?2019-2020學(xué)年湖北省武漢市漢陽區(qū)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（每題3分）
1．函數(shù)y＝中的自變量x的取值范圍是（　?。?br /> A．x≠﹣ B．x≥﹣1 C．x＞﹣ D．x≥﹣
2．下列各組中的三條線段，能構(gòu)成直角三角形的是（　?。?br /> A．7，20，24 B．4，5，6 C．，， D．3，4，5
3．下列各式成立的是（　　）
A．3﹣＝3 B．＝2
C．＝﹣＝1 D．﹣＝
4．如圖，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開．測(cè)得AB的長(zhǎng)為1.6km，則M，C兩點(diǎn)間的距離為（　　）

A．0.5km B．0.6km C．0.8km D．1.2km
5．如圖，若平行四邊形ABCO的頂點(diǎn)O，A，C的坐標(biāo)分別是（0，0），（6，0），（3，4），則頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（　?。?br />
A．（9，4） B．（6，4） C．（4，9） D．（8，4）
6．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC＝2，BD＝8，將△ABO沿點(diǎn)A到點(diǎn)C的方向平移，得到△A'B'O'，當(dāng)點(diǎn)A'與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)B'之間的距離為（　?。?br />
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊CD上一點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊至△AD'E處，AD'與CE交于點(diǎn)F．若∠B＝54°，∠DAE＝20°，則∠FED'的大小為（　?。?br />
A．27° B．32° C．36° D．40°
8．正方形ABCD的邊AB上有一動(dòng)點(diǎn)E，以EC為邊作矩形ECFG，且邊FG過點(diǎn)D．在點(diǎn)E從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B的過程中，矩形ECFG的面積（　?。?br />
A．先變大后變小 B．先變小后變大
C．一直變大 D．保持不變
9．如圖，平面內(nèi)某正方形內(nèi)有一長(zhǎng)為10寬為5的矩形，它可以在該正方形的內(nèi)部及邊界通過平移或旋轉(zhuǎn)的方式，自由地從橫放變換到豎放，則該正方形邊長(zhǎng)的最小整數(shù)n為（　?。?br />
A．10 B．11 C．12 D．13
10．如圖，正方形ABCD中，延長(zhǎng)CB至E使CB＝2EB，以EB為邊作正方形EFGB，延長(zhǎng)FG交DC于M，連接AM，AF，H為AD的中點(diǎn)，連接FH分別與AB，AM交于點(diǎn)N，K．則下列說法：①△ANH≌△GNF；②∠DAM＝∠NFG；③FN＝2NK；④S△AFN：S四邊形DMKH＝2：7．其中正確的有（　　）

A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
二、填空題（每題3分）
11．已知四邊形ABCD是周長(zhǎng)為32的平行四邊形，若AB＝6，則BC＝　 　．
12．若x＝+1，y＝﹣1，則（x+y）2＝　 ?。?br /> 13．如圖，在菱形ABCD中，M，N分別在AB，CD上，且AM＝CN，MN與AC交于點(diǎn)O，連接BO．若∠DAC＝26°，則∠OBC的大小為　 ?。?br />
14．觀察下列各式：
＝1+＝1+（1﹣）；
＝1+＝1+（﹣）；
＝1+＝1+（﹣）……
請(qǐng)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算：
+++……+其結(jié)果為　 　．
15．如圖所示，以Rt△ABC的斜邊BC為邊，在△ABC的同側(cè)作正方形BCEF，BE，CF交于點(diǎn)O，連接AO．若AB＝2，AO＝2，則BC＝　 ?。?br />
16．如圖，一副三角板ABC和EDF拼合在一起，邊AC與EF重合，∠BAC＝30°，∠DAC＝45°，∠ADC＝∠ACB＝90°，AC＝6cm．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AC向下滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)沿射線BC向右滑動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A滑動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，連接BD，則△BCD的面積最大值為　 　cm2．

三、解答題（共72分）
17．計(jì)算：
（1）×÷2；
（2）2﹣6+3．
18．如圖，在?ABCD中，AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，連接CH和AG，求證：∠1＝∠2．

19．如圖，在筆直的鐵路上A，B兩點(diǎn)相距20km，C，D為兩村莊，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．現(xiàn)要在AB上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，求AE的長(zhǎng)．

20．如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），延長(zhǎng)ME交射線CD于點(diǎn)N，連接MD，AN．
（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形；
（2）填空：
①當(dāng)AM的值為　 　時(shí)，四邊形AMDN是矩形；
②當(dāng)AM的值為　 　時(shí)，四邊形AMDN是菱形．

21．如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D均在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)诖司W(wǎng)格中僅用無刻度的直尺畫圖（保留連線痕跡）．
（1）畫出線段BE，使BE∥AC，且BE＝AC；
（2）畫出以AC為邊的正方形ACMN；
（3）在（1）的條件下，畫出直線PQ，使PQ平分四邊形ABED的面積（作出一條即可）．

22．閱讀材料，請(qǐng)回答下列問題．
材料一：我國(guó)古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形的三邊長(zhǎng)，求它的面積，用現(xiàn)代式子表示即為：S＝①（其中a，b，c為三角形的三邊長(zhǎng)，S為面積），而另一個(gè)文明古國(guó)古希臘也有求三角形面積的“海倫公式”；S＝……②（其中p＝）
材料二：對(duì)于平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）公式逆用可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
例：a2﹣（b+c）2＝（a+b+c）（a﹣b﹣c）：
（1）若已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為4，5，7，請(qǐng)分別運(yùn)用公式①和公式②，計(jì)算該三角形的面積；
（2）你能否由公式①推導(dǎo)出公式②？請(qǐng)?jiān)囋?，寫出推?dǎo)過程．
23．（1）如圖①，正方形AEFG的兩邊分別在正方形ABCD的邊AB和AD上，連接CF．填空：線段DG與CF的數(shù)量關(guān)系為　 ?。恢本€DG與CF所夾銳角的大小為　 ?。?br /> （2）如圖②，將正方形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說明理由．
（3）把圖②中的正方形都換成菱形，且∠BAD＝∠GAE＝60°，如圖③，直接寫出DG：CF＝　 ?。?br />
24．如圖1，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝3，動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線BC方向移動(dòng)，作△PAB關(guān)于直線PA的對(duì)稱△PAB'，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．

（1）當(dāng)a＝4時(shí)．
①如圖2．當(dāng)點(diǎn)B'落在AC上時(shí)，顯然△PCB'是直角三角形，求此時(shí)t的值；
②當(dāng)點(diǎn)B'不落在AC上時(shí)，請(qǐng)直接寫出△PCB'是直角三角形時(shí)t的值；
（2）若直線PB'與直線CD相交于點(diǎn)M，且當(dāng)t＜3時(shí)，∠PAM＝45°．問：當(dāng)t＞3時(shí)，∠PAM的大小是否發(fā)生變化，若不變，請(qǐng)說明理由．


參考答案
一、選擇題（每題3分）
1．函數(shù)y＝中的自變量x的取值范圍是（　?。?br /> A．x≠﹣ B．x≥﹣1 C．x＞﹣ D．x≥﹣
解：依題意，得2x+1≥0，
解得x≥﹣．
故選：D．
2．下列各組中的三條線段，能構(gòu)成直角三角形的是（　?。?br /> A．7，20，24 B．4，5，6 C．，， D．3，4，5
解：∵72+202＝49+400＝449≠576＝242，故選項(xiàng)A中三條線段不能構(gòu)成直角三角形；
∵42+52＝16+25＝41≠36＝62，故選項(xiàng)B中三條線段不能構(gòu)成直角三角形；
∵（）2+（）2＝3+4＝7≠5＝（）2，故選項(xiàng)C中三條線段不能構(gòu)成直角三角形；
∵32+42＝9+16＝25＝52，故選項(xiàng)D中三條線段不能構(gòu)成直角三角形；
故選：D．
3．下列各式成立的是（　　）
A．3﹣＝3 B．＝2
C．＝﹣＝1 D．﹣＝
解：A、3﹣＝2，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、＝＝2，故此選項(xiàng)正確；
C、＝＝，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、﹣＝3﹣＝，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：B．
4．如圖，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開．測(cè)得AB的長(zhǎng)為1.6km，則M，C兩點(diǎn)間的距離為（　?。?br />
A．0.5km B．0.6km C．0.8km D．1.2km
解：由題意可知，△ABC中，∠ACB＝90°，M是AB的中點(diǎn)，
∴MC＝AB＝×1.6＝0.8（km）．
故選：C．
5．如圖，若平行四邊形ABCO的頂點(diǎn)O，A，C的坐標(biāo)分別是（0，0），（6，0），（3，4），則頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（　?。?br />
A．（9，4） B．（6，4） C．（4，9） D．（8，4）
解：在?ABCO中，O（0，0），A（6，0），
∴OA＝BC＝6，
又∵BC∥AO，C（3，4），
∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等，
∴B（3+6，4），
即（9，4）；
故選：A．
6．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC＝2，BD＝8，將△ABO沿點(diǎn)A到點(diǎn)C的方向平移，得到△A'B'O'，當(dāng)點(diǎn)A'與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)B'之間的距離為（　?。?br />
A．3 B．4 C．5 D．6
解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝1，OB＝OD＝BD＝4，
∵△ABO沿點(diǎn)A到點(diǎn)C的方向平移，得到△A'B'O'，點(diǎn)A'與點(diǎn)C重合，
∴O'C＝OA＝1，O'B'＝OB＝4，∠CO'B'＝90°，
∴AO'＝AC+O'C＝3，
∴AB'＝＝5；
故選：C．
7．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊CD上一點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊至△AD'E處，AD'與CE交于點(diǎn)F．若∠B＝54°，∠DAE＝20°，則∠FED'的大小為（　　）

A．27° B．32° C．36° D．40°
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B＝∠D＝54°，
∵∠DAE＝20°，
∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝74°，
∴∠AED＝106°，
∵將△ADE沿AE折疊至△AD'E處，
∴∠AED＝∠AED'＝106°，
∴∠FED'＝∠AED'﹣∠AEC＝106°﹣74°＝32°，
故選：B．
8．正方形ABCD的邊AB上有一動(dòng)點(diǎn)E，以EC為邊作矩形ECFG，且邊FG過點(diǎn)D．在點(diǎn)E從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B的過程中，矩形ECFG的面積（　?。?br />
A．先變大后變小 B．先變小后變大
C．一直變大 D．保持不變
解：連接DE，
∵，
，
∴矩形ECFG與正方形ABCD的面積相等．
故選：D．
9．如圖，平面內(nèi)某正方形內(nèi)有一長(zhǎng)為10寬為5的矩形，它可以在該正方形的內(nèi)部及邊界通過平移或旋轉(zhuǎn)的方式，自由地從橫放變換到豎放，則該正方形邊長(zhǎng)的最小整數(shù)n為（　?。?br />
A．10 B．11 C．12 D．13
解：∵矩形長(zhǎng)為10寬為5，
∴矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為：＝＝5，
∵矩形在該正方形的內(nèi)部及邊界通過平移或旋轉(zhuǎn)的方式，自由地從橫放變換到豎放，
∴該正方形的邊長(zhǎng)不小于5，
∵11＜5＜12，
∴該正方形邊長(zhǎng)的最小正數(shù)n為12．
故選：C．
10．如圖，正方形ABCD中，延長(zhǎng)CB至E使CB＝2EB，以EB為邊作正方形EFGB，延長(zhǎng)FG交DC于M，連接AM，AF，H為AD的中點(diǎn)，連接FH分別與AB，AM交于點(diǎn)N，K．則下列說法：①△ANH≌△GNF；②∠DAM＝∠NFG；③FN＝2NK；④S△AFN：S四邊形DMKH＝2：7．其中正確的有（　　）

A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
解：∵四邊形EFGB是正方形，
∴FG＝BE，∠FGB＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形，H為AD的中點(diǎn)，
∴BC＝AD＝2AH，
∵CB＝2EB
∴AH＝FG，
∵∠HAN＝∠FGN＝90°，∠ANH＝∠GNF，
∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正確；
∵∠HAN＝∠FGN＝90°，
∴AD∥FM，
過點(diǎn)H作HP⊥MG于點(diǎn)P，則AG＝HP，HD＝PM，

∵FG＝AH＝HD，
∴FG＝PM，
∴FP＝MG，
∵∠HPF＝∠AGM＝90°，
∴△PHF≌△GAM（SAS），
∴∠HFP＝∠AMG，
∵AD∥FM，
∴∠DAM＝∠AMG，
∴∠DAM＝∠NFG，故②正確；
∵△ANH≌△GNF，
∴∠AHN＝∠GFN，NF＝NH，
∴∠KAH＝∠KHA，
∴KA＝KH，
∵∠KAH+∠KAN＝90°，∠KHA+∠KNA＝90°，
∴∠KAN＝∠KNA，
∴AK＝NK＝KH，
∴FN＝2NK，故③正確；
∵FN＝NH，
∴，
∵NK＝KH，
，
∵，
∴，
∴S△AFN：S四邊形DMKH＝2：7，故④正確．
故選：A．
二、填空題（每小題3分，共18分）
11．已知四邊形ABCD是周長(zhǎng)為32的平行四邊形，若AB＝6，則BC＝　10　．
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC，
∵平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為32，
∴2（AB+BC）＝32，
∴AB+BC＝16，
∴BC＝16﹣6＝10；
故答案為：10．

12．若x＝+1，y＝﹣1，則（x+y）2＝　12?。?br /> 解：∵x＝+1，y＝﹣1，
∴x+y＝2，
∴（x+y）2
＝（2）2
＝12，
故答案為：12．
13．如圖，在菱形ABCD中，M，N分別在AB，CD上，且AM＝CN，MN與AC交于點(diǎn)O，連接BO．若∠DAC＝26°，則∠OBC的大小為　64°?。?br />
解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC，
∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC＝90°，
∵∠DAC＝26°，
∴∠BCA＝∠DAC＝26°，
∴∠OBC＝90°﹣26°＝64°．
故答案為：64°．
14．觀察下列各式：
＝1+＝1+（1﹣）；
＝1+＝1+（﹣）；
＝1+＝1+（﹣）……
請(qǐng)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算：
+++……+其結(jié)果為　2019?。?br /> 解：由題意可得：
原式＝1+（1﹣）+1+（﹣）+1+（﹣）+……+1+（﹣）
＝2019+1﹣
＝2019．
故答案為：2019．
15．如圖所示，以Rt△ABC的斜邊BC為邊，在△ABC的同側(cè)作正方形BCEF，BE，CF交于點(diǎn)O，連接AO．若AB＝2，AO＝2，則BC＝　2?。?br />
解：在AC上取一點(diǎn)G，使得CG＝AB，連接OG，
∵∠ABO＝90°﹣∠AHB，∠OCG＝90°﹣∠OHC，∠OHC＝∠AHB，
∴∠ABO＝∠OCG，
∵OB＝OC，CG＝AB，
∴△OGC≌△OAB（SAS），
∴OG＝OA＝2，∠BOA＝∠GOC，
∵∠GOC+∠GOH＝90°，
∴∠GOH+∠BOA＝90°，
即：∠AOG＝90°，
∴△AOG是等腰直角三角形，AG＝4，
∴AC＝AG+GC＝4+2＝6，
又∵AB＝2，∠BAC＝90°，
∴BC＝＝＝2，
故答案為：2．

16．如圖，一副三角板ABC和EDF拼合在一起，邊AC與EF重合，∠BAC＝30°，∠DAC＝45°，∠ADC＝∠ACB＝90°，AC＝6cm．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AC向下滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)沿射線BC向右滑動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A滑動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，連接BD，則△BCD的面積最大值為　3　cm2．

解：∵AC＝6cm，∠BAC＝30°，∠DEF＝45°，
∴BC＝2cm，AB＝4cm，DE＝DF＝3，
如圖，當(dāng)點(diǎn)E沿AC方向下滑時(shí)，得△E'D'F'，過點(diǎn)D'作D'N⊥AC于點(diǎn)N，作D'M⊥BC于點(diǎn)M，

∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90°，
∴∠E'D'N＝∠F'D'M，且∠D'NE'＝∠D'MF'＝90°，E'D'＝D'F'，
∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS），
∴D'N＝D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM，
∴CD'平分∠ACM，
即點(diǎn)E沿AC方向下滑時(shí)，點(diǎn)D'在射線CD上移動(dòng)，
如圖，連接BD'，

∵S△CD'B＝，
當(dāng)F'D'⊥BC時(shí)，S△CD'B有最大值，此時(shí)F'D'＝3，
∴S△CD'B最大值＝＝3．
則△BCD的面積最大值為3cm2．
故答案為：3．
三、解答題（共72分）
17．計(jì)算：
（1）×÷2；
（2）2﹣6+3．
解：（1）原式＝3×5÷2
＝3×5××
＝；
（2）原式＝4﹣2+12
＝．
18．如圖，在?ABCD中，AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，連接CH和AG，求證：∠1＝∠2．

【解答】證明：∵AH⊥BD，CG⊥BD，
∴AH∥CG，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD＝AB，AD＝BC，
在△ADB和△CBD中，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴S△ABD＝S△BCD，
∴AH＝CG，
∴四邊形AGCH為平行四邊形，
∴CH∥AG，
∴∠1＝∠2．

19．如圖，在筆直的鐵路上A，B兩點(diǎn)相距20km，C，D為兩村莊，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．現(xiàn)要在AB上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，求AE的長(zhǎng)．

解：設(shè)AE＝x，則BE＝20﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝82+x2，
在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝142+（20﹣x）2，
由題意可知：DE＝CE，
所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3
所以，E應(yīng)建在距A點(diǎn)13.3km．

20．如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），延長(zhǎng)ME交射線CD于點(diǎn)N，連接MD，AN．
（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形；
（2）填空：
①當(dāng)AM的值為　3　時(shí)，四邊形AMDN是矩形；
②當(dāng)AM的值為　6　時(shí)，四邊形AMDN是菱形．

解：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠DNE＝∠AME，∠NDE＝∠MAE，
∵點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，
∴AE＝DE，
∴在△NDE和△MAE中，△NDE≌△MAE（AAS），
∴NE＝ME，
∴四邊形AMDN是平行四邊形；
（2）①當(dāng)AM的值為3時(shí)，四邊形AMDN是矩形．理由如下：
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB＝AD＝6，
∵點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，
∴AE＝AD＝3，
∴AM＝AE＝3，
∵∠DAB＝60°，
∴△AEM是等邊三角形，
∴EM＝AE，
∵NE＝EM＝MN，
∴MN＝AD，
∵四邊形AMDN是平行四邊形，
∴四邊形AMDN是矩形．
故答案為：3；
②當(dāng)AM的值為6時(shí)，四邊形AMDN是菱形．理由如下：
∵AB＝AD＝6，AM＝6，
∴AD＝AM，
∵∠DAB＝60°，
∴△AMD是等邊三角形，
∴ME⊥AD，
∵四邊形AMDN是平行四邊形，
∴四邊形AMDN是菱形．
故答案為：6．
21．如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D均在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)诖司W(wǎng)格中僅用無刻度的直尺畫圖（保留連線痕跡）．
（1）畫出線段BE，使BE∥AC，且BE＝AC；
（2）畫出以AC為邊的正方形ACMN；
（3）在（1）的條件下，畫出直線PQ，使PQ平分四邊形ABED的面積（作出一條即可）．

解：（1）如圖所示BE即為所作；

（2）如圖所示ACMN即為所作；
（3）如圖所示，作線段AB的中點(diǎn)G，作直線CG，直線CG即為所作直線PQ．
22．閱讀材料，請(qǐng)回答下列問題．
材料一：我國(guó)古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形的三邊長(zhǎng)，求它的面積，用現(xiàn)代式子表示即為：S＝①（其中a，b，c為三角形的三邊長(zhǎng)，S為面積），而另一個(gè)文明古國(guó)古希臘也有求三角形面積的“海倫公式”；S＝……②（其中p＝）
材料二：對(duì)于平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）公式逆用可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
例：a2﹣（b+c）2＝（a+b+c）（a﹣b﹣c）：
（1）若已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為4，5，7，請(qǐng)分別運(yùn)用公式①和公式②，計(jì)算該三角形的面積；
（2）你能否由公式①推導(dǎo)出公式②？請(qǐng)?jiān)囋嚕瑢懗鐾茖?dǎo)過程．
解：（1）設(shè)a＝4，b＝5，c＝7，
由公式①得S＝＝4，
由②得，故；

（2）可以，過程如下：
由平方差公式，①中根號(hào)內(nèi)的式子可化為，
通分，得，
由完全平方公式，得，
由平方差公式，得③，
由，得2p＝a+b+c，
代入③，得，
所以．
23．（1）如圖①，正方形AEFG的兩邊分別在正方形ABCD的邊AB和AD上，連接CF．填空：線段DG與CF的數(shù)量關(guān)系為　CF＝DG?。恢本€DG與CF所夾銳角的大小為　45°?。?br /> （2）如圖②，將正方形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說明理由．
（3）把圖②中的正方形都換成菱形，且∠BAD＝∠GAE＝60°，如圖③，直接寫出DG：CF＝　　．

解：（1）①延長(zhǎng)EF交DC于H，
∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，
∴AB∥CD，EF⊥AB，
∴EH⊥CD，
∴四邊形DGFH是矩形，
∴HF＝DG，DH＝FG，
∵AD＝CD，DH＝AG，
∴CH＝DG，
∴CH＝FH，
∴CF＝DG；
②連接AF，
則A，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線，
∴直線DG與CF所夾銳角的大小為45°，
故答案為：CF＝DG；45°；

（2）仍然成立，證明如下：
過D作DH⊥DG，且DH＝DG，連接GH，HC，并延長(zhǎng)交DG、CF交于點(diǎn)K，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，
∵DH⊥DG，
∴∠GDH＝90°，
∴∠GDH＝∠ADC，
∴∠ADG＝∠CDH，
∴△ADG≌△CDH（SAS），
∴AG＝CH，∠AGD＝∠CHD，
∵四邊形AEFG是正方形，
∴AG＝GF，∠AGF＝90°，
∵∠GDH＝90°，DH＝DG，
∴∠DGH＝∠DHG＝45°，
∴∠CHG＝∠CDH﹣∠DHG＝∠CDH﹣45°，∠HGF＝360°﹣∠AGF﹣∠AGD﹣∠DGH＝360°﹣90°﹣∠AGD﹣45°＝225°﹣∠AGD，
∴∠CHG+∠HGF＝180°，
∴CH∥FG，
∴四邊形CHGF是平行四邊形，
∴CF＝HG，CF∥HG，
在Rt△DGH中，HG2＝DH2+DG2＝2DG2，
∴，即
∵CF∥HG，
∴∠CKG＝∠DGH＝45°，
即直線DG與CF所夾銳角的度數(shù)為45°；
（3）把△ADG繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DCH，
∴AG＝CH，∠AGD＝∠CHD，
∵四邊形AEFG是菱形，
∴AG＝FG，
∴CH＝GF，∠AGF＝120°，
∴CH＝FG，
∵∠GDH＝120°，DG＝DH，
∴∠DGH＝∠DHG＝30°，
∴∠CHG＝∠CDH﹣∠DHG＝∠CDH﹣30°，∠HGF＝360°﹣∠AGF﹣∠AGD﹣∠DGH＝360°﹣120°﹣∠AGD﹣30°＝210°﹣∠AGD，
∴∠CHG+∠HGF＝180°，
∴CH∥FG，
∴四邊形CHGF是平行四邊形，
∴CF＝HG，CF∥HG，
∴＝．
故答案為：．



24．如圖1，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝3，動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線BC方向移動(dòng)，作△PAB關(guān)于直線PA的對(duì)稱△PAB'，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．

（1）當(dāng)a＝4時(shí)．
①如圖2．當(dāng)點(diǎn)B'落在AC上時(shí)，顯然△PCB'是直角三角形，求此時(shí)t的值；
②當(dāng)點(diǎn)B'不落在AC上時(shí)，請(qǐng)直接寫出△PCB'是直角三角形時(shí)t的值；
（2）若直線PB'與直線CD相交于點(diǎn)M，且當(dāng)t＜3時(shí)，∠PAM＝45°．問：當(dāng)t＞3時(shí)，∠PAM的大小是否發(fā)生變化，若不變，請(qǐng)說明理由．
【解答】（1）①如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴，
∵翻折∴AB'＝AB＝4，PB'＝PB＝t，
∴PC＝3﹣t，CB′＝AC﹣AB'＝1，
∴在Rt△PCB'中，PC2＝PB'2+CB'2，
∴（3﹣t）2＝t2+12，
∴；

②如圖2﹣1中，當(dāng)∠PCB'＝90°，B'在CD上時(shí)，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC＝3，
∴，
∴，
在Rt△PCB'中，∵B'P2＝PC2+B'C2，
∴，
∴；
如圖2﹣2中，當(dāng)∠PCB'＝90°，B'在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，

在Rt△ADB'中，，
∴，
在Rt△PCB'中，則有：，
解得；
如圖2﹣3中，當(dāng)∠CPB'＝90°時(shí)，

∵∠B＝∠B′＝∠BPB′＝90°，AB＝AB′，
∴四邊形AB'PB為正方形，
∴BP＝AB＝4，
∴t＝4，
綜上所述，滿足條件的t的值為4s或或；

（2）當(dāng)t＜3時(shí)，如圖3﹣1中，

∵∠PAM＝45°，
∴∠2+∠3＝45°，∠1+∠4＝45°，
又∵△PAB關(guān)于直線PA的對(duì)稱△PAB'，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
又∵∠ADM＝∠AB'M，AM＝AM，
∴△AMD≌△AMB'（AAS），
∴AD＝AB'＝AB，即四邊形ABCD是正方形；
當(dāng)t＞3時(shí)，如圖3﹣2中，

設(shè)∠APB＝x，
∴∠PAB＝90°﹣x，
∴∠DAP＝x，
∵AB′＝AD，AM＝AM，
∴Rt△MDA≌Rt△B'AM（HL），
∴∠BAM＝∠DAM，
∵作△PAB關(guān)于直線PA的對(duì)稱△PAB'，
∴∠PAB＝∠PAB'＝90°﹣x，
∴∠DAB'＝∠PAB'﹣∠DAP＝90°﹣2x，
∴∠DAM＝∠DAB'＝45°﹣x，
∴∠MAP＝∠DAM+∠PAD＝45°．

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