?2023屆山東省聊城市高三二模數(shù)學(xué)試題
一、單選題
1．已知集合，若，則（????）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)交集結(jié)果得到，或，檢驗(yàn)后得到答案.
【詳解】因?yàn)?，所以，或?br /> 當(dāng)時(shí)，，與集合元素的互異性矛盾，舍去；
當(dāng)時(shí)，，與集合元素的互異性矛盾，舍去；
當(dāng)時(shí)，，滿足集合元素互異性，滿足要求.
故選：B
2．若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的虛部為（????）
A．i B． C．1 D．
【答案】C
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則得到，求出虛部.
【詳解】由得，
故復(fù)數(shù)z的虛部為1
故選：C
3．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知是方程的兩根，則能使成立的n的最大值為（????）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】A
【分析】根據(jù)韋達(dá)定理求出公差d的范圍，再運(yùn)用等差中項(xiàng)求解.
【詳解】因?yàn)?是方程 的根， ，
又 ，公差 ，
由等差中項(xiàng)知：??，??，
， ，即使得 的成立的最大 ；
故選：A.
4．在梯形中，則的余弦值為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】將 作為基底表達(dá) 和 ，根據(jù)條件按照數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算.
【詳解】
依題意做上圖， ，

，
故選：D.
5．某正四棱臺(tái)形狀的模型，其上下底面的面積分別為，，若該模型的體積為，則該模型的外接球的表面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由棱臺(tái)體積得到棱臺(tái)的高，并作出輔助線，找到球心位置，利用半徑相等列出方程，求出外接球半徑和表面積.
【詳解】設(shè)正四棱臺(tái)形狀的高為，
故，解得，
取正方形的中心為，正方形的中心為，則，
故該模型的外接球的球心在上，設(shè)為點(diǎn)，連接，
設(shè)上底面正方形的邊長(zhǎng)為，，則，解得，，
故，設(shè)，則，
由勾股定理得，，
故，解得，
故外接球半徑為，該模型的外接球的表面積為.

故選：A
6．設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)P是C與圓的交點(diǎn)，的平分線交于Q，若，則橢圓C的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作圖，根據(jù)幾何關(guān)系以及橢圓的定義求解.
【詳解】
依題意作上圖，因?yàn)?是 的角平分線，??，??，
又P點(diǎn)在圓 的圓周上， ， 是直角三角形，
根據(jù)橢圓的定義有 ，
由勾股定理得： ，整理得： ，
即 解得 或 （舍）；
故選：D.
7．已知函數(shù)滿足，若，且，則的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由得函數(shù)在時(shí)取最值，得函數(shù)的解析式，再由三角恒等變換計(jì)算的值.
【詳解】因?yàn)闈M足，所以，
所以，，又，所以，
得，
因?yàn)椋?br /> 所以，所以，，
，
因?yàn)?，所?
故選：D.
8．已知函數(shù)（且）有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，且，則a的取值范圍為 （????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可知不合題意，當(dāng)時(shí)，導(dǎo)數(shù)等于0有兩個(gè)根轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，求出的切線，利用數(shù)形結(jié)合求解即可.
【詳解】由題意知，時(shí)，，
又，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，所以，
矛盾，故，
由有兩不同實(shí)數(shù)根可知，有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
設(shè)過(guò)原點(diǎn)與相切的直線為，切點(diǎn)為，
因?yàn)?，所以，解得?br /> 即，如圖，

所以與有兩個(gè)不同交點(diǎn)則需，解得，
又，所以，此時(shí)滿足極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，且.
故選：B

二、多選題
9．某短視頻平臺(tái)以講故事，贊家鄉(xiāng)，聊美食，展才藝等形式展示了豐富多彩的新時(shí)代農(nóng)村生活，吸引了眾多粉絲，該平臺(tái)通過(guò)直播帶貨把家鄉(xiāng)的農(nóng)產(chǎn)品推銷到全國(guó)各地，從而推進(jìn)了“新時(shí)代鄉(xiāng)村振興”．從平臺(tái)的所有主播中，隨機(jī)選取300人進(jìn)行調(diào)查，其中青年人，中年人，其他人群三個(gè)年齡段的比例餅狀圖如圖1所示，各年齡段主播的性別百分比等高堆積條形圖如圖2所示，則下列說(shuō)法正確的有（????）

A．該平臺(tái)女性主播占比的估計(jì)值為0.4
B．從所調(diào)查的主播中，隨機(jī)抽取一位參加短視頻剪輯培訓(xùn)，則被抽到的主播是中年男性的概率為0.7
C．按年齡段把所調(diào)查的主播分為三層，用分層抽樣法抽取20名主播擔(dān)當(dāng)平臺(tái)監(jiān)管，若樣本量按比例分配，則中年主播應(yīng)抽取6名
D．從所調(diào)查的主播中，隨機(jī)選取一位做為幸運(yùn)主播，已知該幸運(yùn)主播是青年人的條件下，又是女性的概率為0.6
【答案】AC
【分析】A選項(xiàng)，結(jié)合圖1和圖2求出三個(gè)年齡段中女性人數(shù)；B選項(xiàng)，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上，求出相應(yīng)的概率；C選項(xiàng)，求出三個(gè)年齡段主播的比例，從而得到中年主播應(yīng)抽取的人數(shù)；D選項(xiàng)，設(shè)出事件，利用條件概率公式求出答案.
【詳解】A選項(xiàng)，由圖1可以看出選取300人中其他人群人數(shù)為，
青年人人數(shù)為，中年人人數(shù)為，
由圖2可以看出青年人中女性人數(shù)為，中年人中女性人數(shù)為，
其他人群中，女性人數(shù)為，
故該平臺(tái)女性主播占比的估計(jì)值為，A正確；
B選項(xiàng)，中年人中男性人數(shù)為，
故從所調(diào)查的主播中，隨機(jī)抽取一位參加短視頻剪輯培訓(xùn)，則被抽到的主播是中年男性的概率為，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，三個(gè)年齡段人數(shù)比例為青年主播，中年主播和其他人群主播比例為，
故用分層抽樣法抽取20名主播擔(dān)當(dāng)平臺(tái)監(jiān)管，若樣本量按比例分配，則中年主播應(yīng)抽取名，C正確；
D選項(xiàng)，從所調(diào)查的主播中，隨機(jī)選取一位做為幸運(yùn)主播，設(shè)幸運(yùn)主播是青年人為事件，隨機(jī)選取一位做為幸運(yùn)主播，設(shè)幸運(yùn)主播是女性主播為事件，
則，，，D錯(cuò)誤.
故選：AC
10．已知函數(shù)，則（????）
A．函數(shù)是增函數(shù)
B．曲線關(guān)于對(duì)稱
C．函數(shù)的值域?yàn)?br /> D．曲線有且僅有兩條斜率為的切線
【答案】AB
【分析】由可得是增函數(shù)，且對(duì)于任意，滿足，所以關(guān)于對(duì)稱，可得AB正確；利用指數(shù)函數(shù)值域易得函數(shù)的值域?yàn)?，即C錯(cuò)誤；令，整理可得，易知，可得，即方程無(wú)解，因此曲線不存在斜率為的切線，即D錯(cuò)誤.
【詳解】根據(jù)題意可得，易知是減函數(shù)，
所以是增函數(shù)，即A正確；
由題意可得，所以，
即對(duì)于任意，滿足，所以關(guān)于對(duì)稱，即B正確；
由指數(shù)函數(shù)值域可得，所以，即，
所以函數(shù)的值域?yàn)椋訡錯(cuò)誤；
易知，令，整理可得，
令，即，
易知，又因?yàn)?，即?br /> 所以，即，因此；
即關(guān)于的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根；
所以無(wú)解，即曲線不存在斜率為的切線，即D錯(cuò)誤；
故選：AB
11．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是線段，，的中點(diǎn)，則（????）
A．
B．∥平面
C．直線與平面所成的角的余弦值為
D．過(guò)點(diǎn)F且與直線垂直的平面，截該正方體所得截面的周長(zhǎng)為
【答案】ACD
【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的性質(zhì)，是否等于零，可判斷A選項(xiàng)；求出平面的法向量，與判斷是否垂直，可判斷B選項(xiàng)；直線與平面所成的角的余弦值可先求出與平面的法向量的余弦值，再根據(jù)角的關(guān)系，求出所要求的結(jié)果，即可判斷C選項(xiàng)；做出過(guò)點(diǎn)F且與直線垂直的平面的截面圖，根據(jù)幾何關(guān)系即可求出其周長(zhǎng)，可計(jì)算出D選項(xiàng).
【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、分別為、、軸，建立坐標(biāo)系，如圖所示，

，，，，，，，
，

，故A選項(xiàng)正確；
，，
設(shè)平面的法向量為，
則即，令，則，，
則

與平面不平行，故B選項(xiàng)不正確；
，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則

，故C選項(xiàng)正確；

平面
取、為、的中點(diǎn)，，由幾何關(guān)系可知，，，則組成一個(gè)平面， 由，，，均在平面內(nèi)，
則平面，即過(guò)點(diǎn)F且與直線垂直的平面，截該正方體所得截面如圖所示平面，
則截面的周長(zhǎng)為

故D選項(xiàng)正確；
故選：ACD.
12．設(shè)直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)，且M為的中點(diǎn)．（????）
A．當(dāng)時(shí)，的斜率為2 B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，符合條件的直線l有兩條 D．當(dāng)時(shí)，符合條件的直線l有四條
【答案】ABD
【分析】由點(diǎn)差法得，由此判斷AB正確；當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)判斷是否符合要求，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí),由直線與圓切于得必在直線上，根據(jù)給定的求出位置，根據(jù)是否在拋物線內(nèi)部判斷CD是否正確.
【詳解】如圖,設(shè),,

則,兩式相減得,.
當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí),，則有,
又,所以.
當(dāng)時(shí)，，故A正確；
由,得,
即,因此,即必在直線上.
當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)，直線的方程為，恰好過(guò)拋物線焦點(diǎn)，
故，故B正確；
將代入,得,由在拋物線內(nèi)部得，
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上,所以,
當(dāng)時(shí)，，解得，與矛盾，此時(shí)的斜率為的直線不存在，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí),符合條件的直線只有一條，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，解得，符合，此時(shí)的斜率為的直線有兩條. 當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí),符合條件的直線也有兩條，故D正確；
故選：ABD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：不要遺漏判斷斜率不存在時(shí)的直線是否符合要求.
當(dāng)斜率存在時(shí)，先確定點(diǎn)一定在直線上，再用點(diǎn)一定在拋物線內(nèi)部判斷給定的是否符合要求.

三、填空題
13．已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______．（用數(shù)字作答）
【答案】60
【分析】依題意可得，再寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)，令，求出，再代入計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式的展開(kāi)式中，只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以，
則展開(kāi)式的通項(xiàng)為，
令，解得，所以展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.
故答案為：
14．健走是介于散步和競(jìng)走之間的一種運(yùn)動(dòng)方式，它是一項(xiàng)簡(jiǎn)單安全，能增強(qiáng)肺活量且有益心臟健康的有氧運(yùn)動(dòng)，某運(yùn)動(dòng)生理學(xué)家對(duì)健走活動(dòng)人群的體脂率（體脂率是指人體內(nèi)脂肪含量與總體重的比值）做了大量的調(diào)查，發(fā)現(xiàn)調(diào)查者的體脂率X服從正態(tài)分布，規(guī)定體脂率小于或等于0.17的人的身材為良好身材，若參加健走的人群中有16%的人具有良好身材，則的值約為_(kāi)_______．
參考數(shù)據(jù)：則．
【答案】0.03/
【分析】根據(jù)求出的值約0.03
【詳解】因?yàn)?，?br /> 故當(dāng)時(shí)，，滿足要求.
故答案為：0.03
15．若互不相等的實(shí)數(shù)m，n，s，t滿足，則稱m，n，s，t具有“準(zhǔn)等比”性質(zhì)．現(xiàn)從2，4，8，16，32，64，128這7個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取4個(gè)不同的數(shù)，則這4個(gè)數(shù)具有“準(zhǔn)等比”性質(zhì)的概率為_(kāi)_______．
【答案】
【分析】由列舉法結(jié)合組合數(shù)公式以及古典概型概率公式得出這4個(gè)數(shù)具有“準(zhǔn)等比”性質(zhì)的概率.
【詳解】7個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取4個(gè)不同的數(shù)共有種不同的選法，
因?yàn)椋?br /> 所以具有“準(zhǔn)等比”性質(zhì)的4個(gè)數(shù)有：，
，
，
，
，共13種，
所以這4個(gè)數(shù)具有“準(zhǔn)等比”性質(zhì)的概率為.
故答案為：
16．已知曲線，過(guò)點(diǎn)的直線交曲線C于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積的取值范圍為_(kāi)_______．
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出直線MN的方程，與曲線C的方程聯(lián)立，求出面積的函數(shù)關(guān)系，再求出其值域作答.
【詳解】依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，

由消去y并整理得：，
，解得或，
設(shè)，有，
的面積
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
因此當(dāng)時(shí)，顯然，
所以的面積的取值范圍是.
故答案為：
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問(wèn)題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動(dòng)點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)為變量，建立函數(shù)關(guān)系求解作答.

四、解答題
17．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且數(shù)列是公比為的等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)條件，運(yùn)用等比數(shù)列公式法推出 的通項(xiàng)公式；
（2）運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求解.
【詳解】（1） ， ，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，
所以，
即，從而，兩式作差得： ，
化簡(jiǎn)得： ，即，
所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2），
．
，
因?yàn)?，所?
18．隨著生活水平的提高，人們對(duì)水果的需求量越來(lái)越大，為了滿足消費(fèi)者的需求，精品水果店也在大街小巷遍地開(kāi)花.4月份的“湖南沃柑”因果肉滑嫩，皮薄汁多，口感甜軟，低酸爽口深受市民的喜愛(ài)．某“鬧鬧”水果店對(duì)某品種的“湖南沃柑”進(jìn)行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)，如下表所示：
試銷單價(jià)x（元）
3
4
5
6
7
產(chǎn)品銷量y件
20
16
15
12
6
(1)經(jīng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)，變量x，y線性相關(guān)程度很高，求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
(2)用（1）中所求的經(jīng)驗(yàn)回歸方程來(lái)擬合這組成對(duì)數(shù)據(jù)，當(dāng)樣本數(shù)據(jù)的殘差的絕對(duì)值大于1.2時(shí)，稱該對(duì)數(shù)據(jù)為一個(gè)“次數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從這5個(gè)成對(duì)數(shù)據(jù)中任取3個(gè)做殘差分析，求取到的數(shù)據(jù)中“次數(shù)據(jù)”個(gè)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
參考公式：線性回歸方程中，的最小二乘法估計(jì)分別為．
【答案】(1)
(2)分布列見(jiàn)解析，

【分析】（1）利用線性回歸方程的計(jì)算公式計(jì)算對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)即可；
（2）先確定“次數(shù)據(jù)”個(gè)數(shù)，列出分布列再計(jì)算其期望.
【詳解】（1）由已知，得，，
，，
則，
所以，
所以．
（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
因此該樣本的殘差絕對(duì)值依次為0.2，1，1.2，1.4，1.4，
所以“次數(shù)據(jù)”有2個(gè)．“次數(shù)據(jù)”個(gè)數(shù)X可取0，1，2．
．
所以X的分布列為：
X
0
1
2
P



則數(shù)學(xué)期望．
19．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．
(1)證明：；
(2)若，求面積的最大值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)

【分析】（1）由正弦定理得，再由余弦定理得到，證明出結(jié)論；
（2）由（1）中結(jié)論和得到，結(jié)合得到，由基本不等式求出面積的最大值.
【詳解】（1）由正弦定理及得，
，
即．
再由正弦定理可得．
由余弦定理得，,
即，故；
（2）由及，可得．
由得，所以．
在中，
所以．
所以
．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．
故面積的最大值為．
20．如圖，平面平面，四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，且，點(diǎn)G在線段上．

(1)若點(diǎn)G為線段的中點(diǎn)，求證：平面；
(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)

【分析】（1）連接，交于H，連接，證明四邊形為平行四邊形，從而，即可根據(jù)線面平行的判定定理證明結(jié)論.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，根據(jù)平面與平面的夾角的余弦值，設(shè)，求得參數(shù)，即可求得答案.
【詳解】（1）連接，交于H，連接，則H為的中點(diǎn)，

因?yàn)镚，H分別為的中點(diǎn)，
所以且．
又且，
所以且，
所以四邊形為平行四邊形，從而，
又平面平面，
所以平面，
（2）因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以?
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br /> 平面，所以平面．
因?yàn)槠矫?，所以?br /> 以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在直線為x軸，z軸，
在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作的出現(xiàn)為y軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系．

由于，故,
則，
．
設(shè)，則．
設(shè)平面的法向量，
由,得,
令，則．
設(shè)平面的法向量，
由,得,
令，得．
設(shè)平面與平面的夾角為,
則，解得．
而,則,
從而,
故的長(zhǎng)度為．
21．已知點(diǎn)M為雙曲線右支上除右頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，C的一條漸近線與直線互相垂直．
(1)證明：點(diǎn)M到C的兩條漸近線的距離之積為定值；
(2)已知C的左頂點(diǎn)A和右焦點(diǎn)F，直線與直線相交于點(diǎn)N．試問(wèn)是否存在常數(shù)，使得？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)存在，理由見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)垂直關(guān)系得到漸近線的斜率，得到方程，求出雙曲線方程，進(jìn)而設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，利用點(diǎn)到直線距離公式得到點(diǎn)M到雙曲線C的兩條漸近線的距離之積為定值；
（2）先考慮時(shí)，再考慮，當(dāng)M在x軸上方時(shí)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，表達(dá)出，結(jié)合正切二倍角公式得到，故，當(dāng)M在x軸下方時(shí)，同理可得結(jié)論.
【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線C的一條漸近線與直線互相垂直，
所以其中一條漸近線的斜率為，則，則．
所以雙曲線C的方程為．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則，即．
雙曲線的兩條漸近線，的方程分別為，
則點(diǎn)M到兩條漸近線的距離分別為，
則．
所以點(diǎn)M到雙曲線C的兩條漸近線的距離之積為定值．
（2）存在．
①當(dāng)時(shí)，，又N是的中點(diǎn)，
所以，所以，此時(shí)．
②當(dāng)時(shí)．
?。┊?dāng)M在x軸上方時(shí)，由，可得，
所以直線的直線方程為，
把代入得．
所以，則．
由二倍角公式可得．
因?yàn)橹本€的斜率及，
所以，則．
因?yàn)椋?br /> 所以．
ⅱ）當(dāng)M在x軸下方時(shí)，同理可得．
故存在，使得．

【點(diǎn)睛】定值問(wèn)題常見(jiàn)方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；
（2）直接推理計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.
22．已知函數(shù)，設(shè)m，n為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且.
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)證明：.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析

【分析】（1）由有兩個(gè)不相等正根轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，研究函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合求出a的范圍；
（2）求導(dǎo)，分與兩種情況研究函數(shù)的單調(diào)性，然后利用分析法證明，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，研究函數(shù)單調(diào)性，利用函數(shù)最值證明不等式.
【詳解】（1）由題意，有兩個(gè)不相等正根，
所以有兩個(gè)不相等正根，即有兩個(gè)不相等正根，
記函數(shù)，則，
令，得，令，得，令，得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
令得，且，x無(wú)限趨近于0時(shí)，函數(shù)值無(wú)限趨向于0，
作出函數(shù)的圖象，如圖

要使有兩個(gè)不相等正根，
則函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，
由圖知，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍.
（2）函數(shù)定義域?yàn)椋?br /> 當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，
若時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
若時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
由題意，不妨設(shè)，
先證明.
要證，即證；
因?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞增，
故只需證明，
令，
則，所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，則有，
因?yàn)?，所以，則，故；
再證，即證.
因?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞增，
只需證明，即證，
因?yàn)?，所以?br /> 所以只需證明，
令，
則．令，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，于是，
從而可得在上單調(diào)遞減，故，
所以成立，故.
綜上，.
【點(diǎn)睛】極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的解法：
(1)(對(duì)稱化構(gòu)造法)構(gòu)造輔助函數(shù)：對(duì)結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)；對(duì)結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究F(x)的單調(diào)性獲得不等式.
(2)(比值代換法)通過(guò)代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過(guò)代換化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明.

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