（藝術生高考）高考數學一輪復習（基礎版）考點32 對數函數（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習網

對數函數的概念：函數y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是(0，＋∞).
y＝lgax的3個特征
（1）底數a>0，且a≠1
(2)自變量x>0
(3)函數值域為R
三．對數函數y＝lgax(a>0，且a≠1)的圖象與性質
四．反函數
指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)與對數函數y＝lgax(a>0，且a≠1)互為反函數，它們的圖象關于直線y＝x對稱．
考向分析
考向一對數函數辨析
【例1】（2020·全國課時練習）下列函數為對數函數的是（）
A．y＝lgax＋1(a＞0且a≠1) B．y＝lga(2x)(a＞0且a≠1)
C．y＝lg(a－1)x(a＞1且a≠2) D．y＝2lgax(a＞0且a≠1)
【答案】C
【解析】根據對數函數的定義，可得判定，只有函數且復數對數函數的概念，所以函數且是對數函數，而選項A、B、D中的函數只能是對數型函數，不是對數函數.故選：C.
【舉一反三】
1．（2020·全國單元測試）下列函數是對數函數的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由對數函數的定義：形如且的形式，則函數為對數函數，只有D符合.
故選D
2．（2021·全國高一）下列函數表達式中，是對數函數的有（）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.
A．1個B．2個
C．3個D．4個
【答案】B
【解析】由于①中自變量出現在底數上，①不是對數函數；
由于②中底數不能保證，且，②不是對數函數；
由于⑤⑦的真數分別為，，⑤⑦也不是對數函數；
由于⑥中的系數為2，⑥也不是對數函數；只有③④符合對數函數的定義.故選：B
3．（2020·全國練習）下列函數，是對數函數的是
A．y=lg10xB．y=lg3x2
C．y=lnxD．y=lg（x–1）
【答案】C
【解析】由對數函數的定義，形如y=lgax（a>0，a≠1）的函數是對數函數，由此得到：y=lg10x=x，
y==2、y=都不是對數函數，只有y=lnx是對數函數．故選C．
考向二對數函數的定義域
【例2】（1）（2020·云南省保山第九中學高三開學考試（理））函數的定義域是（）
A．B．C．D．
（2）（2021·湖北鄂州市·高一期末）已知的定義域為，那么的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】（1）A（2）A
【解析】對于函數，有，解得，
因此，函數的定義域是.故選：A.
（2）由條件可知恒成立，即，解得：，所以的取值范圍是.故選：A
【舉一反三】
1．（2021·四川資陽市）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】已知函數的定義域為，對于函數，有，
即，解得.因此，函數的定義域為.故選：D.
2.（2021·廣西期末）函數的定義域為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由題意可知解得且.所以函數的定義域為故選：D
3．（2021·全國高一課時練習）函數的定義域是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由題可得，，解得．所以函數的定義域是．故選：D．
4．（2021·全國練習）函數的定義域是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，即，解得，
所以的定義域是故選：A
考向三對數函數的單調性
【例3-1】（2021·四川高一開學考試）函數的單調遞增區(qū)間為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意，函數應滿足：，解得：；
而在上單增，在上單減；
∵是減函數，
∴的單調遞增區(qū)間為
故選：D
【例3-2】（2021·吳縣中學）函數在上單調遞增，則實數a的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設，則要使在上單調遞增，
則滿足，即，得，
即實數的取值范圍是，
故選：．
【例3-3】．（2021·浙江）已知，，，則，，的大小關系是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，即；
，即；
，即，
所以.
故選：A
【方法總結】
比較對數值大小的常見類型及解題方法
常見類型
解題方法
底數為同一常數
可由對數函數的單調性直接進行判斷
底數為同一字母
需對底數進行分類討論
底數不同，真數相同
可以先用換底公式化為同底后，再進行比較
底數與真數都不同
常借助1，0等中間量進行比較
【舉一反三】
1．（2021·重慶北碚區(qū)·西南大學附中）函數的單調遞增區(qū)間是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】對于函數，，解得或，
所以，函數的定義域為.
內層函數在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，
外層函數為增函數，
因此，函數的單調遞增區(qū)間為.
故選：D.
2．（2021·廣東廣州市·高三二模）已知，，，則（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，即；
，即.
所以.
故選：D
3．（2021·陜西西安市·西安中學高三月考（理））設函數，則使得成立的x的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】函數的定義域為，
，可得是偶函數，
所以等價于
當時，
因為單調遞增，單調遞減，
所以為單調遞增函數，
所以，即，整理可得，
解得：或，
所以使得成立的x的取值范圍是，
故選：B
4．（2021·廣東珠海市）已知，，，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，，則，
所以，
故選：B
5．（2021·湖北開學考試）已知，，，則下列關系正確的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為，，，
所以，故選：D．
8．（2021·全國）若函數在上是單調增函數，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由題意得，設，根據對數函數及復合函數單調性可知：
在上是單調增函數，且，所以，所以，
故選:C．
9（2021·全國課時練習）函數在區(qū)間內單調遞增，則的取值范圍（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，
因為函數在區(qū)間內單調遞增，
所以t在上遞減，且恒成立,
即，且，
解得，又，即，
所以，
所以的取值范圍，
故選：C
考向四對數函數的值域
【例4-1】（2021·廣西玉林市）若函數的值域為，則實數的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題可知，函數的值域包含，當時，符合題意；
當時，則，解得；
當時，顯然不符合題意，故實數的取值范圍是．
故選：A.
【例4-2】（2021·貴州畢節(jié)市）已知函數的值域為，則實數a的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】時，，
又的值域為，則時，的值域包含，
，解得：.
故選：B
【舉一反三】
1．（2021·重慶）已知函數的值域為，則實數的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】當時，，則，
所以，函數在區(qū)間上的值域包含，
所以，存在，使得，即，
而函數在區(qū)間上為增函數，，.
故選：D.
2．（2020·新疆烏魯木齊市·烏魯木齊101中學）求下列函數的定義域與值域：
（1）；
（2）.
【答案】（1）定義域是，值域是；（2）定義域是，值域是.
【解析】（1）對于函數，有，可得，
由于，則，
因此，函數的定義域為，值域是；
（2），，則，
因此，函數的定義域是，值域是.
考向五對數函數的定點
【例5】（2021·四川開學考試）函數（，且）的圖象一定經過的點是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，，則，即函數圖象過定點．故選：B．
【舉一反三】
1．（2020·平羅中學）函數的圖像一定經過點（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】當，即時，，即函數的圖象一定經過點.故選：B.
2．（2020·平羅中學）函數的圖象過定點（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為對數函數且過定點，
函數可以由數向左平移個單位，再向上平移個單位得到，
故函數的圖象過定點
故選：D.
3．（2020·河南信陽市）函數的圖像恒過定點，點在冪函數的圖像上，則（）
A．2B．3C．8D．9
【答案】D
【解析】由可得當時，，，
設，則，解得，于是，∴.故選：D.
強化練習
一、單選題
1．（2021·全國課時練習）若某對數函數的圖象過點，則該對數函數的解析式為（）
A．B．
C．或D．不確定
【答案】A
【解析】設函數為，依題可知，，解得，所以該對數函數的解析式為．故選：A．
2．（2021·全國課時練習）已知函數（且）的圖象必經過定點P，則P點坐標是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，解得，所以，因此函數的圖象過定點．故選：C．
3．（2020·全國課時練習）下列函數是對數函數的是( )
A．y＝lg3(x＋1)B．y＝lga(2x)(a>0，且a≠1)
C．y＝lgax2(a>0，且a≠1)D．y＝lnx
【答案】D
【解析】形如的函數為對數函數，只有D滿足.故選D.
4．（2021·江蘇鹽城市·高三一模）已知函數的定義域為集合M，函數的值域為N，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為，所以，又，故.故選:C.
5．（2021·安徽高三一模（理））已知函數f(x)=e|lnx|，，b=f(lg2)，c=f(21.2)，則（）
A．b>c>aB．c>b>a
C．c>a>bD．b>a>c
【答案】B
【解析】
所以故選：B
6．（2021·六安市裕安區(qū)新安中學）已知，則的大小關系是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由指數冪與對數的運算公式，可得，
因為，可得，所以，即，
所以，即，
又由，即，所以.故選：C.
7．（2021·四川開學考試）已知，，，則的大小關系為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由對數的運算性質可知：，
，，所以，故選：A.
8．（2021·湖南永州市·高三二模）已知，，，則（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】,,因為，所以故
故選：D
9．（2021·陜西西安市·西安中學高三月考（文））設，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，，所以．故選：A．
10．（2021·云南師大附中高三月考（文））已知，，，則（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因為，，，
所以，故選：B.
11．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中高三月考（理））函數的單調遞減區(qū)間為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由得，
所以函數的定義域為.
因為函數在上為減函數，為增函數，
所以的單調遞減區(qū)間為.
故選：D
12．（2021·湖北開學考試）已知函數（且）的圖象恒過定點P，點P在冪函數的圖象上，則（ )
A．B．2C．1D．
【答案】C
【解析】函數中，令，解得，此時；
所以函數y的圖象恒過定點，又點P在冪函數的圖象上，所以，解得；所以，
所以．
故選：C．
13．（2020·全國高三專題練習）已知對數函數，則______．
【答案】2
【解析】由對數函數的定義，
可得，
解得．
故答案為．
14．（2020·全國課時練習）若函數y＝(a2－3a＋3)lgax是對數函數，則a的值為______．
【答案】2
【解析】由對數函數的定義結合題意可知：，
據此可得：.
15．（2020·全國高一課時練習）函數的定義域為____________；單調增區(qū)間____________；單調減區(qū)間____________；值域是____________．
【答案】
【解析】由，解得，所以函數的定義域為；
因為在上單調遞增，在上單調遞減，
且在上單調遞減，
所以函數的減區(qū)間是，增區(qū)間為；
因為，所以，
以為在上是減函數，且，
所以函數的值域為；
故答案為：①；②；③；④.
16．（2020·天津經濟技術開發(fā)區(qū)第一中學高一月考）函數的值域是________.
【答案】
【解析】解：由題可知，函數，
則，解得：，
所以函數的定義域為，
設，，
則時，為增函數，時，為減函數，
可知當時，有最大值為，
而，所以，
而對數函數在定義域內為減函數，
由復合函數的單調性可知，
函數在區(qū)間上為減函數，在上為增函數，
，
∴函數的值域為.
故答案為：.
17．（2020·陜西省子洲中學高三月考（文））函數的值域為_____.
【答案】
【解析】當時，，則，
因此，函數的值域為.
故答案為：.
18．（2020·福建省廈門第六中學高一期中）函數的值域是________.
【答案】
【解析】由，解得，即函數的定義域為
令，則
，
即函數的值域是
故答案為：
19．（2021·壽縣第一中學高一開學考試）不等式的解集為_________.
【答案】
【解析】因為，所以，即，因為，所以恒成立，所以，即，所以，所以，所以原不等式的解集為
故答案為：
20．（2020·河南高二月考（文））函數在單調遞減，則的范圍是___________.
【答案】
【解析】令，二次函數的圖象開口向下，對稱軸為直線.
由于函數在區(qū)間上為減函數，
外層函數為增函數，則內層函數在區(qū)間上為減函數，
所以，，且有，解得.
綜上所述，實數的取值范圍是.
故答案為：.
21．（2021·湖北宜昌市·高三期末）若函數的圖像過定點P，且點P在冪函數的圖像上，則__________．
【答案】
【解析】令，得，此時，故，
代入冪函數解析式，有，即，解得，
所以，所以.
故答案為：.
22．（2021·山東濱州市·高一期末）已知函數且，且的圖象恒過定點，則點的坐標為_________.
【答案】
【解析】令，則，，即圖象過定點．
故答案為：底數
a>1
00；
當0

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