代數(shù)式的恒等變形，使不少依照常規(guī)思路難以解決的問題找到簡便解決方法，常用的途徑有：（1）整體觀察；（2）整體設(shè)元；（3）整體帶入；（4）整體求和等.
例如，，求證
證明.
閱讀材料二：解決多元變量問題時，其中一種思路是運(yùn)用消元思想將多元問題轉(zhuǎn)化為一元問題，再結(jié)合一元問題處理方法進(jìn)行研究.
例如，正實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值.
解：由，得，所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立.所以最小值為.
結(jié)合閱讀材料解答下列問題：
（1）已知，求的值；
（2）若正實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值.
2024-2025學(xué)年吉林省白城市高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試題
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū).
2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.
3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.
4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.
5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.
一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 設(shè)，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)條件，求出集合，再利用集合的運(yùn)算，即可求解.
【詳解】由，得到或，所以，
又由，得到，所以，得到，
故選：A.
2. 已知命題：“”，則為（ ）
A. B.
C. 不存在D.
【正確答案】B
【分析】由全稱命題的否定為特稱命題即可求解.
【詳解】命題：“”，
則為
故選:B
3. 對于函數(shù)，部分與的對應(yīng)關(guān)系如下表：
則值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)表格先求，再求的值.
詳解】由表格可得，，
所以.
故選：C.
4. ，下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷AB的正誤，根據(jù)特例可判斷CD的正誤.
【詳解】對于A，若，則，選項(xiàng)不成立，故A錯誤；
對于B，因?yàn)?，故，故B成立，
對于C、D，若，則選項(xiàng)不成立，故C、D錯誤；
故選：B.
5. 下列各組中的函數(shù)，表示同一函數(shù)的是（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
【正確答案】D
【分析】根據(jù)定義域及對應(yīng)關(guān)系判斷是否是同一函數(shù).
【詳解】選項(xiàng)A，，，兩個函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù)；
選項(xiàng)B，，，兩個函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù)；
選項(xiàng)C，，，兩個函數(shù)的定義域不同，對應(yīng)關(guān)系也不同，不是同一函數(shù)；
選項(xiàng)D，，，即，是同一函數(shù)，
故選:D．
6. 已知，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】B
【分析】求不等式的解集，根據(jù)集合的關(guān)系進(jìn)行判斷.
【詳解】由，
設(shè)集合，，則為的真子集.
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
7. 某班班主任對全班女生進(jìn)行了關(guān)于對唱歌、跳舞、書法是否有興趣的問卷調(diào)查，要求每位同學(xué)至少選擇一項(xiàng)，經(jīng)統(tǒng)計有21人喜歡唱歌，17人喜歡跳舞，10人喜歡書法，同時喜歡唱歌和跳舞的有12人，同時喜歡唱歌和書法的有6人，同時喜歡跳舞和書法的有5人，三種都喜歡的有2人，則該班女生人數(shù)為（ ）
A. 27B. 23C. 25D. 29
【正確答案】A
【分析】借助韋恩圖處理集合運(yùn)算的容斥問題.
【詳解】作出韋恩圖，如圖所示，
可知5人只喜歡唱歌，2人只喜歡跳舞，1人只喜歡書法，同時喜歡唱歌和跳舞但不喜歡書法的有10人，同時喜歡唱歌和書法但不喜歡跳舞的有4人，
同時喜歡跳舞和書法但不喜歡唱歌的有3人，三種都喜歡的有2人，則該班女生人數(shù)為.
故選：A.
8. 設(shè)，，，則P，Q，R的大小順序是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】對作差可求出，再對作差可求出，即可得出答案.
【詳解】解：，
，
，
而，，
而，
，即，
綜上，.
故選：B.
二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.）
9. 中國古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》下卷有題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二．問：物幾何？”現(xiàn)有如下表示：已知，，，若，則下列選項(xiàng)中符合題意的整數(shù)為（ ）
A. 23B. 38C. 128D. 233
【正確答案】ACD
【分析】直接將各選項(xiàng)的數(shù)字變形判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，故，故A正確；
因?yàn)?，則，故B錯誤；
因?yàn)椋?，故正確；
，故，故D正確．
故選：ACD
10. 若命題“，”是假命題，則的值可能為（ ）
A. B. 1C. 3D. 7
【正確答案】BC
【分析】由題設(shè)，使得為真命題，結(jié)合一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立列不等式組求參數(shù)范圍，注意討論的情況.
【詳解】因?yàn)槊}“，”是假命題，
所以，使得為真命題，
當(dāng)時，，當(dāng)時，恒成立，符合題意，
當(dāng)時，不恒成立，不符合題意，
當(dāng)即時，有，解得，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，結(jié)合選項(xiàng)知的值可能為1,3.
故選：BC
11. 已知且，則下列不等式恒成立的是（ ）
A. 的最小值為2B. 的最小值為
C. 的最大值為1D. 的最小值為2
【正確答案】AC
【分析】利用基本不等式逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對于A，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A正確；
對于B，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，時等號成立，故B錯誤；
對于C，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C正確；
對于D，由A知，，故，
故，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
故的最大值為2，故D錯誤.
故選：AC
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 函數(shù)的定義域?yàn)開_________．
【正確答案】
【分析】根據(jù)分式、根式以及零次方的意義列式求解即可.
【詳解】令，解得或，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案為.
13. 已知關(guān)于x的不等式的解集是或，則不等式的解集是______.
【正確答案】
【分析】依題意可得為關(guān)于的方程的兩根且，利用韋達(dá)定理，即可得到，再代入目標(biāo)不等式，解出即可.
【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集是或，
所以為關(guān)于的方程的兩根，且，
所以，則，
所以不等式，即，即，
解得，所以不等式的解集是.
故答案.
14. 設(shè)，，且，則的最小值為______.
【正確答案】
【分析】由，得，又，由乘法，利用基本不等式，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，，且，則，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.
故答案為.
四、解答題（本題共5小題，滿分77分，要求寫出必要的解題過程）.
15. 已知：關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，.
（1）若命題是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）由命題是真命題，可得命題是假命題，再借助，求出的取值范圍作答.（2）由是的必要不充分條件，可得出兩個集合的包含關(guān)系，由此列出不等式求解作答.
【小問1詳解】
因?yàn)槊}是真命題，則命題是假命題，
即關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)根，
因此，，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【小問2詳解】
由（1）知，命題是真命題，即，
因?yàn)槊}是的必要不充分條件，則??，
因此，，解得，，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
16. 設(shè)集合，.
（1）若時，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）或
【分析】（1）根據(jù)題意可得集合A，，進(jìn)而利用交集的概念求出結(jié)果；
（2）分和兩種情況，得到不等式，求出答案.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>當(dāng)時，則，
則.
【小問2詳解】
若，則，
當(dāng)時，則有，即，滿足題意；
當(dāng)時，則有，即，
由題意可得，解得.
綜上所述，的范圍為或.
17. 某商品的成本價為80元/件，售價為100元/件，每天售出100件，若售價降低x成（1成），售出商品的數(shù)量就增加成，要求售價不能低于成本價．
（1）設(shè)該商品一天營業(yè)額為y，試求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若要求該商品一天的營業(yè)額至少為10260元，求x的取值范圍．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)已知條件求出售價降低x成商品售價和售出商品數(shù)量即可求該商品一天的營業(yè)額，再結(jié)合售價不能低于成本價求出變量的取值范圍即可得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
（2）由（1）可得該商品一天的營業(yè)額和變量的取值范圍，再結(jié)合已知條件列出不等式求解即可得解.
【小問1詳解】
依題意售價降低x成則商品售價為元/件，
售出商品數(shù)量為件，
所以該商品一天的營業(yè)額為，
又售價不能低于成本價，所以，解得，
所以.
【小問2詳解】
由（1）商品一天的營業(yè)額為，
令，化簡得，
解得，又，
所以x的取值范圍為．
18. 已知關(guān)于x的函數(shù)
（1）當(dāng)時，解關(guān)于x的不等式；
（2）若不等式對一切恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【正確答案】（1）答案見解析
（2）
【分析】（1）原不等式可化為,得出的解集，，結(jié)合的范圍得出兩根的大小關(guān)系，進(jìn)而得出答案；
（2）不等式轉(zhuǎn)化為，分離參數(shù)得出.換元，整理得出，進(jìn)而根據(jù)基本不等式，得出，即可得出范圍.
【小問1詳解】
由已知可得，
即，即.
（i）當(dāng)，即時，不等式化為，解集為；
（ⅱ）當(dāng)時，有，
當(dāng)，解可得，或x=1.
①又可得，即時，有，
則解可得，或；
②當(dāng)，即m>0有，
解可得，或．
綜上所述，當(dāng)時，不等式的解集為或；
當(dāng)時，不等式的解集為；
當(dāng)時，不等式的解集為或．
【小問2詳解】
不等式，即，
即．
恒成立，.
設(shè)，，．
．
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以m的取值范圍是．
19. 閱讀材料一：利用整體思想解題，運(yùn)用代數(shù)式的恒等變形，使不少依照常規(guī)思路難以解決的問題找到簡便解決方法，常用的途徑有：（1）整體觀察；（2）整體設(shè)元；（3）整體帶入；（4）整體求和等.
例如，，求證.
證明.
閱讀材料二：解決多元變量問題時，其中一種思路是運(yùn)用消元思想將多元問題轉(zhuǎn)化為一元問題，再結(jié)合一元問題處理方法進(jìn)行研究.
例如，正實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值.
解：由，得，所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立.所以的最小值為.
結(jié)合閱讀材料解答下列問題：
（1）已知，求的值；
（2）若正實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）將直接代入所求式子即可求解.
（2）由題可得，代入化簡，令，結(jié)合基本不等式即可求出的最大值，進(jìn)而得出的最小值.
【小問1詳解】
因，
所以
.
【小問2詳解】
由題知，，
，
因?yàn)閍2+2a+3=a+12+2>0，
所以，
所以，
令，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時取等，
所以，
所以，
所以，
所以，
即的最小值為.

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