海南省?？谑泻Ｄ先A僑中學(xué)2023屆高三模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題（含解析）

這是一份海南省?？谑泻Ｄ先A僑中學(xué)2023屆高三模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題（含解析），共22頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
海南省?？谑泻Ｄ先A僑中學(xué)2023屆高三模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．2．設(shè)，其中，為實(shí)數(shù)，則（    ）A．， B．，C．， D．，3．為客觀反映建設(shè)創(chuàng)新型國(guó)家進(jìn)程中我國(guó)創(chuàng)新能力的發(fā)展情況，國(guó)家統(tǒng)計(jì)局社科文司《中國(guó)創(chuàng)新指數(shù)（CII）研究》課題組研究設(shè)計(jì)了評(píng)價(jià)我國(guó)創(chuàng)新能力的指標(biāo)體系和指數(shù)編制方法.中國(guó)創(chuàng)新指數(shù)（China Innovation Index，CII）中有4個(gè)分指數(shù)（創(chuàng)新環(huán)境指數(shù)、創(chuàng)新投入指數(shù)、創(chuàng)新產(chǎn)出指數(shù)、創(chuàng)新成效指數(shù)），下面是2005—2021年中國(guó)創(chuàng)新指數(shù)及分領(lǐng)域指數(shù)圖，由圖可知指數(shù)與年份正相關(guān)，則對(duì)4個(gè)分領(lǐng)域指數(shù)，在建立年份值與指數(shù)值的回歸模型中，相關(guān)系數(shù)最大的指數(shù)類(lèi)型是（    ）  A．創(chuàng)新環(huán)境指數(shù) B．創(chuàng)新投入指數(shù) C．創(chuàng)新產(chǎn)出指數(shù) D．創(chuàng)新成效指數(shù)4．已知，若，，則（    ）A． B． C． D．5．展開(kāi)式中的系數(shù)為（    ）A．270 B．240 C．210 D．1806．下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象如圖所示，則該函數(shù)是（    ）  A． B． C． D．7．已知，分別是橢圓：（）的左，右焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，若，且，則的離心率為（    ）A． B． C． D．8．已知，，是球的球面上三點(diǎn)，，，，若異面直線與所成角的余弦值為，則球的表面積為（    ）A． B． C． D． 二、多選題9．已知，，且，則（    ）A．的最大值為 B．的最小值為4C．的最小值為2 D．的最大值為410．設(shè)為拋物線：（）的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，則（    ）A．B．C．直線的斜率為D．的面積為11．已知函數(shù)（）的圖象與函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心完全相同，且在上，有極小值，則（    ）A． B．C．函數(shù)是偶函數(shù) D．在上單調(diào)遞增12．已知函數(shù)（），則（    ）A．若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增B．若在上有最小值，則在上有最大值C．過(guò)原點(diǎn)有且僅有一條直線與的圖象相切D．若函數(shù)存在大于1的極值點(diǎn)，則 三、填空題13．已知向量，不共線，，，寫(xiě)出一個(gè)符合條件的向量的坐標(biāo)：______.14．已知，則______.15．工人甲將一底面半徑為4、高為4的圓柱型鋼料，車(chē)削成一下底面半徑為4、高為4的圓臺(tái)型鋼坯．經(jīng)測(cè)量，車(chē)削下來(lái)的鋼料體積占圓柱型鋼料體積的，則圓臺(tái)型鋼坯所對(duì)應(yīng)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為______.16．已知圓：的圖象在第四象限，直線：，：.若上存在點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)分別為A，，使得為等邊三角形，則被圓截得的弦長(zhǎng)的最大值為______. 四、解答題17．已知的內(nèi)角A，，的對(duì)邊分別為，，，，.(1)若，證明：；(2)若邊上的高為，求的周長(zhǎng).18．已知數(shù)列中，，是與9的等差中項(xiàng)，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足（）.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求實(shí)數(shù)的最小值.19．在以視覺(jué)為主導(dǎo)的社交媒體時(shí)代，人們常借助具有美顏功能的產(chǎn)品對(duì)自我形象進(jìn)行美化.移動(dòng)端的美顏拍攝類(lèi)APP主要有兩類(lèi)：類(lèi)是以自拍人像、美顏美妝為核心功能的APP；類(lèi)是圖片編輯、精修等圖片美化類(lèi)APP.某機(jī)構(gòu)為調(diào)查市民對(duì)上述，兩類(lèi)APP的使用情況，隨機(jī)調(diào)查了部分市民.已知被調(diào)查的市民中使用過(guò)類(lèi)APP的占60%，使用過(guò)B類(lèi)APP的占50%，設(shè)個(gè)人對(duì)美顏拍攝類(lèi)APP類(lèi)型的選擇及各人的選擇之間相互獨(dú)立.(1)從樣本人群中任選1人，求該人使用過(guò)美顏拍攝類(lèi)APP的概率；(2)從樣本人群中任選5人，記為5人中使用過(guò)美顏拍攝類(lèi)APP的人數(shù)，設(shè)的數(shù)學(xué)期望為，求；(3)在單獨(dú)使用過(guò)，兩類(lèi)APP的樣本人群中，按類(lèi)型分甲、乙兩組，并在各組中隨機(jī)抽取8人，甲組對(duì)類(lèi)APP，乙組對(duì)類(lèi)APP分別評(píng)分如下：甲組評(píng)分9486929687939082乙組評(píng)分8583859175908380記甲、乙兩組評(píng)分的平均數(shù)分別為，，標(biāo)準(zhǔn)差分別為，，試判斷哪組評(píng)價(jià)更合理.（設(shè)（），越小，則認(rèn)為對(duì)應(yīng)組評(píng)價(jià)更合理.）參考數(shù)據(jù)：，.20．如圖，多面體中，四邊形是菱形，，，，，，平面，.  (1)求；(2)求二面角的正弦值.21．已知函數(shù)（）有兩個(gè)零點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，，證明：.22．已知雙曲線：（，）的離心率為，右頂點(diǎn)到漸近線的距離等于.(1)求雙曲線的方程.(2)點(diǎn)，在上，且，直線是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案：1．B【分析】根據(jù)描述法與列舉法確定集合，再根據(jù)交集的運(yùn)算得結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又，所以，因?yàn)?/span>，所以.故選：B.2．A【分析】對(duì)已知式子化簡(jiǎn)，再利用復(fù)數(shù)相等的條件可求出，的值【詳解】，∴，，.故選：A3．D【分析】本題考查成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性，要求考生了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.【詳解】由題圖易知4個(gè)分領(lǐng)域指數(shù)的起始位置相同，其中創(chuàng)新投入指數(shù)、創(chuàng)新產(chǎn)出指數(shù)從2014年起，指數(shù)增幅大，變化趨勢(shì)明顯大于另兩類(lèi)指數(shù)；從2011年起，創(chuàng)新環(huán)境指數(shù)的波動(dòng)幅度比創(chuàng)新成效指數(shù)的波動(dòng)幅度大，創(chuàng)新成效指數(shù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)更趨近于某一條直線，故其對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)最大.故選：D.4．D【分析】根據(jù)，求出，利用指對(duì)函數(shù)單調(diào)性將與2比較大小即可.【詳解】，，，，故選：D.5．A【分析】由題意可得所求的展開(kāi)式中的系數(shù)為展開(kāi)式二次項(xiàng)系數(shù)與四次項(xiàng)系數(shù)的一半的和.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，則原展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：A6．B【分析】利用題給函數(shù)在上先正值后負(fù)值的變化情況排除選項(xiàng)A；利用題給圖象可知函數(shù)是奇函數(shù)排除選項(xiàng)C；利用當(dāng)時(shí)題給函數(shù)值為負(fù)值排除D；而選項(xiàng)B均符合以上要求.【詳解】當(dāng)時(shí)，，.排除A；由偶函數(shù)定義可得為偶函數(shù)，由題給圖象可知函數(shù)是奇函數(shù)，排除C；當(dāng)時(shí)，.排除D；為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.B均符合題給特征.故選：B.7．C【分析】應(yīng)用余弦定理結(jié)合橢圓的定義求離心率即可.【詳解】在中，，設(shè)，由題意知,，由余弦定理得,，由橢圓定義知，則離心率.故選:C.8．A【分析】由題意易知，則外接圓的圓心是的中點(diǎn)，在長(zhǎng)方體內(nèi)還原，，，，，平移，作出異面直線與所成角（或補(bǔ)角），由的余弦值為可求出長(zhǎng)方體的高，由此即可求出球的半徑，則可求出答案.【詳解】由題意知，在中，，，，外接圓的圓心是的中點(diǎn)，易知平面.設(shè)，長(zhǎng)方體如圖所示，    易知，且，四邊形是平行四邊形，則，為異面直線與所成角（或補(bǔ)角），易知，，則在等腰中，，解得，則球的半徑，球的表面積為.故選：A9．AC【分析】根據(jù)基本不等式求解出最值，檢驗(yàn)即可判斷各項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?/span>，，，由基本不等式可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，根據(jù)基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，根據(jù)基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，根據(jù)基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，的最小值為4，故D不正確.故選：AC.10．ABD【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定的值，得拋物線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由拋物線定義求得的坐標(biāo)，確定直線的斜率與的面積，逐項(xiàng)判斷即可得答案.【詳解】由題意得，又，故解得，所以拋物線的方程為，焦點(diǎn)，故A，B正確；  由拋物線定義及，所以代入拋物線方程可得得，所以，故C不正確；則的面積，故D正確.故選：ABD.11．AD【分析】根據(jù)函數(shù)與的最小正周期相同，求得，經(jīng)驗(yàn)證求得，再求出值，再對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐項(xiàng)驗(yàn)證.【詳解】由題意，函數(shù)與的最小正周期相同，則，且.當(dāng)時(shí)，，其一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，也是的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，所以，所以，，又，所以，所以，，，有極大值，無(wú)極小值，不合題意；當(dāng)時(shí)，，其一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，也是的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，所以，所以，，又，所以，所以，，，有極小值，滿足題意.，，A項(xiàng)正確，B項(xiàng)不正確；，不是偶函數(shù)，C項(xiàng)不正確；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，D項(xiàng)正確.故選：AD12．BC【分析】分、和，兩種情況可得函數(shù)在上單調(diào)遞減可判斷A；令利用奇函數(shù)定義可得函數(shù)是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和最值情況可判斷B；利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，切線過(guò)點(diǎn)得方程有且僅有一解可判斷C；函數(shù)有極值點(diǎn)得有兩個(gè)不同的根，設(shè)兩根分別為，可得，利用韋達(dá)定理分，和，兩種情況可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)，時(shí)，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)，時(shí)，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，A項(xiàng)不正確；對(duì)于B，令，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，若在上有最小值，則函數(shù)在上有最小值，函數(shù)在上有最大值，所以在上有最大值，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C，，設(shè)切點(diǎn)，則，所以切線方程為，切線過(guò)點(diǎn)，得，該方程有且僅有一解，C項(xiàng)正確；對(duì)于D，若函數(shù)有極值點(diǎn)，則有兩個(gè)不同的根，則，設(shè)兩根分別為，，則，若，則，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，D項(xiàng)不正確.故選：BC.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、最值的關(guān)系求三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極值與最值13．（答案不唯一）【分析】設(shè)，由平行的坐標(biāo)表示可得，再由數(shù)量積的定義可得，即可得出答案.【詳解】由題意得，，則，設(shè)，得，且，滿足條件的向量的坐標(biāo)可以為（答案不唯一或者）.故答案為：（答案不唯一）14．/【分析】利用兩角差的正切公式求出，在根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再代入計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?/span>，解得，所以.故答案為：15．5【分析】設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為，根據(jù)圓柱與圓臺(tái)的體積公式列式求出，從而得出答案.【詳解】設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為，由題意得，解得，則圓臺(tái)的母線長(zhǎng).故答案為：5.16．【分析】根據(jù)題意可推得的范圍，以及與圓的位置關(guān)系.根據(jù)等邊三角形以及圓的對(duì)稱(chēng)性可得出，然后推得，求解結(jié)合的范圍可得出.然后表示出圓心到直線的距離，根據(jù)不等式的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】  由已知可得，圓的圓心，半徑，且有.則圓心到直線：的距離.又直線方程可化為，可知，，所以直線過(guò)一、二、三象限，不過(guò)第四象限，直線與圓相離.由題意易知，則，，所以有，即，所以.又，，所以，，所以.所以圓心到直線的距離，所以，直線與圓總相交，又，所以被圓截得的弦長(zhǎng)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)已知得出的范圍，然后根據(jù)直線的斜截式方程得出與圓的位置關(guān)系.17．(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）根據(jù)已知變形結(jié)合正弦定理可得出，進(jìn)而得出，即可求出，進(jìn)而求出的值，代入兩角和的余弦公式，即可得出答案；（2）根據(jù)已知得出以及.根據(jù)余弦定理變形整理可得，代入數(shù)值即可求出的值，進(jìn)而得出答案.【詳解】（1）由已知可得，由正弦定理可得，，所以有.又，所以，.又，所以.，，.又，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則.（2）由題意得的面積.又，則.由余弦定理，得，所以，.所以，的周長(zhǎng)為.18．(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，結(jié)合前項(xiàng)和意義可得數(shù)列是等比數(shù)列，再利用等差中項(xiàng)的意義求解作答.（2）由（1）的信息，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出，再變形給定不等式，構(gòu)造數(shù)列，探討數(shù)列單調(diào)性求解作答.【詳解】（1）依題意，，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，當(dāng)時(shí)，，又，有，則當(dāng)，，因此數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比的等比數(shù)列，而，即，解得，則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）知，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，于是不等式化為：，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，數(shù)列遞增，當(dāng)時(shí)，數(shù)列遞減，從而，則，所以實(shí)數(shù)的最小值為.19．(1)0.8(2)(3)甲組對(duì)類(lèi)APP的評(píng)價(jià)更合理. 【分析】（1）求出“使用過(guò)類(lèi)APP”和“使用過(guò)類(lèi)APP”的概率，再由對(duì)立事件的概率公式求解即可.（2）題意知，由二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式可求出，再由二項(xiàng)分布的概率公式即可求出.（3）由平均數(shù)和方差的公式求解即可得出答案.【詳解】（1）設(shè)事件表示“使用過(guò)類(lèi)APP”，事件表示“使用過(guò)類(lèi)APP”，由題意知，.任選一人，該人使用過(guò)美顏拍攝類(lèi)APP的概率:.（2）由題意知，則的數(shù)學(xué)期望..（3），，，，，故甲組對(duì)類(lèi)APP的評(píng)價(jià)更合理.20．(1)2(2) 【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，由已知可得出.進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理，可得出四邊形是正方形.即可得出答案；（2）取的中點(diǎn)，連接.先證明兩兩相互垂直.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面與平面的法向量，根據(jù)向量法求出夾角的余弦值，進(jìn)而即可得出答案.【詳解】（1）（1）取的中點(diǎn)，連接.  在菱形中，，，所以是正三角形.又是的中點(diǎn)，所以.平面，平面，.，平面，平面.平面，.，，平面，平面，平面.平面，.，，，四邊形是正方形.，.（2）取的中點(diǎn)，連接.  由（1）知，是正三角形.又為的中點(diǎn)，所以，，且.因?yàn)?/span>平面，所以兩兩相互垂直.如圖2，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則.所以，，所以，二面角的正弦值為.21．(1)(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）先判斷的零點(diǎn)一定大于0.構(gòu)造函數(shù)（），根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極小值.分以及，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在定理，即可得出答案；（2）根據(jù)已知可推得，即.設(shè)，得，則.設(shè)，通過(guò)二次求導(dǎo)可得出的單調(diào)性，結(jié)合，即可得出，變形即可得出證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上沒(méi)有零點(diǎn).所以若，則.設(shè)（），則.當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以，時(shí)，在處取得唯一極小值，也是最小值.設(shè)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，所以最多有一個(gè)零點(diǎn)，即最多有一個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，，所以.又，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在定理可知，，有；，有.且當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，恒成立.所以，有兩個(gè)零點(diǎn)，即存在兩個(gè)零點(diǎn).綜上，.（2）由（1）知，，且，得，即.設(shè)，得，即，則.設(shè)，則，設(shè)，.當(dāng)時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞增.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，所以，即在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.又，所以時(shí)，有，即，即，即，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：由已知推得，變形得出.換元，即可構(gòu)造函數(shù).22．(1)(2)直線過(guò)定點(diǎn) 【分析】（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式，的關(guān)系和離心率即可求解.（2）由題知直線的斜率存在且不為，設(shè)直線：，與的方程聯(lián)立，可得，因?yàn)?/span>，用代替，同理解得，進(jìn)而表示出直線的方程，即可得解.【詳解】（1）由題意，取漸近線，右頂點(diǎn)到該漸近線的距離，又，，解得，，，的方程為.（2）由題意知直線的斜率存在且不為，設(shè)直線：，與的方程聯(lián)立，消去得，易知，由韋達(dá)定理得，則.因?yàn)?/span>，所以，用代替（顯然此時(shí)），同理得，得，直線：，過(guò)定點(diǎn).當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，易知直線的方程為，過(guò)左焦點(diǎn).綜上，直線過(guò)定點(diǎn).