一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.）
1.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（ ）
A. B. C. D.
2.向量，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
3.若平面截球所得截面圓的面積為，且球心到平面的距離為，則球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
4.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不重合的平面，則下列說法正確的是（ ）
A.若，則
B.若，則
C.若，則
D.若，則
5.以下數(shù)據(jù)為某學(xué)校參加學(xué)科節(jié)數(shù)學(xué)競賽決賽的10人的成績：（單位：分），.這10人成績的第百分位數(shù)是85，則（ ）
A.65 B.70 C.75 D.80
6.自1972年慕尼黑奧運會將射箭運動重新列入奧運會項目以來，這項運動逐漸受到越來越多年輕人的喜愛.已知甲?乙兩位射箭運動員射中10環(huán)的概率均為，且甲?乙兩人射箭的結(jié)果互不影響，若兩人各射箭一次，則甲?乙兩人中至少有一人射中10環(huán)的概率為（ ）
A. B. C. D.
7.在四棱錐中，底面是平行四邊形，為的中點，若，則用基底表示向量為（ ）
A. B.
C. D.
8.已知為直線的方向向量，分別為平面的法向量（不重合），則下列說法中，正確的是（ ）
A. B.
C. D.
二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分）
9.下列結(jié)論正確的有（ ）
A.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，恰有一個黑球與至少有一個紅球是互斥事件
B.在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在時結(jié)冰為隨機事件
C.若一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是2，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為
D.某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層隨機抽樣的方法從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為400的樣本進行調(diào)查.若該校一?二?三?四年級本科生人數(shù)之比為，則應(yīng)從四年級中抽取80名學(xué)生
10.下列命題正確的是（ ）
A.若，則與共面
B.若，則共面
C.若，則共面
D.若，則共面
11.在中，角所對的邊分別為，下列結(jié)論正確的是（ ）
A.若，則為銳角三角形
B.若，則
C.若，三角形面積，則
D.若，則為等腰三角形
三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12.已知向量與的夾角為，且，則實數(shù)的值為__________.
13.已知水平放置的按斜二測畫法得到如圖所示的直觀圖，其中，則原的面積為__________.
14.某次聯(lián)歡會上設(shè)有一個抽獎游戲，抽獎箱中共有四種不同顏色且形狀大小完全相同的小球16個，分別代表一等獎?二等獎?三等獎?無獎四種獎項，其中紅球代表一等獎且只有1個，黃球代表三等獎，從中任取一個小球.若中二等獎或三等獎的概率為，小華同學(xué)獲得一次摸獎機會，則他不能中獎的概率是__________.
四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）
15.（13分）已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）.
（1）若是純虛數(shù)，求實數(shù)的值；
（2）設(shè)是的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，求實數(shù)的取值范圍.
16.（15分）已知.
（1）求與的夾角；
（2）求；
（3）若，求的面積.
17.（15分）如圖，在三棱臺中，分別為的中點.
（1）求證：平面；
（2）若，求證：平面平面.
18.（17分）在中，角的對邊分別是，且.
（1）求角的大??；
（2）若為邊上的一點，，且__________.，求的面積.
請在下列兩個條件中選擇一個作為條件補充在橫線上，并解決問題.
①是的平分線；②為線段的中點.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
19.（17分）為進一步推進農(nóng)村經(jīng)濟結(jié)構(gòu)調(diào)整，某村舉辦水果觀光采摘節(jié)，并推出配套鄉(xiāng)村旅游項目.現(xiàn)統(tǒng)計了4月份200名游客購買水果的情況，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）若將購買金額不低于80元的游客稱為“水果達人”，現(xiàn)用按比例分配的分層隨機抽樣的方法從樣本的“水果達人”中抽取5人，求這5人中消費金額不低于100元的人數(shù).
（2）從（1）中的5人中抽取2人作為幸運客戶免費參加鄉(xiāng)村旅游項目，請列出所有的樣本點，并求2人中至少有1人購買金額不低于100元的概率.
（3）為吸引顧客，該村特推出兩種促銷方案.
方案一：每滿80元可減8元；
方案二：金額超過50元但又不超過80元的部分打9折，金額超過80元但又不超過100元的部分打8折，金額超過100元的部分打7折.
若水果的價格為11元/千克，某游客要購買10千克，應(yīng)該選擇哪種方案更優(yōu)惠.
聊城二中高二開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題
一?單選題
1.B 【解析】因為，所以，所以的虛部為.
2.D 解析在上的投影向量為.
3.C 【解析】由平面截球所得截面圓的面積為，得此截面小圓半徑，而球心到此小圓距離，因此球的半徑，有，所以球的表面積
4.C 【解析】在A中，若，則可能相交或平行，故A錯誤：在B中，若，，則與相交?平行或異面，故B錯誤：在C中，若，則由線面垂直的性質(zhì)定理得，故C正確；在D中，若，則由線面垂直的性質(zhì)定理得，故D錯誤.
5.B 【詳解】因為10人成績的第百分位數(shù)是85，
而，即第7位與第8位的平均值，
所以85是這10人成績的第70百分為數(shù).故選：B.
6.D 記“甲射中10環(huán)”為事件，“乙射中10環(huán)”為事件，
甲?乙兩人中至少有一人射中10環(huán)的概率為：
.
7.B【解析】連接，如圖，
因為是的中點，所以
故選：B
8.B 由題意或.
二?多選題
9.答案CD 解析對于A，恰有一個黑球包含的事件是“一黑一紅”，至少有一個紅球包含的事件是
“一紅一黑”和“兩個紅球”，兩個事件有公共事件，所以不是互斥事件，故A錯誤；
對于B，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在時結(jié)冰為不可能事件，故B錯誤；
對于C，眾數(shù)是2，所以平均數(shù)為，故C正確；
對于D，由條件可知應(yīng)從四年級中抽?。W(xué)生，故D正確.
10.ABD 【解析】選項A，根據(jù)共面向量基本定理可知，與共面；所以選項A是正確的；
選項B，根據(jù)共面向量基本定理可知，共面，由于它們有公共點，所以共面；選項C，舉反例說明，若是一個正方體同一個頂點的三條棱所對應(yīng)的向量，則它們的和向量是以為起點的對角線向量，而是該對角線向量的相反向量，
此時顯然四個點不在同一個平面上，所以C選項是錯誤的；選項D，由可得，則，即，則，此時與選項B一樣，可以判斷共面，即D選項是正確的；
11.答案BC 解析A中，，只知為銳角，不一定為銳角三角形，A不正確；
在中，，B正確；對于C項，由，則C正確；由可能是直角三角形D不正確.
二?填空題
12.答案 解析由題意得.因為，所以，解得.
13.答案 解析水平放置的按斜二測畫法得到，其中，可知原的底邊長為4，高為，則原的面積為.
14.答案 解析從16個球中任取一個小球，中二等獎或三等獎的概率為，故可得代表二等獎和三等獎的小球共有7個，又代表一等獎的球有1個，所以代表無獎的球有8個，故小華同學(xué)獲得一次摸獎機會，不能中獎的概率為.
四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）
15.解.
（1）因為是純虛數(shù)，所以解得.
（2）因為是的共軛復(fù)數(shù)，
所以，
所以.因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，
所以解得.所以實數(shù)的取值范圍為.
16.解（1）因為，所以.
又，所以，所以，
所以.又，所以.
（2），所以.
（3）因為與的夾角，
所以.又，
所以.
17.證明（1）如圖，
連接，設(shè)，連接.在三棱臺中，為的中點，
可得，所以四邊形為平行四邊形，
所以為的中點，又為的中點，所以.
又平面平面，所以平面.
（2）連接.因為分別為的中點，
所以.由，得.又為的中點，
所以，因此四邊形是平行四邊形，
所以.又，
所以.又平面，
，所以平面.又平面，
所以平面平面.
18.解（1）由，結(jié)合正弦定理知，
將代入上式得，
.
（2）若選①：平分，
，即.
在中，由余弦定理得，
又.
聯(lián)立得，
解得或（舍去），.
若選②：由題可得，
即，得.
在中，由余弦定理得，又，即，
聯(lián)立可得.
19.解（1）由題圖可知，消費金額在[內(nèi)的“水果達人”的人數(shù)為，消費金額在內(nèi)的“水果達人”的人數(shù)為，現(xiàn)用按比例分配的分層隨機抽樣的方法從樣本的“水果達人”中抽取5人，則這5人中消費金額不低于100元的人數(shù)為.
（2）消費金額在內(nèi)的3個“水果達人”記為，
消費金額在內(nèi)的2個“水果達人”記為.
所有樣本點有，共10種，
2人中至少有1人購買金額不低于100元的有7種，
所以2人中至少有1人購買金額不低于100元的概率為.
（3）由題可知該游客要購買110元的水果.
若選擇方案一，則需支付（元），
若選擇方案二，則需支付（元），所以應(yīng)該選擇方案二更優(yōu)惠.

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