1.相互獨立事件
(1)概念：對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.
(2)性質(zhì)：若事件A與B相互獨立，那么A與eq \(B,\s\up6(－))__，eq \(A,\s\up6(－))與B，eq \(A,\s\up6(－))與eq \(B,\s\up6(－))也都相互獨立.
2.條件概率
(1)概念：一般地，設A，B為兩個隨機事件，且P(A)＞0，我們稱P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.
(2)兩個公式
①利用古典概型，P(B|A)＝eq \f(n（AB）,n（A）)；
②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).
3.全概率公式
一般地，設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq \a\vs4\al(\(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1))P（Ai）P（B|Ai）)，我們稱上面的公式為全概率公式.
考點1 相互獨立事件的概率
[名師點睛]
求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法
(1)相互獨立事件同時發(fā)生的概率等于他們各自發(fā)生的概率之積．
(2)當正面計算較復雜或難以入手時，可從其對立事件入手計算．
[典例]
1.(2023·新高考全國Ⅰ)有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則( )
A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立
C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立
2.(多選)甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是( )
A．P(B)＝eq \f(2,5)
B．P(B|A1)＝eq \f(5,11)
C．事件B與事件A1相互獨立
D．A1，A2，A3是兩兩互斥的事件
[舉一反三]
1.(2023·福州模擬)投壺是從先秦延續(xù)至清末的中國傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲．晉代在廣泛開展投壺活動中，對投壺的壺也有所改進，即在壺口兩旁增添兩耳，因此在投壺的花式上就多了許多名目，如“貫耳(投入壺耳)”．每一局投壺，每一位參賽者各有四支箭，投入壺口一次得1分，投入壺耳一次得2分．現(xiàn)有甲、乙兩人進行投壺比賽(兩人投中壺口、壺耳是相互獨立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壺口的概率為eq \f(1,3)，投中壺耳的概率為eq \f(1,5).四支箭投完，以得分多者贏．請問乙贏得這局比賽的概率為( )
A.eq \f(13,75) B.eq \f(3,75) C.eq \f(8,15) D.eq \f(8,75)
2.(2023·全國Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：
累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束.
經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為eq \f(1,2).
(1)求甲連勝四場的概率；
(2)求需要進行第五場比賽的概率；
(3)求丙最終獲勝的概率.
考點2 條件概率
[名師點睛]
求條件概率的常用方法
(1)定義法：P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?).
(2)樣本點法：P(B|A)＝eq \f(n?AB?,n?A?).
(3) 縮樣法：去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解．
[典例]
1.某公司為方便員工停車，租了6個停車位，編號如圖所示．公司規(guī)定：每個車位只能停一輛車，每個員工只允許占用一個停車位．記事件A為“員工小王的車停在編號為奇數(shù)的車位上”，事件B為“員工小李的車停在編號為偶數(shù)的車位上”，則P(A|B)等于( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(3,10) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,5)
2.(多選)(2023·濱州模擬)為慶祝建黨100周年，謳歌中華民族實現(xiàn)偉大復興的奮斗歷程，增進全體黨員干部職工對黨史知識的了解，某單位組織開展黨史知識競賽活動，以支部為單位參加比賽，某支部在5道黨史題中(有3道選擇題和2道填空題)，不放回地依次隨機抽取2道題作答，設事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第2次抽到選擇題”，則下列結論中正確的是( )
A．P(A)＝eq \f(3,5) B．P(AB)＝eq \f(3,10)
C．P(B|A)＝eq \f(1,2) D．P(B|eq \x\t(A))＝eq \f(1,2)
[舉一反三]
1.已知盒中裝有3個紅球、2個白球、5個黑球，它們大小形狀完全相同.現(xiàn)需一個紅球，甲每次從中任取一個不放回，則在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(1,3) C.eq \f(3,8) D.eq \f(2,9)
2.對標有不同編號的6件正品和4件次品的產(chǎn)品進行檢測，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的條件下，第二次摸到正品的概率是( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(5,9) D.eq \f(2,3)
考點3 全概率公式的應用
[名師點睛]
利用全概率公式的思路
(1)按照確定的標準，將一個復雜事件分解為若干個互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)；
(2)求P(Ai)和所求事件B在各個互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；
(3)代入全概率公式計算．
[典例]
甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊， 三人擊中的概率分別為0.4，0.5，0.7.飛機被一人擊中而擊落的概率為0.2，被兩人擊中而擊落的概率為0.6, 若三人都擊中， 飛機必定被擊落， 求飛機被擊落的概率.
[舉一反三]
1.已知在所有男子中有5%患有色盲癥，在所有女子中有0.25%患有色盲癥，隨機抽一人發(fā)現(xiàn)患色盲癥，其為男子的概率為(設男子和女子的人數(shù)相等)( )
A.eq \f(10,11) B.eq \f(20,21) C.eq \f(11,21) D.eq \f(1,12)
2.葫蘆山莊襟渤海之遼闊，仰天角之雄奇，勘葫蘆之蘊涵，顯人文之魅力，是渤海灣著名的人文景區(qū)，是葫蘆島市“葫蘆文化與關東民俗文化”代表地和中小學綜合實踐教育基地．山莊中葫蘆品種分為亞腰、瓢、長柄錘、長筒、異型、花皮葫蘆等系列．其中亞腰胡蘆具有天然迷彩花紋，果實形狀不固定，觀賞性強，每株亞腰葫蘆可結出果實20～80個.2021年初葫蘆山莊播種用的一等亞腰葫蘆種子中混有2%的二等種子，1.5%的三等種子，1%的四等種子，一、二、三、四等種子長出的葫蘆秧結出50顆以上果實的概率分別為0.5，0.15,0.1,0.05，則這批種子所生長出的葫蘆秧結出50顆以上果實的概率為________．
第60講 事件的相互獨立性與條件概率
1.相互獨立事件
(1)概念：對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.
(2)性質(zhì)：若事件A與B相互獨立，那么A與eq \(B,\s\up6(－))__，eq \(A,\s\up6(－))與B，eq \(A,\s\up6(－))與eq \(B,\s\up6(－))也都相互獨立.
2.條件概率
(1)概念：一般地，設A，B為兩個隨機事件，且P(A)＞0，我們稱P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.
(2)兩個公式
①利用古典概型，P(B|A)＝eq \f(n（AB）,n（A）)；
②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).
3.全概率公式
一般地，設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq \a\vs4\al(\(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1))P（Ai）P（B|Ai）)，我們稱上面的公式為全概率公式.
考點1 相互獨立事件的概率
[名師點睛]
求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法
(1)相互獨立事件同時發(fā)生的概率等于他們各自發(fā)生的概率之積．
(2)當正面計算較復雜或難以入手時，可從其對立事件入手計算．
[典例]
1.(2023·新高考全國Ⅰ)有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則( )
A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立
C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立
答案 B
解析 事件甲發(fā)生的概率P(甲)＝eq \f(1,6)，事件乙發(fā)生的概率P(乙)＝eq \f(1,6)，事件丙發(fā)生的概率P(丙)＝eq \f(5,6×6)＝eq \f(5,36)，事件丁發(fā)生的概率P(丁)＝eq \f(6,6×6)＝eq \f(1,6).事件甲與事件丙同時發(fā)生的概率為0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A錯誤；事件甲與事件丁同時發(fā)生的概率為eq \f(1,6×6)＝eq \f(1,36)，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正確；事件乙與事件丙同時發(fā)生的概率為eq \f(1,6×6)＝eq \f(1,36)，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C錯誤；事件丙與事件丁是互斥事件，不是相互獨立事件，故D錯誤．
2.(多選)甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是( )
A．P(B)＝eq \f(2,5)
B．P(B|A1)＝eq \f(5,11)
C．事件B與事件A1相互獨立
D．A1，A2，A3是兩兩互斥的事件
答案 BD
解析 易知A1，A2，A3是兩兩互斥的事件，
P(B|A1)＝eq \f(P?BA1?,P?A1?)＝eq \f(\f(5,10)×\f(5,11),\f(5,10))＝eq \f(5,11)，
P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝eq \f(5,10)×eq \f(5,11)＋eq \f(2,10)×eq \f(4,11)＋eq \f(3,10)×eq \f(4,11)＝eq \f(9,22).
[舉一反三]
1.(2023·福州模擬)投壺是從先秦延續(xù)至清末的中國傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲．晉代在廣泛開展投壺活動中，對投壺的壺也有所改進，即在壺口兩旁增添兩耳，因此在投壺的花式上就多了許多名目，如“貫耳(投入壺耳)”．每一局投壺，每一位參賽者各有四支箭，投入壺口一次得1分，投入壺耳一次得2分．現(xiàn)有甲、乙兩人進行投壺比賽(兩人投中壺口、壺耳是相互獨立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壺口的概率為eq \f(1,3)，投中壺耳的概率為eq \f(1,5).四支箭投完，以得分多者贏．請問乙贏得這局比賽的概率為( )
A.eq \f(13,75) B.eq \f(3,75) C.eq \f(8,15) D.eq \f(8,75)
答案 A
解析 由題意，若乙要贏得這局比賽，按照乙第三支箭的情況可分為兩類：
(1)第三支箭投中壺口，第四支箭必須投入壺耳，
其概率為P1＝eq \f(1,3)×eq \f(1,5)＝eq \f(1,15)；
(2)第三支箭投入壺耳，第四支箭投入壺口、壺耳均可，
其概率為P2＝eq \f(1,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋\f(1,5)))＝eq \f(8,75)，所以乙贏得這局比賽的概率為P＝P1＋P2＝eq \f(1,15)＋eq \f(8,75)＝eq \f(13,75).
2.(2023·全國Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：
累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束.
經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為eq \f(1,2).
(1)求甲連勝四場的概率；
(2)求需要進行第五場比賽的概率；
(3)求丙最終獲勝的概率.
解 (1)甲連勝四場的概率為eq \f(1,16).
(2)根據(jù)賽制，至少需要進行四場比賽，至多需要進行五場比賽.
比賽四場結束，共有三種情況：
甲連勝四場的概率為eq \f(1,16)；乙連勝四場的概率為eq \f(1,16)；
丙上場后連勝三場的概率為eq \f(1,8).
所以需要進行第五場比賽的概率為
1－eq \f(1,16)－eq \f(1,16)－eq \f(1,8)＝eq \f(3,4).
(3)丙最終獲勝，有兩種情況：
比賽四場結束且丙最終獲勝的概率為eq \f(1,8)；
比賽五場結束且丙最終獲勝，則從第二場開始的四場比賽按照丙的勝、負、輪空結果有三種情況：勝勝負勝，勝負空勝，負空勝勝，概率分別為eq \f(1,16)，eq \f(1,8)，eq \f(1,8).
因此丙最終獲勝的概率為
eq \f(1,8)＋eq \f(1,16)＋eq \f(1,8)＋eq \f(1,8)＝eq \f(7,16).
考點2 條件概率
[名師點睛]
求條件概率的常用方法
(1)定義法：P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?).
(2)樣本點法：P(B|A)＝eq \f(n?AB?,n?A?).
(3) 縮樣法：去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解．
[典例]
1.某公司為方便員工停車，租了6個停車位，編號如圖所示．公司規(guī)定：每個車位只能停一輛車，每個員工只允許占用一個停車位．記事件A為“員工小王的車停在編號為奇數(shù)的車位上”，事件B為“員工小李的車停在編號為偶數(shù)的車位上”，則P(A|B)等于( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(3,10)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,5)
答案 D
解析 根據(jù)條件概率的計算公式可得，
P(A|B)＝eq \f(P?AB?,P?B?)＝eq \f(\f(3,6)×\f(3,5),\f(3,6))＝eq \f(3,5).
2.(多選)(2023·濱州模擬)為慶祝建黨100周年，謳歌中華民族實現(xiàn)偉大復興的奮斗歷程，增進全體黨員干部職工對黨史知識的了解，某單位組織開展黨史知識競賽活動，以支部為單位參加比賽，某支部在5道黨史題中(有3道選擇題和2道填空題)，不放回地依次隨機抽取2道題作答，設事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第2次抽到選擇題”，則下列結論中正確的是( )
A．P(A)＝eq \f(3,5) B．P(AB)＝eq \f(3,10)
C．P(B|A)＝eq \f(1,2) D．P(B|eq \x\t(A))＝eq \f(1,2)
答案 ABC
解析 P(A)＝eq \f(C\\al(1,3),C\\al(1,5))＝eq \f(3,5)，故A正確；
P(AB)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,2),C\\al(1,5)C\\al(1,4))＝eq \f(3,10)，故B正確；
P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)＝eq \f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq \f(1,2)，故C正確；
P(eq \x\t(A))＝1－P(A)＝1－eq \f(3,5)＝eq \f(2,5)，
P(eq \x\t(A)B)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,3),C\\al(1,5)C\\al(1,4))＝eq \f(3,10)，
P(B|eq \x\t(A))＝eq \f(P?\x\t(A)B?,P?\x\t(A)?)＝eq \f(\f(3,10),\f(2,5))＝eq \f(3,4)，故D錯誤．
[舉一反三]
1.已知盒中裝有3個紅球、2個白球、5個黑球，它們大小形狀完全相同.現(xiàn)需一個紅球，甲每次從中任取一個不放回，則在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(1,3) C.eq \f(3,8) D.eq \f(2,9)
答案 B
解析 設“第一次拿到白球”為事件A，“第二次拿到紅球”為事件B，依題意P(A)＝eq \f(2,10)＝eq \f(1,5)，P(AB)＝eq \f(2×3,10×9)＝eq \f(1,15)，
故P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)＝eq \f(1,3).
2.對標有不同編號的6件正品和4件次品的產(chǎn)品進行檢測，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的條件下，第二次摸到正品的概率是( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(5,9) D.eq \f(2,3)
答案 D
解析 記A＝“第一次摸出的是次品”，B＝“第二次摸到的是正品”，由題意知，
P(A)＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5)，P(AB)＝eq \f(4,10)×eq \f(6,9)＝eq \f(4,15)，
則P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)＝eq \f(\f(4,15),\f(2,5))＝eq \f(2,3).
考點3 全概率公式的應用
[名師點睛]
利用全概率公式的思路
(1)按照確定的標準，將一個復雜事件分解為若干個互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)；
(2)求P(Ai)和所求事件B在各個互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；
(3)代入全概率公式計算．
[典例]
甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊， 三人擊中的概率分別為0.4，0.5，0.7.飛機被一人擊中而擊落的概率為0.2，被兩人擊中而擊落的概率為0.6, 若三人都擊中， 飛機必定被擊落， 求飛機被擊落的概率.
解 設B＝“飛機被擊落”，Ai＝“飛機被i人擊中”，i＝1，2，3，則B＝A1B＋A2B＋A3B，P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1，
由全概率公式，得
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3).
為求P(Ai)，設Hi＝{飛機被第i人擊中}，
i＝1，2，3，且H1，H2，H3相互獨立，
則P(H1)＝0.4，P(H2)＝0.5，P(H3)＝0.7，
故P(A1)＝P(H1eq \(H,\s\up6(－))2eq \(H,\s\up6(－))3＋eq \(H,\s\up6(－))1H2eq \(H,\s\up6(－))3＋eq \(H,\s\up6(－))1eq \(H,\s\up6(－))2H3)
＝P(H1)P(eq \(H,\s\up6(－))2)P(eq \(H,\s\up6(－))3)＋P(eq \(H,\s\up6(－))1)P(H2)·P(eq \(H,\s\up6(－))3)＋P(eq \(H,\s\up6(－))1)P(eq \(H,\s\up6(－))2)P(H3)＝0.36，
P(A2)＝P(H1H2eq \(H,\s\up6(－))3＋H1eq \(H,\s\up6(－))2H3＋eq \(H,\s\up6(－))1H2H3)＝P(H1)P(H2)P(eq \(H,\s\up6(－))3)＋P(H1)P(eq \(H,\s\up6(－))2)P(H3)＋P(eq \(H,\s\up6(－))1)P(H2)P(H3)＝0.41，
P(A3)＝P(H1H2H3)
＝P(H1)P(H2)P(H3)＝0.14.
于是P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458，
即飛機被擊落的概率為0.458.
[舉一反三]
1.已知在所有男子中有5%患有色盲癥，在所有女子中有0.25%患有色盲癥，隨機抽一人發(fā)現(xiàn)患色盲癥，其為男子的概率為(設男子和女子的人數(shù)相等)( )
A.eq \f(10,11) B.eq \f(20,21)
C.eq \f(11,21) D.eq \f(1,12)
答案 B
解析 設A表示“男子”，B表示“女子”，C表示“這人有色盲”，
則P(C|A)＝0.05，P(C|B)＝0.002 5，P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，
可得P(A|C)＝eq \f(P?A?P?C|A?,P?A?P?C|A?＋P?B?P?C|B?)＝eq \f(0.05×0.5,0.5×0.05＋0.5×0.002 5)＝eq \f(20,21).
2.葫蘆山莊襟渤海之遼闊，仰天角之雄奇，勘葫蘆之蘊涵，顯人文之魅力，是渤海灣著名的人文景區(qū)，是葫蘆島市“葫蘆文化與關東民俗文化”代表地和中小學綜合實踐教育基地．山莊中葫蘆品種分為亞腰、瓢、長柄錘、長筒、異型、花皮葫蘆等系列．其中亞腰胡蘆具有天然迷彩花紋，果實形狀不固定，觀賞性強，每株亞腰葫蘆可結出果實20～80個.2021年初葫蘆山莊播種用的一等亞腰葫蘆種子中混有2%的二等種子，1.5%的三等種子，1%的四等種子，一、二、三、四等種子長出的葫蘆秧結出50顆以上果實的概率分別為0.5，0.15,0.1,0.05，則這批種子所生長出的葫蘆秧結出50顆以上果實的概率為________．
答案 0.482 5
解析 設從這批種子中任選一顆是一、二、三、四等種子的事件分別是A1，A2，A3，A4，則Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4兩兩互斥，設B表示“從這批種子中任選一顆，所生長出的葫蘆秧結出50顆以上果實”，
則P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＋P(A4)P(B|A4)
＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482 5.

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