3.1導數(shù)的概念及切線問題（精講）-【題型·技巧培優(yōu)系列】最新高考數(shù)學大一輪復習精講精練（新高考地區(qū)）-試卷下載-教習網

3.1 導數(shù)的概念及切線問題【題型解讀】【知識儲備】1.函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)(1)定義：稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率＝為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝。(2)幾何意義：函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(x0，f(x0))處的切線的斜率.相應地，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0).2.函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)如果函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)內的每一點處都有導數(shù)，其導數(shù)值在(a，b)內構成一個新函數(shù)，函數(shù)f′(x)＝稱為函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間內的導函數(shù).3.導數(shù)公式表基本初等函數(shù)導函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin xf′(x)＝cos xf(x)＝cos xf′(x)＝－sin xf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a＞0)f′(x)＝axln af(x)＝ln xf′(x)＝f(x)＝logax (a＞0，a≠1)f′(x)＝4.導數(shù)的運算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0).5.復合函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關系為yx′＝yu′·ux′.【題型精講】【題型一　導數(shù)的運算】必備技巧導數(shù)運算技巧1.求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)分割成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導.2.復合函數(shù)求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元.3.抽象函數(shù)求導，恰當賦值是關鍵，然后活用方程思想求解.例1　（2022·山東濟南高三期末）分別求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝exln x；(2)y＝；(3)f(x)＝ln . 例2　（2022·全國高三專題練習）已知，則______. 【題型精練】 1．（2022·全國高三課時練習）求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）；（2）；（3）． 2. （2022·全國高三課時練習）求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）；（2）；（3）．（4）；（5）． 3.（2022·江蘇高三專題練習）已知函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足關系式，則的值等于__________. 【題型二　導數(shù)求切線方程（兩類）】必備技巧兩類切線方程的區(qū)別注意區(qū)分“在點P處的切線”與“過點P處的切線”：在“點P處的切線”，說明點P為切點，點P既在曲線上，又在切線上；“過點P處的切線”，說明點P不一定是切點，點P一定在切線上，不一定在曲線上．例3　（2022·鄲城縣實驗高中高三期末）已知曲線（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求曲線過點的切線方程【題型精練】1．（2022·吉林·白城一中高三模擬）已知函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋5x－4．(1)求曲線f(x)在點(2，f(2))處的切線方程；(2)求經過點A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程． 2.（2022·定遠縣育才學校期末）已知函數(shù)，過點作曲線的切線，則函數(shù)的切線方程為_______________________．【題型三　切線中求參問題】必備技巧切線中的求參問題處理與切線有關的參數(shù)問題，關鍵是根據曲線、切線、切點的三個關系列出參數(shù)的方程：①切點處的導數(shù)是切線的斜率；②切點在切線上；③切點在曲線上．例4　 (1)函數(shù)f(x)＝ln x＋ax的圖象存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞) D.(0，＋∞)(2)(2022·河南六市聯(lián)考)已知曲線f(x)＝x＋＋b(x≠0)在點(1，f(1))處的切線方程為y＝2x＋5，則a－b＝________.(3)（2022·全國高二課時練習）已知點在曲線上，為曲線在點處的切線的傾斜角，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【題型精練】 1.．（2022·新余市第一中學模擬）直線是曲線的切線，則它的傾斜角的取值范圍是（）A． B． C． D．2．（2022·重慶八中高三月考）已知定義在上的函數(shù)滿足，若曲線在點處的切線斜率為2，則（）A．1 B． C．0 D．2 3.（2022·全國高三專題練習）已知函數(shù)，過點可作曲線的三條切線，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【題型四　公切線問題】必備技巧公切線問題求兩條曲線的公切線，如果同時考慮兩條曲線與直線相切，頭緒會比較亂，為了使思路更清晰，一般是把兩條曲線分開考慮，先分析其中一條曲線與直線相切，再分析另一條曲線與直線相切，直線與拋物線相切可用判別式法．例5　（全國卷高考）若直線y＝kx＋b是曲線y＝ln x＋2的切線，也是曲線y＝ln(x＋1)的切線，則b＝________．例6　（2022·全國高三專題練習）已知曲線y＝x＋ln x在點(1,1)處的切線與曲線y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，則a＝ . 例7（2022·全國高三專題練習）已知曲線f(x)＝ln x＋1與g(x)＝x2－x＋a有公共切線，求實數(shù)a的取值范圍．【題型精練】 1. (2022·江南十校聯(lián)考)已知f(x)＝ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))，g(x)＝ln x＋2，直線l是f(x)與g(x)的公切線，則直線l的方程為． 2．（2022·安徽省舒城中學高三三模）若函數(shù)與的圖象有一條公共切線，且該公共切線與直線平行，則實數(shù)（）A． B． C． D．【題型五　與切線有關的距離問題】例8　（2022·山東濟南期末）已知，則的最小值為．【題型精練】 1.（2022·云南昆明市·昆明一中高三期末）函數(shù)圖象上一點到直線的最短距離為___________. 2.（2022·安徽省泗縣第一中學高三模擬（理））若點是曲線上任意一點，則點到直線的最小距離為（）A． B． C． D．