2022-2023學(xué)年甘肅省天水市第一中學(xué)高一上學(xué)期第一學(xué)段檢測數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知，，則（    ）A．， B． C． D．【答案】C【分析】先解方程得交點(diǎn)坐標(biāo)，再求集合運(yùn)算即可.【詳解】解：解方程得，所以，故選：C2．設(shè)全集U是實(shí)數(shù)集R，，都是U的子集（如圖所示），則陰影部分所表示的集合為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】題圖中陰影部分表示集合，即可求【詳解】題圖中陰影部分表示集合.故選：B3．命題“，”的否定是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷即可；【詳解】解：命題“，”為存在量詞命題，其否定為：，；故選：C4．若，且，則下列不等式一定成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】對于ABD，舉例判斷，對于C，利用基本不等式判斷.【詳解】對于A，若，則滿足，且，而，所以A錯誤，對于B，若，則滿足，且，而，所以B錯誤，對于C，因?yàn)?/span>，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，而，所以取不到等號，所以，所以C正確，對于D，若，則滿足，且，而，所以D錯誤，故選：C5．“且”是“”的（    ）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】解：由且，則且，所以，即充分性成立；由推不出且，如，，滿足，但是不成立，故必要性不成立；故“且”是“”的充分不必要條件；故選：B6．下列結(jié)論正確的是（    ）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，的最小值是 D．當(dāng)時(shí)，的最小值為1【答案】B【分析】利用基本不等式及其口訣“一正二定三相等”分析可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，但已知條件中，故A錯誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故B正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，但已知條件中，等號不成立，故C錯誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，但已知條件中，等號不成立，故D錯誤．故選：B.7．若，則下列不等式一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】對A，B，C，D選項(xiàng)作差與0比較即可得出答案.【詳解】對于A，因?yàn)?/span>，故，即，故A錯誤；對于B，，無法判斷，故B錯誤；對于C，因?yàn)?/span>，，故C正確；對于D，因?yàn)?/span>，故，即，故D錯誤．故選：C．8．某金店用一桿不準(zhǔn)確的天平（兩邊臂不等長）稱黃金，某顧客要購買黃金，售貨員先將的砝碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；然后又將的砝碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客，則顧客實(shí)際所得黃金（    ）A．大于 B．小于 C．等于 D．以上都有可能【答案】A【分析】根據(jù)杠桿原理以及基本不等式即可求解.【詳解】由于天平兩邊臂不相等，故可設(shè)天平左臂長為a，右臂長為b（不妨設(shè)），第一次稱出的黃金重為，第二次稱出的黃金重為由杠杠平衡原理可得，，所以，這樣可知稱出的黃金大于.故選:A 二、多選題9．下列說法正確的是（    ）A．“”是“”的必要不充分條件B．“且”是“”的充分不必要條件C．當(dāng)時(shí)，“”是“方程有解”的充要條件D．若P是q的充分不必要條件，則q是p的必要不充分條件【答案】ABD【分析】對命題進(jìn)行正反邏輯推理，并結(jié)合四種條件的定義即可判斷答案.【詳解】對A，由得到x=0或x=2.所以由可以得到，反之，若x=0，滿足成立，但顯然得不到.所以A正確； 對B，由且顯然可以得到，但若，滿足，但不滿足且.所以B正確；對C，時(shí)，方程有解.所以由得不到方程有解，反之方程有解，也無法得到.所以C錯誤.對D，若p是q的充分不必要條件，則q是p的必要不充分條件.所以D正確.故選：ABD.10．下列命題為真命題的為（    ）A． B．當(dāng)時(shí)，，C．成立的充要條件是 D．設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件【答案】ABD【分析】對于A，通過配方判斷，對于B，由根的判別式判斷，對于C，舉例判斷，對于D，由充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】對于A，因?yàn)?/span>，所以恒成立，所以A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，方程的判別式，所以，成立，所以B正確；對于C，若，則，所以成立的充要條件是是錯誤的；對于D，當(dāng)，時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，成立，所以“”是“”的必要不充分條件，所以D正確.故選：ABD.11．已知關(guān)于的方程，則下列說法正確的是（    ）A．當(dāng)時(shí)，方程的兩個實(shí)數(shù)根之和為0B．方程無實(shí)數(shù)根的一個必要條件是C．方程有兩個正根的充要條件是D．方程有一個正根和一個負(fù)根的充要條件是【答案】BD【分析】對于A，直接解方程判斷，對于B，根據(jù)必要條件的定義判斷，對于CD，根據(jù)根的分布和充要條件的定義判斷.【詳解】對于選項(xiàng)，方程為，方程沒有實(shí)數(shù)根，所以選項(xiàng)錯誤；對于選項(xiàng)B，如果方程沒有實(shí)數(shù)根，則，所以是的必要條件，所以選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，如果方程有兩個正根，則，所以，所以方程有兩個正根的充要條件是，所以選項(xiàng)錯誤；對于選項(xiàng)D，如果方程有一個正根和一個負(fù)根，則，所以，所以方程有一個正根和一個負(fù)根的充要條件是，所以選項(xiàng)D正確.故選：BD12．若“，都有”是真命題，則實(shí)數(shù)可能的值是（   ）A．1 B． C．3 D．【答案】AB【分析】求出二次函數(shù)的對稱軸為，分別對和進(jìn)行分類討論，即可得到答案【詳解】解：二次函數(shù)的對稱軸為，①若即，如圖，由圖像可知當(dāng)時(shí)隨的增大而增大，且時(shí)，即滿足題意；②若時(shí)，如圖，由圖像可知的最小值在對稱軸處取得，則時(shí)，，解得，此時(shí)，，綜上，，故選：AB． 三、填空題13．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的值為___________.【答案】或【分析】討論與時(shí)兩種情況求解即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)，為，滿足；當(dāng)時(shí)，，若則，即，解得.綜上所述，或故答案為：或14．已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【分析】根據(jù)充分性和必要性，求得參數(shù)的取值范圍，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分條件，故集合為集合的真子集，故只需.故答案為：.15．若直角三角形斜邊長等于cm，則直角三角形面積的最大值為_____.【答案】25【分析】利用基本不等式可求面積的最大值.【詳解】設(shè)兩條直角邊的邊長分別為，則，故即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故直角三角形面積的最大值為，故答案為：16．已知為正實(shí)數(shù)，則的最小值為__________． 【答案】6【分析】將原式變形為，結(jié)合基本不等式即可求得最值.【詳解】由題得，設(shè)，則.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.所以的最小值為6.故答案為：6 四、解答題17．在①；②“”是“”的充分不必要條件；③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充到本題第（2）問的橫線處，求解下列問題．問題：已知集合，．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若______，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)答案不唯一，具體見解析 【分析】（1）根據(jù)并集得定義求解即可；（2）選①，由，得，列出不等式組，從而可得出答案.選②，由“”是“”的充分不必要條件，得集合為集合的真子集，列出不等式組，從而可得出答案.選③，根據(jù)列出不等式，解之即可得解.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，，所以；（2）解：若選擇①，，則，因?yàn)?/span>，所以，又，所以，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.若選擇②，“”是“”的充分不必要條件，則集合為集合的真子集，因?yàn)?/span>，所以，又，所以，且，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.若選擇③，，又因?yàn)?/span>，，所以或，解得：或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．18．已知不等式的解集為．(1)求實(shí)數(shù)，的值；(2)解關(guān)于的不等式（其中為實(shí)數(shù)）．【答案】(1)，(2)當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為． 【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的解法，可得方程的解，根據(jù)韋達(dá)定理，可得答案；（2）代入（1）的答案，利用分解因式法，解二次不等式，可得答案.【詳解】（1）由題意，為一元二次方程，由韋達(dá)定理，可得，解得.（2）由（1），不等式，可得，整理可得：，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．19．（1）已知，求的最小值；（2）已知是正實(shí)數(shù)，且，求的最小值．【答案】（1）7；（2）．【分析】（1）由題可知，，利用基本不等式即可求解；（2）利用基本不等式“1的妙用”即可求解.【詳解】（1）∵，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，∴的最小值為7．，，．當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號．∴的最小值為．20．已知不等式的解集為.(1)求、的值，(2)若，，，求證：.【答案】(1)，(2)證明見解析 【分析】（1）解不等式，即可得出實(shí)數(shù)、的值；（2）由已知可得，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式求出的最小值，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：由可得，解得，所以，不等式的解集為，因此，，.（2）證明：由已知可得，又因?yàn)?/span>且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故，故.21．2020年初，新冠肺炎疫情襲擊全國，對人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴(yán)重影響．在黨和政府強(qiáng)有力的抗疫領(lǐng)導(dǎo)下，我國控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復(fù)工復(fù)產(chǎn)，減輕經(jīng)濟(jì)下降對企業(yè)和民眾帶來的損失．為降低疫情影響，某廠家擬在2020年舉行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費(fèi)用m萬元滿足（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是2萬件．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（此處每件產(chǎn)品年平均成本按元來計(jì)算）(1)將2020年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)；(2)該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)(2)該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤最大為29萬元 【分析】（1）根據(jù)題意列方程即可.（2）根據(jù)基本不等式，可求出的最小值，從而可求出的最大值.【詳解】（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，（萬件），則，解得，∴．所以每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為（元），∴2020年的利潤．（2）∵當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立．∴，即萬元時(shí)，（萬元）．故該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤最大為29萬元．22．已知a，b，c均為正實(shí)數(shù).(1)求證：.(2)若，求證：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）利用基本不等式證明即可；（2）由利用基本不等式求最值即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>a，b，c都是正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以；（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.∴. 

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