一、單項選擇題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
1. 在等比數(shù)列中，，公比，則（ ）
A. 6B. C. 12D.
【答案】A
【解析】
【分析】由等比數(shù)列的通項公式計算．
【詳解】.
故選：A．
2. 曲線在點處的切線斜率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.
【詳解】由題意，函數(shù)，可得，所以，
所以曲線在點處的切線斜率.
故選：B.
3. 已知雙曲線的離心率為，則的漸近線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的離心率為，求出，從而可得雙曲線的漸近線方程.
【詳解】因為雙曲線的離心率為，
故，
則，
故雙曲線的漸近線方程為，即，
故選：B.
4. 已知曲線：（），從上任意一點向軸作垂線段，為垂足，則線段中點的軌跡方程為（ ）
A. （）B. （）
C. （）D. （）
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)點，由題意，根據(jù)中點坐標(biāo)表示可得，代入圓的方程即可求解.
【詳解】設(shè)點，則，，
因為為的中點，所以，即，
又在圓上，
所以，即，
即點軌跡方程為.
故選：C.
5. 用0．1，2，3，4這5個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ）
A. 24個B. 26個C. 30個D. 42個
【答案】C
【解析】
【分析】利用分類加法和分步乘法計數(shù)原理，結(jié)合排列的定義即可求.
【詳解】若0在個位，則可組成個偶數(shù)；
若2在個位，則可組成個偶數(shù)；
若4在個位，則可組成個偶數(shù)；
所以偶數(shù)共有個.
故選：C
6. 已知圓與圓，若圓與圓有且僅有一個公共點，則實數(shù)等于（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)方程求出的取值范圍，再將兩圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，得到圓心坐標(biāo)與半徑，分兩圓外切或內(nèi)切兩種情況討論，分別計算可得.
【詳解】由圓得，解得．
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑；
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑．
因為圓與圓有且僅有一個公共點，所以兩圓外切或內(nèi)切．
①若兩圓內(nèi)切，則，解得，符合，
②若兩圓外切，則，解得，符合．
綜合①②得實數(shù)或．
故選：C．
二、多項選擇題（本大題共2小題，每小題6分，共12分）
7. 已知二項式的二項式系數(shù)和為，則下列說法正確的是（ ）
A.
B. 展開式中只有第三項的二項式系數(shù)最大
C. 展開式各項系數(shù)之和是243
D. 展開式中的有理項有4項
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)二項式系數(shù)和為，計算可得，判斷A；根據(jù)，即可判斷B；令，即可判斷C；求出展開式的通項，令的冪指數(shù)為整數(shù)，即可判斷D.
【詳解】因為知二項式的二項式系數(shù)和為，所以，即，故A正確；
因為，所以二項展開式有6項，所以展開式的第三項和第四項的二項式系數(shù)均為最大值，故B錯誤；
令，，所以展開式各項系數(shù)之和是243，故C正確；
二項式展開式的通項為，，
所以、、時，為有理項，即展開式中的有理項只有項，故D錯誤.
故選：AC
8. 已知點在圓上，點分別為直線 與軸，軸的交點，則下列結(jié)論正確的是 （ ）
A. 直線與圓相切B. 圓截軸所得的弦長為
C. 最大值為D. 的面積的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】求得圓的圓心，半徑，以及，根據(jù)，可判定A正確；由圓的弦長公式，可判定B不正確；求得，得到的最大值為，可判定C正確；求得圓心到直線的距離為，求得最小距離，結(jié)合面積公式，可判定D正確.
【詳解】由圓，可得，可得圓心，半徑為，
因為點分別為直線與軸、軸的交點，可得，
對于A中，因為圓心到直線的距離為，所以A正確；
對于B中，由圓截軸的弦長為，所以B不正確；
對于C中，點在圓上，且，其中，所以的最大值為，所以C正確；
對于D中，因為圓心到直線的距離為，
則圓上點到直線的最小距離為，
因為，所以的面積的最小值為，所以D正確.
故選：ACD.
三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分）．
9. 若函數(shù)，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的加法法則即可求解.
【詳解】因為，
所以.
故答案為：.
10. 已知點，則線段的垂直平分線的一般式方程為__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出的中點坐標(biāo)以及垂直平分線的斜率，由點斜式得出其方程并整理可得一般式方程.
【詳解】易知的中點坐標(biāo)為，且，
所以線段的垂直平分線的斜率為2，
可得所求直線方程為，即.
故答案為：
11. 2022年11月，第五屆中國國際進(jìn)口博覽會即將在上海舉行，組委員會準(zhǔn)備安排5名工作人員去A，B，C，D這4所場館，其中A場館安排2人，其余場館各1人，則不同的安排方法種數(shù)為____．
【答案】60
【解析】
【分析】運用分步乘法先安排2人去A場館，再安排其余3人到剩余3個場館即可得結(jié)果.
【詳解】分為兩步，第一步：安排2人去A場館有種結(jié)果，第二步：安排其余3人到剩余3個場館，有種結(jié)果，所以不同的安排方法種數(shù)為．
故答案為：60.
四、解答題：（本題共3小題，共43分．第12題14分，第13題14分，第14題15分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．）
12. 已知拋物線C：過點．
（1）求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；
（2）過該拋物線焦點，作傾斜角為60°的直線，交拋物線于兩點，求線段的長度．
【答案】（1），準(zhǔn)線方程為
（2）
【解析】
【分析】（1）待定系數(shù)法求出拋物線方程和準(zhǔn)線方程；
（2）在第一問基礎(chǔ)上求出直線，與拋物線聯(lián)立后，得到兩根之和，由焦點弦長公式求出答案.
【小問1詳解】
∵過點，
∴，解得，
∴拋物線C：，準(zhǔn)線方程為；
【小問2詳解】
由（1）知，拋物線焦點為，
設(shè)直線AB：，，，
由，得：，則，
則．
13. 已知等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列前項和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為,根據(jù)等差數(shù)列通項公式及前n項和公式得到方程組，解出即可；
（2）首先得到，再利用錯位相減法求和即可得到答案.
【小問1詳解】
設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為,則
∵，∴，解得
∴數(shù)列的通項公式為.
【小問2詳解】
由（1），得，
∴數(shù)列的前項和
∴
∴
所以
14. 已知左?右焦點分別為?的橢圓C：過點，以為直徑的圓過C的下頂點A.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，且直線?的斜率分別為?，證明：為定值.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）由以為直徑的圓過下頂點得，結(jié)合橢圓參數(shù)關(guān)系及點在橢圓上求，寫出橢圓方程即可.
（2）由題意，可設(shè)直線l為，聯(lián)立橢圓方程，由韋達(dá)定理得，又，得表達(dá)式并求值，即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）∵以為直徑的圓過點，
∴，又，
∴橢圓，又C過點，
∴，解得，
∴橢圓C的方程為.
（2）由題意，直線l的斜率一定存在，
∴設(shè)直線l的方程為，
由，消去y得，.
于是，又，
∴，則為定值.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，首先確定直線l的斜率一定存在，再設(shè)直線方程并聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理、斜率兩點式，求得表達(dá)式，最后求證是否為定值.

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