一、單選題(每題5分，共70分)
1. 若方程表示圓，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)圓的一般方程，由求解.
【詳解】解：因?yàn)榉匠瘫硎緢A，
所以，
解得，
故選：B
2. 已知數(shù)列滿足，且，則（ ）
A 12B. 16C. 18D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義可判斷數(shù)列為等差數(shù)列，從而可得，利用數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，因此數(shù)列是等差數(shù)列，公差，
已知， ，
即，解得，
利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得.
因此，.
故選：B.
3. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線，，若，則實(shí)數(shù)（ ）．
A. B. 1C. 3D. 1或3
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平行的判定公式求解.
【詳解】根據(jù)，則，
即，得或，但時(shí)兩直線重合，
故.
故選：B．
4. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出，代入即可求.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以.
故選：C
5. 等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（ ）．
A. B. 5C. D. 30
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)有，結(jié)合已知得，再應(yīng)用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求值.
【詳解】由題設(shè)知，而，則
則.
故選：B
6. 數(shù)列中，對任意的都有，若，則（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】取，可得出數(shù)列是等比數(shù)列，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列求和公式可得出關(guān)于的等式，由可求得的值.
【詳解】在等式中，令，可得，所以，
所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，
則，
所以，
又，
則，
所以，解得.
故選：D.
7. 已知函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，分析可知，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】令，可得，
令，則直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
，令，可得或，列表如下：
如下圖所示：
由圖可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，
直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：A.
8. 已知兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，…及2，8，14，…，100，將這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則數(shù)列的各項(xiàng)之和為（ ）
A. 438B. 450C. 254D. 278
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意求出兩個(gè)數(shù)列相同的項(xiàng)組成的數(shù)列，求出項(xiàng)數(shù)，然后求出它們的和即可.
【詳解】由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列：
2，14，26，…，98，是公差為12，項(xiàng)數(shù)為9的等差數(shù)列，
故新數(shù)列的各項(xiàng)之和為.
故選：B.
9. 已知橢圓，過點(diǎn)作傾斜角為的直線與交于，兩點(diǎn)，當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用點(diǎn)差法可得，由，，可得，可求橢圓離心率.
【詳解】設(shè)，所以，
兩式相減得，即，
又，所以，整理得，
又，，所以，所以，
所以橢圓的離心率.
故選：D.
10. 若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為在上有解問題，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其最小值，從而得解.
【詳解】因?yàn)榇嬖趩握{(diào)遞減區(qū)間，
所以在上有解，即在上有解，
令，則，令，解得(負(fù)值舍去)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
所以，故，
故選：B.
11. 數(shù)列滿足：，若，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求出通項(xiàng)，再化簡的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法即可求得其前10項(xiàng)的和.
【詳解】由，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減可得，即（），
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，上式符合，故，
所以，
所以.
故選：C.
12. 函數(shù)，，若對任意的，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)a的范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求的取值范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求的取值范圍，依題意有，解不等式得實(shí)數(shù)a的范圍.
【詳解】函數(shù)，因?yàn)?，，所以?br>故在上單調(diào)遞增，所以.
又，所以在上也是單調(diào)遞增，所以.
因?yàn)閷θ我獾?，總存在，使成立，等價(jià)于，
所以，解得，故實(shí)數(shù)a的范圍是.
故選：D.
13. 已知數(shù)列滿足且，，記的前項(xiàng)和為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)遞推公式可得數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的特征，分別求和即可求得結(jié)果.
【詳解】當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，又，的偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，又，奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；
.
故選：B.
14. 古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)所形成的圖形是圓.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知點(diǎn)分別是拋物線和上的動(dòng)點(diǎn)，若拋物線的焦點(diǎn)為，則的最小值為（ ）
A. 6B. C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】將圓用阿氏圓表示，得到，將問題轉(zhuǎn)化為求最小值問題，利用二次函數(shù)求最值即可得到．
【詳解】易知拋物線的焦點(diǎn)， 不在圓E上，
將圓變形為：
即，
，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)；
設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；
所以，故
所以的最小值為，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵是借助題目的背景提示，將圓用阿氏圓表示，分別用幾何法和代數(shù)法求最值．
二、多選題(每題6分，錯(cuò)選部分給分，共30分)
15. 下列求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)和求導(dǎo)法則，逐一對各個(gè)選項(xiàng)分析判斷即可得出結(jié)果.
【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)槭浅?shù)，所以，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，根據(jù)基本初等函數(shù)及導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則知，，選項(xiàng)B正確；
選項(xiàng)C，根據(jù)基本初等函數(shù)及導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則知，，選項(xiàng)C正確；
選項(xiàng)D，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則知，，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：BC.
16. 已知雙曲線C:，則下列說法正確的是（ ）
A. 雙曲線實(shí)軸長為6
B. 雙曲線虛軸長為1
C. 雙曲線離心率為
D. 雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為1
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線方程，討論基本的雙曲線的性質(zhì).
【詳解】由雙曲線方程可知，，，所以，所以實(shí)軸長，虛軸長，離心率
漸近線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以焦點(diǎn)到漸近線的距離，故AD正確，BC錯(cuò)誤.
故選：AD
17. 已知是公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，下列說法正確的是（ ）
A. B. 數(shù)列的最小項(xiàng)為
C. D. 能使時(shí)的最大值為15
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，可得，再結(jié)合單調(diào)性及前項(xiàng)和公式逐項(xiàng)判斷.
【詳解】在等差數(shù)列中，由，得，
對于A，，A錯(cuò)誤；
對于B，數(shù)列是遞增數(shù)列，前8項(xiàng)均為負(fù)，從第9項(xiàng)起為正，則數(shù)列的最小項(xiàng)為，B正確；
對于C，由，得，因此，C正確；
對于D，由，得，D錯(cuò)誤.
故選：BC
18. 1688年，笛卡爾根據(jù)他所研究的一簇花瓣與葉形曲線特征，提出了笛卡爾葉形線方程：.則下列判斷正確的是（ ）
A. 笛卡爾葉形線與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)
B 笛卡爾葉形線關(guān)于直線對稱
C. 當(dāng)時(shí)，笛卡爾葉形線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為
D. 當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)是笛卡爾葉形線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則的最大值為18
【答案】ABD
【解析】
【分析】令，即可判斷A，代入曲線成立判斷B，當(dāng)時(shí)，令，得出頂點(diǎn)坐標(biāo)判斷C，應(yīng)用圖象得出D.
【詳解】對于A，在中，令，則，令，則，
即笛卡爾葉形線與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)，故A正確；
對于B，在中，將點(diǎn)代入可得：，
顯然方程不變，即笛卡爾葉形線關(guān)于直線對稱，故B正確；
對于C，當(dāng)時(shí)，笛卡爾葉形線方程：.
令，解得或，故頂點(diǎn)坐標(biāo)，故C錯(cuò)誤；
對于D，由圖象知離原點(diǎn)距離最大，于是的最大值為18，故D正確.
故選：ABD.
19. 設(shè)函數(shù)，則（ ）
A. 是的極小值點(diǎn)B. 當(dāng)時(shí)，
C. 當(dāng)時(shí)，D. 當(dāng)時(shí)，
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到極值點(diǎn)，即可判斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；根據(jù)函數(shù)在上的值域即可判斷C；直接作差可判斷D.
【詳解】對A，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，而，
易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，正確；
對B，當(dāng)時(shí)，，所以，
而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，錯(cuò)誤；
對C，當(dāng)時(shí)，，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，即，正確；
對D，當(dāng)時(shí)，，
所以，正確；
故選：ACD.
20. 如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可記為.若，則表示曲線，直線以及軸圍成的“曲邊梯形”的面積.
（1）求曲線在上與軸圍成的封閉圖形的面積；
（2）當(dāng)時(shí)，求證：；
（3）求證：.
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和題中新定義的含義計(jì)算即可.
（2）先由新定義的運(yùn)算得到，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，證明結(jié)論.
（3）先證明時(shí)，再利用結(jié)論，得，累加法可得答案.
【小問1詳解】
由，得.
由題意可得所求面積.
令，則是常數(shù)）
所以，
即曲線在上與軸圍成的封閉圖形的面積為.
【小問2詳解】
令，可得（是常數(shù)），
所以，
要證，只需證，
令，
當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，
所以，即.
【小問3詳解】
由（2）得，當(dāng)時(shí)，.
因?yàn)?，所?
即.
所以.
.
.
.
累加可得
，
即，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)證明，進(jìn)而得到，利用累加法得出答案.
增
極大值
減
極小值
增

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