新高考數(shù)學二輪復習解答題提優(yōu)訓練專題2.10 圓錐曲線（拋物線）（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

1．求軌跡方程的常用方法
(1)直接法：根據(jù)題目條件，直譯為關(guān)于動點的幾何關(guān)系，再利用解析幾何有關(guān)公式(兩點距離公式、點到直線距離公式、夾角公式等)進行整理、化簡，即把這種關(guān)系“翻譯”成含x，y的等式就得到曲線的軌跡方程了．
(2)定義法：若動點軌跡滿足已知曲線的定義，可先設定方程，再確定其中的基本量，求出動點的軌跡方程．
(3)相關(guān)點法：有些問題中，其動點滿足的條件不便用等式列出，但動點是隨著另一動點(稱之為相關(guān)點)而運動的，如果相關(guān)點所滿足的條件是明顯的，或是可分析的，這時我們可以用動點坐標表示相關(guān)點坐標，根據(jù)相關(guān)點所滿足的方程即可求得動點的軌跡方程．
2．解決直線與曲線的弦長時，往往設直線與曲線的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則 (k為直線斜率)．
3．有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．
1．（2023·江蘇·二模）如圖，過軸左側(cè)的一點作兩條直線分別與拋物線交于和四點，并且滿足，．
(1)設的中點為，證明垂直于軸
(2)若是雙曲線左支上的一點，求面積的最小值．
2．（2023·全國·模擬預測）已知是平面直角坐標系的原點，是拋物線：（）的焦點，過點的直線交拋物線于，兩點，且的重心為在曲線上．
(1)求拋物線的方程；
(2)記曲線與軸的交點為，且直線與軸相交于點，弦的中點為，求四邊形面積的最小值．
3．（2023·全國·模擬預測）已知O為坐標原點，拋物線與直線x=y＋6交于A，B兩點，且.
(1)求拋物線的方程；
(2)過點（－2，0）的直線交拋物線于點P，Q，證明：拋物線上存在點M，使得kMP＋kMQ為常數(shù)，并求此時點M的坐標及常數(shù)的值.
4．（2023·云南昭通·統(tǒng)考模擬預測）已知為坐標原點，拋物線的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且，且.
(1)求曲線的方程；
(2)過焦點的直線與曲線交于，兩點，直線，與圓的另一交點分別為，，求與的面積之比的最大值.
5．（2023春·安徽滁州·高二開學考試）已知動圓過定點，且與直線：相切，圓心的軌跡為．
(1)求動點的軌跡方程；
(2)過點作傾斜角為的直線交軌跡于，兩點，求．
6．（2023春·江蘇·高三階段練習）已知直線與拋物線交于兩點，，與拋物線交于兩點，，其中A，C在第一象限，B，D在第四象限.
(1)若直線過點，且，求直線的方程；
(2)①證明：；
②設，的面積分別為，，（O為坐標原點），若，求.
7．（2023秋·浙江杭州·高二?？计谀┮阎獟佄锞€的頂點在原點，焦點在直線上．
(1)求拋物線的標準方程；
(2)過點的直線m與焦點在x軸上的拋物線交于A，B兩點，若原點O在以線段AB為直徑的圓外，求實數(shù)a的取值范圍．
8．（2023·內(nèi)蒙古包頭·統(tǒng)考一模）已知直線l與拋物線交于A，B兩點，且，，D為垂足，點D的坐標為．
(1)求C的方程；
(2)若點E是直線上的動點，過點E作拋物線C的兩條切線，，其中P，Q為切點，試證明直線恒過一定點，并求出該定點的坐標．
9．（2023春·廣東·高二階段練習）已知點，點為平面上的動點，過點作直線的垂線，垂足為，且.
(1)求動點的軌跡的方程；
(2)設點的軌跡與軸交于點，點，是軌跡上異于點的不同的兩點，且滿足，求的最小值.
10．（2023春·安徽宿州·高二階段練習）已知過拋物線的焦點F，斜率為的直線交拋物線于，兩點，且．
(1)求拋物線的方程；
(2)拋物線的準線與x軸交于點，過點的直線l交拋物線C于M，N兩點，當時，求直線l的方程．
11．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二階段練習）已知橢圓與拋物線有一個相同的焦點，橢圓的長軸長為2p．
(1)求橢圓與拋物線的方程；
(2)P為拋物線上一點，為橢圓的左焦點，直線交橢圓于A，B兩點，直線與拋物線交于P，Q兩點，求的最大值．
12．（2023秋·云南楚雄·高三統(tǒng)考期末）已知拋物線C：的焦點為F，點P在C上，，且點P在圓上.
(1)求C的方程；
(2)過F且不與x軸垂直的直線l與C交于A，B兩點，點A與點M關(guān)于x軸對稱，直線BM與x軸交于點N，若△ABN的面積為，求直線l的方程.
13．（2023春·四川綿陽·高二階段練習）已知拋物線過點.
(1)求拋物線的方程，并求其準線方程;
(2)過該拋物線的焦點，作傾斜角為的直線，交拋物線于兩點，求線段的長度.
14．（2023春·廣東·高三階段練習）點F是拋物線的焦點，O為坐標原點，過點F作垂直于x軸的直線l，與拋物線相交于A，B兩點，，拋物線的準線與x軸交于點K．
(1)求拋物線的方程；
(2)設C、D是拋物線上異于A、B兩點的兩個不同的點，直線相交于點E，直線相交于點G，證明：E、G、K三點共線．
15．（2023春·重慶沙坪壩·高三階段練習）已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點與圓的圓心重合，為上一動點，點. 若的最小值為2.
(1)求拋物線的標準方程;
(2)過焦點的直線與拋物線和圓自上而下依次交于四點，且滿足，求直線的方程.
16．（2023秋·吉林·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線焦點為F，點在拋物線上，.
(1)求拋物線方程；
(2)過焦點F直線l與拋物線交于MN兩點，若MN最小值為4，且是鈍角，求直線斜率范圍.
17．（2023春·四川綿陽·高二階段練習）已知拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為.
(1)求拋物線的方程；
(2)過原點作兩條相互垂直的直線交曲線于異于原點的兩點，直線與軸相交于，試探究在軸上是否存在異于的定點，使得軸為的角平分線，若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由.
18．（2023秋·江蘇南京·高二校考期末）如圖，已知拋物線，焦點為，準線為直線，為拋物線上的一點，過點作的垂線，垂足為點．當?shù)臋M坐標為3時，為等邊三角形．
(1)求拋物線的方程；
(2)過點的直線交拋物線于，兩點，交直線于點，交軸于．
①若，，求證：為常數(shù)；
②求的取值范圍．
19．（2023秋·重慶渝北·高二?？计谀┮阎獟佄锞€與直線l：相交于M，N兩點，線段MN中點的橫坐標為5，拋物線的焦點為F.
(1)求拋物線的標準方程；
(2)記直線l與x軸的交點為P，過點P的直線m與拋物線交于A，B兩點，直線AF，BF分別與拋物線交于點C，D，直線m的斜率為，直線CD的斜率為，求的值.
20．（2023·全國·高三專題練習）設拋物線的焦點為，點，過的直線交于，兩點．當直線垂直于軸時，．
(1)求的方程；
(2)在軸上是否存在一定點，使得_________？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
從①點關(guān)于軸的對稱點與，三點共線；②軸平分這兩個條件中選一個，補充在題目中“__________”處并作答．
注：如果選擇兩個條件分別解答，則按第一個解答計分．
21．（2023春·內(nèi)蒙古興安盟·高二階段練習）已知拋物線C的頂點在原點，對稱軸是坐標軸，它的準線過雙曲線的左焦點．
(1)求拋物線C的方程；
(2)若過點且斜率為1的直線與拋物線C交于M，N兩點，求．
22．（2023春·河南洛陽·高三開學考試）已知拋物線上有一點．
(1)求拋物線的標準方程；
(2)已知直線與拋物線交于兩點，F(xiàn)是拋物線的焦點，且，求的面積．
23．（2023春·江蘇蘇州·高三開學考試）已知拋物線的焦點也是離心率為的橢圓的一個焦點F．
(1)求拋物線與橢圓的標準方程；
(2)設過F的直線交拋物線于A、B，交橢圓于C、D，且A在B左側(cè)，C在D左側(cè)，A在C左側(cè)．設，，．
①當時，是否存在直線l，使得a，b，c成等差數(shù)列？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由；
②若存在直線，使得a，b，c成等差數(shù)列，求的范圍．
24．（2023秋·山東煙臺·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為，過拋物線上一點向其準線作垂線，垂足為，當時，.
(1)求拋物線的方程；
(2)設直線與拋物線交于兩點，與軸分別交于（異于坐標原點），且，若，求實數(shù)的取值范圍.
25．（2023·云南·高三階段練習）在①；②；③面積的最小值為8，這三個條件中任選一個，補充在橫線上，并解答下列問題．（若選擇多個條件作答，則按第一個解答計分）
已知拋物線的焦點為F，過點F的直線與該拋物線交于A，B兩點，O為坐標原點，_____________．
(1)求拋物線的方程；
(2)點C在拋物線上，的重心G在y軸上，直線交y軸于點Q（點Q在點F上方）．記的面積分別為，求T的取值范圍．

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