【知識(shí)儲(chǔ)備】
1.函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)
(1)定義：稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率eq^\(,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)＝eq^\(,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)。
(2)幾何意義：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率.相應(yīng)地，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0).
2.函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)
如果函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)值在(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)，函數(shù)f′(x)＝ eq \f(f(x＋Δx)－f(x),Δx)稱為函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù).
3.導(dǎo)數(shù)公式表
4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
若f′(x)，g′(x)存在，則有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f(x),g(x))))′＝eq \f(f′(x)g(x)－f(x)g′(x),[g(x)]2)(g(x)≠0).
5.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′.
【題型精講】
【題型一 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算】
必備技巧 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算技巧
1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)分割成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo).
2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.
3.抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.
例1 （2022·山東濟(jì)南高三期末）分別求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)y＝exln x；
(2)y＝eq \f(cs x,ex)；
(3)f(x)＝ln eq \r(1＋2x).
例2 （2022·全國高三專題練習(xí)）已知，則______.
【題型精練】
1．（2022·全國高三課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
（1）；（2）；（3）．
2. （2022·全國高三課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
（1）；（2）；（3）．（4）；（5）．
3.（2022·江蘇高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足關(guān)系式，則的值等于__________.
【題型二 導(dǎo)數(shù)求切線方程（兩類）】
必備技巧 兩類切線方程的區(qū)別
注意區(qū)分“在點(diǎn)P處的切線”與“過點(diǎn)P處的切線”：在“點(diǎn)P處的切線”，說明點(diǎn)P為切點(diǎn)，點(diǎn)P既在曲線上，又在切線上；“過點(diǎn)P處的切線”，說明點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P一定在切線上，不一定在曲線上．
例3 （2022·鄲城縣實(shí)驗(yàn)高中高三期末）已知曲線
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）求曲線過點(diǎn)的切線方程
【題型精練】
1．（2022·吉林·白城一中高三模擬）已知函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋5x－4．
(1)求曲線f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程；
(2)求經(jīng)過點(diǎn)A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程．
2.（2022·定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校期末）已知函數(shù)，過點(diǎn)作曲線的切線，則函數(shù)的切線方程為_______________________．
【題型三 切線中求參問題】
必備技巧 切線中的求參問題
處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題，關(guān)鍵是根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程：
①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)在曲線上．
例4 (1)函數(shù)f(x)＝ln x＋ax的圖象存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(－∞，2] B.(－∞，2)
C.(2，＋∞) D.(0，＋∞)
(2)(2022·河南六市聯(lián)考)已知曲線f(x)＝x＋eq \f(a,x)＋b(x≠0)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＝2x＋5，則a－b＝________.
(3)（2022·全國高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)在曲線上，為曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【題型精練】
1.．（2022·新余市第一中學(xué)模擬）直線是曲線的切線，則它的傾斜角的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·重慶八中高三月考）已知定義在上的函數(shù)滿足，若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為2，則（ ）
A．1B．C．0D．2
3.（2022·全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則 的取值范圍是（ ）
B．C．D．
【題型四 公切線問題】
必備技巧 公切線問題
求兩條曲線的公切線，如果同時(shí)考慮兩條曲線與直線相切，頭緒會(huì)比較亂，為了使思路更清晰，一般是把兩條曲線分開考慮，先分析其中一條曲線與直線相切，再分析另一條曲線與直線相切，直線與拋物線相切可用判別式法．
例5 （全國卷高考）若直線y＝kx＋b是曲線y＝ln x＋2的切線，也是曲線y＝ln(x＋1)的切線，則b＝________．
例6 （2022·全國高三專題練習(xí)）已知曲線y＝x＋ln x在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，則a＝ .
例7（2022·全國高三專題練習(xí)）已知曲線f(x)＝ln x＋1與g(x)＝x2－x＋a有公共切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【題型精練】
1. (2022·江南十校聯(lián)考)已知f(x)＝ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，g(x)＝ln x＋2，直線l是f(x)與g(x)的公切線，則直線l的方程為 ．
2．（2022·安徽省舒城中學(xué)高三三模）若函數(shù)與的圖象有一條公共切線，且該公共切線與直線平行，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．D．
【題型五 與切線有關(guān)的距離問題】
例8 （2022·山東濟(jì)南期末）已知，則的最小值為 ．
【題型精練】
1.（2022·云南昆明市·昆明一中高三期末）函數(shù)圖象上一點(diǎn)到直線的最短距離為___________.
2.（2022·安徽省泗縣第一中學(xué)高三模擬（理））若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最小距離為（ ）
A．B．C．D．
基本初等函數(shù)
導(dǎo)函數(shù)
f(x)＝c(c為常數(shù))
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a＞0)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)
f(x)＝lgax (a＞0，a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)

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