本試卷分和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，考試結(jié)束后，將答題卡交回.
注意事項：
1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū).
2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.
3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.
4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.
5.保持卡面清潔，不得折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.
第I卷（選擇題，共58分）
一、單項選擇題（本大題包括8個小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項填涂在答題卡上）.
1. 若集合，則集合 （ ）
A B.
C. D.
2. 命題：，，則是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 王安石在《游褒禪山記》中也說過一段話：“世之奇?zhèn)ァ⒐骞?，非常之觀，常在于險遠，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.從數(shù)學(xué)邏輯角度分析，“有志”是“能至”的（ ）
A. 充分條件B. 既不充分也不必要條件
C. 充要條件D. 必要條件
4. “生命在于運動”，某學(xué)校教師在普及程度比較高三個體育項目——乒乓球、羽毛球、籃球中，會打乒乓球的教師人數(shù)為30，會打羽毛球的教師人數(shù)為60，會打籃球的教師人數(shù)為20，若會至少其中一個體育項目的教師人數(shù)為80，且三個體育項目都會的教師人數(shù)為5，則會且僅會其中兩個體育項目的教師人數(shù)為（ ）
A. 15B. 20C. 25D. 35
5. 已知，，則下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知，當(dāng)時，取得最小值為b，則（ ）
A. B. 2C. 3D. 8
7. 已知方程的兩根分別是和，且滿足，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
8. 若對任意實數(shù)b，關(guān)于x的方程有兩個實根，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D. 且
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知全集，集合，，則（ ）
A. 子集有個B. C. D. 中的元素個數(shù)為
10. 若不等式的解集是，則下列選項正確的是（ ）
A. 且B.
C. D. 對任意恒成立
11. 已知正數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確是（ ）
A. 的最大值為1B. 的最小值為4
C. 的最小值為9D. 的最小值為
第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 設(shè)集合，且，則實數(shù)m的值為______.
13. 已知關(guān)于一元二次不等式的解中有且僅有3個正整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是__________.
14. 對于一個由整數(shù)組成的集合A，A中所有元素之和稱為A的“小和數(shù)”，A的所有非空子集的“小和數(shù)”之和稱為A的“大和數(shù)”.已知集合，則B的“小和數(shù)”為_________，B的“大和數(shù)”為_________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知集合，集合．
（1）若時，求，；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍．
16. 已知命題：，為假命題，非空集合.
（1）求實數(shù)a的取值集合A；
（2）設(shè)：；：，若是的必要不充分條件，求實數(shù)的范圍.
17. （1）已知且，試比較與的大小；
（2）已知且，且，求證.
18. 原定于2022年9月10日至25日在中國杭州舉辦的第19屆亞洲運動會延期至2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉行，名稱仍為杭州2022年第19屆亞運會.杭州亞組委在亞奧理事會和中國奧委會的指導(dǎo)下，有關(guān)各方共同努力，為全世界人民呈現(xiàn)了一屆“中國特色、浙江風(fēng)采、杭州韻味、精彩紛呈”的體育文化盛會.運動會期間，杭州某互聯(lián)網(wǎng)公司為保證直播信號的流暢，擬加大網(wǎng)絡(luò)的研發(fā)投入.據(jù)了解，該公司原有員工200人，平均投入萬元/人，現(xiàn)把該公司人員調(diào)整為兩類：運營人員和服務(wù)人員，其中運營人員有名，調(diào)整后運營人員的人均投入調(diào)整為萬元/人，服務(wù)人員的人均投入增加．

（1）若使調(diào)整后服務(wù)人員的總投入不低于調(diào)整前的200人的總投入，則調(diào)整后的服務(wù)人員最多有多少人？
（2）現(xiàn)在要求調(diào)整后服務(wù)人員的總投入始終不低于調(diào)整后運營人員的總投入，求的最大值及此時運營人員的人數(shù)．
19. 已知函數(shù).
（1）若不等式的解集為，求實數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時，解關(guān)于的不等式；
（3）當(dāng)時，不等式有解，求實數(shù)的取值范圍.
2024-2025學(xué)年吉林省松原市高一上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測
試卷
本試卷分和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，考試結(jié)束后，將答題卡交回.
注意事項：
1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū).
2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.
3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.
4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.
5.保持卡面清潔，不得折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.
第I卷（選擇題，共58分）
一、單項選擇題（本大題包括8個小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項填涂在答題卡上）.
1. 若集合，則集合 （ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】由并集運算的定義可得.
【詳解】，，
根據(jù)并集運算的定義可得，
.
故選：A.
2. 命題：，，則是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正確答案】C
【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可得到結(jié)論．
【詳解】命題：，，則是，.
故選：C.
3. 王安石在《游褒禪山記》中也說過一段話：“世之奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀，常在于險遠，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.從數(shù)學(xué)邏輯角度分析，“有志”是“能至”的（ ）
A. 充分條件B. 既不充分也不必要條件
C. 充要條件D. 必要條件
【正確答案】D
【分析】根據(jù)充分、必要條件的定義及題意即可判斷.
【詳解】由題意，“有志”不一定“能至”，但是“能至”一定“有志”，
所以“有志”是“能至”的必要條件.
故選：D.
4. “生命在于運動”，某學(xué)校教師在普及程度比較高的三個體育項目——乒乓球、羽毛球、籃球中，會打乒乓球的教師人數(shù)為30，會打羽毛球的教師人數(shù)為60，會打籃球的教師人數(shù)為20，若會至少其中一個體育項目的教師人數(shù)為80，且三個體育項目都會的教師人數(shù)為5，則會且僅會其中兩個體育項目的教師人數(shù)為（ ）
A. 15B. 20C. 25D. 35
【正確答案】B
【分析】利用三集合容斥原理即可求解．
【詳解】設(shè)是會打乒乓球的老師，是會打羽毛球的老師，是會打籃球的老師，
由題意得，，，，，
所以，
所以，
而中，含有3次，
所以會且僅會其中兩個體育項目的教師人數(shù)為．
故選：B．
5. 已知，，則下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C D.
【正確答案】B
【分析】利用不等式的性質(zhì)一一判定即可.
【詳解】對于A，若，則，即A錯誤；
對于B，由，結(jié)合糖水不等式可知，
或作差法證，即，即B正確；
對于C、D，取，則滿足，，
但，，即C、D錯誤；
故選：B
6. 已知，當(dāng)時，取得最小值為b，則（ ）
A. B. 2C. 3D. 8
【正確答案】C
【分析】變形后根據(jù)基本不等式求出，并得到等號成立的條件，得到答案.
【詳解】因為，所以，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
故，.
故選：C
7. 已知方程的兩根分別是和，且滿足，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】利用根的判別式可得到或，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得到，，代入不等式求解即可
【詳解】因為方程的兩根分別是和，
所以，解得或，
，，
因為，
所以，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是，
故選：C
8. 若對任意實數(shù)b，關(guān)于x的方程有兩個實根，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D. 且
【正確答案】B
【分析】根據(jù)方程有兩個根，利用判別式可轉(zhuǎn)化為關(guān)于實數(shù)的不等式恒成立，即可求解.
【詳解】關(guān)于x的方程有兩個實根，即方程有兩個實根，
所以 ，即對任意實數(shù)恒成立，
所以，即，得.
故選：B.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知全集，集合，，則（ ）
A. 的子集有個B. C. D. 中的元素個數(shù)為
【正確答案】ACD
【分析】根據(jù)已知條件求出集合，利用子集的定義及集合的并集，結(jié)合補集的定義即可求解.
【詳解】因為，所以，
因為中的元素個數(shù)為，所以的子集有個，故A正確；
由，，得，所以，故B不正確；
由，，所以，所以， 故C正確；
由，得中的元素個數(shù)為，故D正確.
故選：ACD
10. 若不等式的解集是，則下列選項正確的是（ ）
A. 且B.
C. D. 對任意恒成立
【正確答案】ABD
【分析】根據(jù)不等式的解集是，可得且方程的根為，再結(jié)合韋達定理求出的關(guān)系，再逐一判斷即可.
【詳解】因為不等式的解集是，
所以且方程的根為，
則，所以，故A正確；
則，故B正確；
則，故C錯誤；
對于D，因為，
所以對任意恒成立，故D正確.
故選：ABD.
11. 已知正數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 的最大值為1B. 的最小值為4
C. 的最小值為9D. 的最小值為
【正確答案】ABD
【分析】根據(jù)均值不等式分別建立不等式解不等式可判斷AB，先變形為關(guān)于的二次函數(shù)求最值判斷C，利用條件變形可得，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子由均值不等式判斷D.
【詳解】由正數(shù)滿足，可得，解得，即，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故A正確；
由正數(shù)滿足，可得，
解得或（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故B正確；
，由A知，
由二次函數(shù)的單調(diào)性知，即時，的最小值為8，故C錯誤；
由可得，即，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，故D正確.
故選：ABD
第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 設(shè)集合，且，則實數(shù)m的值為______.
【正確答案】5
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，建立關(guān)于m的方程，解方程及驗證得解.
【詳解】集合，且，
（i）當(dāng)時，，，違反集合元素的互異性，
（ii）當(dāng)時，解得或，
① 當(dāng)時，不滿足集合元素的互異性，舍去，
② 當(dāng)時，，滿足題意，則實數(shù)m的值為
故答案為.
13. 已知關(guān)于的一元二次不等式的解中有且僅有3個正整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是__________.
【正確答案】
【分析】將化為，分，，三種情況討論即可求.
【詳解】由可得，
當(dāng)時，不等式的解集為，不符合題意，舍，
當(dāng)時，不等式的解集為，其正整數(shù)解至多有1個，不符合題意，舍，
當(dāng)時，不等式的解集為，
因為有且僅有3個正整數(shù)解，故整數(shù)解為，
所以，.
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
故
14. 對于一個由整數(shù)組成的集合A，A中所有元素之和稱為A的“小和數(shù)”，A的所有非空子集的“小和數(shù)”之和稱為A的“大和數(shù)”.已知集合，則B的“小和數(shù)”為_________，B的“大和數(shù)”為_________.
【正確答案】 ①. 20 ②. 1280
【分析】根據(jù)“小和數(shù)”的定義直接求解第一個空，集合中一共有7個元素，則一共有個子集，對于任意一個子集，總能找到一個子集，使得，再結(jié)合“大和數(shù)”的定義求解第二個空．
【詳解】由題意可知，的“小和數(shù)”為，
集合中一共有7個元素，則一共有個子集，
對于任意一個子集，總能找到一個子集，使得，且無重復(fù)，
則與的“小和數(shù)”之和為的“小和數(shù)”，
這樣的子集對共有個，
其中時，，考慮非空子集，則子集對有對，
則的“大和數(shù)”為．
故20；1280．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知集合，集合．
（1）若時，求，；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍．
【正確答案】（1）；或
（2）或
【分析】（1）根據(jù)集合的交并補的運算，即可求得答案;
（2）由題意討論集合B是否為空集，不為空集時，列出相應(yīng)的不等式組，即可求得答案.
【小問1詳解】
因為，當(dāng)時，，
又因為，所以．
因為或，
所以或；
【小問2詳解】
時，
當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，或，解得或，
綜上，實數(shù)取值范圍是或.
16. 已知命題：，為假命題，非空集合.
（1）求實數(shù)a的取值集合A；
（2）設(shè)：；：，若是的必要不充分條件，求實數(shù)的范圍.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）命題為假命題，則，使，求解即可；（2）依題意B是A的真子集，由包含關(guān)系求實數(shù)的范圍.
【小問1詳解】
命題：，為假命題，
則，，即，
時，，則有，
所以.
【小問2詳解】
若是的必要不充分條件，則B是A的真子集，
又，所以有，解得，
實數(shù)的范圍為.
17. （1）已知且，試比較與的大?。?br>（2）已知且，且，求證.
【正確答案】（1）；
（2）證明見解析
【分析】（1）利用作差法，結(jié)合配方，分解因式即可比較；
（2）展開利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
【詳解】（1）因為，，所以，，，
由題意，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．
（2）證明：，是正數(shù)，且，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
成立．
18. 原定于2022年9月10日至25日在中國杭州舉辦的第19屆亞洲運動會延期至2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉行，名稱仍為杭州2022年第19屆亞運會.杭州亞組委在亞奧理事會和中國奧委會的指導(dǎo)下，有關(guān)各方共同努力，為全世界人民呈現(xiàn)了一屆“中國特色、浙江風(fēng)采、杭州韻味、精彩紛呈”的體育文化盛會.運動會期間，杭州某互聯(lián)網(wǎng)公司為保證直播信號的流暢，擬加大網(wǎng)絡(luò)的研發(fā)投入.據(jù)了解，該公司原有員工200人，平均投入萬元/人，現(xiàn)把該公司人員調(diào)整為兩類：運營人員和服務(wù)人員，其中運營人員有名，調(diào)整后運營人員的人均投入調(diào)整為萬元/人，服務(wù)人員的人均投入增加．

（1）若使調(diào)整后服務(wù)人員的總投入不低于調(diào)整前的200人的總投入，則調(diào)整后的服務(wù)人員最多有多少人？
（2）現(xiàn)在要求調(diào)整后服務(wù)人員的總投入始終不低于調(diào)整后運營人員的總投入，求的最大值及此時運營人員的人數(shù)．
【正確答案】（1）150人
（2）的最大值為7，此時運營人員有100人．
【分析】（1）根據(jù)題意可得不等式，解不等式即可求得調(diào)整后服務(wù)人員最多有150人；
（2）分別計算出調(diào)整后服務(wù)人員的總投入和運營人員的總投入，即可得，由基本不等式即可求得的最大值為7，此時運營人員有100人.
【小問1詳解】
由題意可知，調(diào)整后的服務(wù)人員有人，人均投入為萬元/人，
從而可得，
解得．
即調(diào)整后服務(wù)人員最多有150人．
小問2詳解】
由題意，得
得
整理，得
因為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以．
所以的最大值為7，此時運營人員有100人．
19. 已知函數(shù).
（1）若不等式的解集為，求實數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時，解關(guān)于的不等式；
（3）當(dāng)時，不等式有解，求實數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）答案見解析 （3）
【分析】（1）分為，以及討論，根據(jù)解集列出不等式組，求解即可得出答案；
（2）原不等式可化為．先求解的解集，進而解出時，得出的解集．然后分為與，結(jié)合的范圍得出兩根的大小關(guān)系，進而得出答案；
（3）不等式轉(zhuǎn)化為，分離參數(shù)得出，換元，整理得出，進而根據(jù)基本不等式，得出，即可得出范圍．
【小問1詳解】
①當(dāng)，即時，原不等式化為，解集為，不合題意；
②當(dāng)，即時，
的解集為R，即的解集為R，
則應(yīng)有，
即m0，解得．
綜上，的取值范圍是．
【小問2詳解】
由已知可得，
即，即．
當(dāng)時，即時，不等式化為，解得；
當(dāng)時，有，
解方程，可得或．
①當(dāng)，又可得時，即時，有，
則解不等式可得，或；
②當(dāng)，即時有，
解不等式可得，．
綜上所述，當(dāng)時，不等式解集為；
當(dāng)時，不等式的解集為；
當(dāng)時，不等式的解集為．
【小問3詳解】
不等式，即，
即．
由恒成立，則在時有解，
設(shè)，時有，
，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，實數(shù)的取值范圍為.

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