【知識儲備】
1．相互獨(dú)立事件
(1)概念：對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡稱為獨(dú)立．
(2)性質(zhì)：若事件A與B相互獨(dú)立，那么A與eq \x\t(B)，eq \x\t(A)與B，eq \x\t(A)與eq \x\t(B)也都相互獨(dú)立．
2．條件概率
(1)概念：一般地，設(shè)A，B為兩個隨機(jī)事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．
(2)兩個公式
①利用古典概型：P(B|A)＝eq \f(n?AB?,n?A?)；
②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．
3．全概率公式
一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq \i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)．
4. 貝葉斯公式
（1）一般地，當(dāng)且時，有
（2）定理若樣本空間中的事件滿足：
①任意兩個事件均互斥，即，，；
②；
③，．
則對中的任意概率非零的事件，都有，
且
【題型精講】
【題型一 相互獨(dú)立事件的概率】
例1 （2022·華師大二附中高三練習(xí)）某士兵進(jìn)行射擊訓(xùn)練，每次命中目標(biāo)的概率均為，且每次命中與否相互獨(dú)立，則他連續(xù)射擊3次，至少命中兩次的概率為（ ）
A．B．C．D．
例2 （多選題）九月伊始，佛山市某中學(xué)社團(tuán)招新活動開展得如火如茶，小王、小李、小張三位同學(xué)計劃從籃球社、足球社、羽毛球社三個社團(tuán)中各自任選一個，每人選擇各社團(tuán)的概率均為，且每人選擇相互獨(dú)立，則（ ）
A．三人選擇社團(tuán)一樣的概率為
B．三人選擇社團(tuán)各不相同的概率為
C．至少有兩人選擇籃球社的概率為
D．在至少有兩人選擇羽毛球社的前提下，小王選擇羽毛球社的概率為
例3 （2022·浙江省桐廬中學(xué)高三階段練習(xí)）甲?乙兩班進(jìn)行消防安全知識競賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊(duì)，首輪比賽每人一道必答題，答對則為本隊(duì)得1分，答錯或不答都得0分，己知甲隊(duì)3人每人答對的概率分別為，乙隊(duì)每人答對的概率都是，設(shè)每人回答正確與否相互之間沒有影響，用X表示甲隊(duì)總得分.
(1)求的概率；
(2)求甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4的的概率.
【題型精練】
1. （2022·河南高三月考）有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則( )
A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立
C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立
2．（2022·全國高三課時練習(xí)）“五一”勞動節(jié)放假期間，甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為，，，假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·棗莊模擬）女排世界杯比賽采用5局3勝制，前4局比賽采用25分制，每個隊(duì)只有贏得至少25分，并同時超過對方2分時，才勝1局；在決勝局（第五局）采用15分制，每個隊(duì)只有贏得至少15分，并領(lǐng)先對方2分為勝.在比賽中，每一個回合，贏球的一方可得1分，并獲得下一球的發(fā)球權(quán)，輸球的一方不得分.現(xiàn)有甲乙兩隊(duì)進(jìn)行排球比賽.
(1)若前三局比賽中甲已經(jīng)贏兩局，乙贏一局.接下來的每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率為，求甲隊(duì)最后贏得整場比賽的概率；
(2)若前四局比賽中甲?乙兩隊(duì)已經(jīng)各贏兩局比賽.在決勝局（第五局）中，兩隊(duì)當(dāng)前的得分均為14分，且甲已獲得下一發(fā)球權(quán).若甲發(fā)球時甲贏1分的概率為，乙發(fā)球時甲贏1分的概率為.求甲隊(duì)在4個球以內(nèi)（含4個球）贏得整場比賽的概率.
【題型二 條件概率】
必備技巧 求條件概率的常用方法
(1)定義法：P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?).
(2)樣本點(diǎn)法：P(B|A)＝eq \f(n?AB?,n?A?).
(3) 縮樣法：去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解．
例4 （2022·四川模擬）為慶祝建黨100周年，謳歌中華民族實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增進(jìn)全體黨員干部職工對黨史知識的了解，某單位組織開展黨史知識競賽活動，以支部為單位參加比賽，某支部在5道黨史題中(有3道選擇題和2道填空題)，不放回地依次隨機(jī)抽取2道題作答，設(shè)事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第2次抽到選擇題”，則下列結(jié)論中正確的是( )
A．P(A)＝eq \f(3,5) B．P(AB)＝eq \f(3,10)
C．P(B|A)＝eq \f(1,2) D．P(B|eq \x\t(A))＝eq \f(1,2)
例5 （2022·武昌模擬）甲?乙兩人到一商店購買飲料，他們準(zhǔn)備分別從加多寶?農(nóng)夫山泉?雪碧這3種飲品中隨機(jī)選擇一種，且兩人的選擇結(jié)果互不影響.記事件“甲選擇農(nóng)夫山泉”，事件“甲和乙選擇的飲品不同”，則（ ）
A．B．C．D．
【題型精練】
1．（2022·石家莊模擬）端午節(jié)這天人們會懸菖蒲、吃粽子、賽龍舟、喝雄黃酒．現(xiàn)有9個粽子，其中2個為蜜棗餡，3個為臘肉餡，4個為豆沙餡，小明隨機(jī)取兩個，設(shè)事件A為“取到的兩個為同一種餡”，事件B為“取到的兩個均為豆沙餡”，則（ ）
A．B．C．D．
2. （2022·臨沂二模）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)到夫子廟、總統(tǒng)府、中山陵、南京博物館4處景點(diǎn)旅游，每人只去一處景點(diǎn)，設(shè)事件為“4個人去的景點(diǎn)各不相同”，事件為“只有甲去了中山陵”，則____________.
【題型三 全概率公式】
必備技巧 利用全概率公式的思路
(1)按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個復(fù)雜事件分解為若干個互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)；
(2)求P(Ai)和所求事件B在各個互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；
(3)代入全概率公式計算．
例6 （2022·唐山二模）英國數(shù)學(xué)家貝葉斯（1701-1763）在概率論研究方面成就顯著，創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計理論，對于統(tǒng)計決策函數(shù)、統(tǒng)計推斷等做出了重要貢獻(xiàn)．根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計理論，事件，，（的對立事件）存在如下關(guān)系：．若某地區(qū)一種疾病的患病率是，現(xiàn)有一種試劑可以檢驗(yàn)被檢者是否患病，已知該試劑的準(zhǔn)確率為，即在被檢驗(yàn)者患病的前提下用該試劑檢測，有的可能呈現(xiàn)陽性，該試劑的誤報率為，即在被檢驗(yàn)者未患病的情況下用該試劑檢測，有5%的可能會誤報陽性．現(xiàn)隨機(jī)抽取該地區(qū)的一個被檢驗(yàn)者，用該試劑來檢驗(yàn)，結(jié)果呈現(xiàn)陽性的概率為（ ）
A．B．C．D．
例7 鮮花餅是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥餅，是具有云南特色的云南經(jīng)典點(diǎn)心代表，鮮花餅的保質(zhì)期一般在三至四天.據(jù)統(tǒng)計，某超市一天鮮花餅賣出3箱的概率為，賣出箱的概率為，賣出箱的概率為，沒有賣出的概率為，為了保證顧客能夠買到新鮮的鮮花餅，該超市規(guī)定當(dāng)天結(jié)束營業(yè)后檢查貨架上存貨，若賣出箱及以上，則需補(bǔ)貨至箱，否則不補(bǔ)貨.假設(shè)第一天該超市開始營業(yè)時貨架上有箱鮮花餅.
(1)在第一天結(jié)束營業(yè)后貨架上有箱鮮花餅的條件下，求第二天結(jié)束營業(yè)時貨架上有箱存貨的概率；
(2)求第二天結(jié)束營業(yè)時貨架上有箱存貨的概率.
【題型精練】
1．（2022·高三課時練習(xí)）設(shè)甲乘汽車?動車前往某目的地的概率分別為，汽車和動車正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率分別為，則甲正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率為（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·廣東高三模擬）某支足球隊(duì)在對球員的使用上總是進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，乙球員能夠勝任前鋒、中鋒、后衛(wèi)以及守門員四個位置，且出場率分別為0.2，0.5，0.2，0.1，且當(dāng)乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒、中鋒、后衛(wèi)以及守門員時，球隊(duì)輸球的概率依次為0.4，0.2，0.6，0.2.從以上數(shù)據(jù)可知，當(dāng)乙球員參加比賽時，求該球隊(duì)某場比賽不輸球的概率.
【題型四 貝葉斯公式】
例8 （多選題）（2022·山東·高密三中高三階段練習(xí)）英國數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計理論，隨機(jī)事件?存在如下關(guān)系：.某高校有甲?乙兩家餐廳，王同學(xué)第一天去甲?乙兩家餐廳就餐的概率分別為0.4和0.6.如果他第一天去甲餐廳，那么第二天去甲餐廳的概率為0.6；如果第一天去乙餐廳，那么第二天去甲餐廳的概率為0.5，則王同學(xué)（ ）
A．第二天去甲餐廳的概率為0.54
B．第二天去乙餐廳的概率為0.44
C．第二天去了甲餐廳，則第一天去乙餐廳的概率為
D．第二天去了乙餐廳，則第一天去甲餐廳的概率為
【題型精練】
1．（2022·常州市新橋高級中學(xué)高三模擬）某工廠有兩個生產(chǎn)車間，所生產(chǎn)的同一批產(chǎn)品合格率分別是和，已知某批產(chǎn)品的和分別是兩個車間生產(chǎn)，質(zhì)量跟蹤小組從中隨機(jī)抽取一件，發(fā)現(xiàn)不合格，則該產(chǎn)品是由A車間生產(chǎn)的概率為（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·濟(jì)北中學(xué)高三月考）一道考題有4個答案，要求學(xué)生將其中的一個正確答案選擇出來.某考生知道正確答案的概率為，在亂猜時，4個答案都有機(jī)會被他選擇，若他答對了，則他確實(shí)知道正確答案的概率是（ ）
A．B．C．D．
3. （多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲箱中有個紅球，個白球和個黑球，乙箱中有個紅球，個白球和個黑球．先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別以和表示由甲箱取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．事件與事件相互獨(dú)立B．
C．D．

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