(藝考)新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)高頻考點選填題型精講精練專題15 等差數(shù)列（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考向：高考側(cè)重于等差數(shù)列的基本量運(yùn)算、數(shù)列的概念及表示法的理解等，主要考查考生對基本方法與基本技能的掌握。
考點：等差數(shù)列及其性質(zhì)，等差數(shù)列的前n項和。
導(dǎo)師建議：抓住是解決問題的關(guān)鍵，化簡也是朝著這個方向勇敢的去做！
二、知識點匯總
1.數(shù)列的第n項與前n項的和的關(guān)系
( 數(shù)列的前n項的和為).
2.等差數(shù)列的通項公式
；
3、等差中項：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項，且。
4、等差數(shù)列前n項和公式為.
【常用結(jié)論】
1.
2.;
3.構(gòu)成等差數(shù)列.
4.是關(guān)于的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，數(shù)列也是等差數(shù)列.
5.在等差數(shù)列，中，它們的前項和分別記為則.
三、題型專項訓(xùn)練
目錄一覽
①等差數(shù)列基本量的計算
一、單選題
1．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出等差數(shù)列的公差的值，即可得出，即為所求.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，因此，.
故選：C.
2．已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（）
A．3B．4C．7D．8
【答案】B
【分析】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為d，可得，解方程即可得出答案.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為d，
∵．∴．解得:，∴.
故選：B．
3．在等差數(shù)列中，若，，則的公差為（）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，列出方程，解之即可.
【詳解】設(shè)的公差為，則，解得．
故選：B．
4．已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，，則（）
A．15B．16C．17D．18
【答案】C
【分析】利用等差數(shù)列的通項公式求解即可.
【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，
所以，解得，所以，
故選：C
5．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，年，英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲，年英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合年由高斯得到的關(guān)于問余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”，此定理講的是關(guān)于整除的問題，現(xiàn)將到這個數(shù)中，所有能被除余且被除余的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則該數(shù)列共有（）
A．項B．項C．項D．項
【答案】A
【分析】先求出數(shù)列的通項公式，然后根據(jù)數(shù)列的通項公式求解項數(shù).
【詳解】所有能被除余且被除余的數(shù)就只能是被除余的數(shù)，
所以，，
由可得，解得，因此，數(shù)列共有項.
故選：A.
②等差數(shù)列的前n項和
6．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，且，則的公差為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用等差數(shù)列的求和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)可求得的值，即可求得數(shù)列的公差.
【詳解】因為，，則，
因此，等差數(shù)列的公差為.
故選：B.
7．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則公差為（）
A．B．6C．4D．8
【答案】B
【分析】由等差數(shù)列的求和公式以及通項公式列出方程組，得出公差.
【詳解】由題意可得，解得
故選：B
8．設(shè)等差數(shù)列前項和為，若，，則（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求得，即可求得答案
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得，故，
由可得，故，所以，所以
故選：C
9．記等差數(shù)列的前n項和為，已知，，則（）
A．60B．70C．80D．100
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列求和公式和通項公式得，，再求和即可.
【詳解】由是等差數(shù)列可得，∴，
又，∴公差，，∴．
故選：C
10．記為等差數(shù)列的前項和.已知，，則（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先利用等差數(shù)列的通項公式和求和公式列方程求出，進(jìn)而可得等差數(shù)列的通項公式及求和公式，對照選項可得答案.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
，解得，
，
故選：D.
③等差數(shù)列的性質(zhì)
11．在等差數(shù)列中，，則（）．
A．3B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】應(yīng)用等差數(shù)列項數(shù)相同且下標(biāo)和相等的性質(zhì)即可確定答案.
【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)知：.
故選：C.
12．在等差數(shù)列中，設(shè)其前項和為，若，則（）
A．4B．13C．26D．52
【答案】C
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得結(jié)果．
【詳解】，，
故選：C．
13．設(shè)為等差數(shù)列的前n項和，若，則（）
A．9B．6C．3D．0
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前n項和公式及等差數(shù)列性質(zhì)計算作答.
【詳解】等差數(shù)列的前n項和為，則，解得，
所以.
故選：B
14．北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌若干塊扇面形石板構(gòu)成第1環(huán)，依次向外共砌27環(huán)，從第2環(huán)起，每環(huán)依次增加相同塊數(shù)的扇面形石板．已知最內(nèi)3環(huán)共有54塊扇面形石板，最外3環(huán)共有702塊扇面形石板，則圜丘壇共有扇面形石板（不含天心石）（）
A．3339塊B．3402塊C．3474塊D．3699塊
【答案】B
【分析】依題意每層扇面形石板的塊數(shù)成等差數(shù)列設(shè)為，其中，，根據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)求出，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式求出即可.
【詳解】解：依題意每層扇面形石板的塊數(shù)成等差數(shù)列設(shè)為，其中，，所以，所以所以，故圜丘壇共有扇面形石板（不含天心石）塊.
故選：B
15．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，進(jìn)而可求解.
【詳解】由得，所以，
故選：A
16．等差數(shù)列中，，則的等差中項是（）
A．9B．3C．12D．6
【答案】D
【分析】利用等差數(shù)列前項和公式及等差數(shù)列通項公式的性質(zhì)，可以求得，接著利用等差數(shù)列通項公式的性質(zhì)即可求出，的等差中項.
【詳解】，，
，即，，.
故選：D
17．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，且，，成等差數(shù)列，則（）
A．7B．12C．15D．31
【答案】C
【分析】設(shè)出公比，根據(jù)，，成等差數(shù)列列出方程，求出公比，利用等比數(shù)列求和公式得到答案.
【詳解】設(shè)公比為，因為，，成等差數(shù)列，所以，
則，解得：或0（舍去）.因為，所以，故.
故選：C
18．已知等比數(shù)列的前n項和為，且，，成等差數(shù)列，，則（）
A．B．C．48D．96
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，由條件得到關(guān)于與的方程，即可得到，從而得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因為成等差數(shù)列，
所以，即，又，
所以，解得，所以
故選:C
④等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)
19．已知等差數(shù)列的公差不為，其前項和為，且，，當(dāng)取得最小值時，（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得出，然后解不等式，可得出當(dāng)取得最小值時對應(yīng)的的值.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得，
整理可得，所以，，
令，即，解得，因此，當(dāng)取最小值時，.
故選：C.
20．等差數(shù)列的前項的和為，已知，，則等差數(shù)列的前項的和中，最小值為（）.
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，確定等差數(shù)列的所有負(fù)數(shù)項即可推理作答.
【詳解】等差數(shù)列的前項的和為，由，得，則，
由，得，，
等差數(shù)列的公差，即數(shù)列是遞增的，前5項均為負(fù)數(shù)，從第6項起均為正數(shù)，
所以等差數(shù)列的前5項的和最小，即最小值為.
故選：A
21．已知等差數(shù)列的前項和為，，，當(dāng)取最大值時的值為（）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】先利用等差數(shù)列求和公式得到，再判斷公差，判斷數(shù)列的單調(diào)性，即得取最大值時的值.
【詳解】，所以，
又，故，故公差，
所以是遞減數(shù)列，前9項為正，其余項為負(fù)，即時，取最大值.
故選：C.
22．等差數(shù)列的前項和為，，則取最大值時的為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用等差數(shù)列的前項和公式得出，利用等差數(shù)列的通項公式可得，進(jìn)而求出其通項公式，判斷出，即可得出取最大值時的值.
【詳解】由題可知，則，
又，則，則
因此，故取最大值時的n值為7
故選：A.
23．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則（）
A．且B．且
C．且D．且
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，利用等差數(shù)列求和公式和等差中項性質(zhì)可判斷，的正負(fù).
【詳解】因為，所以，因為，所以，
故選：C.
24．已知是等差數(shù)列的前項和，且，，則下列選項正確的是（）
A．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列B．
C．的最大值為D．
【答案】B
【分析】由已知條件得出和公差，進(jìn)而得出各項與0的大小關(guān)系，逐項分析判斷即可得解.
【詳解】由題意，，
在數(shù)列中，，且，∴，故B正確；
∴公差，數(shù)列為遞減數(shù)列，A錯誤；
∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，的最大值為，故C錯誤；
，故D錯誤.
故選：B.
⑤等差數(shù)列中和的關(guān)系
25．設(shè)數(shù)列的前項和為，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】利用公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】由于數(shù)列的前項和，所以，，所以.
故選：A
26．已知數(shù)列的前n項和是（）
A．20B．18C．16D．14
【答案】A
【分析】由數(shù)列的前n項和公式分別求得，即可得到和.
【詳解】由，所以，，
所以，
故選：A.
27．已知數(shù)列的前n項和為，滿足，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)通項與前n項和的關(guān)系，分與兩種情況分別求解即可.
【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，，且當(dāng)時也滿足.
故.
故選：D
28．已知數(shù)列的前項和為，則（）
A．13B．15C．17D．19
【答案】A
【分析】利用即可得答案.
【詳解】，
故選：
【點睛】本題主要考查了求數(shù)列某項的值，屬于基礎(chǔ)題.
29．已知為數(shù)列的前項和，且滿足，則（）
A．27B．28C．29D．30
【答案】B
【分析】首先根據(jù)前n項和，求出，然后即可求出結(jié)果.
【詳解】因為，當(dāng)時，，
當(dāng)時，經(jīng)檢驗，當(dāng)時不符合，所以，.
故選：B.
30．已知數(shù)列的前項和，則下列結(jié)論正確的是（）
A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列
B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列
C．，，成等差數(shù)列
D．，，成等差數(shù)列
【答案】D
【分析】由與的關(guān)系推導(dǎo)出數(shù)列的通項公式，判斷選項A，B，分別計算出，，和，，，再由等差數(shù)列中項的性質(zhì)判斷選項C，D.
【詳解】，
∴時，
時，．時，不滿足
∴數(shù)列不是等差數(shù)列；
，因此數(shù)列不是單調(diào)遞增數(shù)列；
，因此，，不成等差數(shù)列．
．．∴成等差數(shù)列．
故選：D
31．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2﹣5n+2，則數(shù)列{|an|}的前10項和為（）
A．56B．58C．62D．60
【答案】D
【分析】求出數(shù)列{an}的正負(fù)分界點，a3＝S3﹣S2＝（﹣4）﹣（﹣4）＝0，數(shù)列{|an|}的前10項和：S＝S10﹣2S3即可得解.
【詳解】Sn＝n2﹣5n+2的最小值是當(dāng)n2.5時取得，
∵n是自然數(shù)，取值計算：
n＝2時，Sn＝22﹣5×2+2＝﹣4，
n＝3時，Sn＝32﹣5×3+2＝﹣4，
a3＝S3﹣S2＝（﹣4）﹣（﹣4）＝0，
∴n≥4時，an＞0，n≤3時，an≤0，a1＝S1＝1﹣5+2＝﹣2，
∴數(shù)列{|an|}的前10項和：
S＝S10﹣2S3＝（100﹣50+2）﹣2（9﹣15+2）＝60．故選：D．
32．?dāng)?shù)列的前項和為，若()，且，則的值為（）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由時，，可得、，再由，可得
【詳解】當(dāng)時，，則、，
又∵，則，
所以，
故選：C.
【點睛】本題考查了，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題目.
33．已知正項數(shù)列的前n項和為，且，則（）
A．4045B．4042C．4041D．4040
【答案】A
【分析】根據(jù)與的關(guān)系，由的的遞推關(guān)系式，由時，確定首項，即可得，于是能求解的值.
【詳解】解：∵ ①，
∴當(dāng)時， ②，
①-②得，
∵，∴，∴，∴當(dāng)時，，解得
∴是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則，于是有．
故選：A．
⑥多選題與填空題
二、多選題
34．已知公差為的等差數(shù)列中，其前項和為，且，則（）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】利用等差數(shù)列的通項公式和前項和的性質(zhì)，列方程求出公差，即可得數(shù)列通項,驗證各選項是否正確.
【詳解】公差為的等差數(shù)列中，其前項和為，且，
則，解得，所以，A選項正確；
，B選項正確；
，C選項正確；
，，D選項錯誤.
故選：ABC
35．已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列單調(diào)遞增，且，則（）
A．公差的取值范圍是B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由,,且，可判斷A，由等差數(shù)列的性質(zhì)可判斷BD，由作差法可判斷C.
【詳解】解：由題意得,,，
所以，解得，所以，故A錯誤；
由，故B正確；
由，故，C選項正確；
由等差數(shù)列性質(zhì)，，故D正確.
故選：BCD
36．某公司超額完成上一年度制定的銷量計劃，準(zhǔn)備在年終獎的基礎(chǔ)上再增設(shè)20個“幸運(yùn)獎”，隨機(jī)抽取“幸運(yùn)獎”，按照名次，發(fā)放的獎金數(shù)由多到少依次成等差數(shù)列.已知第3名對應(yīng)的“幸運(yùn)獎”獎金為1500元，前8名對應(yīng)的“幸運(yùn)獎”獎金共11400元，則（）
A．第1名對應(yīng)的“幸運(yùn)獎”獎金為1600元
B．第1名對應(yīng)的“幸運(yùn)獎”獎金為1650元
C．該公司共需準(zhǔn)備“幸運(yùn)獎”獎金22000元
D．該公司共需準(zhǔn)備“幸運(yùn)獎”獎金22500元
【答案】AD
【分析】建立等差數(shù)列模型，設(shè)第1名，第2名，…，第20名所得“幸運(yùn)獎”獎金分別為元，元，…，元，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和求和公式可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)第1名，第2名，…，第20名所得“幸運(yùn)獎”獎金分別為元，元，…，元，
等差數(shù)列的前n項和為，公差為d，
依題意可知，，
解得，，則，
故第1名對應(yīng)的“幸運(yùn)獎”獎金為1600元，該公司共需準(zhǔn)備“幸運(yùn)獎”獎金22500元.
故選：AD
37．傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦?shù)分成許多類，如圖中第一行的1，3，6，10稱為三角形數(shù)，第二行的1，4，9，16稱為正方形數(shù).下列數(shù)中，既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（）
A．36B．289C．1225D．1378
【答案】AC
【分析】由題意，整理數(shù)列的通項公式，建立方程，可得答案.
【詳解】由題意，三角形數(shù)可看作，，，，
則第三角形數(shù)為；
正方形數(shù)可看作，，，，，則第個正方形數(shù)為；
對于A，令，解得，令，解得，故A正確；
對于B，令，解得，令，其解顯然不是正整數(shù)，故B錯誤；
對于C，令，解得，令，解得，故C正確；
對于D，令，顯然其解布置正整數(shù)，故D錯誤.
故選：AC.
38．?dāng)?shù)列滿足，，則（）
A．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列B．
C．點()都在直線D．?dāng)?shù)列的前項和的最大值為32
【答案】AC
【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式，可判斷數(shù)列的單調(diào)性及，可判斷A；又可得數(shù)列為等差數(shù)列，求得等差數(shù)列通項公式，即可判斷B,C；由等差數(shù)列的前項和公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得的最大值，可判斷D.
【詳解】數(shù)列滿足，，即，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，故A正確；
且數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以，則點()都在直線上，故B不正確，C正確；數(shù)列的前項和，
又因為，所以時，，時，，則的最大值為，故D不正確.
故選：AC.
39．已知等差數(shù)列的首項為，公差為，前項和為，且，則下列說法中正確的是（）
A．B．是遞減數(shù)列
C．為遞減數(shù)列D．是公差為的等差數(shù)列
【答案】BCD
【分析】對A，直接求值判斷；
對B，由二次函數(shù)單調(diào)性判斷；
對C，由與的關(guān)系求出通項公式判斷；
對D，，由通項公式即可判斷.
【詳解】對A，，A錯；
對B，由，為其對稱軸，則在單調(diào)遞減，則由可知是遞減數(shù)列，B對；
對C，時，.
又符合上式，故的通項公式為，單調(diào)遞減，C對；
對D，，則，故是公差為的等差數(shù)列，D對.
故選：BCD.
40．設(shè)，分別為等差數(shù)列的公差與前n項和，若，則下列論斷中正確的有（）
A．當(dāng)時，取最大值B．當(dāng)時，
C．當(dāng)時，D．當(dāng)時，
【答案】BCD
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，則
由，得，解得，
所以，
當(dāng)時，當(dāng)時，取最小值；當(dāng)時，當(dāng)時，取最大值；故A錯誤；
當(dāng)時，，故B正確；
當(dāng)時，，故C正確；
當(dāng)時，，，
所以，故D正確.
故選：BCD.
41．已知等差數(shù)列的公差為d，前n項和為，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】先求出，，判斷出，得到等差數(shù)列為遞增數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)對四個選項一一驗證.
【詳解】因為，所以，，
所以.故A錯誤，B正確；
因為，所以等差數(shù)列為遞增數(shù)列.
因為，所以，，
所以.故C正確；
因為，所以.故D正確.
故選：BCD
三、填空題
42．記等差數(shù)列的前n項和為，已知，，則的通項公式為______.
【答案】
【分析】運(yùn)用等差數(shù)列通項公式及等差數(shù)列前n項和公式的基本量代入計算即可.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，，
，
所以.
故答案為：.
43．已知等差數(shù)列，，=___________
【答案】e
【分析】由等差中項的性質(zhì)計算即可.
【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)可知：，
又，故.
故答案為：e
44．若數(shù)列{}為等差數(shù)列，，則數(shù)列{}的前9項和=__________.
【答案】
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到，代入數(shù)據(jù)計算得到答案.
【詳解】.
故答案為：
45．?dāng)?shù)列的前項和，則該數(shù)列的通項公式為______.
【答案】
【分析】由可求得數(shù)列的通項公式.
【詳解】當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
不滿足.
所以，.
故答案為：.
46．正項數(shù)列的前n項和滿足，則數(shù)列的通項公式為______.
【答案】
【分析】，，兩式相減得到，當(dāng)時，解得，得到通項公式.
【詳解】，，
兩式相減得到，
正項數(shù)列，故，得到，
當(dāng)時，，解得或（舍去），
故數(shù)列為首項為1公差為1的等差數(shù)列，故.
故答案為：
47．若兩個等差數(shù)列，的前n項和分別是，，已知，則______.
【答案】
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，把轉(zhuǎn)化為求解.
【詳解】因為，為等差數(shù)列，所以，
因為，所以.
故答案為：.
48．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，，則當(dāng)______時，最大．
【答案】1011
【分析】利用等差數(shù)列的求和公式及性質(zhì)求解.
【詳解】因為為等差數(shù)列，所以，即；
同理由可得，所以，所以當(dāng)時，最大．
故答案為：1011.
四、高考真題及模擬題精選
一、單選題
1．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）
A．3699塊B．3474塊C．3402塊D．3339塊
【答案】C
【分析】第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，
設(shè)為的前n項和，由題意可得，解方程即可得到n，進(jìn)一步得到.
【詳解】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，
則是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，，
設(shè)為的前n項和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分
別為，因為下層比中層多729塊，
所以，
即
即，解得，
所以.
故選：C
【點晴】本題主要考查等差數(shù)列前n項和有關(guān)的計算問題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
【答案】D
【分析】設(shè)，則可得關(guān)于的方程，求出其解后可得正確的選項.
【詳解】設(shè)，則，
依題意，有，且，
所以，故，
故選：D
3．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，對應(yīng)的寬為(單位: cm),且長與寬之比都相等，已知，，，則
A．64B．96C．128D．160
【答案】C
【分析】設(shè)等差數(shù)列公差為，求得，得到，結(jié)合黨旗長與寬之比都相等和，列出方程，即可求解.
【詳解】由題意，五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，
因為，，可得，
可得，
又由長與寬之比都相等，且，可得，所以.
故選：C.
4．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知是各項均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為（）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【分析】使數(shù)列首項、遞增幅度均最小，結(jié)合等差數(shù)列的通項及求和公式求得可能的最大值，然后構(gòu)造數(shù)列滿足條件，即得到的最大值．
【詳解】若要使n盡可能的大，則，遞增幅度要盡可能小，
不妨設(shè)數(shù)列是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，其前n項和為，
則，，
所以.
對于，，
取數(shù)列各項為(，,則，所以n的最大值為11．
故選：C．
5．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”的（）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，利用等差數(shù)列的通項公式結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過的最大整數(shù).
若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，
若，則當(dāng)時，；若，則，
由可得，取，則當(dāng)時，，
所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”；
若存在正整數(shù)，當(dāng)時，，取且，，
假設(shè)，令可得，且，
當(dāng)時，，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.
所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”.
所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時，”的充分必要條件.
故選：C.
6．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（）
A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可得，，而，即可表示出題中，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷各等式是否成立．
【詳解】對于A，因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，，A正確；
對于B，由題意可知，，，
∴，，，．
∴，．
根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，B正確；
對于C，，
當(dāng)時，，C正確；
對于D，，，
．
當(dāng)時，，∴即；
當(dāng)時，，∴即，所以，D不正確．
故選：D.
【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
二、填空題
7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和．若，則公差_______．
【答案】2
【分析】轉(zhuǎn)化條件為，即可得解.
【詳解】由可得，化簡得，
即，解得.
故答案為：2.
8．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和．若，則__________．
【答案】
【分析】因為是等差數(shù)列，根據(jù)已知條件，求出公差，根據(jù)等差數(shù)列前項和，即可求得答案.
【詳解】是等差數(shù)列，且，
設(shè)等差數(shù)列的公差
根據(jù)等差數(shù)列通項公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根據(jù)等差數(shù)列前項和公式：
可得：
.
故答案為：.
【點睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的前項和，解題關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列的前項和公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
9．（2020·海南·高考真題）將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為________．
【答案】
【分析】首先判斷出數(shù)列與項的特征，從而判斷出兩個數(shù)列公共項所構(gòu)成新數(shù)列的首項以及公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得結(jié)果.
【詳解】因為數(shù)列是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，
數(shù)列是以1首項，以3為公差的等差數(shù)列，
所以這兩個數(shù)列的公共項所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項，以6為公差的等差數(shù)列，
所以的前項和為，
故答案為：.
【點睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識點有兩個等差數(shù)列的公共項構(gòu)成新數(shù)列的特征，等差數(shù)列求和公式，屬于簡單題目.
五、題型精練，鞏固基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023·重慶·統(tǒng)考一模）2022年10月16日上午10時，中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會在北京人民大會堂隆重開幕．某單位組織全體黨員在報告廳集體收看黨的二十大開幕式，認(rèn)真聆聽習(xí)近平總書記向大會所作的報告．已知該報告廳共有15排座位，共有390個座位數(shù)，并且從第二排起，每排比前一排多2個座位數(shù)，則最后一排的座位數(shù)為（）
A．12B．26C．40D．50
【答案】C
【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問題,應(yīng)用等差數(shù)列通項公式和前項和公式,基本量運(yùn)算即可求解.
【詳解】根據(jù)題意, 把各排座位數(shù)看作等差數(shù)列,
設(shè)等差數(shù)列通項為,首項為,公差為,前項和為,則,
,所以,即得，
故選:
2．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列的前5項和，且滿足，則等差數(shù)列{an}的公差為（）
A．-3B．-1C．1D．3
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得到，，解得答案.
【詳解】；，解得，.
故選：D
3．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知是等差數(shù)列的前n項和，若，，則（）
A．15B．20C．25D．－25
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和公式求得首項和公差即可求解.
【詳解】設(shè)公差為，
則有，即，
聯(lián)立解得，所以，
故選:B.
4．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前n項和為，且，，成等差數(shù)列，，則（）
A．B．C．48D．96
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，由條件得到關(guān)于與的方程，即可得到，從而得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因為成等差數(shù)列，
所以，即，
又，所以，解得所以
故選:C
5．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前9項之和為（）
A．24B．27C．48D．54
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)求出，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算可得.
【詳解】解：在等差數(shù)列中，，則
所以，又，
所以，所以.
故選：B
6．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）記等差數(shù)列的前項和為，若，則（）
A．4B．8C．12D．16
【答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前和公式及等差數(shù)列性質(zhì)可求得，則可得的值.
【詳解】根據(jù)數(shù)列為等差數(shù)列，則，
所以，所以，
故選：C.
7．（2022·河南商丘·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項和為，若，則下列說法錯誤的是（）
A．若，則為遞增數(shù)列B．若，則
C．若，則D．對任意正整數(shù)，有
【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件求得的關(guān)系，然后對選項逐一分析，從而確定正確答案.
【詳解】由于等差數(shù)列滿足，
所以.
A選項，若，則，所以是遞增數(shù)列，A選項正確.
B選項，若，，，
，B選項正確.
C選項，，C選項正確.
D選項，當(dāng)時，，
所以，D選項錯誤.
故選：D
8．（2022·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列滿足，則下列命題：①是遞減數(shù)列；②使成立的的最大值是9；③當(dāng)時，取得最大值；④，其中正確的是（）
A．①②B．①③
C．①④D．①②③
【答案】D
【分析】設(shè)出公差為，列出方程組，求出首項和公差，根據(jù)判斷①正確，
寫出，解不等式求出成立的的最大值是9，②正確；
根據(jù)與，得到當(dāng)時，取得最大值，③正確；
利用通項公式求出的值，得到④錯誤.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
故，解得：，
由于，故是遞減數(shù)列，①正確；
，令，
解得：，且，
故使成立的的最大值是9，②正確；
，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故當(dāng)時，取得最大值，③正確；
，④錯誤.
故選：D
9．（2022·北京東城·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前項和，則是（）
A．公差為2的等差數(shù)列B．公差為3的等差數(shù)列
C．公比為2的等比數(shù)列D．公比為3的等比數(shù)列
【答案】A
【分析】根據(jù)數(shù)列的第項與前項和的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】因為，
所以當(dāng)時，有，
，得，
當(dāng)時，適合上式，
因為，
所以該數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，
故選：A
10．（2021·甘肅·統(tǒng)考二模）設(shè)是數(shù)列的前項和，若，則（）．
A．4043B．4042C．4041D．2021
【答案】A
【分析】法一：由可得；
法二：由數(shù)列公式，先求通項，再代入求出.
【詳解】法一：；
法二：，當(dāng)時，，
當(dāng)時，.
當(dāng)時，也適合上式，，則.
故選：A.
【點睛】（1）設(shè)是數(shù)列的前項和，是等差數(shù)列.
（2）已知求，應(yīng)用公式時，一要注意不要忽略時的情況，二要注意時的成立條件.
11．（2020·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，，則（）
A．30B．29C．28D．27
【答案】B
【分析】本題直接使用借求解題即可.
【詳解】解：，，
，,
，
故選：B
【點睛】本題考查，是簡單題.
12．（2023·廣東東莞·?？寄M預(yù)測）設(shè)為數(shù)列的前項和.若，則“”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】用定義法，分充分性和必要性分別進(jìn)行討論.
【詳解】因為為數(shù)列的前項和，且，
所以當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
所以
充分性：當(dāng)時，.所以；；.滿足，所以充分性滿足；
必要性：由可得：，，，符合，但是不能推出.所以必要性不滿足.
故“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
二、多選題
13．（2022·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項和為，已知，，則（）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】由已知條件列方程組求出，然后逐個分析判斷即可
【詳解】對于AB，因為，，
所以，解得，，
所以AB正確，
對于C，所以，對稱軸為，因為，所以當(dāng)時，取得最大值，所以，所以C錯誤，
對于D，令，則，解得，或，因為，所以，所以，所以D錯誤，
故選：AB
14．（2022·廣東江門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，則下列說法正確的是（）
A．是遞增數(shù)列B．
C．當(dāng)，或17時，取得最大值D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)，利用數(shù)列前n項和與通項之間的關(guān)系，求得通項公式后，再逐項判斷.
【詳解】因為，
所以
兩式相減得，
當(dāng)時，適合上式，
所以，
因為，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，
由，解得，且
所以當(dāng)或17時，取得最大值，
所以，
，
.
故選：BC
15．（2022·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則（）
A．B．
C．當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值D．
【答案】AB
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式進(jìn)行求解判斷即可.
【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為d，由，，
得解得，，
所以，，則，，A，B正確；
令，得，且，則或時，取最小值，C不正確；因為，所以，D不正確．
故選：AB
16．（2022·湖南永州·統(tǒng)考三模）已知等差數(shù)列是遞減數(shù)列，為其前項和，且，則（）
A．B．
C．D．、均為的最大值
【答案】BD
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及其前項和的性質(zhì)，逐個選項進(jìn)行判斷即可求解
【詳解】因為等差數(shù)列是遞減數(shù)列，所以，，所以，，故A錯誤；
因為，所以，故B正確；
因為，故C錯誤；
因為由題意得，，所以，，故D正確；
故選：BD
三、填空題
17．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）記等差數(shù)列的前n項和為，若，則___．
【答案】33
【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)求出首項和公差，再利用前n項公式計算作答.
【詳解】等差數(shù)列中，，由得，則公差，
首項，所以.
故答案為：33
18．（2022·吉林長春·長春吉大附中實驗學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，若，則___________.
【答案】0
【分析】首先根據(jù)題意得到，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.
【詳解】由已知得，故.
故答案為：0
19．（2022·全國·哈師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，且，則______．
【答案】
【分析】根據(jù)題設(shè)條件，求得，在結(jié)合求和公式，即可求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，
因為，可得，又因為.
故答案為：.
20．（2023·全國·模擬預(yù)測）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng)卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何現(xiàn)有這樣一個相關(guān)的問題：被除余且被除余的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，則的最小值為__________．
【答案】
【分析】先由“兩個等差數(shù)列的公共項構(gòu)成的新的等差數(shù)列的公差為兩個等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)”得，再應(yīng)用基本不等式求得的最小值.
【詳解】解：被除余且被除余的正整數(shù)按照從小到大的順序所構(gòu)成的數(shù)列是一個首項為，公差為的等差數(shù)列，則
∴
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，∴ 的最小值為．
故答案為：.
21．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列（）滿足，則__________.
【答案】1
【分析】利用等差中項的性質(zhì)可得，進(jìn)而可求結(jié)果.
【詳解】由題設(shè)，所以，即.
故答案為：1
22．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知是等差數(shù)列的前n項和，，，則使成立的n的最小值為______．
【答案】5
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和前項和公式列方程得到，，即可得到，然后列不等式求解即可.
【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題知，解得，，
∴，由，解得，∵，∴．
故答案為：5.
①等差數(shù)列基本量的計算
②等差數(shù)列的前n項和
③等差數(shù)列的性質(zhì)
④等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)
⑤等差數(shù)列中和的關(guān)系
⑥多選題與填空題
高考題及模擬題精選
題型精練，鞏固基礎(chǔ)

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