A． B． C． D．
2．（3 分）下列式子中，計(jì)算正確的是（ ）
A．（﹣a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
B．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2
C．（a+5）（a﹣2）＝a2+3a﹣10
D．3a3?2a2＝6a6
3．（3 分）如果點(diǎn) A（m，2）和點(diǎn) B（3，n）關(guān)于 y 軸對(duì)稱，則 m、n 的值分別為（ ）
A．m＝﹣3，n＝﹣2 B．m＝﹣3，n＝2 C．m＝3，n＝2 D．m＝3，n＝﹣2
4．（3 分）下列各等式中成立的有（ ）個(gè)．
① ；
② ；
③ ；
④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（3 分）下列各式由左到右的變形是分解因式，且分解結(jié)果正確的是（ ）
A．3（a﹣4）＝3a﹣12
B．4a3+6a2+2a＝2a（a2+3a）
C．4x2﹣9＝（2x+3）（2x﹣3）
D．x3﹣4x+4＝（x﹣2）2
6．（3 分）如圖，∠MON＝60°，以點(diǎn) O 為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交 OM 于點(diǎn) A，交 ON 于點(diǎn) B；分
別以點(diǎn) A，B 為圓心，大于 AB 的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠MON 的內(nèi)部相交于點(diǎn) P，畫射線 OP；連接
AB，AP，BP，過點(diǎn) P 作 PE⊥OM 于點(diǎn) E，PF⊥ON 于點(diǎn) F．則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
第 1頁（共 33頁）
A．△AOB 是等邊三角形 B．PE＝PF
C．△PAE≌△PBF D．四邊形 OAPB 是菱形
7．（3 分）如圖，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分線，AE＝3cm，△ABD 的周長(zhǎng)為 13cm，則△ABC 的
周長(zhǎng)為（ ）
A．16cm B．19cm C．22cm D．26cm
8．（3 分）某工廠接到加工 600 件衣服的訂單，預(yù)計(jì)每天做 25 件，正好按時(shí)完成，后因客戶要求提前 3 天
交貨，工人則需要提高每天的工作效率，設(shè)工人每天應(yīng)多做 x 件，依題意列方程正確的是（ ）
A． 3 B． 3
C． 3 D． 3
9．（3 分）如圖，在△ABC 中，∠ABC＝90°，∠CAB＝30°，D 是直線 AB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié) CD，將
△CDB 沿著 CD 翻折，得到△CDE，當(dāng)△CDE 的三邊與△ABC 的三邊有一組邊平行時(shí)，∠CDB 的度數(shù)
不可能的是（ ）
A．15° B．45° C．60° D．75°
10．（3 分）已知多項(xiàng)式 A＝x2+7x+10，B＝x+1，其中 x 為實(shí)數(shù)：
①若 A﹣5B＝5，則 x1＝0，x2＝2；
②當(dāng) x＝﹣2 時(shí)，A﹣3B 有最小值，最小值為 3；
③無論 x 取任何實(shí)數(shù)，A＞B 恒成立；
第 2頁（共 33頁）
以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（ ）個(gè)．
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空題（共 6 小題，滿分 18 分，每小題 3 分）
11．（3 分）要使分式 有意義，x 需滿足的條件是 ．
12．（3 分）據(jù)氣象局有關(guān)信息報(bào)道，黔東南州某縣的空氣平均密度為 0.00123g∕cm3，此數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)
法表示為 g∕cm3．
13．（3 分）（ab）5÷（ab）2＝ ．
14．（3 分）如圖，在△ABC 中，點(diǎn) E 是 BC 的中點(diǎn)，AB＝6，AC＝10，AE 的長(zhǎng)為 m，則 m 的取值范圍
是 ．
15．（3 分）如圖，點(diǎn) B 是線段 AE 上一點(diǎn)，AB＝3BE，△ABC 與△BDE 都是等邊三角形，聯(lián)結(jié) AD、CE
交于點(diǎn) P，過點(diǎn) B 作 BG⊥AD，BH⊥CE，垂足為 G、H，聯(lián)結(jié) GH，如果△ABC 的面積是 S，AD 的長(zhǎng)
是 a，那么 GH＝ ．（用含字母 S 和 a 的代數(shù)式表示）
16．（3 分）如圖，將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，當(dāng)∠2＝40°時(shí)，∠1＝ °．
三．解答題（共 8 小題，滿分 72 分）
17．（8 分）計(jì)算：
（1）（a3）3?a2÷a5；
（2）（x﹣y+3）（x﹣y﹣3）．
18．（8 分）把下列多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解：
第 3頁（共 33頁）
（1）4x3y﹣36xy3；
（2）x4﹣2x2+1；
（3）x3y+2x2y2+xy3；
（4）9x2（a﹣b）+y2（b﹣a）．
19．（8 分）如圖，已知△ABC 中，點(diǎn) M 是 BC 邊的中點(diǎn)，過 M 作∠BAC 的角平分線 AD 的平行線交 AB
于 E，交 CA 的延長(zhǎng)線于 F，求證：
（1）AE＝AF；
（2）BE＝CF．
20．（8 分）先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式 的值，其中 ．
21．（8 分）問題初探：已知，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn) D 為直線 BC 上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) D 不
與點(diǎn) B、C 重合），連接 AD，以 AD 為直角邊作等腰直角三角形 ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，連接
CE．
（1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) D 在線段 BC 上時(shí)，BD 與 CE 的數(shù)量關(guān)系是 ，BD 與 CE 的位置關(guān)系
是 ，CE、BC、CD 三條線段的數(shù)量關(guān)系是 ．
（2）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) D 在線段 BC 的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)寫出 CE、BC、CD 三條線段之間的
關(guān)系并說明理由．
（3）如圖 3，當(dāng) D 運(yùn)動(dòng)到 BC 的延長(zhǎng)線上時(shí)，若 BC＝7，BD＝2，求 BE 的長(zhǎng)．
22．（10 分）某出租車公司為了支持發(fā)展新質(zhì)生產(chǎn)力，推動(dòng)產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí)，決定購(gòu)買 20 臺(tái)新能源小轎車，
現(xiàn)有 A、B 兩種不同品牌的新能源小轎車可選，經(jīng)調(diào)查，購(gòu)買 4 臺(tái) A 品牌小轎車比買 3 臺(tái) B 品牌小轎車
第 4頁（共 33頁）
多花 16 萬元，買 2 臺(tái) A 品牌小轎車比買 3 臺(tái) B 品牌小轎車少花 4 萬元．
（1）問：A、B 兩種品牌的新能源小轎車每臺(tái)各需多少萬元？
（2）該出租車公司經(jīng)預(yù)算決定購(gòu)買兩種品牌的新能源小轎車，總資金不超過 180 萬元．問最多購(gòu)買 A
品牌小轎車多少臺(tái)？
（3）在（2）的條件下，已知 A 品牌的小轎車每臺(tái)每月運(yùn)營(yíng)收入達(dá)到 3.6 萬元，B 品牌的小轎車每臺(tái)每
月運(yùn)營(yíng)收益達(dá)到 3 萬元，若公司要求這批新能源小轎車每月運(yùn)營(yíng)總收益不低于 65 萬元，為了節(jié)約資金
請(qǐng)你為公司設(shè)計(jì)一種最省錢的購(gòu)車方案．
23．（10 分）【問題情境]課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：
如圖 1，△ABC 中，若 AB＝6，AC＝4，求 BC 邊上的中線 AD 的取值范圍．
小明在組內(nèi)和同學(xué)們合作交流后，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng) AD 到 E，使 DE＝AD，連接 BE．請(qǐng)根
據(jù)小明的方法思考：
（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB，依據(jù)是 ；
A．SSS B．AAS C．SAS D．HL
（2）由“三角形的三邊關(guān)系”，可求得 AD 的取值范圍是 ．
解后反思：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件
和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．
[初步運(yùn)用]
（3）如圖 2，AD 是△ABC 的中線，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AE＝EF．若 EF＝3，EC＝2，求
線段 BF 的長(zhǎng)．
[靈活運(yùn)用]
（4）如圖 3，在△ABC 中，∠A＝90°，D 為 BC 中點(diǎn)，DE⊥DF，DE 交 AB 于點(diǎn) E，DF 交 AC 于點(diǎn) F，
連接 EF，試猜想線段 BE、CF、EF 三者之間的等量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論．
24．（12 分）已知：有一張 Rt△AOB 紙片，OA＝4，OB＝8．如圖，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) C 在
線段 OB 上，點(diǎn) D 在線段 AB 上，將△BCD 沿 CD 折疊得到△ECD（點(diǎn) B 與點(diǎn) E 重合）．
（1）求直線 AB 的表達(dá)式；
（2）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) E 恰好落在點(diǎn)（0，2）時(shí)，求 OC 的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)點(diǎn) D 固定在點(diǎn)（2，m）時(shí)，DE 交 x 軸于點(diǎn) F，設(shè)點(diǎn) C 為（n，0），當(dāng)△EFC 為直角三角形時(shí)，
求 n 滿足的條件．
參考答案與試題解析
一．選擇題（共 10 小題，滿分 30 分，每小題 3 分）
1．（3 分）如圖是常見的安全標(biāo)記，其中是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形．
【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；幾何直觀．
【答案】A
【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，
這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．
【解答】解：選項(xiàng) B、C、D 不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠
互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，
選項(xiàng) A 能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)
稱圖形，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（3 分）下列式子中，計(jì)算正確的是（ ）
A．（﹣a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
B．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2
C．（a+5）（a﹣2）＝a2+3a﹣10
D．3a3?2a2＝6a6
【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．
【專題】計(jì)算題；整式．
【答案】C
【分析】各項(xiàng)計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷．
【解答】解：A、原式＝a2+2ab+b2，不符合題意；
B、原式＝a2﹣4，不符合題意；
C、原式＝a2+3a﹣10，符合題意；
D、原式＝6a5，不符合題意，
第 7頁（共 33頁）
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
3．（3 分）如果點(diǎn) A（m，2）和點(diǎn) B（3，n）關(guān)于 y 軸對(duì)稱，則 m、n 的值分別為（ ）
A．m＝﹣3，n＝﹣2 B．m＝﹣3，n＝2 C．m＝3，n＝2 D．m＝3，n＝﹣2
【考點(diǎn)】關(guān)于 x 軸、y 軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；推理能力．
【答案】B
【分析】直接利用關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，即可得出答案．
【解答】解：∵點(diǎn) A（m，2）和點(diǎn) B（3，n）關(guān)于 y 軸對(duì)稱，
∴m＝﹣3，n＝2，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于 y 軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確掌握橫縱坐標(biāo)的符號(hào)關(guān)系是解題關(guān)鍵．
4．（3 分）下列各等式中成立的有（ ）個(gè)．
① ；
② ；
③ ；
④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考點(diǎn)】分式的基本性質(zhì)．
【專題】分式；運(yùn)算能力．
【答案】A
【分析】分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于 0 的整式，分式的值不變．
【解答】解：① ，故①不符合題意．
② ，故②不符合題意．
③ ，故③不符合題意．
④ ，故④符合題意．
故選：A．
第 8頁（共 33頁）
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．
5．（3 分）下列各式由左到右的變形是分解因式，且分解結(jié)果正確的是（ ）
A．3（a﹣4）＝3a﹣12
B．4a3+6a2+2a＝2a（a2+3a）
C．4x2﹣9＝（2x+3）（2x﹣3）
D．x3﹣4x+4＝（x﹣2）2
【考點(diǎn)】因式分解的意義．
【專題】整式；運(yùn)算能力．
【答案】C
【分析】根據(jù)分解因式的概念（把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式
分解，也叫做分解因式）逐一分析即可．
【解答】解：A、不是分解因式，故不符合題意；
B、是分解因式，但分解錯(cuò)誤，4a3+6a2+2a＝2a（2a2+3a+1）＝2a（2a+1）（a+1），故不符合題意；
C、是分解因式且分解正確，故符合題意；
D、分解因式錯(cuò)誤，故不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分解因式的概念（把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)
式因式分解，也叫做分解因式），熟練掌握分解因式的概念是解題的關(guān)鍵．
6．（3 分）如圖，∠MON＝60°，以點(diǎn) O 為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交 OM 于點(diǎn) A，交 ON 于點(diǎn) B；分
別以點(diǎn) A，B 為圓心，大于 AB 的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠MON 的內(nèi)部相交于點(diǎn) P，畫射線 OP；連接
AB，AP，BP，過點(diǎn) P 作 PE⊥OM 于點(diǎn) E，PF⊥ON 于點(diǎn) F．則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．△AOB 是等邊三角形 B．PE＝PF
C．△PAE≌△PBF D．四邊形 OAPB 是菱形
第 9頁（共 33頁）
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定；作圖—基本作圖．
【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；尺規(guī)作圖；運(yùn)算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】利用等邊三角形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，和菱形的判定定理對(duì)每
個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵以點(diǎn) O 為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交 OM 于點(diǎn) A，交 ON 于點(diǎn) B，
∴OA＝OB，
∵∠MON＝60°，
∴△AOB 是等邊三角形，
∴A 的結(jié)論正確，不符合題意；
∵分別以點(diǎn) A，B 為圓心，大于 AB 的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠MON 的內(nèi)部相交于點(diǎn) P，
∴PA＝PB，
在△OPA 和△OPB 中，
，
∴△OPA≌△OPB（SSS），
∴∠POA＝∠POB．
∵PE⊥OM，PF⊥ON，
∴PE＝PF．
∴B 的結(jié)論正確，不符合題意；
∵PE⊥OM，PF⊥ON，
∴∠PEA＝∠PFB＝90°．
在 Rt△PAE 和 Rt△PBF 中，
，
∴Rt△PAE≌Rt△PBF（HL）．
∴C 的結(jié)論正確，不符合題意；
由作圖過程可知：OB 與 PB 不一定相等，
∴四邊形 OAPB 是菱形不成立，
∴D 的結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意，
第 10頁（共 33頁）
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，基本作圖和
菱形的判定定理，利用基本作圖的過程得出線段相等的條件是解題的關(guān)鍵．
7．（3 分）如圖，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分線，AE＝3cm，△ABD 的周長(zhǎng)為 13cm，則△ABC 的
周長(zhǎng)為（ ）
A．16cm B．19cm C．22cm D．26cm
【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)．
【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得 AC＝2AE＝6cm，DA＝DC，然后根據(jù)△ABD 的周長(zhǎng)為 13cm，
可得 AB+BC＝13cm，然后利用三角形的周長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：∵DE 是 AC 的垂直平分線，AE＝3cm，
∴AC＝2AE＝6cm，DA＝DC，
∵△ABD 的周長(zhǎng)為 13cm，
∴AB+BD+AD＝13cm，
∴AB+BD+DC＝13cm，
∴AB+BC＝13cm，
∴△ABC 的周長(zhǎng)＝AB+BC+AC＝13+6＝19（cm），
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．（3 分）某工廠接到加工 600 件衣服的訂單，預(yù)計(jì)每天做 25 件，正好按時(shí)完成，后因客戶要求提前 3 天
交貨，工人則需要提高每天的工作效率，設(shè)工人每天應(yīng)多做 x 件，依題意列方程正確的是（ ）
A． 3 B． 3
C． 3 D． 3
【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出分式方程．
【專題】分式方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．
第 11頁（共 33頁）
【答案】B
【分析】根據(jù)工作效率之間的關(guān)系可得出工人提高工作效率后每天做（x+25）件，利用工作時(shí)間＝工作
總量÷工作效率，結(jié)合提前 3 天完成任務(wù)，即可得出關(guān)于 x 的分式方程，此題得解．
【解答】解：∵預(yù)計(jì)每天做 25 件，工人提高工作效率后每天多做 x 件，
∴工人提高工作效率后每天做（x+25）件．
依題意得： 3．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
9．（3 分）如圖，在△ABC 中，∠ABC＝90°，∠CAB＝30°，D 是直線 AB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié) CD，將
△CDB 沿著 CD 翻折，得到△CDE，當(dāng)△CDE 的三邊與△ABC 的三邊有一組邊平行時(shí)，∠CDB 的度數(shù)
不可能的是（ ）
A．15° B．45° C．60° D．75°
【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．
【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；展開與折疊；推理能力．
【答案】C
【分析】分三種情況：當(dāng) D 點(diǎn)在線段 AB 上且 CE∥AB 時(shí)；當(dāng) D 點(diǎn)在 A 點(diǎn)左側(cè)且 AC∥BE 時(shí)；當(dāng) D 點(diǎn)
在 A 點(diǎn)右側(cè)且 AC∥BE 時(shí)，結(jié)合折疊的性質(zhì)分別計(jì)算可判定求解．
【解答】解：當(dāng) D 點(diǎn)在線段 AB 上且 CE∥AB 時(shí)，如圖，∠CDB＝∠ECD，
由折疊可知：∠ECD＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠CDB，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CDB＝∠BCD＝45°，故 B 選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng) D 點(diǎn)在 A 點(diǎn)左側(cè)且 AC∥DE 時(shí)，如圖，∠EDB＝∠CAB＝30°，
第 12頁（共 33頁）
由折疊可知：∠EDC＝∠CDB，
∴∠CDB＝15°，故 A 選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng) D 點(diǎn)在 A 點(diǎn)右側(cè)且 AC∥DE 時(shí)，如圖，∠CAB+∠ADE＝180°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠ADE＝150°，
由折疊可知：∠CDB＝∠CDE，
∴∠CDB＝75°，故 D 選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查翻折問題，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．
10．（3 分）已知多項(xiàng)式 A＝x2+7x+10，B＝x+1，其中 x 為實(shí)數(shù)：
①若 A﹣5B＝5，則 x1＝0，x2＝2；
②當(dāng) x＝﹣2 時(shí)，A﹣3B 有最小值，最小值為 3；
③無論 x 取任何實(shí)數(shù)，A＞B 恒成立；
以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（ ）個(gè)．
A．0 B．1 C．2 D．3
【考點(diǎn)】配方法的應(yīng)用；不等式的性質(zhì)；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方．
【專題】一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【答案】B
【分析】①直接列方程求解即可；
②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
③根據(jù)作差法判斷即可．
【解答】解：∵A＝x2+7x+10，B＝x+1，
第 13頁（共 33頁）
∴A﹣5B＝x2+7x+10﹣5（x+1）＝5，
即 x2+2x＝0，
解得 x1＝0，x2＝﹣2，
故①錯(cuò)誤；
∵A＝x2+7x+10，B＝x+1，
∴A﹣3B＝x2+7x+10﹣3（x+1）＝x2+4x+7＝（x+2）2+3，
∴當(dāng) x＝﹣2 時(shí)，A﹣3B 有最小值，最小值為 3，
故②正確；
∵A﹣B＝x2+7x+10﹣（x+1）＝x2+6x+9＝（x+3）2≥0，
∴A≥B，
故③錯(cuò)誤．
故正確的有 1 個(gè)．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的加減，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（共 6 小題，滿分 18 分，每小題 3 分）
11．（3 分）要使分式 有意義，x 需滿足的條件是 x≠1 ．
【考點(diǎn)】分式有意義的條件．
【專題】分式；運(yùn)算能力．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】當(dāng)分式的分母不為零時(shí)，分式有意義，即 x﹣1≠0．
【解答】解：當(dāng) x﹣1≠0 時(shí)，分式有意義，
∴x≠1，
故答案為 x≠1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式有意義的條件；熟練掌握分式分母不為零時(shí)，分式有意義是解題的關(guān)鍵．
12．（3 分）據(jù)氣象局有關(guān)信息報(bào)道，黔東南州某縣的空氣平均密度為 0.00123g∕cm3，此數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)
法表示為 1.23×10﹣3 g∕cm3．
【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù)．
【專題】實(shí)數(shù)；數(shù)感．
【答案】1.23×10﹣3．
第 14頁（共 33頁）
【分析】絕對(duì)值小于 1 的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為 a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)
法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的 0 的個(gè)數(shù)所決定．
【解答】解：0.00123＝1.23×10﹣3．
故答案為：1.23×10﹣3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為 a×10﹣n，其中 1≤|a|＜10，n 為由原數(shù)左
邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的 0 的個(gè)數(shù)所決定．
13．（3 分）（ab）5÷（ab）2＝ a3b3 ．
【考點(diǎn)】同底數(shù)冪的除法；冪的乘方與積的乘方．
【專題】整式；運(yùn)算能力．
【答案】a3b3．
【分析】先利用同底數(shù)冪的除法的法則進(jìn)行運(yùn)算，再利用積的乘方的法則運(yùn)算即可．
【解答】解：（ab）5÷（ab）2
＝（ab）3
＝a3b3．
故答案為：a3b3．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同底數(shù)冪的除法，積的乘方，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
14．（3 分）如圖，在△ABC 中，點(diǎn) E 是 BC 的中點(diǎn)，AB＝6，AC＝10，AE 的長(zhǎng)為 m，則 m 的取值范圍是
2＜m＜8 ．
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系．
【專題】三角形；圖形的全等；運(yùn)算能力；推理能力．
【答案】2＜m＜8．
【分析】延長(zhǎng) AE 到點(diǎn) F，使 FE＝AE，連接 BF，可證明△BFE≌△CAE，得 FB＝AC＝10，因?yàn)?FB﹣AB
＜AF＜FB+AB，且 AF＝2AE，AE＝m，AB＝6，所以 10﹣6＜2m＜10+6，則 2＜m＜8，于是得到問題的
答案．
【解答】解：延長(zhǎng) AE 到點(diǎn) F，使 FE＝AE，連接 BF，
∵點(diǎn) E 是 BC 的中點(diǎn)，
第 15頁（共 33頁）
∴BE＝CE，
在△BFE 和△CAE 中，
，
∴△BFE≌△CAE（SAS），
∴FB＝AC，
∵FB﹣AB＜AF＜FB+AB，且 AF＝2AE，AE＝m，AB＝6，F(xiàn)B＝AC＝10，
∴10﹣6＜2m＜10+6，
∴解得 2＜m＜8，
故答案為：2＜m＜8．
【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題
的關(guān)鍵．
15．（3 分）如圖，點(diǎn) B 是線段 AE 上一點(diǎn)，AB＝3BE，△ABC 與△BDE 都是等邊三角形，聯(lián)結(jié) AD、CE
交于點(diǎn) P，過點(diǎn) B 作 BG⊥AD，BH⊥CE，垂足為 G、H，聯(lián)結(jié) GH，如果△ABC 的面積是 S，AD 的長(zhǎng)
是 a，那么 GH＝ ．（用含字母 S 和 a 的代數(shù)式表示）
【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；列代數(shù)式．
【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．
【答案】 ．
第 16頁（共 33頁）
【分析】先求出∠CBD＝60°，進(jìn)而得∠ABD＝∠CBE＝120°，由此可依據(jù)“SAS”判定△ABD 和△
CBE 全等得∠BAD＝∠BCE，AD＝CE＝a，再證明△ABG 和△CBH 全等得 BG＝BH，∠ABG＝∠CBH，
進(jìn)而可得∠CBG＝∠DBH，由此得∠GBH＝60°，則△BGH 為等邊三角形，S△CBE CE?BH a?
GH，然后根據(jù) AB＝3BE 得 S△ABC＝3S△CBE，即 ，由此即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC 和△BDE 都是等邊三角形，
∴AB＝CB，∠ABC＝60°，BD＝BE，∠DBE＝60°，
∴∠CBD＝180°﹣∠ABC﹣∠DBE＝60°，
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝120°，∠CBE＝∠CBD+∠DBE＝120°，
即∠ABD＝∠CBE，
在△ABD 和△CBE 中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BAD＝∠BCE，AD＝CE＝a，
∵BG⊥AD，BH⊥CE，
∴∠AGB＝∠CHB＝90°，
在△ABG 和△CBH 中，
，
∴△ABG≌△CBH（AAS），
∴BG＝BH，∠ABG＝∠CBH，
∴∠ABC+∠CBG＝∠CBD+∠DBH，
∵∠ABC＝∠CBD＝60°，
∴∠CBG＝∠DBH，
∴∠GBH＝∠GBD+∠DBH＝∠GBD+∠CBG＝∠CBD＝60°，
∴△BGH 為等邊三角形，
∴GH＝BH＝BG，
∴S△CBE CE?BH a?GH，
∵AB＝3BE，△ABC 的面積是 S，
第 17頁（共 33頁）
∴S△ABC＝3S△CBE，
即 ，
∴GH ．
故答案為： ．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，列代數(shù)式，理解等邊三角形的判定和性質(zhì)，利用三
角形的面積公式列出代數(shù)式是解決問題的關(guān)鍵，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問
題的難點(diǎn)．
16．（3 分）如圖，將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，當(dāng)∠2＝40°時(shí)，∠1＝ 50 °．
【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．
【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識(shí)．
【答案】50．
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，可以得到∠1 的度數(shù)，本題得以解決．
【解答】解：由題意可得，
直尺的上下兩邊平行，
故∠2＝∠3，
∵∠2＝40°，
∴∠3＝40°，
∵∠3+∠1＝90°，
∴∠1＝50°，
故答案為：50．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用平行線的性質(zhì)解答．
三．解答題（共 8 小題，滿分 72 分）
17．（8 分）計(jì)算：
第 18頁（共 33頁）
（1）（a3）3?a2÷a5；
（2）（x﹣y+3）（x﹣y﹣3）．
【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算；完全平方公式；平方差公式．
【專題】整式；運(yùn)算能力．
【答案】（1）a6；
（2）x2﹣2xy+y2﹣9．
【分析】（1）先算乘方，再算乘除，即可解答；
（2）利用完全平方公式，平方差公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：（1）（a3）3?a2÷a5
＝a9?a2÷a5
＝a11÷a5
＝a6；
（2）（x﹣y+3）（x﹣y﹣3）
＝（x﹣y）2﹣9
＝x2﹣2xy+y2﹣9．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算，完全平方公式，平方差公式，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
18．（8 分）把下列多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解：
（1）4x3y﹣36xy3；
（2）x4﹣2x2+1；
（3）x3y+2x2y2+xy3；
（4）9x2（a﹣b）+y2（b﹣a）．
【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．
【專題】整式；運(yùn)算能力．
【答案】（1）4xy（x+3y）（x﹣3y）；
（2）＝（x+1）2（x﹣1）2；
（3）xy（x+y）2；
（4）＝（x+y）2（x﹣y）2．
【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式分解；
（2）先用完全平方公式分解，再用平方差公式分解；
（3）先提取公因式，再用完全平方公式分解；
第 19頁（共 33頁）
（4）先提取公因式，再用平方差公式分解．
【解答】解：（1）原式＝4xy（x2﹣9y2）
＝4xy（x+3y）（x﹣3y）；
（2）原式＝（x2﹣1）2
＝[（x+1）（x﹣1）]2
＝（x+1）2（x﹣1）2；
（3）原式＝xy（x2+2xy+y2）
＝xy（x+y）2；
（4）原式＝9x2（a﹣b）﹣y2（a﹣b）
＝（a﹣b）（9x2﹣y2）
＝（a﹣b）（3x+y）（3x﹣y）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用進(jìn)
行因式分解是解決本題的關(guān)鍵．
19．（8 分）如圖，已知△ABC 中，點(diǎn) M 是 BC 邊的中點(diǎn)，過 M 作∠BAC 的角平分線 AD 的平行線交 AB
于 E，交 CA 的延長(zhǎng)線于 F，求證：
（1）AE＝AF；
（2）BE＝CF．
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．
【專題】證明題；圖形的全等；推理能力．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）由條件可得∠CAD＝∠BAD，證明∠F＝∠AEF，則結(jié)論可得；
（2）延長(zhǎng) EM 至 N，使 EM＝MN，連接 CN，證明△BEM≌△CNM，可得 BE＝CN，∠BEM＝∠N，證
得 CF＝CN，則結(jié)論得證．
【解答】證明：（1）∵AD 平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
第 20頁（共 33頁）
∵EF∥AD，
∴∠CAD＝∠F，∠BAD＝∠AEF，
∴∠F＝∠AEF，
∴AE＝AF；
（2）延長(zhǎng) EM 至 N，使 EM＝MN，連接 CN，
∵M(jìn) 為 BC 邊的中點(diǎn)，
∴BM＝CM，
∵在△BEM 和△CNM 中
，
∴△BEM≌△CNM（SAS），
∴BE＝CN，∠BEM＝∠N，
∵∠AEF＝∠BEM＝∠F，
∴∠F＝∠N，
∴CF＝CN，
∴BE＝CF．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)
用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，正確作輔助線是解此題的關(guān)鍵．
20．（8 分）先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式 的值，其中 ．
【考點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值．
【專題】分式；運(yùn)算能力．
【答案】 ， ．
【分析】先通分計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，再把除化為乘，分解因式約分，化簡(jiǎn)后將 x 的值代入計(jì)算即可．
【解答】解：原式 ?
第 21頁（共 33頁）
，
把 x＝2 1 代入得：
原式
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式化簡(jiǎn)求值，解題的掛件是掌握分式通分、約分，把分式化簡(jiǎn)．
21．（8 分）我們?cè)诘谑徽隆度切巍分袑W(xué)習(xí)了三角形的邊與角的性質(zhì)，在第十二章《全等三角形》中學(xué)
習(xí)了全等三角形的性質(zhì)和判定．在一些探究題中經(jīng)常用到以上知識(shí)轉(zhuǎn)化角和邊，進(jìn)而解決問題．
問題初探：已知，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn) D 為直線 BC 上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) D 不與點(diǎn) B、
C 重合），連接 AD，以 AD 為直角邊作等腰直角三角形 ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，連接 CE．
（1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) D 在線段 BC 上時(shí)，BD 與 CE 的數(shù)量關(guān)系是 BD＝CE ，BD 與 CE 的位置關(guān)系是
BD⊥CE ，CE、BC、CD 三條線段的數(shù)量關(guān)系是 BC＝CE+CD ．
（2）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) D 在線段 BC 的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)寫出 CE、BC、CD 三條線段之間的
關(guān)系并說明理由．
（3）如圖 3，當(dāng) D 運(yùn)動(dòng)到 BC 的延長(zhǎng)線上時(shí)，若 BC＝7，BD＝2，求 BE 的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)】三角形綜合題．
【專題】幾何綜合題；圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；推理能力．
【答案】（1）BD＝CE，BD⊥CE，BC＝CE+CD；
（2）CE＝BC+CD，理由見解析；
（3）9．
【分析】（1）由“SAS”可證△ABD≌△ACE，可得∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，由等腰直角三角形的性
質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB＝45°＝∠ACE＝45°，可得結(jié)論；
第 22頁（共 33頁）
（2）證明△ABD≌△ACE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出 BD＝CE，則可得出結(jié)論；
（3）證明△ABE≌△ACD（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出 BE＝CD＝BC+BD＝9，則可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD 和△ACE 中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°．
∴∠ACE＝45°．
∴∠BCE＝45°+45°＝90°，
即 BC⊥CE；
∵BC＝BD+CD，
∴BC＝CE+CD．
故答案為：BD＝CE，BD⊥CE，BC＝CE+CD；
（2）結(jié)論：CE＝BC+CD，理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD 和△ACE 中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∵BD＝BC+CD，
∴CE＝BC+CD．
（3）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
第 23頁（共 33頁）
∴∠DAC＝∠EAB
∴在△ABE 和△ACD 中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD＝BC+BD＝9，
∴BE＝9．
【點(diǎn)評(píng)】本題三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全
等是解題的關(guān)鍵．
22．（10 分）某出租車公司為了支持發(fā)展新質(zhì)生產(chǎn)力，推動(dòng)產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí)，決定購(gòu)買 20 臺(tái)新能源小轎車，
現(xiàn)有 A、B 兩種不同品牌的新能源小轎車可選，經(jīng)調(diào)查，購(gòu)買 4 臺(tái) A 品牌小轎車比買 3 臺(tái) B 品牌小轎車
多花 16 萬元，買 2 臺(tái) A 品牌小轎車比買 3 臺(tái) B 品牌小轎車少花 4 萬元．
（1）問：A、B 兩種品牌的新能源小轎車每臺(tái)各需多少萬元？
（2）該出租車公司經(jīng)預(yù)算決定購(gòu)買兩種品牌的新能源小轎車，總資金不超過 180 萬元．問最多購(gòu)買 A
品牌小轎車多少臺(tái)？
（3）在（2）的條件下，已知 A 品牌的小轎車每臺(tái)每月運(yùn)營(yíng)收入達(dá)到 3.6 萬元，B 品牌的小轎車每臺(tái)每
月運(yùn)營(yíng)收益達(dá)到 3 萬元，若公司要求這批新能源小轎車每月運(yùn)營(yíng)總收益不低于 65 萬元，為了節(jié)約資金
請(qǐng)你為公司設(shè)計(jì)一種最省錢的購(gòu)車方案．
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用；二元一次方程組的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用．
【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；一元一次不等式（組）及應(yīng)用；一次函數(shù)及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用
意識(shí)．
【答案】（1）10，8；
（2）10；
（3）購(gòu)買 A 品牌小轎車 9 臺(tái)、B 品牌小轎車 11 臺(tái)．
【分析】（1）設(shè) A 品牌的新能源小轎車每臺(tái)需要 a 萬元，B 品牌的新能源小轎車每臺(tái)需要 b 萬元，根據(jù)
題意列關(guān)于 a 和 b 的二元一次方程組并求解即可；
（2）設(shè)購(gòu)買 A 品牌小轎車 m 臺(tái)，則購(gòu)買 B 品牌小轎車（20﹣m）臺(tái)，根據(jù)“A 品牌小轎車每臺(tái)的價(jià)格
×購(gòu)買 A 品牌小轎車的數(shù)量+B 品牌小轎車每臺(tái)的價(jià)格×購(gòu)買 B 品牌小轎車的數(shù)量≤180”列關(guān)于 m 的
一元次不等式并求解，求出 m 的最大值即可；
（3）根 據(jù)“A 品牌的小轎車每臺(tái)每月運(yùn)營(yíng)收益×購(gòu)買 A 品牌小轎車的數(shù)量+B 品牌的小轎車每臺(tái)每月運(yùn)
第 24頁（共 33頁）
營(yíng)收益×購(gòu)買 B 品牌小轎車的數(shù)量≥65”列 m 的一元次不等式并求解，結(jié)合（2）中求得的 m 的取值范
圍，得到 m 可能的取值；設(shè)總的購(gòu)車費(fèi)用為 w 萬元，根據(jù)“總的購(gòu)車費(fèi)用＝A 品牌小轎車每臺(tái)的價(jià)格
×購(gòu)買 A 品牌小轎車的數(shù)量+B 品牌小轎車每臺(tái)的價(jià)格×購(gòu)買 B 品牌小轎車的數(shù)量”寫出 w 關(guān)于 m 的函
數(shù)關(guān)系式，根據(jù)該函數(shù)的增減性和 m 的取值情況，確定當(dāng) m 取何值時(shí) w 值最小，求出此時(shí) 20﹣m 的值
即可．
【解答】解：（1）設(shè) A 品牌的新能源小轎車每臺(tái)需要 a 萬元，B 品牌的新能源小轎車每臺(tái)需要 b 萬元．
根據(jù)題意，得 ，
解得 ，
∴A 品牌的新能源小轎車每臺(tái)需要 10 萬元，B 品牌的新能源小轎車每臺(tái)需要 8 萬元．
（2）設(shè)購(gòu)買 A 品牌小轎車 m 臺(tái)，則購(gòu)買 B 品牌小轎車（20﹣m）臺(tái)．
根據(jù)題意，得 10m+8（20﹣m）≤180，
解得 m≤10，
∴最多購(gòu)買 A 品牌小轎車 10 臺(tái)．
（3）根據(jù)題意，得 3.6m+3（20﹣m）≥65，
解得 m ，
∵m≤10，
∴ m≤10 且 m 為整數(shù)，
∴m＝9 或 10．
設(shè)總的購(gòu)車費(fèi)用為 w 萬元，則 w＝10m+8（20﹣m）＝2m+160，
∵2＞0，
∴w 隨 m 的減小而減小，
∵m＝9 或 10，
∴當(dāng) m＝9 時(shí)，w 的值最小，20﹣9＝11（臺(tái)），
∴購(gòu)買 A 品牌小轎車 9 臺(tái)、B 品牌小轎車 11 臺(tái)最省錢．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)、二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，掌握二元一次方程組和一元一
次不等式的解法和一次函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．
23．（10 分）綜合與實(shí)踐
【問題情境]
第 25頁（共 33頁）
課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：
如圖 1，△ABC 中，若 AB＝6，AC＝4，求 BC 邊上的中線 AD 的取值范圍．
小明在組內(nèi)和同學(xué)們合作交流后，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng) AD 到 E，使 DE＝AD，連接 BE．請(qǐng)根
據(jù)小明的方法思考：
（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB，依據(jù)是 C ；
A．SSS B．AAS C．SAS D．HL
（2）由“三角形的三邊關(guān)系”，可求得 AD 的取值范圍是 1＜AD＜5 ．
解后反思：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件
和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．
[初步運(yùn)用]
（3）如圖 2，AD 是△ABC 的中線，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AE＝EF．若 EF＝3，EC＝2，求
線段 BF 的長(zhǎng)．
[靈活運(yùn)用]
（4）如圖 3，在△ABC 中，∠A＝90°，D 為 BC 中點(diǎn)，DE⊥DF，DE 交 AB 于點(diǎn) E，DF 交 AC 于點(diǎn) F，
連接 EF，試猜想線段 BE、CF、EF 三者之間的等量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論．
【考點(diǎn)】三角形綜合題．
【專題】幾何綜合題；三角形；圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力．
【答案】（1）C；
（2）1＜AD＜5；
（3）5；
（4）BE2+CF2＝EF2，理由見解答過程．
【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可；
（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系計(jì)算；
【初步運(yùn)用】延長(zhǎng) AD 到 M，使 AD＝DM，連接 BM，由 SAS 證得△ADC≌△MDB，根據(jù)全等三角形的
性質(zhì)即可得出答案；
第 26頁（共 33頁）
【靈活運(yùn)用】延長(zhǎng) ED 到點(diǎn) G，使 DG＝ED，連接 GF、GC，易證 EF＝GF，由 SAS 證得△DBE≌△DCG，
得到 BE＝CG，推出∠GCF＝90°，再由勾股定理即可得出結(jié)果．
【解答】解：（1）∵AD 是 BC 邊上的中線，
∴CD＝BD，
在△ADC 和△EDB 中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案為：C；
（2）∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即 6﹣4＜AE＜6+4，
∴2＜AE＜10，
∵AD AE，
∴1＜AD＜5，
故答案為：1＜AD＜5；
（3）延長(zhǎng) AD 到 M，使 AD＝DM，連接 BM，如圖 2 所示：
∵AE＝EF．EF＝3，
∴AC＝AE+EC＝3+2＝5，
∵AD 是△ABC 中線，
∴CD＝BD，
在△ADC 和△MDB 中，
，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
第 27頁（共 33頁）
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即 BF＝5，
故線段 BF 的長(zhǎng)為 5；
（4）線段 BE、CF、EF 之間的等量關(guān)系為：BE2+CF2＝EF2，理由如下：
延長(zhǎng) ED 到點(diǎn) G，使 DG＝ED，連接 GF、GC，如圖 3 所示：
∵ED⊥DF，
∴EF＝GF，
∵D 是 BC 的中點(diǎn)，
∴BD＝CD，
在△BDE 和△CDG 中，
，
∴△DBE≌△DCG（SAS），
∴BE＝CG，∠B＝∠GCD，
∵∠A＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠GCD+∠ACB＝90°，即∠GCF＝90°，
∴Rt△CFG 中，CG2+CF2＝GF2，
∴BE2+CF2＝EF2．
第 28頁（共 33頁）
【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、垂直平分線的性質(zhì)、
勾股定理等知識(shí)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
24．（12 分）已知：有一張 Rt△AOB 紙片，OA＝4，OB＝8．如圖，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) C 在
線段 OB 上，點(diǎn) D 在線段 AB 上，將△BCD 沿 CD 折疊得到△ECD（點(diǎn) B 與點(diǎn) E 重合）．
（1）求直線 AB 的表達(dá)式；
（2）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) E 恰好落在點(diǎn)（0，2）時(shí)，求 OC 的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)點(diǎn) D 固定在點(diǎn)（2，m）時(shí)，DE 交 x 軸于點(diǎn) F，設(shè)點(diǎn) C 為（n，0），當(dāng)△EFC 為直角三角形時(shí)，
求 n 滿足的條件．
【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．
【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；運(yùn)算能力；
推理能力．
【答案】（1）y ；
（2）OC ；
（3）n＝5 或 或﹣1．
【分析】（1）設(shè)直線 AB 的表達(dá)式為：y＝kx+b，將 A（0，4），B（8，0）代入表達(dá)式，進(jìn)一步得出結(jié)果；
（2）由折疊得出 CE＝BC，設(shè) OC＝a，則 CE＝BC＝8﹣a，在 Rt△COE 中，由勾股定理列出 22+a2＝
（8﹣a）2，求得 a 的值，進(jìn)而得出結(jié)果；
（3）分四種情形：當(dāng)∠DCF＝90°，點(diǎn) C 在 OB 上時(shí)，作 CG⊥OB，交 AB 于 G，作 DH⊥OB 于 H，
可得出 ，△ECF≌△GCB，從而 CE＝CG，EF＝BG，設(shè) CE＝CG＝k，則 BC＝CF＝2k，EF＝
BG ，在 Rt△DEH 中根據(jù)勾股定理得 ，求得 k 的值，進(jìn)而得出
結(jié)果；當(dāng)∠CFE＝90°時(shí)，點(diǎn) C 在 OB 上時(shí)，延長(zhǎng) EC，交 BD 于 G，根據(jù) S△CDF+S△BCD＝S△BDF 得出
3CF+3 CF＝3×6，求得 CF，進(jìn)而得出結(jié)果；當(dāng)∠CFE＝90°時(shí)，點(diǎn) C 在 BO 的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng) BD
，交 CE 于 G，根據(jù) S△CDF＝S△BCD﹣S△BDF 得出 3CF＝3 CF﹣3×6，
第 29頁（共 33頁）
∴3 CF﹣3CF＝3×6，求得 CF，進(jìn)而的呼出結(jié)果；當(dāng)∠ECF＝90°，點(diǎn) C 在 BO 的延長(zhǎng)線時(shí)，作 DG
⊥BC 于 F，可得出 CG＝DG＝3，進(jìn)而得出結(jié)果．
【解答】解：（1）∵OA＝4，OB＝8，
∴A（0，4），B（8，0），
設(shè)直線 AB 的表達(dá)式為：y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴y ；
（2）∵△BCD 沿 CD 折疊得到△ECD，
∴CE＝BC，
設(shè) OC＝a，則 CE＝BC＝8﹣a，
在 Rt△COE 中，由勾股定理得，
OE2+OC2＝CE2，
∴22+a2＝（8﹣a）2，
∴a ，
∴OC ；
（3）如圖 1，
當(dāng)∠DCF＝90°，點(diǎn) C 在 OB 上時(shí)，
作 CG⊥OB，交 AB 于 G，作 DH⊥OB 于 H，
∵C（n，0），
∴G（n， ），
∴CG n+4，
第 30頁（共 33頁）
∵BC＝8﹣n，
∴ ，
∵△BCD 沿 CD 折疊得到△ECD，
∴BC＝CF，∠F＝∠AOB，DF＝BD，
∵∠BCG＝∠ECF＝90°，
∴△ECF≌△GCB（ASA），
∴CE＝CG，EF＝BG，
∵D（2，m），
∴m ，
∴DH＝3，
∵BH＝OB﹣OH＝8﹣2＝6，
∴BD ，
設(shè) CE＝CG＝k，則 BC＝CF＝2k，EF＝BG ，
∴EH＝BH﹣BC﹣CE＝6﹣3k，DE＝DF﹣EF＝3 ，
在 Rt△DEH 中，由勾股定理得，
DH2+EH2EH2＝DE2，
∴ ，
∴k 或 k＝0（舍去），
∴BC＝2k＝3，
∴n＝OC＝8﹣BC＝8﹣3＝5，
如圖 2，
第 31頁（共 33頁）
當(dāng)∠CFE＝90°時(shí)，點(diǎn) C 在 OB 上時(shí)，
延長(zhǎng) EC，交 BD 于 G，
由上知，
△ECF≌△GCB，
∴∠BGC＝∠CFE＝90°，CG＝CF，
∵S△CDF+S△BCD＝S△BDF，
∴ ，
∴3CF+3 CF＝3×6，
∴CF ，
∴n＝OC＝OF+CF＝2 ，
如圖 3，
當(dāng)∠CFE＝90°時(shí)，點(diǎn) C 在 BO 的延長(zhǎng)線上時(shí)，
延長(zhǎng) BD，交 CE 于 G，
由上可知，
△ECF≌△GCB，
∴∠BGC＝∠CFE＝90°，CG＝CF，
∵S△CDF＝S△BCD﹣S△BDF，
∴ ，
∴3CF＝3 CF﹣3×6，
第 32頁（共 33頁）
∴3 CF﹣3CF＝3×6，
∴CF ，
∴n＝2 ，
如圖 4，
當(dāng)∠ECF＝90°，點(diǎn) C 在 BO 的延長(zhǎng)線時(shí)，
作 DG⊥BC 于 F，
∵△BCD 沿 CD 折疊得到△ECD，
∴∠BCD＝∠DCE＝45°，
∴∠CDG＝90°﹣∠BCD＝45°，
∴∠BCD＝∠CDG，
∴CG＝DG＝3，
∵OG＝2，
∴OC＝CG﹣OG＝1，
∴n＝﹣1，
綜上所述：n＝5 或 或 或﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求一次函數(shù)的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，
解決問題的關(guān)鍵是分類討論，根據(jù)條件畫出相應(yīng)符合條件的圖形．
第 33頁（共 33頁）

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