一、單選題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.）
1. 已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，由共軛復(fù)數(shù)的定義即可得答案.
【詳解】，
所以.
故選：C
2. 已知集合，集合，則的真子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】先將兩方程聯(lián)立求出中的元素，再可求出出的真子集的個(gè)數(shù).
【詳解】由，得或，
所以，則中有2個(gè)元素，
所以的真子集的個(gè)數(shù)為.
故選：A
3. 已知兩個(gè)非零向量，滿足 ，則 在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)，得，再根據(jù)投影向量的公式計(jì)算即可.
【詳解】由題意，，解得，
所以 在上的投影向量為.
故選：.
4. 已知直線與相交于兩點(diǎn)，且為等邊三角形，則實(shí)數(shù)（ ）
A. 或2B. 或4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知得圓心到直線的距離為，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求得答案.
【詳解】解：的圓心，半徑，
因?yàn)橹本€與相交于兩點(diǎn)，且為等邊三角形，則圓心到直線的距離為，
即，整理得，解得或，
故選：A.
5. 已知等比數(shù)列的公比不為1，且，，成等差數(shù)列，則數(shù)列的公比為（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)及等比數(shù)列通項(xiàng)公式列方程求公比.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，且，
由，，成等差數(shù)列，得，
整理得，則.
故選：A
6. 如圖，在直三棱柱 中，所有棱長都相等，分別是棱 的中點(diǎn)，則異面直線與 所成角的余弦值是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平移法作出異面直線與 所成角，解三角形即可求得答案.
【詳解】連接，因?yàn)樵谥比庵?，分別是棱的中點(diǎn)，
故，即四邊形為平行四邊形，所以，
則即為異面直線與 所成角或其補(bǔ)角；
直三棱柱中，所有棱長都相等，設(shè)其棱長為，連接，
則平面，故平面平面，
故，是棱的中點(diǎn)，故，
則,而
，又，故在中，,
由于異面直線所成角的范圍，故異面直線與 所成角的余弦值是，
故選：D.
7. 拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. 5B. 9C. 8D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】利用拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)可得，利用基本不等式即可求得的最小值.
【詳解】由拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)可得，則，
所以，令，，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.
所以的最小值為9.
故選：B.
8. 已知，則的大小關(guān)系正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由于，所以構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性比較大小即可
【詳解】， ，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上遞增，在上遞減，
因?yàn)椋?br>所以，，
因?yàn)椋?br>所以，
所以
故選：D
二、多選題：（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）
9. 函數(shù)（）的圖象的一個(gè)對稱中心為 ，則下列說法正確的是（ ）
A. 直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸
B. 函數(shù)在上單調(diào)遞減
C. 函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位可得到的圖象
D. 函數(shù)在上的最大值為
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)兩角和余弦公式化簡函數(shù)解析式，再根據(jù)對稱中心可得，再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)分別判斷各選項(xiàng).
【詳解】由，
由是函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心，
即，，
解得，，
又，所以，
所以，
對于A選項(xiàng)：令，，解得，，當(dāng)時(shí)，，即直線是函數(shù)的一條對稱軸，故A選項(xiàng)正確；
對于B選項(xiàng)：令，，解得，，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，B選項(xiàng)錯誤；
對于C選項(xiàng)：函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位可得，C選項(xiàng)正確；
對于D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)，即最大值為，D選項(xiàng)錯誤；
故選：AC.
10. 已知直線和圓，則（ ）
A. 直線l恒過定點(diǎn)（2，0）
B. 存在k使得直線l與直線垂直
C. 直線l與圓O相交
D. 若，直線l被圓O截得的弦長為
【答案】BCD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，化為點(diǎn)斜式可以看出直線恒過的點(diǎn)，B選項(xiàng)兩直線斜率存在且垂直，斜率乘積為-1，從而存在滿足題意，C選項(xiàng)直線過的定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故可以判斷C選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，先求圓心到直線的距離，再根據(jù)垂徑定理求弦長
【詳解】直線，即，則直線恒過定點(diǎn)，故A錯誤；
當(dāng) 時(shí)，直線與直線垂直，故B正確：
∵定點(diǎn)（-2，0）在圓O：x2+y2=9內(nèi)部，∴直線l與圓O相交，故C正確：
當(dāng)時(shí)，直線l化為，即x+y+2=0，圓心O到直線的距離，直線l被圓O截得的弦長為，故D正確，
故選：BCD.
11. 已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A.
B.
C. 當(dāng)時(shí)，取最大值
D. 當(dāng)時(shí)，的最小值為27
【答案】ABD
【解析】
【分析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)判斷AB；由A和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和判斷C；由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和和等差中項(xiàng)判斷D.
【詳解】A：首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，
所以，
若，則一定大于零，不符合題意，
所以，，故A正確；
B：由A可知，
，故B正確；
C：由A可知，因?yàn)?，，可知，故，取最大值，故C錯誤；
D：，，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題：（每小題5分，共15分）
12. 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，且的面積，若的平分線交于點(diǎn)D，則________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理求得以及，利用正弦定理求得，進(jìn)而求得.
【詳解】依題意，
所以，
所以，所以為銳角，且.
由余弦定理得，
是的平分線，由正弦定理得，
由于，所以，
所以，而，
，
在三角形中，由正弦定理得，
解得.
故答案為：
13. 若函數(shù)定義域?yàn)?，且為偶函?shù)，的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，則______．
【答案】
【解析】
【分析】由條件可得，，由此證明函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，再求，結(jié)合周期性求結(jié)論.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，為偶函?shù)，
所以，
用替換可得，
因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，
所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，
所以，
所以，
又，，
所以，故，
所以，
所以函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，
由，可得，，，
又，故，
所以，
所以，，
，，
所以.
故答案為：.
14. 三棱錐中，，平面平面，且.記的體積為，內(nèi)切球半徑為，則的最小值為______.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)等體積法可得，即可構(gòu)造函數(shù)，
利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，即可求解最值.
【詳解】設(shè)三棱錐的高為，依題意，可取中點(diǎn)，
連接，，則,
由于，則,
則，
由于平面平面，且交線為,平面，
故平面，故,
則的面積為,的面積，
由可得和的面積為，
于是三棱錐的表面積為，
由等體積可知，
所以，
故=.
設(shè)函數(shù)，且，
則，
當(dāng)單調(diào)遞減，
，單調(diào)遞增，
所以，
所以時(shí)，取得最小值，
故答案為：．
點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用等體積法得到，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo).
四、解答題：
15. 在等差數(shù)列中，已知公差，其前項(xiàng)和滿足.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的表達(dá)式.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）通過等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入計(jì)算即可；
（2）利用錯位相減法求和即可.
【詳解】（1）由題意可知
則，
又，
所以，
所以，解得
所以；
（2）由（1）可知，
所以，
則，
兩式相減，得，整理得.
16. 在中，內(nèi)角所對的邊分別是，已知．
（1）求證：為等腰三角形；
（2）若是鈍角三角形，且面積為，求的值．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】
【分析】（1）利用切化弦將角化成，利用三角變換公式以及正弦定理可證；
（2）利用面積公式和余弦定理可得．
【詳解】（1）由得：，
則，
，，，
由正弦定理可知：，則為等腰三角形.
（2）由題意得：，解得：，
∵為鈍角三角形，且，為鈍角，，
由余弦定理得：，
.
【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理、三角形的面積公式，屬中檔題．
17. 已知函數(shù).
（1）若函數(shù)在處的切線與直線平行，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若函數(shù)的極大值不小于，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出，由已知可得，即可求出實(shí)數(shù)的值；
（2）分、兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
解：因?yàn)椋瑒t，
在直線方程中，令，可得，
由題意可得，解得.
【小問2詳解】
解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?
當(dāng)時(shí)，對任意的，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)無極值；
當(dāng)時(shí)，由，可得，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
故函數(shù)的極大值為，
整理可得，
令，其中，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，
且，由可得，解得.
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
18. 如圖，在三棱柱中，平面，，，為線段上一點(diǎn).

（1）求證：；
（2）若直線與平面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】（1）證明過程見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式進(jìn)行證明即可；
（2）利用空間向量夾角公式，結(jié)合空間點(diǎn)到面距離公式進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以，而，因此建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：
，
，因，
所以，即，
【小問2詳解】
設(shè)平面的法向量為，
，
所以有，
因?yàn)橹本€與平面所成角為，
所以，
解得，即，因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)到平面的距離為：
.
【點(diǎn)睛】
19. 如圖，直線分別與拋物線交于和，與x軸分別交于和，直線與的交點(diǎn)為．

（1）當(dāng)為C的焦點(diǎn)F，且直線與x軸垂直時(shí)，．求拋物線C的方程；
（2）是否成等比數(shù)列？請給予說明；
（3）在問題（1）的條件下，若，求面積S的最小值.
【答案】（1）．
（2）成等比數(shù)列．證明見解答．
（3）8．
【解析】
【分析】（1）由題，求出弦長，即可求出的值；
（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，分別表示出，再證明即可；
（3）由可知，再由（1）的條件求出，從而的面積為，利用基本不等式求最值即可．
【小問1詳解】
由題：拋物線焦點(diǎn)，
又當(dāng)為C的焦點(diǎn)F，且直線與x軸垂直時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以：，
故拋物線C的方程為：．
【小問2詳解】
設(shè)
即
若，則直線的方程為，
令，得，
即，
若，則，
故．
同理：，所以，
所以，
即成等比數(shù)列．
【小問3詳解】
由（1）知：拋物線C的方程為．
由（2）知，若，
則（舍）或，
所以，
在（1）的條件下：，
所以的面積為，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號；
故的面積最小值為8．
【點(diǎn)睛】本題通過設(shè)點(diǎn)法，將其他量分別用表示，找出他們之間的關(guān)系，消元計(jì)算或求最值即可．

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