海南省?？谑泻Ｄ现袑W(xué)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________ 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（    ）A． B． C． D．3．設(shè)，則“且”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．孫子定理出自古代名著《孫子算經(jīng)》，其研究正整數(shù)的整除問題，其實質(zhì)構(gòu)成一個等差數(shù)列，例如三三數(shù)之剩一（被3除余1）的正整數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列.若滿足四四數(shù)之剩三且六六數(shù)之剩五（被4除余3且被6除余5）的正整數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則的前項和（     ）A． B．C． D．5．已知，則（    ）A．256 B．255 C．512 D．5116．函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點個數(shù)為（    ）A．2 B．3 C．4 D．07．傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著“圓柱容球”，即：一個圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.如圖是一個圓柱容球，為圓柱上下底面的圓心，為球心，為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則平面DEF截球所得的截面面積最小值為（    ）  A． B． C． D．8．如圖，2022年世界杯的會徽像阿拉伯?dāng)?shù)字中的“8”．在平面直角坐標(biāo)系中，圓和外切也形成一個8字形狀，若，為圓M上兩點，B為兩圓圓周上任一點（不同于點A，P），則的最大值為（    ）．A． B． C． D． 二、多選題9．給出下列說法，其中正確的是（    ）A．若數(shù)據(jù)的方差為0，則此組數(shù)據(jù)的眾數(shù)唯一B．已知一組數(shù)據(jù)3，4，7，9，10，11，11，13，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為8C．一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖是單峰的且形狀是對稱的，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)應(yīng)該大體上差不多D．經(jīng)驗回歸直線恒過樣本點的中心，且在回歸直線上的樣本點越多，擬合效果越好10．已知，是正數(shù)，且，下列敘述正確的是（    ）A．最大值為 B．的最小值為C．最小值為 D．最小值為11．如圖，多面體ABCDEF的8個面都是邊長為2的正三角形，則（    ）A． B．平面平面FABC．直線EA與平面ABCD所成的角為 D．點E到平面ABF的距離為12．已知向量，將繞原點O旋轉(zhuǎn)﹣30°，30°，60°到的位置，則（    ）.A． B．C． D．點坐標(biāo)為 三、填空題13．某校高三年級有女生520名，男生480名，若用分層隨機抽樣的方法從高三年級學(xué)生中抽取一個容量為200的樣本，則男生應(yīng)抽取___________名.14．甲、乙、丙、丁、戊5名學(xué)生進行某種勞動技能比賽，決出第1名到第5名的名次.甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”，對乙說：“你當(dāng)然不會是最差的”，從這個回答分析，5人的名次排列共可能有________種不同的情況.（用數(shù)字作答）15．已知函數(shù)的圖像在點處的切線為l，若l與函數(shù)的圖像也相切，切點為，則___________. 四、雙空題16．已知數(shù)列滿足，則__________，若對任意的，恒成立，則的取值范圍為_____________. 五、解答題17．已知函數(shù)，.(1)若的圖象關(guān)于點對稱，且，求的值；(2)不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．已知數(shù)列和等差數(shù)列滿足，且當(dāng)時，.(1)求數(shù)列的通項；(2)求數(shù)列的前項和.19．甲、乙兩地到某高校實施“優(yōu)才計劃”，即通過筆試，面試，模擬技能這3項考核程序后直接簽約一批優(yōu)秀畢業(yè)生，已知3項程序分別由3個考核組獨立依次考核，當(dāng)3項考核程序均通過后即可簽約．2022年，該校數(shù)學(xué)系100名畢業(yè)生參加甲地“優(yōu)才計劃”的具體情況如下表（不存在通過3項程序考核放棄簽約的情況）：人數(shù)性別參加考核但未能簽約的人數(shù)參加考核并能簽約的人數(shù)男生3515女生4010今年，該校數(shù)學(xué)系畢業(yè)生小明準(zhǔn)備參加兩地的“優(yōu)才計劃”，假定他參加各程序的結(jié)果相互不影響，且他的輔導(dǎo)員作出較客觀的估計：小明通過甲地的每項程序的概率均為，通過乙地的各項程序的概率依次為，，．(1)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷這100名畢業(yè)生去年參加甲地“優(yōu)才計劃”能否簽約與性別是否有關(guān)聯(lián)？(2)若小明通過甲、乙兩地的程序的項數(shù)分別記為X，Y，分別求出X與Y的數(shù)學(xué)期望．參考公式與臨界值表：，．0.100.050.0102.7063.8416.635 20．已知平面四邊形（圖1）中，，均為等腰直角三角形，，分別是，的中點，，，沿將翻折至的位置（圖2），拼成三棱錐.  (1)求證：平面平面；(2)當(dāng)二面角的平面角為60°時，求直線與平面所成角的正弦值.21．已知.(1)若在處取到極值，求的值；(2)直接寫出零點的個數(shù)，結(jié)論不要求證明；(3)當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，證明：函數(shù)存在唯一的極小值點且極小值大于.22．已知過點的直線與雙曲線：的左右兩支分別交于、兩點.(1)求直線的斜率的取值范圍；(2)設(shè)點，過點且與直線垂直的直線，與雙曲線交于、兩點.當(dāng)直線變化時，恒為一定值，求點的軌跡方程.
參考答案：1．A【分析】根據(jù)不等式的解法求集合，再根據(jù)集合的交集運算求解.【詳解】∵，∴故選：A.2．C【分析】法一：根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計算公式計算即可.法二：根據(jù)計算可得.【詳解】法一：，故．法二：利用性質(zhì)，得.故選：C．3．A【分析】依據(jù)“且”與“”之間的邏輯關(guān)系進行推導(dǎo)即可解決.【詳解】由且，可得,當(dāng)，時，滿足，但不滿足且,則“且”是“”的充分不必要條件,故選：A.4．B【分析】由題意可得數(shù)列為等差數(shù)列，進而可得.【詳解】被4除余3且被6除余5的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，.故選：.5．D【分析】令，求得，再分別令和，兩式相加，從而可得出答案.【詳解】解：令，①，令，②，①+②得：，∴，令，，∴.故選：D．6．C【分析】作出兩個函數(shù)的圖像，由圖像可得交點個數(shù)．【詳解】在上是增函數(shù)，在和上是減函數(shù)，在和上是增函數(shù)，，，，作出函數(shù)的圖像，如圖，由圖像可知它們有4個交點．故選：C．7．D【分析】過作于，設(shè)到平面的距離為，平面截得球的截面圓的半徑為，由求解判斷.【詳解】由球的半徑為，可知圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，過作于，如圖所示：  則由題可得，設(shè)平面截得球的截面圓的半徑為，當(dāng)EF在底面圓周上運動時，到平面的距離所以所以平面截得球的截面面積最小值為，故D正確；故選：D.8．C【分析】先用待定系數(shù)法求出圓M的方程，進而得到，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)與直線PA垂直的直線l和圓N相切，切點為B，且直線l的縱截距大于0時，最大，利用點到直線距離公式得到，結(jié)合向量投影求出最值.【詳解】根據(jù)題意可得，解得，，故圓M的方程為．，畫圖分析可知當(dāng)與直線PA垂直的直線l和圓N相切，切點為B，且直線l的縱截距大于0時，最大．直線的斜率為1，設(shè)l的方程為，由圓心到直線l的距離為，解得或（舍去）．故l的方程為，其與直線PA：的交點坐標(biāo)為，所以，所以，即的最大值為．故選：C【點睛】平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進行求解；②數(shù)化，即利用平面向量的坐標(biāo)運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識進行求解.9．AC【分析】依據(jù)方差定義及眾數(shù)定義去判斷選項A；求得第40百分位數(shù)去判斷選項B；依據(jù)中位數(shù)定義和平均數(shù)定義去判斷選項C；依據(jù)回歸直線擬合效果判斷標(biāo)準(zhǔn)去判斷選項D.【詳解】選項A：由方差可得，即此組數(shù)據(jù)眾數(shù)唯一.判斷正確；選項B：數(shù)據(jù)3，4，7，9，10，11，11，13共有8個數(shù)，由可知，該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為第4個數(shù)為9.判斷錯誤；選項C：依據(jù)中位數(shù)定義和平均數(shù)定義，一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖是單峰的且形狀是對稱的，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)應(yīng)該大體上差不多.判斷正確；選項D：回歸直線的擬合效果看殘差平方和，殘差平方和越小，擬合效果越好，不是看回歸直線上的樣本點多少來判斷擬合效果的好壞.判斷錯誤.故選：AC10．ABD【分析】題可知，且，利用基本不等式可判斷A,D；構(gòu)造二次函數(shù)型可判斷B；對兩邊同時平方，利用基本不等式可判斷C.【詳解】因為是正數(shù)，且，所以不等式可知，即，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即取得等號，所以的最大值為，所以A正確；因為是正數(shù)，且，所以，且，所以，當(dāng)時有最小值為，所以B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即取得等號，因為，是正數(shù)，所以最大值為，故C不正確；因為，當(dāng)且僅當(dāng)且即時取等號，此時最小值為，所以D正確．故選：ABD.11．ACD【分析】根據(jù)多面體ABCDEF的8個面都是邊長為2的正三角形條件結(jié)合正方形的特點，可判斷A選項，取中點，連接、，根據(jù)兩平面的二面角可判斷B選項，根據(jù)對稱性找到平面的垂線，根據(jù)線面角的性質(zhì)可求C選項，求點到面的距離轉(zhuǎn)化為求三角形的高，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，如圖，由，，，為正三角形可得為正方形，故，故A正確；對于B選項，取中點為，在，中，由正三角形的性質(zhì)可得，，，平面平面，平面，平面，則為二面角的平面角，由，，得，故B錯誤；對于C選項，由條件可知四棱錐、四棱錐均為正四棱柱，連接，交點為正方形的中心，則平面，即為直線與平面所成的角，由，，得，故C正確；對于D選項，連接，在正方形可知，，平面，平面，，與相交，且平面，平面即為三棱錐的高，設(shè)點E到平面ABF的距離為，由幾何關(guān)系可求得，，，，由可得，，代入數(shù)據(jù)解得，故D正確．故選：ACD.12．ABC【分析】根據(jù)向量的夾角判斷A，再由全等三角形可判斷B，根據(jù)向量的數(shù)量積的定義判斷C，根據(jù)向量的模相等判斷D.【詳解】因為繞原點O旋轉(zhuǎn)﹣30°，30°，60°到，所以與的夾角為，故，A選項正確；由題意知，,所以，即，故B正確；因為,,所以由數(shù)量積的定義知，故C正確；若點坐標(biāo)為，則，故D不正確.故選：ABC13．96【分析】根據(jù)分層抽樣的定義，計算男女生比例，即可計算求解. 【詳解】由已知得女生與男生的比例為：，根據(jù)分層抽樣的定義，男生應(yīng)該抽取的人數(shù)為：（人）故答案為：96.14．【分析】由題意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，再排甲，其他三名同學(xué)在三個位置上全排列，由分步乘法計數(shù)原理即可求解.【詳解】由題意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，有第二、三、四名3種情況，再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3種情況，其他三名同學(xué)排在三位置全排列有種，由分步乘法計數(shù)原理可知共有種，故答案為：.15．9【分析】先求出，求出切線方程，進而求得，即可求解.【詳解】由題意得，則，所以切線l的方程為，即.所以，則，.故答案為：9.16．          【分析】由可求得的值，令由可得出，兩式作差可得出數(shù)列的通項公式，可得出的值，然后分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，分析數(shù)列的單調(diào)性，由此可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，，可得，上述兩式作差可得，即，不滿足，所以，，則.當(dāng)時，，即，所以，數(shù)列從第二項開始為遞增數(shù)列，對任意的，恒成立.①若為正奇數(shù)，則，，則，可得；②若為正偶數(shù)，則，可得.綜上所述，.故答案為：；.【點睛】思路點睛：已知數(shù)列的前項和，求通項公式的步驟：（1）當(dāng)時，；（2）當(dāng)時，根據(jù)可得出，化簡得出；（3）如果滿足當(dāng)時的通項公式，那么數(shù)列的通項公式為；如果不滿足當(dāng)時的通項公式，那么數(shù)列的通項公式要分段表示為.17．(1)(2) 【詳解】分析：（1）由兩角差的正弦公式化簡函數(shù)式，得的圖象在軸右側(cè)的一個對稱中心，由圖象平移可得值；（2）不等式化為，由的最大值和最小值可得的不等關(guān)系，從而得其范圍．解：（1），法一：知的圖象在點右側(cè)關(guān)于點對稱，把它向左平移個單位，則圖象關(guān)于點對稱，因此；法二：由題知：，所以：，所以：，又，所以：；（2）對任意的恒成立，對任意的恒成立由（1）知，，可得：在上單增，在上單減，所以：，又，，所以：，所以，解得．18．(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項公式以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)乘公比錯位相減法即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得：，由得：由得：所以：，所以：所以：當(dāng)時，，又因為不滿足，所以：.（2），當(dāng)時，；當(dāng)時，，①，②①②得：，所以：，又也滿足，綜上：.19．(1)認(rèn)為這100名畢業(yè)生去年參加甲地“優(yōu)才計劃”能否簽約與性別無關(guān)(2)， 【分析】（1）由題意作出列聯(lián)表，依據(jù)對立性檢驗的計算公式計算判別即可；（2）由條件分析得X服從二項分布，可得小明通過甲程序的期望；再由離散型隨機變量的分布列及求期望公式計算小明通過乙程序的期望即可.【詳解】（1）列聯(lián)表：人數(shù)性別參加考核但未能簽約的人數(shù)參加考核并能簽約的人數(shù)合計男生351550女生401050合計7525100，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可認(rèn)為這100名畢業(yè)生去年參加甲地“優(yōu)才計劃”能否簽約與性別無關(guān)；（2）由已知，小明通過甲地的每項程序的概率均為，所以X服從二項分布，即，∴，由題意：Y的可能取值為0，1，2，3，，，，．所以Y的數(shù)學(xué)期望．20．(1)證明見解析(2) 【分析】（1）證明出，由線面垂直判定定理證明平面，再由面面垂直判定定理證明平面平面；（2）①證明為二面角的平面角，取的中點，由面面垂直判定定理證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求直線的方向向量和平面的法向量，利用向量夾角公式求直線與平面所成角的正弦值；②求向量在平面的法向量上的投影向量的長度即可.【詳解】（1）連結(jié).因為分別是的中點，所以.又，所以，因為，所以，又，平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.（2）①因為，所以就是二面角的平面角.由已知.因為為以為斜邊的等腰直角三角形，為的中點，所以.又，所以為等邊三角形.取中點，連接，則.又因為平面平面，平面平面，平面，所以面.如圖，以直線為軸，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則， 設(shè)面的一個法向量則有，所以，不妨取，則，所以為平面的一個法向量.而，所以，所以直線與面所成角的正弦值為·  21．(1)1；(2)且有一個零點；且有兩個零點；(3)證明見解析. 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由求出a并驗證作答.（2）由已知可得1是的一個零點，按分段討論，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點存在性定理判斷作答.（3）求出函數(shù)及導(dǎo)數(shù)，探討極值點，再結(jié)合隱形零點確定極小值大于作答.【詳解】（1）的定義域為，，，所以，又時，，，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在處取到極大值，所以符合要求.（2）由（1）知，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則有唯一零點；當(dāng)時，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，令，，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，于是當(dāng)時，有唯一零點；當(dāng)時，在內(nèi)有唯一零點1，當(dāng)時，，令，，令，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即當(dāng)時，，因此，有，即，從而函數(shù)在上有唯一零點，即函數(shù)有兩個零點；當(dāng)時，函數(shù)在上有唯一零點1，由，得，即有，而，從而函數(shù)在上有唯一零點，即函數(shù)有兩個零點，綜上得當(dāng)或時，有一個零點；且時，有兩個零點.（3）依題意，，函數(shù)的定義為，求導(dǎo)得，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，則存在，使得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，即當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，無極大值，由，得，因此，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為，所以，函數(shù)的極小值所以函數(shù)存在唯一的極小值點且極小值大于.【點睛】思路點睛：涉及含參的函數(shù)零點問題，利用導(dǎo)數(shù)分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，結(jié)合零點存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題.22．(1)(2) 【分析】（1）當(dāng)時，顯然符合題意，當(dāng)時，設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)、，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、依題意可得，即可得到不等式求出的取值范圍，即可得解；（2）由（1）知，因為，設(shè)，則直線的方程為：，設(shè)，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元，即可表示出，從而表示出，即可得到時，為定值，從而求出動點的軌跡方程.【詳解】（1）當(dāng)時，顯然符合題意，當(dāng)時，設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)、，與雙曲線方程聯(lián)立可得，因為直線與雙曲線交于不同的兩支，所以，又， 所以，解得，即，所以且，解得或，綜上可得；（2）由（1）知，因為，所以，設(shè)，則直線的方程為：，設(shè)，直線與雙曲線方程聯(lián)立可得，即，所以，所以，得，又因為，所以，當(dāng)時，即時，為定值，所以或，又因為，所以點的軌跡方程為.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達定理求解. 

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